11 因式分解

(1)

11

^因式分解

一、因式與倍式 1. 因式與倍式：

若A、B、C為三個多項式，且^{A B C}^{ } ，則稱A為B和C的，B和C為A的

。

判斷因式的方法：(1) 利用多項式的除法 (2) 直接因式分解判斷

(3) 利用因式定理(只適用判斷一次式)：

若^{x a}^ 為多項式f(x)的因式^f(a)＝0

※ 因式定理其實等同於餘式定理，只是形式不同。

2. 公因式：

若一多項式同時為另外兩多項式的因式，則稱此多項式為另外兩多項式的。

例：若

2 3 2 ( 1)( 2)

x  x  x x

、

2 2 ( 1)( 2)

x   x x x

，則稱⁽^x^²⁾為

2 3 2

x  x 和

2 2

x  x

的

公因式。

3. 因式分解：

將一個多項式寫成其因式的連乘積，其過程稱為因式分解。

例：x²3x2^因式分解_乘積展開(x1)(x2)

二、因式分解的方法 1. 提出公因式

利用分配律ab ac a b c  ⁽  ⁾。

例：(x6)(5x 3) (3x4)(x  6) (x 6)[(5x 3) (3x4)] ( x6)(2x7) 2. 分組分解

先適當分組，各組分別提出因式，再提出各組間的公因式。

例：

2 ( 2 ) ( )

( ) ( ) ( )( 1) x xy x y x xy x y

x x y x y x y x

      

   

   3. 乘法公式

班級座號姓名

(2)

類型分解結果例子

2 2 2

a  ab b (a b )² x²8x16x²   2 x 4 4² (x4)²

2 2 2

a  ab b (a b )² 9x²6x 1 )(3 )x ²    2 3x 1 1² (3x1)²

2 2

a b (a b a b )(  ) 25x² 4 (5 )x ²2² (5x2)(5x2)

4. 十字交乘法

類型分解結果係數關係

x2

項係數＝1

2 ( )( )

x px q  x a x b  ab q ，a b  p

x2

項係數^1

2 ( )( )

mx px q  ax b cx d  ac m ，bd q ，ad bc  p

例題：

1.(1) 判別

3x22x5

是不是3x5

的倍式？

(2) 若

2 2

x mx

是x1

的倍式，則m之值為？

(3) 若

9x2mx25

為一個完全平方式，m=？

(4)若x b 為

2 18

x ax

的因式，則b不可能為下列何者？(A) 4 (B) 6 (C) 9 (D) 18

2. 將下列各式因式分解：

(1) (a b x y z )(    ) (a b z y x)(   ) (2)

2(x2 )y 25 (2x y x )

3.將下列各式因式分解：

(1)

3a26ax5ac4ab8bx10cx

(2)

2 2 2 2

( ) ( )

a b c c a b

(1)

2 2 2 2

1 4 x 9y 36x y

(2)

4 2 2 4

a a b b

(3)

(1)

23x2 8x 31

   

(2) ⁶₇^x²^₁₄²⁵^x^{ }¹₂

(1) ⁽^x^¹⁾⁽^x^³⁾⁽^x^⁴⁾⁽^x^{ }^{6) 280}^ (2)

2 2 2

(x 4 )x 2(x2)  7