6-3-2多項式函數的積分-定積分與反導函數

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(1)選修數學(I)3-2 多項式函數的積分-定積分與反導函數【定義】 1. 定積分、下限、上限、被積分式、積分函數：設 f 是定義於閉區間 [a, b] 上的實函數，對應於 [a, b] 的任一分割 n. P  {x0 , x1 , x2 ,, xn 1 , xn } 的任一黎曼和 Sn   f (ck )xk ( xk 1  ck  xk ) ，且極 k 1. n. 限 lim. | |P | | 0.  f (c )x k 1. k. 存在，則稱 f 在 [a, b] 上可積分，記為. k. n. b. k 1. a. lim  f (ck )xk   f ( x)dx ，並稱此極限為 f 從 a 到 b 的定積分， a 稱為積. | |P| |0. 分的下限， b 為積分的上限， f (x) 稱作被積分式， x 為積分函數。例子：. 14.

(2) 【定理】 1. 定理一：如果 f 在閉區間 [a, b] 上連續，則 f 在 [a, b] 上可積分。註： (1) 當然 f 不是連續時，那麼 f 的定積分可能存在，也可能不存在；但是當 f 是連續時，其定積分必然存在；特別是多項式函數都可積分。 (2) 實數值的連續函數，特別是多項式函數。既然定義在閉區間 [a, b] 上的連續實函數 f 必可積分，其定積分值就可利用 [a, b] 上的 n 等分正規分割 , xn }, a  x0  x1  x2 . P  {x0 , x1 , x2 ,.  xn  b, || P ||  xk . n. 任取一個對應於分割 P 的黎曼和  f (ck )( k 1. ba ) n. ba ， n. (其中 xk 1  ck  xk ，常取 ck 為左端點 xk 1 或右端點 xk )， n. 如果能求出 lim  f (ck )( n  k 1. 2.. b ba ) 的極限值 L ，則  f ( x)dx  L ﹒ a n. 定理二：如果 f 在閉區間 [a, b] 上是一個非負實數值的連續函數，則由 f (x) 的圖形與 b. 鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域 R 之面積 A( R)   f ( x)dx 。 a. 註： (1) 在上述定義中，「  」是拉長的英文字母 S ，代表「和」的意思，「  」和「 dx 」兩符號都是萊布尼茲在公元 1675 年首先引進使用的。 (2) 定積分可能是正數﹑負數或是 0 。但當 f 在 [a, b] 上為非負的連續實函數，定積分就可看成區域的面積。當函數圖形與 x 軸有二個交點時，要求它們所圍成區域的面積，就是指左端交點到右端交點所決定的範圍內的區域面積。 b. (3) 在定積分 a f ( x)dx 的積分變數 x 可以是其他的符號 t , y, 來替代，如. . b. a. f ( t ) dt,. . b. a. f ( y ) dy,. 。. (4) 當我們欲求曲線 y  3 x 與鉛直線 x  0, x  1 及 x 軸所圍成區域 R 的面積時，將 y  3 x 變成 y 3  x, 0  x  1 ；如果能求出曲線 x  y3 與水平線 y  1 及 y 軸所圍成區域 R1 的面積時，利用面積性質就可知道原來所欲求區域的面積了。此時，對 y 軸上的 [0, 1] 作正規分割，取黎曼和的極限，則 R1 n. 3 k k 31 1 n 2 (n  1) 2 1 3 k 1  ，故知的面積 A( R1 )  0 y dy  lim  ( )  lim 4  lim 4  n  k 1 n n  n n n n 4 4 1 3 R 的面積 A( R)  1  A( R1 )  1   。 4 4. 1. n. 15.

(3) 3.. 定理三： (1) 如果 f 在閉區間 [a, b] 上連續，則 g ( x)   f ( x) 在 [a, b] 上也連續； f 與 g b. b. b. a. a. a. 在 [a, b] 上都可積分，且有  g ( x)dx   ( f ( x))dx   f ( x)dx 之關係。 b. (2) 常數函數 h( x)  c 在 [a, b] 上一定可積分，且  cdx  c(b  a) 。 a. 證明： n ba ba )   lim  f (ck )( )。 n   n  n n k 1 k 1 n n n ba 1 ba (2) lim  h(ck )( )  lim  c( )  lim c(b  a)  c(b  a) 。 n  n  n  n n k 1 k 1 n k 1 註： n. (1). lim  g (ck )(. b. (1) 一般的連續實函數 f ( x) ，特別是多項式函數，定積分 a f ( x)dx 之值為被積分函數 f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域中，在 x 軸上方的區域面積和減去在 x 軸下方的區域面積和，如圖所示；這就是定積分與面積的真正關係。. (2). . (3). . (4) (5). b. a. cdx  c(b  a) 。. 1 xdx  (b 2  a 2 ) 。 a 2 b 1 3 2 3 a x dx  3 (b  a ) 。 b 1 4 3 4 a x dx  4 (b  a ) 。 b. 16.

(4) 【性質】 1. 定理四：如果 f. . b a. 在閉區間 [a, b] 上是連續且 a  c  b ，則 c. b. a. c. f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 。. 證明：令 R 表示 y  f (x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域； R 被鉛直線 x  c 分割成兩個區域 R1 與 R2 ， c. b. a. c. 它們的面積正好就是  f ( x)dx 與  f ( x)dx ，換言之，. . b a. c. b. a. c. f ( x)dx  A( R)  A( R1 )  A( R2 )   f ( x)dx   f ( x)dx 。. 註：上面的性質，在 f ( x)  0 的條件下，利用定積分與面積的關係是很容易理解的。在圖中，令 R 表示 y  f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域； R 被鉛直線 x  c 分割成兩個區域 R1 與 R2 ， c. b. a. c. 它們的面積正好就是  f ( x) dx 與  f ( x) dx ， b. c. b. a. a. c. 換言之，  f ( x)dx  A( R)  A( R1 )  A( R2 )   f ( x)dx   f ( x) dx 。. 2.. 定理五：如果 f , g 都是在閉區間 [a, b] 上的連續實函數，則. . b. b. b. a. a. a. ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx ，換言之，兩函數和的定積分等於. 各函數的定積分之和。證明：兩函數和的正規分割所對應的一個黎曼和等於兩函數黎曼和的和， n n n ba ba ba 即  ( f (ck )  g (ck ))( )   f (ck )( )   g (ck )( )， n n n k 1 k 1 k 1 將上式兩邊的黎曼和取極限， b. b. b. a. a. a. 就可得  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx 。. 17.

(5) 3.. 定理六：. . b. b. a. a. cf ( x)dx  c  f ( x)dx (其中 c 為任意實數)。. 註： b. b. b. a. a. a. 由定理五  (c1 f1 ( x)    cn f n ( x))dx  c1  f1 ( x)dx    cn  f n ( x)dx 。證明： n. cf (x) 的正規分割所對應的一個黎曼和  (cf (ck ))( k 1. b. b. a. a. n ba ba )  c f (ck )( )， n n k 1. 再分別取黎曼和的極限即得  cf ( x)dx  c  f ( x)dx 。【應用】 1.. 求定積分： . r r. r 2  x 2 dx 。. 解答：此定積分表示圓心為 (0,0) ，半徑為 r 的上半圓的面積， 1 2 r 。 2 x2 y 2 詴求橢圓區域 2  2  1 的面積。 a b. 故. 2.. r. r 2  x 2 dx . r. 解答： x2 y 2 x2 y 2  2  1 的區域可以看成 2  2  1 所圍成的區域﹐ 2 a b a b. 如圖所示。 x2 y 2 y2 x2   1  1  ，得， a 2 b2 b2 a2 x2 b2 即 y 2  b 2 (1  2 )  2 (a 2  x 2 ) 。 a a b 2 所以 y   a  x 2 ， a b 2 其中 y  a  x 2 的圖形跟 x 軸所圍成的區域為上半橢圓區域， a. 由. 它是橢圓區域的一半。再由定積分所對應的區域， b 2 a  x 2 dx 之值等於橢圓區域的二分之一。 a a a b b a b 1 1 而 a 2  x 2 dx   a 2  x 2 dx    a 2   ab ， a a a a a 2 2 1 故得橢圓區域的面積等於 2   ab   ab 。 2. 可知 . a. 18.

(6) 【規定】 1. 若 f (x) 在閉區間 [a, b] 上連續，規定： (1) (2).  . a a a b. f ( x)dx  0 。 b. f ( x)dx   f ( x)dx 。 a. 註： (1) 當定積分的上限與下限相同時﹐則此定積分為 0 ；由定積分與面積的關係，此時 a  b, y  f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 決定出一條鉛直線段，因此其面積自然可視為 0 。 (2) 若 f (x) 在包含 a, b, c 的區間上連續，不論 a, b, c 的大小關係如何，我們恆 b. c. b. a. a. c. 有  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 。【性質】 1. 定積分的幾何意義： b. 函數 y  f (x) 在閉區間 [a, b] 上連續時，則定積分  f ( x)dx 等於其函數圖形 a. 2.. 與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成的區域中，在 x 軸上方的區域面積和減去在 x 軸下方的區域面積和。多項式的積分： (1) (2).  . b 0 b 0. cdx  cb 。 x n dx . bn 1 。 n 1. 19.

(7) 【思考】 b b b2 b3 b4 ， 0 x 2 dx  ， 0 x3 dx  。 2 3 4 n 1 b b , n  0, 1, 2, 3 ，仔細觀察以上的式子，我們發現如下的規律： 0 x n dx  n 1 b. b. 由前面我們知道： 0 cdx  cb ， 0 xdx . 這個規律對一般的正整數 n 是否也成立呢？這個答案是正確的！我們還可指出一個更進一步的觀察結果。就下式來看：. . b. 0. x 2 dx . b3 b3 x3 ﹐將 b 對應到的函數是 f ( x )  3 3 3. 函數. x3 的導函數是 x 2 3. 再觀察其它定積分的式子，可以看出上面兩個箭頭所指出來的關係仍然成立的。一般而言，當 f 是閉區間 [a, b] 上的連續函數，設其圖形如圖(a)。. 那麼，對 a  x  b ， f 在 [a, x] 上是連續， x. 因此，令定積分 a f (t )dt  A( x) 可定義出一個函數。這裡要注意的是：既然 x 放在積分上限的位置，積分變數就不可再用 x 而可用另一個符號 t 取代。仿照上面箭頭表示方式，積分上限 x 對應到函數 A( x) ，那麼 A( x) 的導函數是否就是 f ( x) 呢？事實上，取  x 夠小時， A( x) 近似於而 A( x  x)  A( x) . . x x. x. A( x  x)  A( x) ， x. f (t )dt 近似於 f ( x)x ，. 如圖(b)所示。因此，可直觀地得出 A( x)  f ( x) ，這就是微積分基本定理的內涵。為了把微積分基本定理說得更簡潔，我們先介紹反導函數。仔細觀察上面 A( x) ，我們知道： (1) A(a)  0 ， (2) A( x)  f ( x) ， (3). . b. a. f (t )dt  A(b) 。. 20.

(8) 【定義】 1. 反導函數：當 A' ( x)  f ( x) (a  x  b) 時， f (x) 是 A(x) 的導函數， A(x) 是 f (x) 的一個反導函數，而且 f (x) 的反導函數必為 A( x)  c 之形式， c 為任意常數。註： (1) 若 A(x) 是 f (x) 的一個反導函數，則對任意常數 c， A( x)  c 也是 f (x) 的反導函數，而且可以證明 f (x) 的每一個反導函數都可寫成 A( x)  c 的形式，即反導函數不唯一。 (2) f ( x) 的所有反導函數記作  f ( x)dx ；於是當 A( x) 為 f ( x) 的一個反導函數時，  f ( x)dx  A( x)  c ( c 為任意常數)。【定理】 1. 微積分基本定理：設 f (x) 在閉區間 [a, b] 上連續，若 F (x) 是 f (x) 的一個反導函數，則. . b a. f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) 。 b. 註： (1) 如果知道 f 的反導函數 F ，就可避開求黎曼和的極限而直接計算定積分。 (2) 任何一個反導函數計算定積分的值都是一樣的。說明：首先找出 f (x) 的一個反導函數 F (x) ，則存在一個常數 c 使得 F ( x)  A( x)  c ，另由 F (a)  A(a)  c  c ，得到 F ( x)  F (a)  A( x)  A(a) ，即 F ( x)  F (a)  A( x) ， b. 因此可得  f ( x)dx  A(b)  F (b)  F (a) 。 a. 進一步以符號 F ( x) a 表示 F (b)  F (a) (亦可記為 F ( x) a )， b. b. b. 則  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) 。 b. a. 21.

(9) 【方法】 1. 微積分基本定理計算定積分的原則： (1) 如果知道 f 的反導函數 F ，就可避開求黎曼和的極限而直接計算定積分。 (2) 任取一個反導函數計算定積分的值都是一樣的。 (3) 多項式 an x n  an 1x n 1    a1x  a0 的一個反導函數 a a a 可以取成 n x n 1  n 1 x n    1 x 2  a0 x ， n 1 n 2 於是. . b a. (an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0 )dx b. 2.. a a a  ( n x n1  n1 x n    1 x 2  a0 x) 。 n 1 n 2 a 絕對值函數的定積分意義：多項式函數 f ( x) 在積分的上﹑下限範圍內，取值有時正，有時負，故其定積分之值是其圖形在 x 軸上方的區域面積和減去 x 軸下方的區域面積和，其示意圖可用圖(a)來表示。至於其絕對值函數的定積分之值，則全為 x 軸上方區域面積和，其示意圖如圖(b)；在圖(b)中 c, d 間的虛線部分及圖(a)中 c, d 間的部分跟 x 軸成對稱，它們的面積是相等的；換言之，我們可以得到多項式函 b. 數 f ( x) 的絕對值函數 | f ( x) | 作定積分 a | f ( x) | dx，其值就是 y  f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成區域的面積。. 註： b. b. 多項式函數的定積分 a f ( x)dx 跟它們的絕對值函數 a | f ( x) | dx 的定積分之值 3.. 不一定相等。絕對值函數的定積分求法：多項式函數 y  f (x) ，則其函數圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成區域 b. 的面積等於  | f ( x) | dx ；其定積分的求法是先把函數 f (x) 在區間 [a, b] 上取 a. 值之正、負範圍先求出來；在正的區間上，對 f (x) 作定積分，而在負的區間上，則對  f ( x)( f ( x)  0) 作定積分，最後，把各分段上的定積分加起來。. 22.

(10) 【起源】接著探討微積分基本定理的內涵，這個定理是牛頓與萊布尼茲各自獨立發現的，它是微分與積分的連結，顯示出微分與積分是互逆的運算，更是微積分學的一個最重要的定理。為了證明微積分基本定理，我們要用到微分的均值定理，而均值定理又要用到洛爾定理。【定理】 1. 微積分基本定理(The Fundamental Theorem of Calculus)：設 f 為閉區間 [a, b] 上的連續函數且 F 為 f 在 [a, b] 上的一個反導函數， b. 則 a f ( x)dx  F (b)  F (a ) 。證明：設 P : a  x0  x1  x2   xn1  xn  b 為閉區間 [a, b] 的一個分割。先將 F (b)  F (a) 寫成 F ( xn )  F ( xn1 )  F ( xn1 )   F ( x1 )  F ( x1 )  F ( x0 ) ，即 F (b)  F (a)  (F ( xn )  F ( xn1 ))  (F ( xn1 )  F ( xn2 ))   (F ( x1 )  F ( x0 )) n.   ( F (xk  ) F x(k 1 ， )) k 1. 對 F ( x) 利用均值定理：對每一個 k  1, 2, , n 都可找到 ck  ( xk 1 , xk ) ， F ( xk )  F ( xk 1 ) ， xk  xk 1 即 F ( xk )  F ( xk 1 )  F (ck )( xk  xk 1 )  f (ck )( xk  xk 1 )  f (ck )xk ，. 使 F (ck ) . n. 於是 F (b)  F (a)   f (ck )xk ……(**)。 k 1. 上面(**)的右式為函數 f 對分割 P 的一個黎曼和，這個等式告訴我們常數 F (b)  F (a) 是 f ( x) 對應於分割 P 的一個黎曼和， n. b. 而 lim  f (ck )xk  a f ( x)dx ， || P|| 0 k 1. b. 故得 a f ( x)dx  F (b)  F (a ) 。註：當 f ( x) 為多項式函數時，易求其導函數及反導函數，於是多項式函數的定積分都可計算出來；另外，多項式函數的絕對值函數，如果在閉區間 [a, b] 上正﹑負範圍可決定出來，也可利用分段方式求出其定積分值。. 23.

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