PowerPoint 演示文稿

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

3.2.7 广义积分

第 第 3 3 章 一元函数积分 章 一元函数积分

学 学 _{3.2 3.2 定积分 定积分}

3.2 定积分

3.2.7 广义积分

无穷积分

无穷积分及敛散性 无穷积分计算习例 1-5

无界函数的积分 无界函数积分及敛散性

无界函数积分计算习例 6-10

内容小结

广

义

积

分

　　我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分

.

.

.

我们将运用极限的方法来完成这个工作

.

引例

1.

1

y  x

x  1

^x

2

1 y  x A

1





d x A x

其含义可理解为









b

x

A x

1 2

lim d b

b

b

x

lim 1 



 

  



 

 

  



b 1 1

lim  1

引例

2:

y  1 x

^x

^{, y}

x  1





0

d x A x

其含义可理解为



 



0

lim d

 

x

A x ^

^lim

^{2 x}  ¹ )

1 ( 2 lim

0



 



 2

y  1 x

0

A

1 x

y



一、无穷积分

, )

(

, )

(

, )

(  



^{f x dx}

^{f x dx}

^{f x dx}

其形式有

:



f ( x ) dx ^

lim



f ( x ) dx



b

f ( x ) dx ^

lim



f ( x ) dx



f ( x ) dx  

f ( x ) dx ^ 

f ( x ) dx





 lim

( )

a a

f x dx ^

lim



^f ( ^x ) ^dx

按无穷积分的定义：













 ( )d  ( )d  ( )d

c

c f x x f x x

x x

f

lim

( ) d lim

( ) d .

a c

a

f x x

f x x

 

   

, a b 等号右边的两项的极限过程是相互独立的即与的变化

不要求一致.

, a b

在数学物理问题中经常遇到要求与变化一致的情

, .

形即需要考虑的特殊情形b  a

. )

, (

)

( 在 上有定义

设函数 f x   

, 0 , ( ) ( [ , ] ) .

a R a f x R a a

     记

. . ( ) d lim ^a ( ) d ,

a a

V P ^ f x x f x x

   

 

. )

, (

)

( 在 上的无穷积分的柯西主值 称之为 f x   

值意义下 称此无穷积分在柯西主

若式中的极限存在，则

散 . 分在柯西主值意义下发 不存在，则称该无穷积

;

, 极限值即为柯西主值意义下的无穷积分值 若式中极限 收敛

无穷积分的柯西主值

例

1

d

sin 的敛散性

讨论无穷积分



散性. 和柯西主值意义下的敛

0 0 0

sin d lim ^b sin d lim ( cos ) ^b 1 lim cos ,

b b b

x x x x x b



  

    

 

因为

lim cos , 0 sin d .

b b ^ x x





而不存在故积分发散

.

d sin

, 无穷积分 发散

从而



, 0 d

sin lim

d sin .

.













A

A A x x

x x P

又 V 奇函数

.

d sin

在柯西主值意义下收敛 故无穷积分



由此例想到一点什么没有 ?

该例说明:

.

, 它本身不一定收敛 义下收敛时

无穷积分在柯西主值意

:

d ) ( .

. d ) (

与 的定义可知

由

 







 f x x V P f x x

.

d ) ( .

.

,

d ) (

收敛 则 必收敛

若

 







 f x x V P f x x

注意

:

,

“ 偶倍奇零” 的性质

,

.

1

.



 x dx

1 dx_p , 1 , 1 .

p p

x

  



证明当时收敛当时发散

无穷积分计算习例

5

.

( 15) dx

x x



 

0^

x e dx

( n ).



计算为自然数

例 2

例 6 例 3

例 4 计算无穷积分 例 5

解



_{x ( x} ^dx _{ 15 )} ^

^lim



_{x ( x} ^dx _{ 15 )}

x dx x

b

b

 ^ _



)

15 1 ( 1

15 lim 1

b b

[ln x ln( x 15 )]

15

lim 1  



5

.

( 15) dx

x x



  计算

例 2

证 当^{p  1}时^,











  b

blim ln

p b

b p

x

1 1

1 |

lim 

 ^





p b ^p

b 

 ^ 



 1

lim ¹ 1

p b

p

p

b 

 

 ^



 1 1 lim

1 ¹

1, , 1

1



 x p

p 时 dx_p

当 ^{ 1 ,}



p 时 dx 当

∴ 当 p>1 时，原积分收敛；当 p≤1 时，原积分发散 .





 ^b _p

p b x

dx x

p dx

1

1 lim

, 1时 当

1 dx_p , 1 , 1 .

p p

x

  



证明当时收敛当时发散 例 3

解



1  x

dx  



1 x

dx ^ 

1 _ x

dx

 _



0

1

lim 1

a a

dx

x ^



1 _{ x}

^dx

lim 1

 ^arctan 

lim

a

x





 

b

lim arctan x





lim arctan a





 b

b

lim arctan





2 .

2     



 



  





计算无穷积分 ^.

1 ²



O x

y

1 2

1 y x

  1



px

dx

e ^



lim e dx

b

a px

b

p

e  

 



 





lim

 

 



 







p

e p

e

b

lim



 







 



0 ,

0 ,

p p p

e

即当

p  0

p  0

.

5

解



^x

^e

^{dx }

^lim



^{x d (  e}

⁾

 ^e

^x

ⁿ

^e

^x

^dx 

b

1 0 0

lim





^{ } 





 

 

 



   







 ^{( )}

lim

b

n x d e

e b

) (

1 )

1 (

lim

b x

b

n n d e





 

 ^{ } 

!

| ) (

1 )

1 (

lim n n e

n

b

  







 

0^ x e dx^{n x} (n ).



计算为自然数 例 6

注意

: ( 1 ) 

f ( x ) dx  F ( x )

lim F ( x ) F ( a )

x





b b

x F dx

x

f







 ^{( ) ( )}

) 2

( F ( b ) lim F ( x )

x





:

  ( ^ )  

^x

^e

^dx ( ^  0 ) )

( )

1

(      



! )

1

( n   n



1 )

1

( 







 )

2

( 1

二、无界函数的积分



f ( x ) dx ^

^lim



^{f ( x ) dx}



^{f ( x ) dx}

记作



f ( x ) dx ^

^lim



^{f ( x ) dx}

0



f ( x ) dx ^ 

f ( x ) dx ^ 

f ( x ) dx

.

) (

, ]

, [ )

( 在 上有定义 为其瑕点

设函数 f x a b x  c a  c  b

记

, ] d ) ( d

) ( [

lim d

) ( .

.



 



 

 _ ^b

c c

a b

a f x x f x x f x x

P

V 





. )

( ]

, [ )

( 在 上的瑕积分 瑕点为 的柯西主值 称之为 f x a b c

.

, 则称此瑕积分在柯西主值意义下收敛 若式中的极限存在

值意义下发散. 则称该瑕积分在柯西主

,

; 若式中极限不存在 义下的瑕积分值

极限值即为柯西主值意

(3)

) . 1 (

3

0 32

 _x ^dx _

例

7

).

0

0 2 2

( 



_a ^dx  _x ^a

2

1

.

1 (ln )

e

dx

x  x



计算

无界函数的积分习例

例

11

例

9

10

例

8

解

1 ,

lim

 



^a

a x



a x 



.



_a

^dx _{ x}

lim

dx

a x





 



 

0

lim arcsin x

a



 ^





 

    

 

   

 lim

arcsin 0

0

a

a 



.

2

 

7

( 0 ).

0 2 2





_a ^dx  _x ^a

解

2 . ]

0 )

ln(

[arcsin lim

 



  



e

2

1

.

1 (ln )

e

dx

x  x



例

8

解



^ 

^ 

1 2 1

1 2

1 1

1 dx

dx x dx x

 x

0

,

1 2



即

x

dx

1 .



 dx

x

9

解

^  ^  ^



0 1

0 1

0

lim

,

1



x

dx x

dx x

q

dx

1 0

ln

lim



x

 



1 1 0 1

lim _

 q

x ^q

 ^

 ^













 



1

1

1 1

q q q

例

10

解

 1

x



( x _ 1 )

dx  

 

 

1 1

0 ₃² ₃²

) 1 (

) 1

( x

dx x

dx



( x _ 1 )

dx



 



1

32 1

1

0 0

( 1 )

lim



x

dx  3



( x _ 1 )

dx



 



3

0 1 ^{2 32}

2

lim

( 1 )



x

dx  3 

2 ,

 _



0

( x 1 )

dx  3 ( 1 

2 ).

计算广义积分

. ) 1 (

3

0 3

 _x ^dx _

例

11

注意

:

b a a

b

a

f x dx F x

a

x , ( ) lim ( )

) 1

( 

 

b b a

b

a

f x dx F x

b

x , ( ) lim ( )

) 2

( 

 

.

) 3

(



1 _

d x

x ^ 

^{d t} (

x  sin t

解

) . 2 (

d



计算

.

, 应设分开

混合在一起的广义积分 这是无穷积分与瑕积分

,

2

, 0

, 为被积函数的瑕点 故 易知 x  x 

) 2 (

) d ) (

2 (

d

0 3

3 2 2

1 1

0    

 



   

1 d

2 1 2

) 1

( 3

3 2 2

1 1

0 x

x

x 





 



 

 







   

1 2 3

1 3

0 2

1 2 2 2 2

{ln | | ln | | ln | | ln | | }

2

x x x x

x x x x



 

    

   

不存在

例

12

,

1 d 2

1 2

1

1 d 2

1 2

1 ³

2 2

1 与 不存在

由于 x

x x x

x

x





. )

2 (

d

0 发散

故原积分



内容小结

1.

被积函数无界 常义积分的极限

2.



_x ^{d x}

 ^{  ,} _{, p} ^p _ ^ ₁ ^{1 ( a  0 )} )

1 (

1

1

 a

p

 



x ) (

d 



x ) (

d ^,

q  1

1 )

( ¹

q a

b ^q



 ^

 1 , q





例如

, 

1 _

d x

x ^ 

^{d t} (

x  sin t

1 2

0 4

1 d 1

x x

x



  ^ 

^ _

1 d

2

2

t

x

x

^ 

_

^

_

2 )

(

) d(

x

x

x

x

1 ) (

t  x  x



_



2 d

t t

说明 :(1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化

.

(2)

,

,

.

(3)

.

为



^{f ( x ) d x}

v.p. ( c

, a  c  b )



^{f ( x ) d x}

v.p. _lim

_{( ) d}

a a

f x x

 

 

 

  



^lim



^{f ( x ) d x} 

^{f ( x ) d x}

常积分收敛

.

注意

: