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第一章 函数、极限、连续

§1.1

函数

(甲) 内容要点 一、函数的概念

1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图像

三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数

(1)

y lim f

_n

( x )

n



_{, 例} ²

2

( ) lim 1

1

n n n

f x x x

x



    

          

(2)

y lim f ( t , x )

tx



_，例

sin

^{sin sin}

( ) lim sin

x

t x

t x

f x t

x





 

  

 

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) y^



a^xf(t)dt 其中 f(t)_连续，则 f(x) dx

dy 

(2) ^



(⁽)⁾

2 1

)

x (

x f t dt

y ^

 其中



₁(x),



₂(x)可导， f(t)_连续，

则

dy [ ( )] ( )

_{2 2}

[ ( )] ( )

_{1 1}

f x x f x x

dx        

五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数y  f(x)_在X内有定义，若存在正数M，使xX 都有 ^{f(x)  M} ， 则称 f (x)_在X上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对xX，都有 f(x) f(x)_，则称 f(x)_在 X上是奇函数。

若对xX ，都有 f( x) f x( )，则称 f(x)_在X上是偶函数，奇函数的图象关于 原 点 对 称 ； 偶 函 数 图 像 关 于

y

轴 对 称 。 重 要 公 式

0 ,

( ) 2 ( ) ,

0 a f

f x dx a

a f x dx f

 

   



 

当为奇函数 当为偶函数

3． 单 调 性 ： 设 f(x)_在 X 上 有 定 义 ， 若 对 任 意 x₁X, x₂X_， x₁ x₂都 有 )

( ) (x₁ f x₂

f  [f(x₁) f(x₂)]_则称 f(x)_在X上是单调增加的[单调减少的]；若对 任意x1X ， x2X, x₁x₂都有 f x( )1  f x( ) [ ( )2 f x1  f x( )]2 ，则称 f(x)_在X 上是单调不减[单调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增 加。）

若在( , )a b _内，

( ) 0, ( ) ( ) 0, ( )

f x f x

f x f x

 

 

则单调增加 则单调减少

4． 周期性：设 f(x)_在X上有定义，如果存在常数T 0，使得任意xX，xTX ，

都有 f(xT) f(x)_，则称 f(x)_{是周期函数，称}T为 f(x)_的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

例

2

( ) sin ( 0 )

f x   x 

  常数周期=  

(乙) 典型例题 一、定义域与值域

例1 设 f (x)_{的定义域为}[a, a]（a0）求 f(x² 1)的定义域 解：要求ax²1a，则1a x² 1a，

当a 1时，1 a 0， x²  1 a，则^{x  1a} 当0a1时，1a0，^{ 1a x  1a} 也即 1a x 1a或 1a x 1a

例2 求





























 ，

x x

x x

x x x

f

y 的值域

2 , ) 2 ( 1

2 2

, 5

2 ,

3 ) (

2 3

并求它的反函数。

解：x 2，^{y3811}，^{x3 3y}， 2

2 

 x ，3   y 5 x 7，^{x5 y}，

2

x ，y1(x2)² 1，^{x2 1y}， 所以y f(x)_的值域为(,1)[3,7](11,)

反函数

3

2 1 , 1

5 , 3 7

3 , 11

y y

x y y

y y

   

     

  



二、求复合函数有关表达式

例1 设 ₂

) 1

( x

x x

f   _，求

f f [ ( f x ( ))] f x

_n

( ) n





重复合

解： 2 ₂ 2

2 2 2

2 1 1

1 1 /

) ( 1

) )] (

( [ )

( x

x x

x x

x x

f x x f

f f x

f  

 

 

 

 _，

若 ₂

) 1

( kx

x x f_k

 

则 2 ₂

2

2 1 2

) 1 ( 1 1

1 1 /

) ( 1

) ) (

( k x

x kx

x kx

x x

f x x f

f

k k

k   

 

 

 



根据数学归纳法可知，对正整数

n

， ₂ ) 1

( nx

x x f_n

 

例2 已知f e( )^x xe^x，且 f(1) 0_，求 f(x) 解：令e^x t，x lnt，因此

ln

( )

^x

( ) t f e f t

    t

，

2 2

1

ln 1 1

( ) (1) ln ln

2 1 2

x

t x

f x f dt t x

   t  

(1) 0 f 

 ，∴ f x ln²x 2 ) 1 (  三、有关四种性质

例1 设F x( ) f x( )_{，则下列结论正确的是} [ ]

（A）若 f(x)_{为奇函数，则}F(x)_为偶函数

（B）若 f(x)_{为偶函数，则}F(x)_为奇函数

（C）若 f(x)_{为周期函数，则}F(x)_{为周期函数}

（D）若 f(x)_{为单调函数，则}F(x)_{为单调函数} 例2 求^I



 ^{x x ex e x x x dx}

  





 ¹

1

2

5 ( )ln( 1)]

[

解 f₁(x)e^x e^x是奇函数， f₁(x)e^x e^x f₁(x) )

1 ln(

)

( ²

2 x  x x 

f 是奇函数，

1 ) 1 ln(

) 1 ln(

)

( 2

2 2

2

2  



 









 x x

x x x

x x

 f ln1ln(x x² 1)f₂(x)

因此x(e^x e^x)ln(x x² 1)是奇函数

于是 ^



 ^{ }



^

1 0 1 6

1 6

7 2 2

0 x dx

dx x I

例 3 设 f(x), g(x)是 恒 大 于 零 的 可 导 函 数 ， 且 f x g x( ) ( ) f x g x( ) ( ) 0  ， 则 当 b

x

a  时，下列结论成立的是 [ ]

（A） f(x)g(b) f(b)g(x) _（B） f(x)g(a) f(a)g(x)

（C） f(x)g(x) f(b)g(b) _（D） f(x)g(x) f(a)g(a) 思考题：两个周期函数之和是否为周期函数

例1．

( ) sin cos

2 3

x x

f x  

例2． f x( ) sin



xsin 2x 四、函数方程

例 1 ． 设 f(x)_在 [0,)_{上 可 导 ，} f(0)0_{， 反 函 数 为} g(x)_{， 且}



0^{( ) }

) 2 x (

f g t dt x ex ，求 f(x)_。

解 ： 两 边 对 x_{求 导 得} g f x f x[ ( )] ( ) 2  xe^xx e^{2 x}， 于 是 xf x( )x(2x e) ^x， 故 ( ) ( 2) ^x

f x  x e ， f(x)(x1)e^xC， 由 f(0)0_{， 得} C 1， 则 1

) 1 ( )

(x  x e^x 

f 。

例2 设 f (x)_满足 f x  f x)x 3 (1 3sin ) 1 (

sin _，求 f(x)

解：令g(x)sin f(x)_，则 x x g x

g  ) 

3 (1 3 ) 1

( _，

x x

g x

g _{2 2 2}

3 ) 1 3 ( 1 3 ) 1 3 (1 3

1   ，

2 2 3 3 4

1 1 1 1 1

( ) ( )

3 g 3 x  3 g 3 x  3 x

，

……

x x

g x

g _{n n n n}

n 1 1 32( 1)

) 1 3 ( 1 3 ) 1 3 ( 1 3

1





   ，

各式相加，得 ]

9 1 9

1 1 [ 3 )

( 1 3 ) 1

(x  _n g _n x  x    _n1

g 

1 )

(x 

 g ，∴ ) 0 3

( 1 3

lim 1 



 _n g _n x

n

8 9 9 1 1 ] 1 9

1 9

1 1 [

lim ₁ 









 _



 n

n 

因此g x x 8 ) 9

(  ，于是

 k x arc

x

f 2

8 sin9 )

(   或

9

(2 1) sin

k    arc 8 x

（k为整数）

思考题

设ba均为常数，求方程

2 2

sin(x b ) ln[(x b ) (x b ) 1 ] sin( x a ) ln[(x a ) (x a ) 1 ] 0 的一个解。

§1.2 极限

(甲) 内容要点

一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

(1) 数列的极限

x

_n

A

n





lim



(2) 函数的极限lim ( )

x f x A

  _；lim ( )

x f x A

  _；lim ( )

x f x A

 

A x

x

f

x





( ) lim

0 ；

f x A

x

x _





( ) lim

0 ；

f x A

x

x _





( ) lim

0

2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性 ）设lim f(x) A_，lim f(x) B_，则A=B 定理2 （极限的不等式性质）设lim f(x) A_，lim g(x)  B 若

x

变化一定以后，总有 f(x) g(x)_，则

A  B

反之，

A  B

，则

x

变化一定以后，有 f(x)g(x)_（注：当g(x)0_，B0情 形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设lim f(x) A 则当

x

变化一定以后， f(x)_{是有界的。}

定理4 设lim f(x) A_，lim g(x) B 则（1）lim[f(x)g(x)] AB

（2）lim[f(x)g(x)] AB

（3）lim[f(x)g(x)] AB

（4） ( 0) )

( )

lim (  B 

B A x g

x f

（5）lim[f(x)]^g(x)  A^B (A0) 二、无穷小量

1．无穷小量定义：若lim f(x)0_，则称 f(x)为无穷小（注：无穷小与

x

的变化过程 有关， 1 0

lim 



 x

x ，当

x  

时

x

1 为无穷小，而xx0或其它时，

x

1 不是无穷小）

2．无穷大量定义：任给M>0，当

x

变化一定以后，总有 ^{f(x) M} ，则称 f (x)_为无穷 大，记以lim f(x)_。

3．无穷小量与无穷大量的关系：在

x

的同一个变化过程中，

若 f(x)_{为无穷大量，则} ) ( 1

x

f ^{为无穷小量，}

若 f(x)_{为无穷小量，且} f(x)0_，则 ) ( 1

x

f ^{为无穷大量。}

4．无穷小量与极限的关系：

lim ( )f x  A f x( ) A



( )x ，其中lim ( ) 0



x  5．两个无穷小量的比较

设lim f(x)0_，limg(x) 0_，且 l x g

x

f 

) (

) lim (

（1）l 0，称 f(x)_是比g(x)_{高阶的无穷小量，记以}f x( )o g x[ ( )]

称g(x)_是比 f(x)_{低阶的无穷小量}

（2）l 0，称 f(x)_与g(x)_{是同阶无穷小量。}

（3）l 1，称 f(x)_与g(x)_{是等阶无穷小量，记以}f(x)~ g(x) 6．常见的等价无穷小量

当x0时，

x x~

sin ，

tan x ~ x

， ^{arcsinx~ x}， arc tanx~ x， ² 2

~ 1 cos

1 x x _，

x

e^x 1~ ^，ln(1x) ~ x_，(1x)^1 ~



x。 7．无穷小量的重要性质

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

(1) 若xn_1  xn（

n

为正整数）又x_n m（

n

为正整数），则

x

_n

A

n





lim

 _存在，

且Am

(2) 若xn_1  xn（

n

为正整数）又xn M _（

n

为正整数），则

x

_n

A

n





lim

 _存在，

且A M

准则2：夹逼定理

设g(x) f(x)h(x)_。若lim g(x)  A_，limh(x) A_，则lim f(x) A 3．两个重要公式

公式1： sin 1

lim0 

 x

x

x

公式2： e n

n

n  



 1) 1 (

lim _； e

u

u

u  



 1) 1 (

lim _；

v

^v

e

v

 



1 0

( 1 ) lim

4．用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）

当x0时，

2

1 ( )

2! !

n

x

x x

n

e x o x

    



n 

例：

2 3

3

3 3

0 0

1 2! 3! ( ) 1 1

lim lim

3! 6

x

x x

x x

e o x

x x

 

  

  

3 5 2 1

2 1

sin ( 1) ( )

3! 5! (2 1)!

n

n n

x x x

x x o x

n

 

     





2 4 2

cos 1 ( 1) (

2

)

2! 4! (2 )!

n

n n

x x x

x o x

     



n 

2 3

ln(1 ) ( 1)

1

( )

2 3

n

n n

x x x

x x o x

n

    









3 5 2 1

2 1

tan ( 1) ( )

3 5 2 1

n

n n

x x x

arc x x o x

n

 

      





( 1)

2

( 1) [ ( 1)]

(1 ) 1 ( )

2! !

n n

x x x n x o x

n



         

     

 



6．洛必达法则

第一层次，直接用洛必达法则 法则1：（

0

0

^{型）设（1）lim f(x)0,limg(x) 0}

（2）

x

变化过程中， f x( )_，g x( )_皆存在

（3）

( ) lim ( )

f x A g x

 



^（或



）

则 A

x g

x

f 

) (

)

lim ( _（或



）

（注：如果

( ) lim ( ) f x g x





不存在且不是无穷大量情形，则不能得出

( ) lim ( ) f x

g x

^{不存在且不是无}

穷大量情形）

法则2：（





^{型）设（1）lim ( )f x  , lim ( )g x  }

（2）

x

变化过程中， f x( )_，g x( )_皆存在

（3）

( ) lim ( )

f x A g x

 



^（或



）

则 A

x g

x

f 

) (

)

lim ( _（或



^）

第二层次，间接用洛必达法则"0"型和"  "型

例 0 0

1 1

lim ln lim( )

x

1

x

x x

x

x e

 





和 

第三层次：间接再间接用洛必达法则"1 "^{ 型、}"0 "^{0 型、}"⁰"^型

 

^{( ) ( )ln ( ) lim* ( )ln ( )}

* *

lim ( ) ^{g x} lim ^{g x f x x g x f x}

x f x x e e^

   

7．利用导数定义求极限

基本公式： ^{0 0} ₀

0

( ) ( )

lim ( )

x

f x x f x x f x

 

    



^{[如果存在]}

8．利用定积分定义求极限

基本公式

 ^ 

 



1 1 0

) ( )

1 (

lim f x dx

n f k n

n

n k [如果存在]

9．其它综合方法

10．求极限的反问题有关方法

例：已知

2 1 2

lim 3,

sin( 1)

x

x ax b x a b



  

 求和

（乙） 典型例题 一、有关无穷小量

例1．

3 2

3

lim 1 (sin cos )

2

^x

x

x x

x x

x



 

 



例2．设当x0时，(1 cos ) ln(1 x x²)是比xsinxⁿ高阶的无穷小量，而xsinxⁿ又是 比(e^x2 1) ^{高阶的无穷小量，则}n_{等于（ ）}

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

例1 设a_m 0，b_n 0，求

0 1 1 1

0 1 1

lim

1

b x b x

b x b

a x a x

a x a

n n n n

m m m m

x

  







 







 



解：

0 1 1

1

0 1 1

lim

1

b x b x

b x b

a x a x

a x a

n n n n

m m m m

x

   

















 



n n

n n

m m

m m n m

x

b b x b x b x

x a x a x

a a x























   







 

0 1 1 1

1

0 1 1 1

1

]

lim [





 



 













时 当

时 当

时 当

，

n m

n b m

a

n m

n m

, , 0

例2 设a 0， ^{r 1}，求

lim (

^1

)





  

ⁿ

n

a ar



ar

解： r

a r a r ar

ar a

n

n n

n  



 





 





 1 1

lim 1 ) (

lim  ¹

特例 （1）求 

      ^





n n

n )

3 (2 ) 1 ( 3)

(2 3) (2 3

lim 2 ^{2 3}  ¹

解：例2中取 3

 2

a ，

3

2



r ，可知原式

5 2 3) ( 2 1

3 2









（2）

3 4 2 3 2 3) (1 3

1 1

2) (1 2 1 1

lim  













 n

n

n 



例3．求 ⁿ_{n n}ⁿ

n 2 3

2 lim3 ₁

1













解：分子、分母用3ⁿ除之，

原式= 3

1 3) (2 2

3) (2 3

lim 







 n

n

n

（注：主要用当 ^{r 1}时，

lim  0



 n

n

r

_）

例4 设l是正整数，求



 





n

n k ₁

k ( k l ) lim 1

解： 1 1 )

1( ) (

1

l k k l l k

k   

 

∴





 

 

 

 









 

n

k ₁

k k l l l n n l

1 1

1 1 2

1 1 1 ) (

1

 

因此原式 1) 2

1 1 1(

l

l   

 

特例：（1）



 







n

n k ₁

k k 1

) 1 (

lim 1

（l 1）

（2）



 



  



n

n k ₁

k k 4

) 3 2 1 1 2 ( 1 ) 2 (

lim 1

（l2）

三、用两个重要公式

例1 求 _n

n

x x

x

cos2 cos4

cos2

lim_ 

解：当x 0，原式=1

当x0时，原式

n n

n n

n

n

x

x x

x x

sin 2 2

cos 2 cos 4

cos 2 sin 2 2

lim









n n

n n

n

n

x

x x

x x

sin 2 2

sin 2 cos 2

cos 4 cos 2 2

lim

^{1 1}

1

















= …

x x x

x x

x x

x

n n n

n n n

sin sin 2

sin 2 lim sin 2

2

lim sin   



 

例2 求 ^x

x x

x )

1 ( 1

lim 







解一： ²

1

1) 1 (

1) 1 ( / lim

) 1 (

/ ) 1 lim ( 1)

( 1

lim ^













  



 



 







 



 e

e e x x x

x x x x

x

x x

x x

x x x

解二： ^{1) 2}

)( 2 2 ( 1

1) ( 2 1 lim 1)

( 1

lim ^{ }













  





 

 

 e

x x

x ^{x x x}

x x x

例3

^lim

_x0

^{(cos x )}

^cot2x

^{ lim}

_x0

^{( 1  sin}

²

^{x )}

^2cossin22xx

^{ lim}

_x0

 ^{1  (  sin}

²

^{x )} 

^{(sin12x)cos(22)x}

=

e

^₂¹

四、用夹逼定理求极限

例1．求 )

2 1 2 6 5 4 3 2 (1

lim n

n

n

 

 

 

解：令 n

x_n n

2 1 2 6 5 4 3 2

1  

  ，

1 2

2 5 4 3 2

 

 n

y_n  n ，

则0xn  yn，于是

1 2 0 ² 1

 



 x_n x_ny_n n 由夹逼定理可知：

lim

²

 0



 n

n

x

_{，于是原极限为0}

例2 求



 



 

n

n k

n n k

k

1 2

lim

解：

1

2 1 2

1

1 2 2

2

 





 



 









 



n n

n k

n n

k n

n n

n

ⁿ

k





而

2 1 ) 2 (

) 1 2 (

1 2 lim

2

lim1 ₂ 





 













 n n

n n n

n

n

n n



2 1 1 ) 1 2 (

1 1 lim

2

lim 1

_{2 2}







 



















n n

n n n

n

n

n n



由夹逼定理可知

2 lim 1

1 2





 

 

 n

n k

n n k

k

例3 求 



x

x tdt

x ⁰sin lim1

解：



⁽^{k1) sin}tdt ^



₀^sintdt ^2

 k

设n  x(n1) _，则

) 1 ( 2 sin

sin sin

2 ^{( 1)}

0 0

0    





^tdt



^tdt



^{ tdt n}

n ^{n x n }

于是， _n^{n } _x



0^{x tdt } _n^n

) 1 ( sin 2

1 ) 1 (

2





∵  

2 ) 1 (

lim 2 





 n n

n ，





2 ) 1 (

lim2  



 n

n

n ，

由夹逼定理可知， 



^

x

x tdt

x ⁰ sin 2 lim 1

 五、用定积分定义求数列的极限

例1．求



 





n

n k

n k

n

1 2 2

lim

分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑

2 2

2

1 2 2

2 2

2

1

 

 



 n

n k

n n n

n

n ⁿ

k

而 2

lim _{2 2} 1

2

 



 n n n

n ， 1

lim ₂ 1₂

2

 



 n n

n

由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑

解：

 



 



 

 

n

k n

k n

n

n n k

k n

n

1 2

1 2 2

) ( 1

1 lim1

lim



_ ^{ }

 ¹

0 2 0 4

tan 1 1

x  x arc

dx

例2 求



 

 

n

n k

n k n k

1 1

sin lim



解：

  



 





 

n

k n

k

n

k n

k n

n k n k n

k

n 1 1 1

1 sin 1

sin 1 sin

1  

 

而

 ^  ^

 



1 1 0

sin 2 1 sin

lim   

n xdx k n

n

n k

 

  







 



n

k

n

n k

n

n

k n

n n n

k

n

_{1 1}

) 2 1 sin

1 )(

( lim 1 sin

lim 1







由夹逼定理可知，



 2 1 sin lim

1







 

 n

n k

n k n k

六、用洛必达法则求极限 1．

0

"

0

"

型和 ^"_^" 型

例1．求

n n n

n sin 1

sin1 1 lim

3







解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑

3 3

0 0

sin sin

lim lim

sin

x x

x x x x

x x

 

 

等价无穷小代换 6 1 6 limsin 3

cos lim1

2 0

0   

   x

x x

x

x x

∴ 原式 6

 1

例2．求

10 1

0

2

lim x e

^x

x





解：若直接用 0

"

0

"

型洛必达法则1，则得

9 1 3

0

10

2 ) ( lim

2

x x e

x

x





=

12 1

0

5 lim

2

x e

^x

x





（不好办了，分母

x

的

次数反而增加）

为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 t x1₂  于是

t t t t x

x

e

t t

e x

e

⁵

5 10

1

0

lim lim

lim

2



 











 

^{（ "" 型）}

5

4

5!

lim

_t

lim

_t

0

t t

t

e e

 

 



 

例3 设函数 f(x)连续，f

 

0 0，求









 x

x

x x f x t dt

dt t f t x

0 0

0 ( )

) ( ) lim (

解：原式







^

  x

x x

x x f u du

dt t tf dt t f x

0 0 0

0 ( )

) ( )

lim ( （分母作变量替换x t u  ）









 

 x

x

x f u du xf x

x xf x xf dt t f

0 0

0 ( ) ( )

) ( ) ( )

lim ( （用洛必达法则，分子、分母各求导数）

（用积分中值定理）

0 ( 0)

lim ( )

( ) ( )

x

xf xf xf x











 

^{（ 在0和}

x

之间）

(0) 1

(0) (0) 2 f

f f

 



2．

"    "

型和"0"型 例1 求 cos )

sin ( 1

lim ₂

2

0 2 x

x x

x 



解：原式=

x x

x x

x

x 2 2

2 2

2

0 sin

cos lim sin 



4 2 2

0

2 4sin 1

lim x

x x

x



 

0

4

3

2 cos 2 4 sin 2 4

lim x

x x x

x

 



0

2

3

4 4 sin 1

lim x

x x

x

 



0 6 2

4 cos lim1

x x

x

 



x x

x 12

4 sin lim4

0

 3

 4

例2 设a0，b0常数。求

lim ( )

1 1

x x

x

x a  b





解：原式

1 1

lim 1

x x

x

a b

x



 

lim

0

t t

t

a b t

 



_（ 0

"

0

"

型）

用洛必达法则

) ln ln

(

lim

0

a

^t

a b

^t

b

t





_

  lnalnb

b lna



3．“1^”型，“0⁰”型和“



^0”型

这类都是lim[f(x)]^g(x)_{形式可化为}e^{limg(x)ln[f(x)]}

而limg(x)ln[f(x)]_都是“0”型，按2的情形处理 例1 求 ^x

x

x

^sin2

lim

0_



解：令y  x^sin2x，lnysin² xlnx

0 ln sin lim ln

lim

²

0

0_



_







y x x

x x

∴

lim

⁰

1

0_

 



y e

x

例2 设a0，b0常数，求

lim( ) 2

n n

n n

a b





解：先考虑

1 1

lim ( )

2

x x

x x

a b





_它是“1^ _”型

令 a^x b^{x x}

y )

( 2

1 1

  ^，ln [ln( ) ln2]

1 1





x a^x b^x y

x b

y a

^{x x}

x

x

1

2 ln ) lim ln(

ln lim

1

1

 









0

ln( ) ln 2 lim

t t

t

a b t

 

 

（ 0

"

0

"

型）

ab b

b a a

b b a a

t t

t t

t (ln ln ) ln

2 1 ln lim ln

0   



 _ 



因此， ax bx x ab

x  



 )

( 2 lim

1 1

于是， n a n b n ab

n  



 )

( 2 lim

七、求分段函数的极限

1 t x 令 

1 t x  令