PowerPoint 演示文稿

(1)

0

0 0

0

( ) , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) .

f x x x

f x f x f x f x

f x f x

 

设函数在U( )内有定义如果对于U( )内任一x

（或）均成立

就称是函数的一个极大值（或极小值）

定义 3.4.1

使函数取得极值的点称为极值点 .

o x

y

a b

) (x f y 

x1 x2

x3 x₄ x₅ x₆

一、函数极值的定义

3.4 函数的极值及其求法

(2)

二、函数极值的求法

定理 3.4.1( 必要条件 )

定义

. )

(

) 0

) ( (

的驻点做函数

叫的实根

即方程使导数为零的点

x f

x f  

注意 :①

.

, )

(

是极值点但函数的驻点却不一定

点的极值点必定是它的驻可导函数 f x

例如 , y  x³, y _x_₀  0, _但^x ^ ⁰_{不是极值点}^.

② 不可导点也可能是极值点，如 |x| 在 x=0

临界点：驻点、不可导点

设 ^f ⁽ ^x⁾在点 x⁰处具有导数 ,且在 x0处取得极值 ,那末必定 f ^'(x₀ )  0.

(3)

(1)如果x^(x₀^



,x₀),_有^f^'⁽^x⁾^⁰^;_而^x^⁽^x₀^,^x₀^



⁾, 有f^'(x)0_，_则f(x)_在^x₀_处_取_得_极_大_值_.

(2)如果x^(x₀^



,x₀),_有^f^'⁽^x⁾^⁰^;_而^x^⁽^x₀^,^x₀^



⁾

有f^'(x)0_，_则f(x)_在x₀处取得极小值.

(3)如果当x^(x₀^



,x₀)_及^x^⁽^x₀^,^x₀^



⁾_时, f^'(x) 符号相同,则^f⁽^x⁾在x0处无极值.

定理 3.4.2( 第一充分条件 )

设函数 f(x) 在点 x₀ 处连续，且在某 U⁰(x₀) 内可导：

x y

o _x

y

0 o

x x₀

   

x y

o _x₀



(4)

若 f(x) 在所讨论的区间内连续，除去个别点外处处可导

（凹凸性也类似），则

(1) 求定义域、判断连续性、求 f x( );

(2) 求临界点（全部驻点和导数不存在的点），间断点，

这些点将定义域分成若干部分区间；

(3) ( ) ,

; f x

检查在驻点和不可导点左右的正负判断单调性、极值

(4) 写出单调区间、求出极值 .

求单调区间和极值的步骤 :

(5)

例 1 解

. 5

9 3

)

( ³ ² 的极值

求出函数 f x  x  x  x  9

6 3

)

(  ²  

 x x x f

，

令 f (x)  0 得驻点 x₁  1, x₂  3. 列表讨论 x (,1)  1 (1,3) 3 (3,)

) ( x f 

) (x f

  



0 0

 

极大

值极小值

) 3 (

极小值 f  22. )

(1

极大值 f  10,

) 3 )(

1 (

3  

 x x

M

m

(6)

例 2

分析

3 2

3

3 9 5 .

y  x  x  x  求出函数的极值

( ) 3

2

6 9 u x   x  x 

，

令 f (x)  0 得驻点 x₁  1, x₂  3. 列表讨论

(3)

极小值 u

^ ^²²^.

( 1)

u 

极大值

^ ¹⁰^,

) 3 )(

1 (

3  

 x x

y 

3

u  

 在在-在+在在在在在

3 2

( ) 3 9 5

y

u x x x x

u

   

3

的极大（小）值点，

就是 = 的极大（小）值点 .

(7)

定理 3.4.2( 第二充分条件 )

证⁽¹⁾

0

0 0

0

( ) ( )

( ) lim 0

x x

f x f x

f x ^ x x

  

  

 

x x0

由保号性，当在的足够小邻域内时

0

0 0

( ) ( ) ( )

0 0

f x f x f x

x x x x

   

 

 ，即 

0 ( ) 0;

x x f x

在该邻域内，时,  x x ₀时, f x( ) 0;

(8)

例 3 解

. 20

24 3

)

( ³ ² 的极值

求出函数 f x  x  x  x  24

6 3

)

(  ²  

 x x x f

，

令 f (x)  0 得驻点 x₁  4, x₂  2.

) 2 )(

4 (

3  

 x x

, 6 6

)

(  

 x x

 f



(4)

 f  18  0, 故极大值 ^f ^(⁴⁾  60,

(2) 

f 18  0, _故极小值 _f ₍₂₎ _ _₄₈_. 1

x 0

)

(      

 x 6x 6

 f

- , 1) ( ) 6 1 0 - , 1) ( )

f x x

f x

     

  

在（内（）

在（内是凸的；

1 ) ( ) 6 1 0

1 ) ( )

f x x

f x

     

  

在（，内（）

在（，内是凹的.

(9)

M

m

注意 :

. 2

, )

( , 0 )

( ₀ ₀

仍用定理

处不一定取极值在点

时 f x x x

f  

20 24

3 )

(x  x³  x²  x 

f 图形如下

4 4 3

( ) - ( ) ( ) 0

f x  x f x  x f x  x x 

讨论，，在处

(10)

例 3 解

. )

2 (

1 )

( ³

2

的极值求出函数 f x   x 

) 2 (

) 2 3(

) 2

( ³

1





 x  x ^ x f

. )

( ,

2时不存在

当x  f  x 时，

当x  2 f (x)  0; 时，

当x  2 f (x)  0.

. )

( 1

) 2

( 为f x 的极大值

f 



. )

( 在该点连续但函数f x

注意 : 函数的不可导点 , 也可能是函数的极值点 .

M

) (

0 )

9( )

(

4

2 2  2 ₃  

 x  x ^ x 而f

上是凹的。

在( ,2),(2, ) )

(  

 f x

(11)

极值是函数的局部性概念 : 极大值可能小于极小值 , 极小值可能大于极大值 .

驻点和不可导点统称为临界点 . 函数的极值必在临界点取得 . 判别法第一充分条件 ;

第二充分条件 ; ( 注意使用条件 )

三、小结

(12)

思考 : 下命题正确吗？

如果x₀_为f(x)_的_极_小_值_点_，_那_么_必_存_在 x0_的_某_邻_域_，_在_此_邻_域_内_，f(x)_在x₀_的_左_侧

PowerPoint 演示文稿

一、函数极值的定义

3.4 函数的极值及其求法

二、函数极值的求法

临界点：驻点、不可导点













(4) 写出单调区间、求出极值 .

求单调区间和极值的步骤 :

3 9 5 .

y  x  x  x  求出函数的极值

( ) 3

6 9 u x   x  x 

(3)

极小值 u

( 1)

u 

极大值

y 

u  

 在在-在+在在在在在

( ) 3 9 5

y

u x x x x

u

   

的极大（小）值点，

就是 = 的极大（小）值点 .

( ) - ( ) ( ) 0

f x  x f x  x f x  x x 

讨论，，在处

三、小结



 









 

0 ,

2

0 1 ),

sin 2

( ) 2

(

x x x

x x f

x  0

1 ) sin

2

(

x  x  0

x  0

f ( x )

x  0

x  0

x

cos 1

f ( x )

x  0

x x x

x

f 1

cos 1 )

sin 2

( 2 )

(   

