第八节

三、一般迭代法 ⁽ 补充 )

第八节

的实根 求方程

(

)  0

可求精确根

无法求精确根 求近似根 两种情形 ( 有时计算很繁 ) 本节内容 :

一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形

方程的近似解

第三章

一、根的隔离与二分法

， 内只有一个根 在

若方程

(

)  0 [

,

]

内严格单调

）

（ 在

且

(

)

,

为 则称 [ b

, ] 其隔根区间 .

, 0 )

( ) ( , ] , [ )

(





f

[ b

, ] 为隔根区间

(1) 作图法

1.

求隔根区间的一般方法

; )

( 的草图 估计隔根区间 由





转化为等价方程 将 ( )  0



o x y



) (x f y 

o x y

. )

( ,

)

( 的草图估计隔根区间

由

 

 

a b

) ( )

(



 



a b

) (x y  

) (x y 

(2) 逐步收索法

0 1

, 方程

 x   例如

3

 x  1

由图可见只有一个实根   ( 1 , 1 . 5 ) , 可转化为

. )

5 . 1 , 1

( 即为其隔根区间

, ]

,

[ 的左端点出发

从区间

以定步长 h 一步步向右 搜索 , 若

0 )

) 1 (

( )

(









) )

1 (

; ,

1 , 0

(

 







.

] ) 1 (

[ ， 内必有根

则区间







搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .

x o

y

2 1 x3

y 

1

 x y

a1 b₁

2.

二分法

，

，

(

) 

[

,

]

(

)

(

)  0 ， 且方程

(

)  0 只有

，

一个根   ( b

, ) 取中点 



，



，

若

( 

)  0 _则 

_{即为所求根}  .

，

若

(

)

( 

)  0 则根   (

, 

) , 令



,

 

; ,

) , ( 

  否则

对新的隔根区间 [

,

] 重复以上步骤 ,反复进行 ,得 , ,

1

1 b b

a

  

令



  



 [ , ] [ , ] ]

,

[

的中点

若取 [

,

]

则误差满足 

  

(



)

( )

2

1 b a

n





a b

)

2

(

1 1 n n

n_





 _作为  _{的近似根 ,}

 0

 



例 1. 用二分法求方程

 1 . 1

 0 . 9

 1 . 4  0 的近似 实根时 ,要使误差不超过 10

, 至少应对分区间多少次 ?

解 : 设

(

) 

 1 . 1

 0 . 9

 1 . 4 , 则

(

) C (  ,   ) 9

. 0 2

. 2 3

)

( 

 





 0 (     5 . 67  0 ) ,

) ,

( )

( 在    单调递增

 x

又

, 0 4

. 1 )

0

(   

f f

( 1 )  1 . 6  0

故该方程只有一个实根

_, [ 0 , 1 ] 为其一个隔根区间 , 欲使 )

0 1

1

(

2

1

 



 n

n



 ^{ 10}

必需 2

 1000 , _即

 log

1000  1  8 . 96

可见只要对分区间 9 次 ,即可得满足要求的实根近似值 

二、牛顿切线法及其变形

: )

(

满足

0 )

( ) ( ,

] , [ )

1 在

上连续



不变号 及

上

在 [ , ] ( ) ( ) )

2





. )

, ( 0

)

( _{在 内有唯一的实根} 

方程



有如下四种情况 :

b x a

y

o a ^b x

y

o a _b x

y

o x

b a

y o

0 0

  



0 0

  



0

 0

 



0 0

  



牛顿切线法的基本思想 : 程的近似根 .

记纵坐标与

(x ) _{同号的端点为} ,

)) (

,

(

用切线近似代替曲线弧求方

b x o a x₁ x₀

在此点作切线 ,其方程为

) )(

( )

(

y

   

令 y = 0 得它与 x 轴的交点 (

, 0 ) ,

) (

) (

0 0 0

1 f x

x x f

x

   其中

再在点 (

,

(

)) 作切线 , 可得近似根

. 如此继续下去 , 可得求近似根的迭代公式 :

) (

) (

1 1 1





 



n n n

n f x

x x f

x

(

 1 , 2 ,  )

x2

称为牛顿迭代公式



牛顿法的变形

(1)

简化牛顿法 若用一常数代替

y

b x o a

,  ) (



f

_即用平行

, ) (

)

(





f

代替

例如用

则得简化牛顿迭代公式 . 线代替切线 ,

得 ) (

) (

0 1 1

x f

x x f

x_{n n} ⁿ

 



(

 1 , 2 ,  )

优点 : 避免每次计算

 (

) ， _{因而节省计算量 .}

缺点 : 逼近根的速度慢一些 .

三 . 一般迭代法

, ) ( 0

)

(

f

 转化为等价方程  

将方程 在隔根区

0

,

， ， ， ， ， ，

^{按递推公式}

) ,

2 , 1 (

)

(

 





 

^,

生成数列 lim   ,



 n

n x

， _则

即为原方程的根 .

①

① 称为迭代格式 ,

, )

(

称为迭代函数



_称为迭代

,

lim 存在称迭代收敛

若

n x





初值 .

否则称为发散 .

例 3. 用迭代法求方

程

 x  1  0 在 [ 1 , 2 ] 内的实根 . 解法 1 将方程变形为

 x

 1 , 迭代格式为

,

3

1

1





n x

x

取

 1 . 5

1 2 3 

n xn

0 5 .

1 2 . 375 12 . 396 1903 . 779  ^{发散 !} 解法 2 将方程变形为

 x

 1 , _{迭代格式为}

, 1

3 1





n x

x

取

 1 . 5

1



n xn

0 5 .

1 1 . 35721 1 . 33086 

7 8

32472 .

1 1 . 32472

迭代收敛 ,1.32472 为计算精度范围内的所求根 .

内容小结

1. 隔根方法 作图法 二分法

2. 求近似根的方法

二分法

牛顿切线法

简化牛顿法

一般迭代法