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3.1 不定积分

3.1.9 简单无理函数的积分 3.1.10 关于积分问题的一些补充说明 一、相关问题

1.什么是无理函数，请举例说明？

答：表达式中出现根式的函数叫无理函数．

例如：函数 ₃

2 3 1



 x

x

^{， (1 )}

1

3 x

x  ^， 6 5

1

2  x

x ^{都是无理函数}

二、有关知识

1. 怎样求形如



^{R(x,n axb)dx的不定积分？}

答：对形如



^{R(x,n axb)dx的积分}

令ⁿ axbt，则 1( ) b a t

x ⁿ  ， dt

a dx nt

n1

 ，于是

a dt t nt b a t

R dx b ax x R

n n

n 1

] ), 1(

[ )

, (







^{   为}

^t

^{的有理函数积分 ．}

2. 怎样求形如 dx

e cx

b x ax

R ⁿ



^{( ,} _^{ ) 的不定积分}

答：对 dx

e cx

b x ax

R ⁿ



^{( ,} _^{ ) ，可令tn ax}_cx^_e^b，即可仿照上面的积分进行计算。

三、练习题

计算以下不定积分

（1） dx x



x^{1 ；（2）}



_(13^dx_{x) x} ；（3）



₃ (x_1)(x_1)2

dx

解：（1）令 x1t,则xt² 1,dx2tdt,

于是 dx x



x^1

^  ^t _t ^

²

² _ ^tdt ₁ ^{ 2}  ^t

²

_t ^

²

_ ^{1 } ₁ ^{1 dt  2}  ^{( 1 } _t

²

¹ _{ 1} ^{) dt}

 2( t  arctan ) t   C 2( x   1 arctan x   1) C

．

（2）令xt⁶,dx6t⁵dt,

于是



_(13^dx_{x) x} dt t

dt t t t t

t dt

t

 



_ ^ _ ^{ }_^

 1

1 6 1

6 1 ) 1 (

6

2 2 2

2 3

2 5

₂

1

6 (1 ) 6( arctan )

1 dt t t C

  t   

 

6 6

6( x arctan x ) C

  

．

（3）因为



₃ (x_1)(x_1)2

dx =

1 1

3 1

 





_x^x _x^dx

令 dt

t dx t t

x t x t

x

2 3

2 3

3 3

) 1 ( , 6

1 , 1

1 1

 

 

 

 

 则 ，

于是



₃ (x_1)(x_1)2

dx =

1 1

3 1

 





_x^x _x^dx

^  _t

³

^ _ ³ ₁ ^{dt }  ⁽ _{1 } ¹ _t ^ _t

²

^t _ ^ _t ² _{ 1} ^{) dt}

2 2

1 1 2 1

ln[ ] 3 arctan

2 ( 1) 3

t t t

t C

  

  



^{（其中 3 1}

1



  x

t x ）．

四、思考题

1. 函数可积的情况下是否一定能求出其原函数？

答：前面我们知道，如果 f(x)连续，则它的原函数一定存在，因为初等函数在其定义区 间内是连续的，所以初等函数在它定义区间内必有原函数．但是必须清楚原函数存在是一 回事，原函数是否能用初等函数表示又是另一回事．

事实上确实有这样的初等函数，它们的原函数是存在的，但是这些原函数却不能用初 等函数表示．

如



e^x2dx^，



_ln^x_x^{dx ，}



^sin_x^xdx，

^

^{sinx2dx等．}

如果初等函数的原函数不是初等函数，我们就说



^{f(x)dx不能表示为有限形式．}

2. 归纳有理函数、三角函数有理式、无理函数的积分方法和步骤. (见教材)