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3.2 定积分

3.2.4 牛顿莱布尼茨公式

一、相关问题

1. 比较用定积分定义或定积分的几何意义来计算定积分 ¹

0x xd



^{，那种较简单？若对定}

积分 ^{1 2}

0x xd



用以上两种方法是否也可行？

答：用定积分定义计算定积分 ₀¹ ₂

1

1 1 ( 1) 1

d lim lim

2 2

n

n i n

i n n

x x ^ _ n n ^ n





   



^，

用定积分的几何意义来计算定积分 ¹

0

d 1

x x S _  2



，显然用定积分的几何意义来计算较 简单；

对定积分 ^{1 2}

0x xd



用以上两种方法计算，定义法是可行的（计算起来较繁琐，但是几何意 义来计算涉及到计算曲边梯形的面积就不易计算出来了，需要另外寻找方法计算。

2. 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t_{时物体所在位置为} s t( ),速度为v t( )_（

( ) 0 v t  _），

(1)它在t_{时刻的速度是多少？}

答：^{v t( )s t}

 

(2) 如何用s t( )_{表示物体在}



^a,b



内的位移s？ 答：s s b ( )s a( )

(3) 如何用v t( )表示物体在



^a,b



内的位移s？结合上述问题你有什么发现？

答： ^b ( )

s



av t dt^{，结合上述问题}s



a^bv t dt s b^{( )}  ^{( )}s a^{( )。}

3. 由于折旧等原因，某机器转售价格 R(t)是时间t(周)的减函数 4 ⁹⁶ ) 3

(

t

Ae t

R



 _，其

中 A是机器的最初价格。在任何时间t，机器开动就能产生 4 ⁴⁸

t

Ae P



 _{的利润。问机器使}

用了多长时间后转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？（不必计算 结果，只分析求解思路）

答：假设机器使用了 x周后出售，此时的售价是 4 ⁹⁶ ) 3

(

x

Ae x

R



 _{，在这段时间内机器}

创造的利润是



0^{x Aetdt} 48

4 。于是，问题就成了求总收入 4 ⁹⁶ ) 3

(

x

Ae x

f



 ₊



0^{x Aetdt} 48

4 ^，

) , 0 ( 



x 的最大值，需计算变上限积分的导数才能求解此题。

二、有关知识

1．变上限函数的导数有什么性质？（答：略，见教材）

2．一个函数的原函数有无穷多个，那么利用牛顿-莱布尼茨公式

( )d ( ) ( )

b

a f x x F b F a



时，会不会因为原函数选取的不同而得出不同的积分值？

三、练习题

1. 求解相关问题一中第3个问题。

答 ： 令

3 96

( ) 4

A x

f x e

 

  

 + ⁴⁸

0 0

4

xA t

e dt

 

 



 ^{， 得 x96ln 32}， 所 以 ， 总 利 润

P=12.02A, 机器卖了128 3A

元。

2.设 ^



0²

) sin

( ^x dt

t x t

F _，求F'(x)

解 F'(x)

x x x

x x dx

dt dx t

t dx

dt d t

t dx

d ^{x x 2}

2 2 0

2 0 2

sin 2 2

] sin [ sin

sin ²

2 



 



3.设F x ^



^cosx^x t dt

sin

2) cos(

)

(  ，求F'(x)_.

解 F'(x)= dx

d



^cosx^x t dt

sin

2) cos(

= [ cos( ) ^cos cos( ) ]

0 0 2

sin

2





x t dt^{ t} t dt

dx

d   =

dx x dt d

x t d

d

dx x dt d

x t d

d

x x

] cos ) cos(

cos [

] sin ) cos(

sin [

cos 0

2 sin

0

2



















=(cossin² x)cosxcos(cos² x)(sinx) =[cos(sin² x)]cosx[cos(cos² x)]sinx

4.求极限 .

) 1 ln(

) cos 1 (

] ) 1 arctan(

lim ⁰[ ⁰

0

2

x x

du dt

x u t

x  

 



 2

2

2

0 0

0

2

0 0

0 2

2 0

0 2 0

[ arctan(1 ) ] lim (1 cos ) ln(1 )

[ arctan(1 ) ] 12

lim 1 (1 cos ) ln(1 )

2

arctan(1 ) arctan(1 ) 2 1

lim lim .

3 3 6

2

x u

x

x u

x

x

x x

t dt du

x x

t dt du x x

x x

x x

t dt x x

x x







 



 

 

  

 

 

     

 

  

  

 

 



洛

解

5.计算下列定积分的值：

（1） ^{3 2}

0 3x  x 1)dx

 ^（

^{； （2）}



₀^{2(xsin )dx x； （3）}



^{01((8xx8)dx.}

解

（1）

（2）

（3）

四、思考题

1.对积分

2 2 0 2

0

1 1

d 2

( 1) x ( 1)

x   x  

 



^{，而被积函数}_(x¹₁₎^{2 0时其定积分应该大}

于零，两者是否矛盾？

答：注意 0² 2

1 d

( 1) x x



^{中函数有不连续点1，则} 0^{2 2 2} 0

1 1

d 2

( 1) x ( 1)

x   x  

 



^是错

误的。

2. 为什么说牛顿—莱布尼茨公式是微积分中最重要的定理？

答：牛顿—莱布尼茨公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中的“对立 统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观上的统一之美。牛顿

—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积 分联系起来。