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第 2 章 导数与微分

在科学研究与实际生活中，除了要了解变量之间的函数关系外，还需讨论因 变量随自变量变化的变化量问题，以及因变量相对于自变量的变化率问题，这些 问题归结到数学上，即为微分与导数的相关内容．本章以极限概念为基础，介绍 导数概念、求导法则、基本求导公式及它们的计算方法，同时还讨论了微分的概 念与计算方法等．

2.1 导数的概念

2.1.1 引例 例 2.1.1 变速直线运动的瞬时速度 已知 若质点做变速直线运动，它所移动的路程是时间的函数，这个方程记 为：ss t( )，求t 时刻的瞬时速度₀ v ． ₀ 设 t t: 0 t0  ，此时t  s s t(0  t) s t( )0 ，从而平均速度 0 0 ( ) ( ) s t s t s v t t t         ， 当 t 变化很小时，可以用 v 来近似表示t 时刻的瞬时速度，并且若 t0  越小，则近 似程度越高，因此有 0 0 0 0 0 ( ) ( lim lim ) t t s t s v t t t s t             ． 例 2.1.2 产品总成本的变化率． 设某产品的成本 C 是产量Q的函数，即CC Q( )（Q 0），如果产量由Q 变₀ 化到Q₀ Q，总成本取得相应的改变量记为 C ，则 0 0 ( ) ( ) C Q Q C Q C Q Q        ， 此表达式表示该产品产量由Q 变到₀ Q0 Q 时，总成本的平均变化率．显然，Q 越小，总成本的平均变化率就越接近于总成本在产量为Q 时的变化率，当₀ Q0 时，如果极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim Q Q C Q Q C Q C Q Q            存在，则这个极限值就表示产量为Q 时总成本的变化率，经济学中称之为边际₀ 成本．

66 经 济 数 学 微 积 分 例 2.1.3 求平面曲线的切线斜率． 设一曲线方程为y f x ，求曲线上任一点处的切线斜率． ( ) 在曲线y f x 上任取两点( ) M ，N ，来作割线 MN ．若让点 N 沿着曲线趋向 点M ，则割线 MN 的极限位置MT就称为曲线 y f x 在点( ) M 处的切线．如图 2.1 所示，下面求曲线y f x 在点( ) M处的切线的斜率． 图 2.1 记曲线y f x 上的点( ) M ， N 的坐标分别为 0 0 (x y, )，(x₀ x y, ₀ y)， 则割线 MN 的斜率表示为 tan MN y k x      ， 这里为割线 MN 的倾角，是切线MT的倾角，让点 N 沿曲线趋向于点M ，即 0  x 时，若上式的极限存在，记为 k ，则 0 tan lim       x y k x  ， 此极限值 k 就是所求的切线的斜率，即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim             x x f x x f x y k x x ． 上面三个实际问题虽然具体含义不同，但从抽象的数量关系来看，他们的实 质是一样的，都归结为求函数改变量与自变量改变量比值的极限问题．这个极限 称为函数在这一点的导数． 2.1.2 导数的概念 1．导数的定义 定义 2.1.1 设函数y f x 在点( ) x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点₀ x₀ 处 取 得 增 量 x （ 点x0 x 也 在 该 邻 域 内 ） 时 ， 相 应 因 变 量 y 取 得 增 量 为 0 0 ( ) ( )  y f x  x  f x ，若极限

第 2 章 导 数 与 微 分 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim            x x f x x f x y x x （2.1.1） 存在，则称函数y f x 在点( ) x 处可导，并称此极限值为函数0 y f x 在点( ) x 处0 的导数，记作 f x( ₀)， 0   x x y ， 0 d d x x y x  或 0 d d x x f x  ， 即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim         x f x x f x f x x ． 如果极限（2.1.1）不存在，则称函数y f x 在点( ) x 处不可导． 0 若设xx₀ x ，则当 x 0时，有xx ，所以导数0 f x( 0)的定义也可表 示为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim      x x f x f x f x x x ． （2.1.2） 引入了导数的概念，前面讨论的三个实际问题就可简述如下： （1）变速直线运动在t 时刻的瞬时速度0

v

0就是路程函数 ( )s t 在

t

0处的导数， 即v₀s( )t₀ ． （2）产品在产量为Q 时总成本的变化率（边际成本）就是成本函数 ( )0 C Q 在点 0 Q 处的导数． （3）曲线y f x 在点( )



x0, (f x0)



处的切线斜率就是函数y f x 在点( ) x 处的0 导数，即 0 tan ( )   k  f x ． 2．左、右导数 在导数f x( ₀)的定义中，导数 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x         是一个极限，在第 1 章中我们讨论过，极限存在的充要条件是左、右极限都存在 且相等，因此导数f x( ₀)存在的充要条件是左极限 和右极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim              x x f x x f x y x x 都存在且相等，这两个极限分别称为函数y f x( )在点x 处的左导数和右导数，₀ 分别记作f(x₀)和f(x0)，即 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x           ； 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f x y x x             

68 经 济 数 学 微 积 分 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x           ． 因此我们得到下面的定理． 定理 2.1.1 函数y f x 在点( ) x 处可导的充分必要条件是 ( )0 f x 在点x 处的左、0 右导数都存在且相等． 若函数y f x 在开区间 ( , )( ) a b 内每一点都可导，则称 f x 在区间 ( , )( ) a b 内可 导．则任给x( , )a b ，都对应着 f x 的一个确定的导数值( ) f x ，从而构成了一个( ) 新的函数，称此函数为函数 ( )f x 的导函数，记作 ( ) d d y y f x x ，  ， 或d d f x． 即 0 ( ) ( ) ( ) lim         x f x x f x f x x ． 函数y f x 在点( ) x 处的导数0 f x( 0)就是导函数 f x 在点( ) x 处的函数值，所0 以有 0 0 ( ) ( ) _    _{x x} f x f x ． 因此，导函数也通常简称为导数． 例 2.1.4 求函数 2 yx 的导数． 解 由于 2 2 ( ) y x x x      2 2 ( )  x x  x ， 所以 0 0 lim lim (2 ) 2 x x y x x x x           ，即 2 (x ) 2x． 同理 1 ( n)  n x nx （ n 为正整数）． 特别地，当n1时， ( )x  1． 一般地，当指数为任意实数时，可以证明 1 ( )_{ }  x x ． 例如，函数y x的导数： 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 y x x x x      ． 同理，函数y1 x的导数． 1 1 1 2 1 1 ( ) ( 1) . y x x x x      _{ }       例 2.1.5 求指数函数yax的导数（a0，a1）． 解 由于 x x x y a a    ，

第 2 章 导 数 与 微 分 所以 0 0 0 0 1 ln

lim lim lim lim ln

x x x x x x x x x x x y a a a x a a a a a x x x x                       ，即 (ax) axlna． 特别地，在上式中令a e，可得指数函数 ex y  的导数： (e )x  ex． 例 2.1.6 求对数函数yloga x的导数（a0，a1，x0）．

解 由于 log ( ) log log log 1

a a a a x x x y x x x x x             _  _  ， 所以 0 0 1

lim lim log 1

x x a x x y x x x x           _  _    1 1 log e ln a x x a   ，即 1 log . ln ax x a   （ ） 特别地，在上式中若令a e，可得自然对数函数ylnx 的导数： 1 (ln ) x x． 例 2.1.7 求函数ysinx 的导数．

解 由于 sin( ) sin 2 cos( ) sin

2 2

 

 y x x  x x x x，

所以

0 0 0

2cos( ) sin 2 cos( )

2 2 2 2

lim lim lim cos

x x x x x x x x x y x x x x                    ，即 sin  cos （ x） x ． 同理可得 cos（ x）  sinx ． 2.1.3 导数的几何意义 函 数 f x 在 点( ) x 处 的 导 数0 f x( 0) 在 几 何 上 表 示 为 曲 线 y f x 在 点( ) 0 0 (x ,f x( ))处的切线的斜率（如图 2.1 所示），即 0 0

( ) lim lim tan tan

x y f x k x               ． 过曲线上一点且垂直于该点处切线的直线，称为曲线在该点处的法线． 根据导数的几何意义，如果函数y f x 在点( ) x 处可导，则曲线0 y f x 在( ) 点(x₀, f x( ₀))处的切线方程为 0 0 0 ( ) ( )( ) yf x  f x xx ， 则法线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y f x x x f x      （ f x( 0)0）．

70 经 济 数 学 微 积 分 注意：若 f x( ₀)  ，则切线垂直于 x 轴，切线的方程就是 x 轴的垂线xx0． 例 2.1.8 求曲线 2  y x 在点 (1,1) 处的切线和法线方程． 解 因为y 2x ，由导数几何意义可知，曲线yx2在点 (1,1) 的切线与法线 的斜率分别为 1 x 1 2 k y   ， 2 1 1 1 2 k k     ， 于是所求的切线方程为 1 2( 1) y  x ， 即 2x  y 1 0． 法线方程为 1 1 ( 1) 2 y   x ， 即 2 3 0 x y  ． 2.1.4 可导与连续的关系 定理 2.1.2 如果函数y f x 在点( ) x 处可导，则0 f x 在点( ) x 处一定连续． 0 证明 因 ( )f x 在点x 处可导，则 0 0 0 ( ) lim .       x y f x x 根据函数极限与无穷小之间的关系，可知 0 ( )      y f x x ， 其中 是当  x 0 时的无穷小．两端同乘以 ，可得 x 0 ( )   y f x  x  x， 由此可知



0



0 0 lim lim ( ) 0             x y x f x x  x ， 所以函数y f x 在点( ) x 处连续． 0 上述定理的逆命题不一定成立，即在某点连续的函数，在该点处未必可导． 例 2.1.9 证明函数y x 在x0处连续但不可导（如图 2.2 所示）． 证明 因为 (0 ) (0) 0 0  y f  x  f   x   x ， 则 0 0 lim lim 0  x  y  x  x ．

第 2 章 导 数 与 微 分 图 2.2 由连续定义可知，y x 在x0处连续． 又 0 0 lim lim          x x x y x x ， 所以，当 x 0时，函数在x 0处的右导数为 0 0 (0) lim lim 1                x x y x f x x ； 当 x 0时，函数在x 0处的左导数为 0 0 (0) lim lim 1                 x x y x f x x ． 函数y x 在x0处的左、右导数不相等，从而在x0点处不可导．由此 可知，函数在某点连续只是函数在该点可导的必要条件，但非充分条件． 习题 2.1 1．求下列函数在指定点处的导数： （1） cos 2 y x x， ； （2）ylnx x， 5． 2．求下列函数的导数： （1）ylog2x； （2） 2 5 x y x  ； （3）_y5 _x2 _； （4）ytanx． 3．判断下列命题是否正确？为什么？ （1）如果 ( )f x 在x 处可导，则0 f x 在( ) x 处连续； 0 （2）如果 ( )f x 在x 处连续，则0 f x 在( ) x 处可导； 0 （3）如果 ( )f x 在x 处不连续，则0 f x 在( ) x 处不可导； 0 （4）如果 ( )f x 在x 处不可导，则0 f x 在( ) x 处不连续． 0 4．下列各题中均假定 f x( 0)存在，按导数定义观察下列极限： （1） 0 0 0 ( ) ( ) lim 2 x f x x f x x       ； （2） 0 0 0 ( 2 ) ( ) lim h f x h f x h h     ．

72 经 济 数 学 微 积 分 5．求曲线y1 x在点(1,1)处的切线方程． 6．讨论下列函数在x0处是否连续、是否可导： （1） 3 yx x ； （2）y2 sinx ； （3） 3 1 sin 0 0 0 x x x y x       _  ， ， ， ； （4） 1 sin 0 0 0. x x x y x       _  ， ， ，

2.2 导数的运算

上一节介绍了导数的定义，并以此求出了一些简单函数的导数，但只由导数 的定义求导往往非常繁琐，有时甚至是不可行的．能否找到求导的一般法则或常 用的求导公式，使得求导更简单易行呢？本节将介绍这些求导法则，求导公式． 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 定理 2.2.1 若函数uu x 与( ) vv x 在点 x 处均可导，那么它们的和、差、( ) 积、商（当分母不为零）在点 x 处也可导，且有以下法则： （1） (uv)uv； （2） ( )uvu v uv； 若vC （ C 为常数），则 (Cu)Cu ；  （3） u u v uv₂ v v            ． 注意：法则（2）表明乘积的导数不等于导数的乘积，法则（3）表明商的导 数不等于导数的商． 下面我们给出法则（3）的证明，其余的留给读者自行证明． 证明 令 ( ) ( ) u x y v x ，给自变量 x 一个增量 x ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) u x x u x u x u u x y v x x v x v x v v x v x u u x v v x v v x                    ， 1 ( ) ( ) [ ( ) ] ( )      _  _       y u v v x u x x v x v v x x x ． 因 ( )u x，v x 在点 x 处可导，则在该点处必连续，所以当( )  x 0时， u 0， 0  v ；又当 x 0时， u u x( ) x     ， ( )     ， v v x x 所以

第 2 章 导 数 与 微 分 2 0 lim x y u u v uv x v v    _{ }     _{ }     ． 特别地，若 ( ) 1u x  ，则可得 2 1           v v v （v 0）． 法则（1），（2）均可推广到有限个可导函数的情形． 设uu x( )， =v v x( )， =w w x( )在点 x 处均可导，则 (u v w)uvw ．  (uvw)[(uv w) ](uv w) (uv w)  (u v uv w uvw   )      u vw uv w uvw ．   例 2.2.1 设 1 2 _{cos ln sin 5} yx  x x ，求 y ． 解 1 2 ( cos ln sin 5) y x  x x  1 2 (x ) (cos )x  (ln )x (sin 5)     1 1 sin 2 x x x    ． 例 2.2.2 设 2 3 2x y x ，求 y ． 解 2 2 2 (3 2 )x 3( ) 2x 3 (2 )x y x  x   x  2 6 2x x 3x 2 ln 2x   ． 例 2.2.3 求ytanx的导数．

解 (tan ) sin (sin ) cos ₂sin (cos )

cos cos        _{ }    x x x x x y x x x 2 2 2 2 2 cos sin 1 sec cos cos   x x  x x x ． 即 2 (tan )x sec x． 同理可得 2 (cot )x  csc x． 例 2.2.4 求ysecx 的导数． 解 2 1 sin (sec ) cos cos     _{ }    x y x x x 1

tan sec tan cos

  x x x

x ．

即 (sec )x secxtanx ．

同理可得 (csc )x  cscxcotx ． 2.2.2 复合函数的导数

定理 2.2.2 如果函数u( )x 在 x 处可导，同时函数y f u 在对应的点 u 处( ) 可导，则由这两个函数构成的复合函数y f[ ( )] x 在 x 处一定可导，且有

74 经 济 数 学 微 积 分 d d d d d d y y u x u x 或 yx yuu ． x 证明 给 x 一个增量 x （0），相应地函数u( )x 与y f u 的改变量分( ) 别为 u 和y．根据函数的极限与无穷小量之间的关系定理，由y f u 可导，( ) 可得 d d     y y u u  ， 其中 是当 u 0时的无穷小．令上式两边同乘 u 得 d d  y y  u  u u  ， 于是 d d           y y u u x u x  x， 因为函数u( )x 在 x 处可导，所以有u( )x 在 x 处连续，则当 x 0时， 0  u ，因此 0 0 lim lim 0  x   u  ，从而有 0 0 d d d d lim lim d     d d d        _    _       x x y y y u u y u x x u x  x u x． 上式表明，求复合函数y f[ ( )] x 对 x 的导数时，可分别求出y f u 对 u 的( ) 导数和u( )x 对 x 的导数，然后相乘即可． 以上法则也可记为 yx yuu 或x





( )





( ) ( )      f  x f u  x ． 对于多次复合的函数，其求导公式类似，这种复合函数的求导法则也称为链 式法则． 例 2.2.5 设 3 ln(1 ) y x ，求 y ． 解 令 3 ln 1 y u u，  x ，因此 2 3 2 3 1 3 (ln ) (1 ) 3 1 u x x y u x x u x         ． 例 2.2.6 设ysin 2x，求 y ． 解 令ysinu，u2x，因此

(sin )u (2 )x cos 2 2 cos 2

y u  x  u  x， 也可不加中间变量，直接按链式法则求导． 例 2.2.7 _{ysin x}5_{4，求 } y ． 解 4 5 5 4 5 5 1 5 cos 4 cos 4 5 2 4 2 4 x x y x x x x          ．

第 2 章 导 数 与 微 分 例 2.2.8 ln sin ex y  ，求 y ． 解 1 (cos e ) e e cot e sin e x x x x x y     ． 例 2.2.9 2 9 (3 2) y x  ，求 y ． 解 2 8 2 2 8 9(3 2) (3 ) 54 (3 2) y x  x  x x  ． 2.2.3 反函数的求导法则 定理 2.2.3 若单调连续函数x( )y 在区间I 内可导，且_y ( )y 0，则其反 函数y f x 在对应的区间( ) Ix 



x x| ( )y，yIy



内也可导，且有 1 ( ) ( ) f x y     或 d 1 d d d y x x y  ． 证明 因为y f x 是( ) x( )y 的反函数，故可将函数x( )y 中的 y 看作中 间变量，从而组成复合函数x( )y [ ( )]f x ．若上式两边对 x 求导，应用复合 函数的链式法则，可得 1_yf_x 或 1 d d d d x y y x   ． 因此可得 1 d 1 ( ) d ( ) d d y f x x y x y      或 d ( ) 0 d x y y           ． 例 2.2.10 求函数yarcsinx 的导数．

解 因yarcsinx 是xsiny 的反函数，而xsiny 在区间 2 2         ， 内单调且 可导，且 (sin )y _y cosy0，因此在对应的区间 ( 1,1) 内，有 2 2 1 1 1 1 (arcsin )

(sin ) cos _{1 sin 1}

      _{ } x x y y _{y x} ． 即 2 1 (arcsin ) 1 x x x    ． 同理可得 2 1 (arccos ) 1 x x x     ． 例 2.2.11 求函数yarctanx的导数．

解 因yarctanx是xtany的反函数，而xtany在区间

2 2         ， 内单调

76 经 济 数 学 微 积 分 且可导，又 2 (tan )y  y sec y0，因此在对应的区间 (  上，有 , ) 2 2 2 1 1 1 1 (arctan )

(tan ) sec 1 tan 1

        x y x y y y x ． 即 (arctan ) 1 ₂ 1 x x    ． 同理可知 (arc cot ) 1 ₂ 1 x x     ． 2.2.4 初等函数的导数 前面我们已经给出了几个基本初等函数的导数，而且建立了函数的四则运算 求导法则、复合函数的求导法则以及反函数的求导法则，这就解决了初等函数的 求导问题．现将基本导数公式汇成表 2-1． 表 2-1 基本导数公式表 1．( )C  0 （ C 为常数）； _2． 1 (x) x （  为常数）； 3．(log ) 1 ln ax x a   ； 4．(ln )x 1 x   ； 5．(ax) axlna； 6．(e )x ex； 7．(sin )x cosx； 8．(cos )x  sinx； 9．(tan ) sec2 1₂ cos x x x    ； 10．(cot ) csc2 1₂ sin x x x      ；

11．(sec )x sec tanx x； 12．(csc )x  csc cotx x； 13． 2 1 (arcsin ) 1 x x    ； 14． 2 1 (arccos ) 1 x x     ； 15．(arctan ) 1₂ 1 x x    ； 16． 2 1 (arc cot ) 1 x x     ； 17．(sinh )x coshx； 18．(cosh )x sinhx．

以上基本导数公式十分重要，初等函数的求导主要利用上述表格中的常用公 式及函数的四则运算求导法则与复合函数的求导法则来运算，因此要熟练掌握． 例 2.2.12 设 3 5 ( sin ) y x  x ，求 y ． 解 3 5 3 4 3

[( sin ) ] 5( sin ) ( sin )

y x  x  x  x x  x 2 4 2 5(x sin ) (3x x cos )x    ． 例 2.2.13 设 3 2 xarcsin y  x ，求 y ．

第 2 章 导 数 与 微 分 解

_{ }

_

_

2 3 3 3 6 3

2 arcsin arcsin 2 ( 2 ln 2) arcsin 2

1 x x x x x y x x x x              2 3 6 3 2 ln 2 arcsin 1 x x x x     _   _    ． 例 2.2.14 求函数 2 ln( ) y x x a （a  ）的导数． 0 解 2 2 1 2 1 2 x y x x a x a     _  _      2 1 x a   ． 习题 2.2 1．求下列函数的导数： （1） x 7ex yxa  ； （2）y3 tanx xlnx4； （3） 3 3 sin   y x x x； （4） 2 ln yx x； （5）y3e sinx x； （6）ylnx x ； （7） e₂ sin 3 x y x   ； （8） 1 sin 1 cos x y x    ． 2．设 f x 可导，求下列函数的导数： ( ) （1） 3 [ ( )] y f x ； （2） ( ) e f x y   ； （3） 1 ₂ 1 [ ( )] y f x   ； （4）yarctan[2 ( )]f x ； （5） 3 ln[1 ( )] y  f x ； （6）y f( x2)． 3．求下列函数的导数： （1） 2 4 ( ) y x x ； （2）y3cos(2x5)； （3） 2 cos y x； （4）yln(sin )x ； （5） 2 ( 3 ) y x x ； （6） 2 e x yx ； （7）yln ln lnx ； （8） arctan3 e x y  ．

2.3 高阶导数

我们知道，变速直线运动的速度 ( )v t 是路程函数 ( )s t 对时间t的导数，即 d d s v t  或 vs， 而加速度 a 又是速度 v 对时间t的导数：

78 经 济 数 学 微 积 分 d d d d d d v s a t t t     _{ }   或a( )s ． 这种导数的导数 d d d d s t t      或 ( )s  称为 s 对t的二阶导数，记作 2 2 d d s t 或 ( )s t ． 所以，直线运动的加速度就是路程函数 s 对时间t的二阶导数． 一般地，设函数y f x( )在点 x 的某个邻域内有定义，若极限 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x         存在，则称此极限值为函数y f x( )在点 x 的二阶导数，记作 2 2 d ( ) d y y f x x ，  ， 或 2 2 d ( ) d f x x ，即 y( )y ，f( )x [f x( )]或 2 2 d d d d d d y y x x x    _{ }  ． 相应地，把y f x( )的导数y f x( )也称为函数y f x( )的一阶导数． 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，， 一般地， (n 1)阶导数的导数称为 n 阶导数，分别记作 (4) ( )n y，y ， ， y 或 3 4 3 4 d d d d d d n n y y y x ， x ， ， x ． 函数 ( )f x 具有 n 阶导数，也就是说函数 ( )f x 为 n 阶可导．如果函数 ( )f x 在点 x 处具有 n 阶导数，那么 f x 在点 x 的某一邻域内一定也具有一切低于 n 阶的导( ) 数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面 介绍的导数运算法则与导数基本公式仍然适用于高阶导数的计算． 例 2.3.1 设 yax b ，求 y ． 解 ya，y0． 例 2.3.2 设yexcosx，求 y ．

解 e xcos e ( sin )x e (cosx sin )

y  x  x  x x

        ，

e (cosx sin ) e ( sinx cos ) 2e xsin

y_{ }  x x  x x  x      ． 例 2.3.3 已知f( )x 存在， 2 ( ) y f x ，求

y

． 解 2 2 ( ) y xf x ，则 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y y _ xf x _ f x  xf x  x 2 2 2 2f x( ) 4x f(x )   ．

第 2 章 导 数 与 微 分 例 2.3.4 已知函数 2 2 y xx ，求

y

． 解 将 2 2 y xx 求导，得 2 2 2 2 1 2 2 2 x x y x x x x        ． 2 2 2 2 2 _{2 2} 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) 2 2 2 _{(2 ) 2} x x x x x x x x x y x x _{x x x x}               _{ } 3 3 2 ₂ 1 1 (2x x ) y      ． 下面介绍几个常用的初等函数的 n 阶导数． 例 2.3.5 设 ex y  ，求 ( )n y ． 解 (4) ex ex e ,x ex y ，y ，y y  ． 一般地，可得 ( ) e n x y  ． 即 ( ) (e )x n ex． 例 2.3.6 求ysinx与ycosx的 n 阶导数．

解 ysinx， (sin ) cos sin 2

y x  x _x_

 ，

sin cos sin 2

2 2 2 y x x x           _{ }  _  _  _ _   _         ， sin 2 sin 3 2 2 y x x         _{ }   _  _   _       ， …… ( ) sin 2 n y  _x n _  ． 即 ( ) (sin ) sin 2 n x  _x n _  ． 同理可得 ( ) (cos ) cos 2 n x  _x n _  ． 例 2.3.7 求对数函数yln(1x)的 n 阶导数． 解 ln(1 ) 1 1 ₂ 1 (1 ) y x y y x x          ， ， ， (4) 3 4 1 2 1 2 3 . (1 ) (1 ) y y x x         ，  ， 一般地，可得 ( ) 1 ( 1)! ( 1) (1 ) n n n n y x      ，

80 经 济 数 学 微 积 分 即 ( ) 1 ( 1)! [ln(1 )] ( 1) (1 ) n n n n x x       ． 通常规定0! 1 ，所以这个公式当n  时也成立． 1 例 2.3.8 求幂函数的 n 阶导数（ n 是正整数）． 解 设yx（是任意常数），那么 1 _{( 1)} 2 ( )n _{( 1)( 2) ( 1)} n y_x_，y_{ } x _{， ，} y _{    }n_ x _， 即 ( ) (x)n  ( 1)( 2) ( n 1)xn       ． 特别的，当n时，得到( n)( )n ( 1)( 2) 3 2 1 ! x       n ，而 ( 1) ( n)n 0 x   ． 如果函数uu x( )及vv x( )都在点 x 处具有 n 阶导数，那么显然 ( )u x v x( )及 ( ) ( ) u x v x 也在点 x 处具有 n 阶导数，且 ( ) ( ) ( ) ( )n n n u v u v ． 但乘积 ( ) ( )u x v x 的 n 阶导数并不如此简单．由 (uv)u v uv  ， 首先得出 (uv)u v 2u v uv， (uv)u v 3u v 3u v uv． 用数学归纳法可以证明 ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 2! ( 1) ( 1) ! n n n n n k k n n n uv u v nu v u v n n n k u v uv k                    ． 上式称为莱布尼茨（Leibniz）公式．这个公式可以这样记忆：把(uv)n按二项式 定理展开写成 0 1 ( 1) 2 2 0 ( ) 2! n n n n n n n uv u v nu v  u  v u v ， 即 0 ( ) n n k n k k n k u v C u  v   

_

． 然后把 k 次幂换成 k 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的uv换成 uv ， 这样就得到莱布尼茨公式 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n k n k k n k uv C u  v  

_

． 例 2.3.9 2 2 ex yx ，求y(20)． 解 设_{ue ,}2x _vx2_，则 ( ) 2 2 e k k x u  （k 1, 2,, 20），

第 2 章 导 数 与 微 分 ( ) 2 2 k 0 v x v，  ，v  （k 3, 4,, 20）， 代入莱布尼茨公式，得 (20) ( 2 2e )( 20) 2 e20 2 2 20 2 e19 2 2 20 192 e18 2 2 2! x x x x y  x  x   x    20 2 2 =2 e (x 20 95) x  x ． 习题 2.3 1．求下列函数的二阶导数： （1） ex yx ； （2） 2 ln  y x x； （3） 2 1 ex y   ； （4） 3e cosx y x； （5）ylnsinx； （6） 2 arctan y x ； （7）yxcosx； （8） 2 (1 ) arctan y x x． 2．设 f( )x 可导，求下列函数的二阶导数 2 2 d d y x ： （1）y f(ln )x ； （2）yln[ ( )]f x ． 3．求下列函数所指定的阶的导数： （1） 2 ex y x ，求 (4) y ； （2） 2 sin yx x，求 (20) y ．

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

2.4.1 隐函数的导数 前面我们所遇到的函数，例如_{ycotx y， ln 3x 3x}2 _{等，这种函数表达} 方式的特点是：等号左端是因变量的符号 y ，而右端是含有自变量 x 的某个式子， 当自变量取定义域内任一值时，由这式子能有确定对应的函数值．用这种方式表 达的函数叫做显函数．有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程 3 1 0 xy   表示一个函数，因为当变量 x 在 (  内取值时，, ) 变量 y 有确定的值与之对应．例 如，当x 0时，y 1；当x   时，1 y 32等．以这种形式表示的函数称为隐 函数． 一般地，如果变量 x 和 y 满足一个方程 ( , ) 0F x y  ，在一定条件下，当 x 取某 区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 ( , ) 0 F x y  在该区间内唯一确定了一个隐函数． 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程 3 1 0 xy   解出

82 经 济 数 学 微 积 分 3 1 y x，就把隐函数化成显函数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可 能的．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种 方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程解出它所确定的隐函数的导数来．下 面通过具体例子来说明这种方法． 例 2.4.1 求由方程ey 2e 0 xy    所确定的隐函数yy x( )的导数d d y x． 解 我们把方程两边分别对 x 求导数，注意 y 是 x 的函数．方程左边对 x 求导 得 d(e 2e) d d e d d d y y xy y y y x x x x      ， 方程右边对 x 求导得 (0)  ． 0 由于等式两边对 x 的导数相等，所以e d d 0 d d y y y y x x  x ， 从而 d d ey y y x x （ e 0 y x   ）． 在这个结果中，分式中的 y 是由方程eyxy2e0所确定的隐函数． 例 2.4.2 求方程 2 2 2x y 1所确定的隐函数y y x( )的导数d d y x． 解 因为 y 是 x 的函数，所以 2 y 是 x 的复合函数，方程两端同对 x 求导，得 4x2y y  ． 0 解 y ，便得到所求隐函数的导数为 d 2 d y x y x y     （y 0）． 例 2.4.3 设yarctan(x3 )y ，求d d y x． 解 方程两边对 x 求导，得 2 1 (1 3 ) 1 ( 3 ) y y x y      ， 解 y ，得 1 ₂ ( 3 ) 2 y x y     ． 例 2.4.4 求由方程 2xysiny0所确定的隐函数y y x( )的导数． 解 求隐函数y y x( )的一阶导数．方程两边同对 x 求导，注意 y 是 x 的函 数，有 2ycosy y 0． 解得 2 1 cos y y    ．

第 2 章 导 数 与 微 分 2.4.2 对数求导法 在计算幂指函数的导数以及某些乘幂、连乘积、带根号函数的导数时，可以 采用先取对数再求导的方法，简称对数求导法．它的运算过程如下； 在y f x( )（ ( ) 0f x  ）的两边取对数，得 lnyln ( )f x ； 上式两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，得y (ln ( ))f x y    ． 例 2.4.5 设 2 2 ( 1)(3 4) ( 2)( 3) x x y x x      ，求 y ． 解 将函数两边取自然对数，得 2 2 1 ln [ln( 1) ln(3 4) ln( 2) ln( 3)] 2 y x   x  x  x  ， 两边对 x 求导，得 2 2 1 1 2 3 1 2 2 1 3 4 2 3 x x y y x x x x     _    _      ， 所以 2 2 2 2 1 ( 1)(3 4) 2 3 1 2 2 ( 2)( 3) 1 3 4 2 3 x x x x y x x x x x x       _    _         ． 例 2.4.6 求 2 2 4 2 ( 2) ( 1)( 3) x y x x     的导数． 解 先在两边取对数，得 2 4 2 lny2 ln(x 2) ln( x 1) ln( x 3)． 上式两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，得 3 2 4 2 4 4 2 2 1 3 y x x x y x x x        ， 于是 3 2 4 2 4 4 2 2 1 3 x x x y y x x x     _   _      ， 即 2 2 3 4 2 2 4 2 ( 2) 4 4 2 ( 1)( 3) 2 1 3 x x x x y x x x x x      _   _   _    _． 设 ( ) ( )v x yu x ， ( ) 0u x  ，其中 ( )u x ， ( )v x 均可导，求 y ． 两边取对数得， lnyv x( ) ln ( )u x ，两边对 x 求导，得 ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) y u x v x u x v x y u x      ， 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) v x v x u x y u x v x u x u x     _   _   ． 特别地，当 ( )u x v x( )x时，(xx) xx(1 ln ) x ．

84 经 济 数 学 微 积 分 例 2.4.7 sin x yx （x 0），求 y ． 解 在等式两边同取对数，得 lnysin lnx x， 等式两边再同对 x 求导，得 1 cos ln sin y x x x y x     ， 即 y y cos lnx x sinx 1 x     _   _   sin 1 cos ln sin . x x x x x x    _   _   *2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 若方程x( )t 和y( )t 确定了 y 与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表 达的函数为由参数方程 ( ) ( ) x t y t        ， ，t( , )  ， 所确定的函数y y x( )．下面来讨论由参数方程所确定的函数的导数． 设 1 ( ) t  x  为x( )t 的反函数，在t( , )  中，函数x( )t ，y( )t 均 可导，这时由复合函数的求导法则和反函数的求导法则，可得 d d d d 1 d d d d d d y y t y x x t x t t     ( ) ( ) t t y t x t         （( )t 0）． 于是由参数方程所确定的函数y y x( )的导数为 d d _d ( ) d d ( ) d t t y y y _t t x x x t t          ． 例 2.4.8 设 3 3 cos sin x a t y a t      ， ，求 d d y x． 解 2 2 d 3 sin cos tan d 3 cos ( sin ) t t y y a t t t x x a t t        （ 2 n t ， n 为整数）． 习题 2.4 1．求下列方程所确定的隐函数的导数d d y x： （1） 2 2 x y xy； （2） 2 sin cos( ) x y xy ；

第 2 章 导 数 与 微 分 （3） 2 3 2 ex y x y   ； （4） 1 sin ey y  x ． 2．求曲线eyxy 2 0在点(0, ln 2)处的切线方程． 3．用对数求导法求下列函数的导数： （1） 1         x x y x ； （2） 1 1 3 x y x   _  _   ； （3） 4 5 2(3 ) ( 1)     x x y x ； （4） 2 3 2 2 2 x x y x    ． 4*．已知 e sin e cos . t t x t y t        ， 求当 π 3 t  时d d y x的值．

2.5 函数的微分

在实际问题中，经常遇到这样一类问题：当自变量有一个微小的改变量 x 时， 要计算相应的函数值的改变量y，对于比较复杂的函数，计算其改变量y往往 是比较困难的，因此有必要讨论计算函数改变量的近似公式． 2.5.1 微分的概念 先考虑一个具体问题． 例 2.5.1 设有一个边长为x 的正方形金属片，均匀受热后它的各边长伸长了₀ x  ，则其面积增加了多少？ 解 正方形金属片的面积A与边长 x 的函数关系为 2 Ax ．由图 2.3 可以看 出，受热后，当边长由x 伸长到₀ x0  时，面积x A相应的增量为 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 ( ) A x x x x x x          ． 图 2.3 从上式可以看出，A可分成两部分：第一部分是 x 的线性函数2x0 ，当x

86 经 济 数 学 微 积 分 0 x   时与 x 为同阶无穷小；而第二部分为 2 (x) ，当 x 0时是 x 的高阶无 穷小．这表明，当x 很小时，第二部分的绝对值要比第一部分的绝对值小得多， 可以忽略不计，而只用一个简单的函数，即 x 的线性函数作为A的近似值： 0 2 A x x    ． （2.5.1） 显然，2x₀ 是容易计算的，它是边长x x 有增量 x0  时，面积A的增量的主 要部分（亦称线性主部），是 x 的线性函数． 考虑到 0 0 0 2x A _{x x} A x( )，（2.5.1）式可写成 0 ( ) A A x x    ． 由此我们引入函数微分的概念． 定义 2.5.1 设函数y f x( )在点x 的某邻域内有定义，0 如果函数 ( )f x 在点x0 处的增量 y f x( ₀ x) f x( ₀)可以表示为 ( ) y A x o x      ， 其中A是与 x 无关的常数，o(x)是当 x 0时比 x 高阶的无穷小，则称函数 ( ) f x 在点x 处可微， A x0  称为 f x 在点( ) x 处的微分，记作 0 0 dy _{x x} ，即 0 dy _{x x}  A x ． （2.5.2） 于是，（2.5.1）式可写成 0 d _{x x} A A _   ． 可以证明，函数 ( )f x 在点x 处可微与可导是等价的，且0 A f x( 0)，因而 ( )f x 在点x 处的微分可写成 ₀ 0 0 dy _{x x}  f x( ) ． x 通常把自变量的增量 x 记作 dx ，称为自变量的微分，于是函数 ( )f x 在点x 处0 的微分又可写成 0 0 dy _{x x}  f x( )dx． （2.5.3） 如果函数 ( )f x 在区间 ( , )a b 内每一点都可微，则称该函数在 ( , )a b 内可微，或 称函数 ( )f x 是在 ( , )a b 内的可微函数．此时，函数 f x 在 ( , )( ) a b 内任意一点 x 处的 微分，称为函数的微分，记作 dy ，即 dy f x x( )d ， （2.5.4） 上式两端同除以自变量的微分 dx ，得 d ( ) d y f x x  ． 这就是说，函数 ( )f x 的导数也等于函数的微分与自变量的微分的商，因此导 数也称为微商． 例 2.5.2 设 2 5 y x ，求d d y x与 dy ．

第 2 章 导 数 与 微 分 解



2



2 2 2 d 1 5 (5 ) d _{2 5 5} y x x x x _{x x}          ， 故 2 d d 5 x y x x   ． 例 2.5.3 求当x  ，1  x 0.01时函数 2 1 yx  的微分． 解 函数的微分 2 dy(x 1) x 2x x ． 于是 1 1 0.01 0.01 d x 2 x 0.02 x x y  x x         ． 例 2.5.4 半径为 r 的圆的面积为 2 S r ，当半径增大r时，求圆面积的增量 与微分． 解 面积的增量 2 2 2 ( ) 2 ( ) S r r r r r r              ． 面积的微分为 dS Sr     r 2 r r. 2.5.2 微分的几何意义 设函数y f x( )的图形如图 2.4 所示．过曲线y f x( )上一点M x y 处作切( , ) 线MT，设MT的倾角为 ，则 tan f x( )． 图 2.4 当自变量 x 有增量 x 时，切线MT的纵坐标相应地有增量 tan ( ) d QP   x f x  x y． 因此，微分 dy f x( ) 在几何上表示当 x 有增量 xx  时，曲线y f x( )在对 应点M x y 处切线的纵坐标的增量． ( , ) 2.5.3 微分的基本公式与微分法则 1．微分的基本公式 函数y f x( )的微分等于导数 f x( )乘以 dx ，所以根据导数公式和运算法则，

88 经 济 数 学 微 积 分 就能得相应的微分公式和微分运算法则． （1） d( ) 0C  （ C 为常数）； （2） 1 d(x) xdx  ； （3）d(log ) 1 d ln a x x x a  ； （4）d lnx 1dx x  ； （5）d(ax)axln da x； （6）d(e )x e dx x；

（7） d(sin ) cos dx  x x； （8） d(cos )x  sin dx x；

（9） 2 2 1 d(tan ) sec d d cos x x x x x   ； （10） 2 2 1 d(cot ) csc d d sin x x x x x     ；

（11） d(sec ) sec tan dx  x x x； （12） d(csc )x  csc cot dx x x； （13） 2 1 d(arcsin ) d 1 x x x   ； （14） 2 1 d(arccos ) d 1 x x x    ； （15）d(arctan ) 1 ₂d 1 x x x   ； （16） 2 1 d(arc cot ) d 1 x x x    ． 2．函数的和、差、积、商的微分运算法则 设函数uu x( )，vv x( )均可微，则 d(uv)dudv； d (uv)v ud u vd ； d (Cu)C ud （C 为常数）； 2 d d d u v u u v v v         （v 0）． 3．复合函数的微分法则 设函数y f u( )，u( )x 都是可导函数，则复合函数y f[ ( )] x 的微分为









d ( ) d ( ) ( )d x y f  x  x f u x x， 而 du( )dx x， 于是 dy f u u( )d ． （2.5.5） 将（2.5.5）式与（2.5.4）式比较，可见不论 u 是自变量还是中间变量，函数 ( ) y f u 的微分总保持同一形式，这个性质称为一阶微分形式不变性． 利用这个性质，可以比较方便地求一些复合函数的微分、隐函数的微分以及 它们的导数． 例 2.5.5 设ysin(2x1)，求 dy ． 解 把 2x  看成中间变量 u ，则 1

第 2 章 导 数 与 微 分 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量．在求复合函数的微分时，类 似地也可以不写出中间变量．下面我们用这种方法来求函数的微分． 例 2.5.6 设 ln(1 e )x2 y   ，求 dy ． 解 2 1 ₂ 2 1 ₂ 2 2 d d( ln(1 e )) d(1 e ) e d( ) 1 e 1 e x x x x x y      x   2 2 2 2 e 2 e 2 d d 1 e 1 e x x x x x x x x     ． 例 2.5.7 设 1 3 e xcos y  x，求 dy ． 解 利用函数乘积的微分法则，得 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

d d(e cos ) cos d(e ) e d( cos ) =( cos )e ( 3d )+e ( sin d )

e (3cos sin )d . x x x x x x y x x x x x x x x x x               例 2.5.8 求由方程 3 3 2 2 1 x  xy y  所确定的隐函数 y f x( )的导数d d y x与 微分 dy ． 解 法 1 对方程两边求导数，得 2 2 3x 2y2xy6y y0． 导数为 2 2 3 2 6 2 x y y y x     ， 微分为 2 2 3 2 d d 6 2 x y y x y x    ． 法 2 对方程两边直接求微分，得 3 3 d(x 2xy2y )0， 即 2 2 3 dx x2 dx y2 dy x6y yd 0， 所以 2 2 3 2 d d 6 2 x y y x y x    ， 因此 2 2 d 3 2 d 6 2 y x y y x y x      ． 例 2.5.9 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立： （1） 2 d( )x xd ； （2） d( )cost td ． 解 （1）我们知道， 3 2 d( )=3 dx x x．可见 3 2 1 3 d d( ) d 3 3 x x x x _{ } _   ．

90 经 济 数 学 微 积 分 即 3 2 d d 3 x x x        ． 一般地，有 2 2 d d 3 x C x x         （ C 为任意常数）． （2）因为 d(sint)= cos t td ， 可见 1 1

cost td d(sint)=d sint

     _{ }  ． 即 1 d sint cost td         ． 一般地，有 d 1sint C cost td          （ C 为任意常数）． 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，事 实上求出了导数便立即可得到微分，求出了微分亦可得到导数，即 d ( ) d y f x x   ， dy f x x( )d ． 通常把函数的导数与微分的运算统称为微分运算．在高等数学中，把研究导 数和微分的有关内容称为微分学． *2.5.4 微分在近似计算中的应用 在实际问题中，经常利用微分作近似计算． 由微分的定义可知，当x 很小时， 0 0 0 ( ) ( ) d ( ) y f x x f x y f x x         ， 或写成 f x( 0 x) f x( 0) f x( 0) ． （2.5.6） x 记x₀  x x，则上式又可写为 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) f x  f x  f x xx ． （2.5.7） 特别地，当x ₀ 0时，有 ( ) (0) (0) f x  f  f  ． （2.5.8） x 公式 （2.5.6）、（2.5.7）、（2.5.8）都可用来求函数 ( )f x 的近似值． 应用 （2.5.8）式可以推得一些常用的近似公式，当 x 很小时，有 （1） sin xx（ x 用弧度作单位来表示）； （2） tan xx（ x 用弧度作单位来表示）； （3） ex  1 x； （4） ln(1x)x ；

第 2 章 导 数 与 微 分 （5）n1 1 1 x x n    ． 例 2.5.10 有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚 度定为 0.01cm，估计一下，每只球需用铜多少克．（铜的密度为 3 8.9cm ） 解 设球体的半径为R，则球体的体积为 4 3 π 3 V  R ， 镀铜体积为球体的体积 V 在R 1cm， R 0.01cm 时体积的增量为V ， 2 1 1 0.01 0.01 d R 4π R 0.13 R R V V  R R           （ 3 cm ）， 因此每只球需用铜约为 8.9 0.13 1.16  （g）． 例 2.5.11 计算 sin 46o的近似值． 解 设 ( ) sinf x  x，取x 46o， ₀ 45 4 x  o ，则 ₀ 1 180 xx  o   ， 于是由（2.5.7）式得 0 0 0

sinxsinx cosx (xx )，

所以 sin 46o sin cos 2 2 0.719

4 4 180 2 2 180            ． 例 2.5.12 计算 1.05 的近似值． 解 设f x( ) x，取x  ，₀ 1  x 0.05， 于是由（2.5.6）式得 1 1 1.05 1 0.05 1 0.05 1.025 2 2 1       ． 如果直接开方，可得 1.05 1.02470 ． 将两个结果比较一下，可以看出，用1.025 作为 1.05 的近似值，其误差不超 过 0.001，这样的近似值在一般应用上已够精确了．如果开方次数较高，就更能体 现出用微分进行近似计算的优越性． 习题 2.5 1．已知yx2x，计算当 x 等于1， x 等于 0.1时的y，dy． 2．求下列函数的微分： （1）y12 x x ； （2）yxsin 2x； （3） 2 1   x y x ； （4） 2 ln (1 )   y x ； （5） 2 2 e x yx ； （6）y f(e )x ．

92 经 济 数 学 微 积 分 3．在括号内填入适当的函数，使等式成立： （1） ₂1 dx d( ) a x  ； （2） dx x d( ； ) （3） 1 dx d( ) x  ； （4） 2 1 d d( ) 1 x x   ． 4．已知下列方程所确定的函数y f x( )，求 dy ： （1） 1 ey xy x ； （2）ex y cos( ) 0 xy    ． 5．设y y x 是由方程( ) 2 2 ln(x y ) x y1所确定的隐函数，求 dy 及dy _(0,1)．

2.6 边际与弹性

边际分析与弹性分析是微观经济学、管理经济学等经济学的基本方法，也是 现代企业进行经营决策的基本方法．本节介绍这两个分析方法的基本知识和简单 应用． 2.6.1 边际分析 1．边际的概念 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量 y 对另一 个变量 x 的变化．平均概念表示 x 在某一范围内对 y 取值的变化．边际概念表示当 x 的改变量 x 趋于 0 时， y 的相应的改变量y与 x 的比值的变化，即当 x 在某 一给定值附近有微小变化时的瞬时变化率． 如果函数y f x( )在x 处可导，则在0 ( ,x x0 0 x)内的平均变化率为 y x   ；在 0 xx 处的瞬时变化率为 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x f x x         （经济学中称之为 ( )f x 在 0 xx 处的边际函数值）． 由微分的应用可知，当自变量

x

的改变量很小时 0 0 0 1 1 d ( ) ( ) x x x x x x y _ y f x x _ f x            ． 这说明 ( )f x 点xx0处，当 x 产生一个单位的改变时，y 近似改变 f x( 0)个单 位．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时略去“近似”，有如下定义． 定义 2.6.1 设函数y f x( )在 x 处可导，则称导数 f x( )为 ( )f x 的边际函 数．f x( )在x 处的值₀ f x( 0)称为边际函数值．其含义是：当xx0时， x 改变一 个单位， y 改变了f x( ₀)个单位． 例 2.6.1 设函数 2 2 y x ，试求 y 在x  时的边际函数值． 5

第 2 章 导 数 与 微 分 解 因为y 4x，所以y x₅20．该值表明：当x  时， x 改变一个单位5 （增加或减少一个单位）， y 改变 20 个单位（增加或减少 20 个单位）． 2．经济学中常见的边际函数 边际成本 总成本函数C Q( )的导数 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim Q Q C C Q Q C Q C Q Q Q              称为边际成本． 经济意义：假定已经生产了Q单位产品，再增产（或减产）一个单位，需增 加（或减少）的成本． 一 般 来 说 ， 总 成 本C Q( )等 于 固 定 成 本C 与 可 变 成 本₀ C Q 之 和 ， 即1( ) 0 1 ( ) ( ) C Q C C Q ，则边际成本为C Q( )

_

C₀C Q₁( )

_

C Q₁( )，显然边际成本与固 定成本无关． 例 2.6.2 设某产品生产Q单位的总成本为 2 ( ) 1100 1200 Q C Q   ，求： （1）生产 900 个单位时的总成本和平均成本； （2）生产 900 个单位到1000 个单位时的总成本的平均变化率； （3）生产 900 个单位边际成本，并解释其经济意义． 解 （1）生产 900 个单位时的总成本为 2 900 900 ( ) 1100 1775 1200 Q C Q     ． 平均成本 900 1775 ( ) 1.97 900 Q C Q    ． （2）生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率为 ( ) (1000) 1933 1775 1.58 1000 900 100 C Q C Q        ． （3）边际成本函数 ₁( ) 2 1200 600 Q Q C Q   ，当Q 900时的边际成本为 900 ( )_Q 1.5 C Q _  ． 它表示当产量为 900 个单位时，再增产（或减产）一个单位，需增加（或减少） 成本 1.5 个单位． 边际收益 总收益函数R Q( )的导数 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim Q Q R R Q Q R Q R Q Q Q              称为边际收益． 经济意义：假定已经销售了Q单位产品，再销售一个单位产品所增加的收益． 设P为价格，且P也是销售量Q的函数，即PP Q( )，因此R Q( )Q P Q ( )， 则边际收益为 R Q( )P Q( )QP Q( )．

94 经 济 数 学 微 积 分 例 2.6.3 设某产品的需求函数为 20 5 Q P   ，其中P为价格，Q为销售量， 求销售量为 15 个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个单位 增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 解 总收益 2 ( ) ( ) 20 5 Q R Q Q P Q  Q ． 销售 15 个单位时，总收益 2 15 20 15 255 5 Q Q Q R  Q    _  _    ， 平均收益 15 15 ( ) 255 17 15 Q Q R Q R Q      ， 边际收益 15 15 2 ( ) 20 14 5 Q Q Q R Q      _  _    ． 当销售量从 15 个单位增加到 20 个单位时的平均变化率为 (20) (15) 320 255 13 20 15 5 R R R Q         ． 边际利润 总利润L Q( )的导数 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim Q Q L L Q Q L Q L Q Q Q              称为边际利润． 经济意义：若已经产生了Q单位产品，再生产一个单位产品所改变的总利润． 总利润函数L Q( )R Q( )C Q( )，则边际利润为 L Q( )R Q( )C Q( )，且当 ( ) ( ) ( ) ( ) C Q R Q C Q C Q        _{ }  ， ，时， 0 ( ) 0 0. L Q     _   ， ，． 当R Q( )C Q( )时，L Q( )0，即产量已达到Q，再多生产一个单位产品， 所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润有所增加；而当R Q( )C Q( )， ( ) 0 L Q  ，即再增加产量，所增加的收益要小于所增加的生产成本，从而总利润 将减少． 例 2.6.4 某工厂对其产品的情况经过了大量统计分析后，得出总利润L Q( ) （元）与每月产量Q（吨）的关系为 2 ( ) 250 5 LL Q  Q Q ，试确定每月生产 20 吨， 25 吨， 35 吨的边际利润，并作出经济解释． 解 边际利润函数为L Q( )250 10 Q，则 20 ( )_Q (20) 50 L Q _ L  ；