PowerPoint 演示文稿

引言：

一、高等数学内容

极限（理论基础 ) 、一元和多元微积分学、无穷 级数、常微分方程 ( 一元微积分学的应用 ) 。由于构 成的主体是微积分学，所以又称为微积分。

二、研究的主要对象：函数

分析性质（极限、连续、可导、可积等） ;

分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。

三、研究方法是极限方法（无穷小分析法），是区别 于初等数学的一个显著标志。

四、学习方法

 1 、课程的框架（一元、多元函数微积分、微分方程

、级数）；

 2 、各章节的框架类似性：

“ 引入、定义（算法）、性质、计算、应用”

 3 、内容的联系 ：极限→…

 课前预习、重点听讲、简记笔记；

 整理分析、后作练习；整理归纳重点题型。

函数的分析性质和分析运算（极限、连续、微分、积 分）

^1.1 函数 一、集合

1. 集

合 : 具有某种特定性质的事物的总体 .( N⁺,N,Z,Q,R)

\

B I A

 



C

集合间的关系、运算.如：A\ B={x| x A且x }, 余集（补集）A

2. 区

间 : 是指介于某两个实数之间的全体实数 . 这两个实数叫做区间的端点 .

第一章 函数与极限

0

,

点叫做这邻域的中心 x  叫做这邻域的半径 ^.

0 0 0

( ) { }.

U x

 x x     x x  

0

x

0 x

x  ^x0 





0

,

x 

点的去心的邻域

0

0 0

( ) { 0 }.

U x x x x



    

3. 邻 域 :

---“ 函数是实数集到实数集的映射”

定义 设

x

y

， D

，

^x

^D

^y

确定的数值和它对应，则称

y

二、函数概念

( x D )

自变量

( )

y W

对应法则 f

因变量

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；

否则叫与多值函数． 例如，x²  y²  a²．

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 .

1 2

1 y x

 

例如， D_f : ( 1,1)

{ ( ), } , _f ( )"

W  y y  f x x D R f D

"函数值全体组成的数

记为，或

值域: 集

{( ) ( ,

( ,

)

) }

C x

y f x

y y f x x D



  

函数 的图形 : 点集

o x

y

y

x



D W

(P2)

几个特殊的函数举例

(1) 符号函数



















0 1

0 0

0 1

sgn

x x x x

y

当 当 当

sg

: x  n x x  如

1

-1

x y

o

(2) 取整函数 y=[x]

[x] 表示不超过

x

数 1 2 3 4 5

-2 -4 -4 -3 -2 -1

4 3 2 1

-1 -3

x y

o 阶梯曲线

(3) 狄利克雷函 数



 



当 是无理数时

是有理数时 当

x x x

D

y 0

) 1

( 无理数点• 有理数点

1

x y

o

: ( 7), (1 2), ( ( )).

D  5 D  D D x 练习 求

解

) 1 , 5

(  7  D

, 0 )

2 1

(  

D

, 1 ))

(

(D x  D

例 1 , ( 3) . 2

1 2

1 0

) 1

( 求函数 的定义域

设 













  f x

x x x

f

（要求 f(x+3) 的定义域，需先求其表达式！）

1 0 3 1

( 3)

2 1 3 2 f x x

x

  

        





















 

1 2

2

2 3

1

x

x 故

D

: [  3 ,  1 ]

解：设

x   3 u

( )

, [ ( )] 1 , ,

( ) .

f x e

f g x x g x

   

例 2 ：设且 g(x) 0

求函数的定义域

（要求 g(x) 的定义域，需先求其表达式！）

解：由题设知

[ ( )]2

[ ( )]

=1

f g x  e  x [ ( )] = ln(1 g x

 x ),

( )= ln(1 ), ( )

g x x

g x

 

而已知 g(x) 0 ，故

所以的定义域为 （， - 0]. 

三、函数的特性

1 ．函数的有界性 :

, 0, ( ) ,

x D M f x M

   

有成立

( ) . .

f x D

则称函数在上有界否则称无界

M

-M y

o x

y=f(x) 有界 X

M

-M

y

o X x

x

无界

2 ．函数的单调性 :

, ,

)

(x D I D

f 的定义域为 区间  设函数

,

, _{1 2}

2

1及 当 时

上任意两点

如果对于区间 I x x x  x ), (

) (

) 1

( f x₁  f x₂ 恒有

; )

( 在区间 上是单调增加的 则称函数 f x I

), (

) (

) 2

( f x₁  f x₂ 恒有

; )

( 在区间 上是单调减少的 则称函数 f x I

3 ．函数的奇偶性 :

有 对于

关于原点对称

设 D ,  x  D ,

( )

( x f x

f  

称 f ( x ) 为偶函数 ;

y

x

) ( x f 

) (x f y 

o x

-x

) (x f

偶函数

有 对于

关于原点对称

设 D ,  x  D ,

( )

( x f x

f   

称 f ( x ) 为奇函数 ;

) ( x f 

y

x

) (x f

o x

-x

) (x f y 

奇函数

4 ．函数的周期性 :

, )

(x D

f 的定义域为

设函数 如果存在一个不为零的

为周 则称f (x)

. )

( ,

, x D x l D

l 使得对于任一    数

. )

(

, 称为 的周期

期函数 l f x

（通常说周期函数的周期是指其最小正周期） .

2

 l

2 2 l

 3l

2 3l

. )

( )

( 恒成立

且f x  l  f x

( ) y  f x 直接函数

x

y

o

) , (b a Q

) , (a b P

( ) f (x)1

y   x  ^ 反函数

四、反函数

“ 设函数 y=f(x) 的定义域为 D ，值域为 W, 若对于 W 中的每一个 y 值，在 D 中有使 y=f(x) 的唯一的 x 值与 之对应，则其对应法则记为 f^-1 ，这个定义在 W 上的函 数 x=f^-1(y) 称为 y=f(x) 的反函数。”

1 、函数的极限

2 1

2( 1) lim

1

x x



 引例 1 ： 

1 x

y

o 4 (1) { | 0 |x x 1| }

⁰    



研究范围

lim sgn

x

x

引例 2 ：



















0 1

0 0

0 1

sgn

x x x x

y

当 当 当

1

-1

x y

o

0

lim 1

x^

x

引例 3 ：

 定义 1.4.1

设函数 y=f(x) 在点 x₀ 的某一去心邻域内有定 义，如果当 x 无限接近于 x₀ 时，函数 f(x) 的值 无限接近于某一确定的常数 A ，则称常数 A 为函 数 f(x) 当 x 无限接近于 x₀ 时的极限。记作：

0

x

lim f (x) A

f x A(x x

)



 或 ( ) 时  

例 1

：

. 1 )

( lim

0 ,

1

0 ,

) 1 (

0

2



 









 



f x

x x

x x x

f 证明

设

y

o

1 x y  1 

2  1

 x y

lim ( ) 1

x

f x f



 

而（ 0 ），

lim ( ) 1

x _

f x





解解解 

lim ( ) 1

x _

f x





lim ( ) 1

x

f x





- +

即： f (0 )=f (0 )=1,

( )

故在 f x 0 点连续。

2. 连续的定义

例 1’

：

2

1 , 0

( ) 2, 0,

1, 0

( ) 0

x x

f x x

x x f x x

 



  

  



 设

问在连续吗？

lim ( ) 1

x _

f x





解解解 

lim ( ) 1

x _

f x





lim ( ) 1

x

f x





- +

即： f (0 )=f (0 )=1,

lim ( ) 1

( )

x

f x f f x



  

但（ 0 ）在 0 点间断。

y

o

1 x y  1 

2  1

 x y

2

例 2

lim .

0

不存在

验证 x x

x

证 x

x x

x

x x

 







 0 lim0

lim

1 )

1 (

lim0   

 x

x x x

x

x xlim0 lim0





  lim 1 1

0 

 x

左右极限存在但不相等 ,

lim ( ) .

0

f x 不存在

x



y

x

1

1 o

0 0 0 0 0

( ) ( ) f (

lim lim x )

x x

f x x f x

y

x x







  

    

 

 

则

3 、导数的定义

, )

, (

U )

( 在 有定义

设函数 y  f x x₀ 

作业： P5 习题 1-1

一 . _设 ^{ x  0} _{， 函 数 值} ^{( 1 ) x 1 x}

f x    _{， 求}

函 数 y  f ( x ) ( x  0 ) 的 解 析 表 达 式

解：设

则

  1 1 ¹

u u u

f   

u

 u

 

故 1 1 . ( 0) )

(

2 



  x

x x x

f

x  u

1

1 5 2

2

f t

t t

   

   二、填空

1、若，则

f ( t )  __________

__________

) 1 (t²   f

三、求 _{x x}

x x

e e

e x e

f _





  )

( 的反函数，并指出其定义域 .

解答 一、

u x  1

则

  ^{1 1 1}

u u u

f   

u

 u

 

故 1 1 . ( 0) )

(

2 



  x

x x x

f