微分法在几何上的应用

隐函数存在定理1 设函数

F ( x , y )

P ( x

, y

)

某一邻域内具有连续的偏导数，且

F ( x

, y

)  0

0

) ,

( x

y



F

F ( x , y )  0

P ( x

, y

)

某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数

y  f (x )

y

 f ( x

)

有

y x

F F dx

dy  

复习：隐函数的求导法则

一、 F(x,y)=0 的导数

F[x, y]  Z y=f(x) x

注：关于隐函数求二阶导数

① 公式法

x y

2 xx xy y yx yy x

2 2

y

F(x, y) F

dy x

d F

dy dy

( )F ( )F

d y dx dx

d

x

F F F F

x F

 

  

 

如果的二阶偏导数连续，

则两边看作的复合函数再次求导：

② 直接法 ^{F, Fx或Fy}

y=f(x) x

( , , ) 0 F x y z  二、的求导问题

隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y , z ) _在点 P ( x

, )

,

0

z

y 的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ⁽ x

^,

0 )

,

0

z 

y ， F

( x

, y

, z

)  0 _，则方程 F ( x , y , 0

) 

z 在点 P ( x

, y

, z

) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数

) ,

( x y f

z  _{，它满足条件} z

 f ( x

, y

) _，

并有

z x

F F x

z  



 ，

z y

F F y

z  



 .

P206 例 8.5.5

注：关于隐函数求二阶偏导数

0 )

, ,

( x y z  F

① 公式法

,

z x

F F x

z  





2

2 2

( ) ( )

x

z

F F F F

z x

x F

  

    



2 2

, y z y

x z











② 直接法

已知

( ) z y z

x  



求 ?



 





y y z x

x z

解 :

( , , ) ( ) z y z

z x y x

F   

1 ,

)

( z z F

    y 

) , ) (

(

2

z

y z

y z

F

x 

 

 

  ^,

) (

) (

z y y

x

z z y

F F y

z

z y





 

 





 



例 4 ：

, ) ( z y y

x

z F

F x

z

z x

^







 



于是

z z z y

x  

 

.

同理：

8.6 偏导数的应用

--- 微分法在几何上的应用

一、空间曲线的切线和法平面

定义 设 M 是空间曲线 L 上的一个定点 , M^* 是 L 上的一个动点 , 当 M^* 沿曲线 L 趋于 M 时 , 割线 MM^* 的极限位置 MT

（如果极限存在） 称为曲线 L 在 M 处的切线

o z

x y

 M

.M*

T

Ⅰ. 空间曲线

( ) ( ) ( )

x t

y t

z t







 

 

 

三函数均可导且导数不同时为零

; ),

, ,

(x₀ y₀ z₀ t t₀

M 对应于 

设

*

0 0 0 0

( , , ) .

M x

 

 

 

  

* : 割线MM

z z z

y y y

x x x



 



 





o z

x y

 M

.M*

 t  t  t ,

0 0

0

z z z

y y y

x x x



 



 





, 0

* ,即 时

当M  M t 

曲线在 M 处的切线方程 :

.

) (

) (

)

(

0 0

0 0

0

t z z

t y y

t x x





 ^

 



 





曲线在 M 处的切线方程

. ) (

) (

)

(

0 0

0 0

0

t z z

t y y

t x x





 ^

 



 





曲线的切向量：切线的方向向量 .

 ^{( t}

^{), ( t}

^{), ( t}

⁾ 

T    ^  ^  ^

法平面：过 M₀ 点且与切线垂直的平面 .

0 )

)(

( )

)(

( )

)(

(



 



 





 t x x  t y y  t z z



例1 求曲线

 : ^{x } 

^e cos ^udu

cos,

z  1  e

t  0

解 _当

t  0

, cos t e

x  

y   2 cos t  sin t ,



切线方程 _,

3 2 2

1 1

0    

 y z

x

法平面方程 ^{x  2( y  1)  3(z  2)  0,} .

0 8

3

2   

 y z 即 x

 ( ), ( ), ( )

  1, 2,3 

T    ^ t  ^ t  ^ t 

Ⅱ. 空间曲线方程 , ) (

) (









x z

x y





x

, )

, ,

(

处

在 M x y z

切线方程为

,

) (

) (

1

0 0

0 0

x z z

x y y

x x



 ^

 



 



法平面方程为

. 0 )

)(

( )

)(

( )

( x  x

   x

y  y

   x

z  z



0 0

{1, dy | ,

dz | }

T   dx dx

0 0

{1, ( ), ( )}  ^ x  ^ x



P216 2

 

 













 dx 1

dz dx

dy

dx x z dz dx

y dy



z , y

x z

dx dy



 

z , y

y x

dx dz



 



, 0

) 1 , 2 , 1 (

 dx

dy

, 1

) 1 , 2 , 1 (



 dx

dz

由此得切向量 T  {1, 0,1},

Ⅲ.

0 0

{1, dy | ,_x dz | }_x T



由此得切向量 T  {1, 0,1},

切线方程为 ,

1 1 0

2 1

1



 

 

 y z

x

法平面方程为 _{(x  1)  0  ( y  2)  (z  1)  0,}

 x  z  0

Ⅰ 。设空间曲线的方程 ⁽¹⁾ )

( ) (

) (













t z

t y

t x







 ^{( t}

^{), ( t}

^{), ( t}

⁾ 

T    ^  ^  ^

Ⅱ 。空间曲线方程 , ) (

) (









x z

x y





 1, (x ), (x )



T    

Ⅲ 。空间曲线方程

( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z

G x y z

 

 

 1, (x ), (x )





T   y z

二、曲面的切平面与法线

1. 设曲面方程为

F ( x , y , z )  0

在曲面上任取一条通过点 M(x₀,y₀,z₀) 的曲线 :

, ) (

) (

) ( : 













t z

t y

t x







n

T

M

曲线在 M 处的切向量 T  {^(t₀), ^(t₀),^(t₀)},

[ (t), (t), (t)] 0

F    

由于曲线在曲面上，故：

' ' '

x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0

t

x y z (t ) x y z (t ) x y z (t ) 0

F







两边对求导，得：

( , , ) ( , , ) ( , , )

n

T

M

曲线在 M 处的切向量 T  {^(t₀), ^(t₀), ^(t₀)},

令

n   { F

( x

, y

, z

), F

( x

, y

, z

), F

( x

, y

, z

)}

' ' '

x x y z0 0 0 (t )0 x x y z0 0 0 (t )0 x x y z0 0 0 (t ) 00

F ( , , )  F ( , , )  F ( , , ) 

则 ^nT,

切平面方程为 :

0 )

)(

, ,

(

) )(

, ,

( )

)(

, ,

(

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0













z z

z y

x F

y y

z y

x F

x x

z y

x F

z

y x

通过点

M ( x

, y

, z

)

称为曲面在该点的法线. 法线方程为 :

) ,

, (

) ,

, (

) ,

,

(

0 0

0 0

0 0

0 0

0

z y x

F

z z

z y x

F

y y

z y x

F

x x

z y

x

 

 



n

T

M

曲面在 M 处的法向量即

)}

, ,

( ),

, ,

( ),

, ,

(

{ F x

y

z

F x

y

z

F x

y

z

n  

解 令 F(x, y,z)  z  e^z  2xy  3, ,

4 2 _(1,2,0)

) 0 , 2 , 1

(  

 y

F_x 2 _(1,2,0) 2,

) 0 , 2 , 1

(  

 x

F_y ,

0 1 (1,2,0)

) 0 , 2 , 1

(   

 ^z

z e

F

切平面方程 ^{4(x  1)  2( y  2)  0 (z  0)  0,} ,

0 4

2   

 x y

法线方程 .

0 0 1

2 2

1 

 

  y z

x

Ⅱ. 空间曲面方程形为 z  f (x, y) 令

F ( x , y , z )  f ( x , y )  z ,

曲面在 M₀ 处切平面

, )

)(

, (

) )(

,

( x

y

x x

f x

y

y y

z z

f

 

  

曲面在 M₀ 处的法向量即

0 0

M x y M

{ , , }

{f ,f , 1}

n   F F F  

曲面在 M₀ 处的法线

.

1 )

, (

) ,

(

0 0

0 0 0

0

0



 

 

 z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

的全微分 在点

函数z  f (x, y) (x₀, y₀)

全微分的几何意义

) )(

, (

) )(

,

(

0

f x y x x f x y y y

z

z  

 



切平面上点的竖坐 标的增量

0 0

( , ) ( , )

z  f x y x y

函数在点的全微分 :

解 ^{F x y z( , , )  f x y( , )  z x2  y2  1 z,}

) 4 , 1 , 2 ( )

4 , 1 , 2

(

 { 2 x , 2 y ,  1 } n

}, 1 , 2 , 4

{ 



切平面方程为 ⁴⁽x  ²⁾  ²⁽ y  ¹⁾  ⁽z  ⁴⁾  ^0, ,

0 6

2

4    

 x y z

法线方程为 .

1 4 2

1 4

2



 

 

 y z

x

0 0

M x y M

{ , , }

{f ,f , 1}

n   F F F  

例 5 求曲面

x

 2 y

 3 z

 21

0

6

4  

 y z

x

解 设 为曲面上的切点

( x

, y

, z

)

0 )

( 6

) (

4 )

(

2 x

x  x

 y

y  y

 z

z  z



依题意得 : , 6 6 4

4 1

2x₀ y₀ z₀



 ^{ 2x}₀ ^{ y}₀ ^{ z}₀^. 因为 是曲面上的切点，

( x

, y

, z

)

,

0  1

 x 所求切点为 ^{(1,2,2), (1,2,2),} 切平面方程 (1)

2 ( x  1 )  8 ( y  2 )  12 ( z  2 )  0

切平面方程 (2)

 2 ( x  1 )  8 ( y  2 )  12 ( z  2 )  0

曲面的切平面与法线

Ⅰ 。设曲面方程为

0 )

, ,

( x y z  F

)}

, ,

( ),

, ,

( ),

, ,

(

{ F x

y

z

F x

y

z

F x

y

z

n  

Ⅱ 。空间曲面方程形为 z  f (x, y) 令

F ( x , y , z )  f ( x , y )  z ,

0 0

M x y M

{ , , }

{f ,f , 1}

n   F F F  

练 习 题

一 、 填 空 题 :

1、 曲 线 1 , ²

1 , z t

t y t

t

x t  

 

 再 对 应 于 t  1 _{的 点}

处 切 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 法 平 面 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

2、 曲 面 ^{e z  z  xy  3} 在 点 ( 2 1, 0, ) 处 的 切 平 面 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；

法 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

二 、 求 出 曲 线 x  t , y  t ² , z  t ³ _{上 的 点 ,} 使 在 该 点 的 切 线 平 行 于 平 面 x  2 y  z  4 _.

三 、 求 球 面 x ²  y ²  z ²  6 _{与 抛 物 面} z  x ²  y ² _{的 交 线} 在 (1 1,,2 ) 处 的 切 线 方 程 .

四、求椭球面^{x22y2z21}上平行于平面 0

2



y z

x 的切平面方程.

五、试证曲面xyza(a0)上任何点处的 切平面在各坐标轴上的截距之和等于a_.

一 、 1 、 2, 8 16 1 0 8

1 4

2 1

2 1







 

 

 



z y

z x x y

；

2 、









 









0

2 1 1

2 ,

0 4

2

z

y x

y

x .

二 、 ) 27 , 1 9 , 1 3 ( 1 )

1 , 1, 1

( ₂

1   P  

P 及 .

三 、 









 

 

 



0 2

0 2

0 2 1

1 1

1

z

y z x

y

x 或 .

四 、 2 2   11



 y z

x .

练习题答案