PDF 98 學科能力測驗 數學考科 試題 答案

98 年學科能力測驗

〔數學考科〕試題與答案 01

第壹部分：選擇題

一

說明 第1至6題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每 題答對得5分，答錯不倒扣。

1. 數列a1＋2 , … , ak＋2k , … , a10＋20共有十項，且其和為240，則 a1＋…＋ak＋…＋a10之值為

(1) 31 (2) 120 (3) 130 (4) 185 (5) 218 2. 令a＝cos (π² )，試問下列哪一個選項是對的？

(1) a＝－1 (2) －1＜a ≤－1

2 (3) －1

2 ＜a ≤ 0 (4) 0＜a ≤ 1

2 (5) 1

2 ＜a ≤ 1

3. 已知f (x)，g(x)是兩個實係數多項式，且知f (x)除以g (x)的餘式為x⁴－1。試問下列 哪一個選項不可能是f (x) 與g(x) 的公因式？

(1) 5 (2) x－1 (3) x²－1 (4) x³－1 (5) x⁴－1

4. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3、4、5 個班級。從這 12 個班級中隨機選取 一班參加國文抽考，再從未被抽中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則 參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項？

(1) 21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29%

5. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其 中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾

角為 45°，則丙、丁兩鎮間的距離約為

(1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里 6. 試問坐標平面上共有幾條直線，會使得點O ( 0 , 0 ) 到此直線之距離為1，且點

A ( 3, 0 )到此直線之距離為2？

(1) 1 條 (2) 2 條 (3) 3 條 (4) 4 條 (5)無窮多條

學科能力測驗

98

學年度

數 學 考 科 ^{試題 與 答案}

98 年學科能力測驗

〔數學考科〕試題與答案

02

L4

L3

L2

L1

y=x

x y

二

說明 第7至11題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選 出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對 者得5分，只錯一個選項者可得2.5分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。

7. 試問下列哪些選項中的數是有理數？

(1) 3.1416 (2) 3

(3) log₁₀ 5 ＋log₁₀ 2 (4) sin15°

cos15° ＋cos15°

sin15°

(5) 方程式x³－2x²＋x－1＝0的唯一實根 8. 坐標平面上四條直線 L₁，L₂，L₃，L₄ 與 x 軸、

y 軸及直線 y＝x 的相關位置如圖所示，其中 L₁ 與 L₃ 垂直，而 L₃ 與 L₄ 平行。設 L₁， L₂，L₃，L₄ 的方程式分別為 y＝m₁ x，

y＝m₂ x，y＝m₃ x 以及 y＝m₄ x＋c。

試問下列哪些選項是正確的？

(1) m₃＞m₂＞m₁ (2) m₁．m₄＝－1 (3) m₁＜－1 (4) m₂．m₃＜－1 (5) c＞0

9. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比 ( 以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在 95% 信心水準之下，該產品在甲、乙 兩地的知名度之信賴區間分別為 〔 0.50 , 0.58 〕、〔 0.08 , 0.16 〕。試問下列哪些選 項是正確的？

(1) 甲地本次的參訪者中，54% 的人聽過該產品

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的 機率大於 95%

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95% 的機會落在區 間 〔 0.08 , 0.16 〕

(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的

四倍，則在95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半

( 即0.04 )

98 年學科能力測驗

〔數學考科〕試題與答案 03

A

B C

D

E

F G

N M

K

H

10. 設 a，b，c 為實數，下列有關線性方程組



 x＋2y＋az＝1 3x＋4y＋bz＝－1 2x＋10y＋7z＝c

的敘述哪些是正確的？

(1) 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解 (2) 若此線性方程組有解，則11a－3b≠7 (3) 若此線性方程組有解，則c＝14 (4) 若此線性方程組無解，則11a－3b＝7 (5) 若此線性方程組無解，則c≠14

11. 如圖所示，正立方體 ABCD-EFGH 的稜長等於 2 ( 即 AB￣￣￣＝2 )，K 為正方形 ABCD 的中心，M、N 分別為線段 BF、EF 的中點。試問下列哪些選項是正確的？

(1) KM＝1

2 AB－1

2 AD＋1 2 AE (2) ( 內積 ) KM．AB＝1

(3) KM￣￣￣＝3

(4) △KMN為一直角三角形

(5) △KMN之面積為 10

2

第貳部分：選填題

說明 1.第A至I題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 ( 12–33 )。

2.每題完全答對得5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 從 1 到 100 的正整數中刪去所有的質數、2 的倍數及3 的倍數之後，剩下最大的數

為_____○¹²○¹³ 。

B. 坐標平面上有四點 O ( 0 , 0 )，A (−3 , −5 )，B ( 6 , 0 )，C ( x , y )。今有一質點在 O 點沿 AO 方向前進 AO￣￣￣ 距離後停在 P，再沿 BP 方向前進 2BP￣￣￣ 距離後停在 Q。

假設此質點繼續沿 CQ 方向前進 3CQ￣￣￣ 距離後回到原點 O，則 ( x , y )＝

(_____○¹⁴○¹⁵ ,_____○¹⁶○¹⁷ )。

C. 抽獎遊戲中，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者 可得消費劵，其金額分別為 ( 抽得藍色球者 ) 2000 元、( 抽得紅色球者 ) 1000 元。

箱中已置有 2 顆藍色球及 5 顆紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單 位希望參加者所得消費劵金額的期望值為 300 元，則主辦單位應於箱內再置入 _____○¹⁸○¹⁹ 顆其他顏色的球。

D. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的 x 截距相差 20，y 截距相差 15。則這兩條平行

直線的距離為_____○²⁰○²¹ 。

98 年學科能力測驗

〔數學考科〕試題與答案

04

E. 假設 Γ₁ 為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為 x＝－3

4 且焦距(焦點到頂 點的距離)為 1

8 。若 Γ₁ 與另一拋物線 Γ₂：y＝x² 恰交於一點，則 Γ₁ 的頂點之 y 坐 標為 ○²²

○²³

_______。(化成最簡分數)

F. 某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前 排放量的 75％。公司希望每年依固定的比率 ( 當年和前一年排放量的比 ) 逐年減 少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少

_____○²⁴.○²⁵ ％的二氧化碳的排放量。( 計算到小數點後第一位，以下四捨五入。)

G. 坐標空間中 xy 平面上有一正方形，其頂點為 O ( 0 , 0 , 0 )，A ( 8 , 0 , 0 )，

B ( 8 , 8 , 0 )，C ( 0 , 8 , 0 )。另一點 P 在 xy 平面的上方，且與 O，A，B，

C 四點的距離皆等於 6。若 x＋by＋cz＝d 為通過 A，B，P 三點的平面，則 ( b , c , d ) ＝( __________○²⁶ ，○²⁷ ，○²⁸ )。

H. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1、F2，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相 等。設 P 為此橢圓與雙曲線的一個交點，且PF￣￣￣ ×PF1 ￣￣￣＝64，則 2 F￣￣￣￣ ＝_____1F2 ○²⁹○³⁰ 。

I. 在△ABC 中，AB￣￣￣＝10，AC￣￣￣＝9，cos∠BAC＝3

8 。設點 P、Q 分別在邊 AB、AC 上使 得△APQ 之面積為△ABC 面積之一半，則 PQ￣￣￣ 之最小可能值為 ○³¹○³²

○³³

_______。( 化成最 簡分數 )

答 案

第壹部分：選擇題 一、單選題

1.  2.  3.  4.  5.  6.  二、多選題

7.  8.  9.  10.  11. 

第貳部分：選填題

12. 9 13. 5 14.－ 15. 4 16. 2 17. 0 18. 2 19. 3 20. 1 21. 2 22. 9 23. 8 24. 5 25. 6 26. 0 27. 2 28. 8 29. 1 30. 6 31. 1 32. 5 33. 2