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1 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

§3.2 柯西积分定理

一、柯西基本定理

二、闭路变形原理

三、复合闭路定理

四、路径无关性

五、原函数

2 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

(?) ^



_^{  }_ ^



_^{ } _^

G G

y y x

v x

i u y

y x u x

v

)

d d

( )

d d

(







_Γ ^{f (z)dz } _Γ ^{(udx  vdy) i} _Γ ^{(vdx  udy)}

证明

Green 公式

.

CR 方程 0

D

(?)

Green 公式 CR 方程

证明



_Γ ^{f (z)dz }



_Γ ^{(udx  vdy) i}



_Γ ^{(vdx  udy)}





_^{  }_ ^ _^{ } _^



G G

y y x

v x

i u y

y x u x

v

)

d d

( )

d d

(

. 0

一、柯西基本定理

定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，

 _为 D 内的任意一条简单闭曲线

，

上述定理又称为柯西 - 古萨 (Cauchy-Goursat) 基本定理。

. 0 d

)



_Γ ^f (^{z z }

则有 ^

P60 G

定理 3.2

3 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

注 (1) 定理中的曲线  _{可以不是简单闭曲线。}

(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。

定理 设单连域 D的边界为 C ，函数 f (z) 在 D 内解析，

. 0 d

)



_C ^f (^{z z } 则有

C

C D

D D  

在 上连续，

D

一、柯西基本定理

定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，

 _为 D 内的任意一条简单闭曲线

，



_Γ ^f (^z)d^{z } 0.

则有 ^

G

P60 [ 注 ]

4 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

二、闭路变形原理

将柯西积分定理推广到二连域

定理 设二连域 D的边界为 ( 如 图 ) ，

2

1 C

C

C  

函数 在f (z) D 内解析，在 C 上上上，



_C ^{f (z)dz  0 或}



_C1 ^{f (z)dz }



_C2 ^{f (z)dz.}

C1

C2

D

a

b

证明 如图，作线段 ab ，则二连域 D 变为单连域，

, 0 d

) ( d

)

( 







_ba ^{f z z} _ab ^{f z z}

由

, 0 d

) ( d

) ( d

) ( d

) (

2 1









  



_C ^{f z z} _ba ^{f z z} _C ^{f z z} _ab ^{f z z}

, 0 d

) ( d

) (

2 1









_C ^{f z z}



_C ^{f z z}



^

 C f (z)dz 0 ( )d ( )d .

1 2



C f z z ^



C f z z 或

则

从而有

P61 定理

3.4

5 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

D ^C1

C2

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。

二、闭路变形原理

闭路变形原理

如图，设 在 D 内解 析，在边界 C  C1  C2 上上上，

) (z f

 _为 D 内的一条“闭曲线”，

. d ) ( d

) ( d

) (

1 2



_C ^{f z z }



_C ^{f z z }



_Γ ^{f z z}

则

P62 Γ

6 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

D r

 C

解 如图以 ^z0 为圆心 r 为半径作圆，

则函数 在 f z z z ⁿ

) (

) 1 (

 0



因此有 ^{I }



_{Γ (z }^d_z^z ₎ⁿ

0



_

 C z z n

z ) (

d

0

当 时，^{n  1} ,

2πi

当 时。^{n  1} ,

 0





 上解析，





 D Γ C D

z0

▲

重要

7 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

三、复合闭路定理

将柯西积分定理推广到多连域



_C ^{f (z)dz  0}

函数 在f (z) D 内解析，

. d ) ( d

) ( d

) ( d

) (

0 1 2



_C ^{f z z }



_C ^{f z z }



_C ^{f z z }



_Cn ^{f z z}

或

设多连域 D的边界为 ( 如 图 ) ，

定理 C  C0  C1  C2  C_n

C₁ D C₂ C₀

C₃ C_n

…在 C 上连续

， 则

证明 ( 略 )

P62

推论

8 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

解 令 2 1 , )

( ₂

z z

z z

f 

  则 ,

1 1 ) 1

(   

z z z

f 奇点为 z  0, 1.

2

| 1 3

|z  

(1) 当 C 为 时

，

. 0 1 d

2

2 







_{C z}^z  _z ^z I

C

2 ;

| 1 3

|z   1.

2 1

2 2

2  y 

(1) (2) x

, 1 d

2



2 _^

 C z

z z

I z 其中 C 为：

例 计算

C

2 3 0 1

P62 例 3.7 修改

9 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

解 令

C₁ C₂

1 , ) 2

( ₂

z z

z z

f 

  则 ,

1 1 ) 1

(   

z z z

f 奇点为 z  0, 1.

(2) 当 C 为 时

，

1 1 2

2 2

2  y 

x 令 C₁ ： ,

3

| 1

|z  C₂ ： ,

3

| 1 1

|z  

则 ^{I }



_C1 ¹_z ^{dz }



_{C1 z }¹ ₁ ^{dz }



_C2 ¹_z ^{dz }



_{C2 z }¹ ₁ ^dz

. 4 2

0 0

2πi    πi  πi



C

2 ;

| 1 3

|z   1.

2 1

2 2

2  y 

(1) (2) x

, 1 d

2



2 _^

 C z

z z

I z 其中 C 为：

例 计算

C

2 3 0 1

10 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

的简单曲线，

四、路径无关性

定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解 析，

. d ) ( d

) (

2

1





_C ^{f z z } _C ^{f z z}

C₁, C₂ 为 D 内的任意两条从 到z⁰ z₁

. d ) ( d

) ( d

) (

2 2

1

 



^{  }

 _

C C

C f z z f z z f z z

证明 ( )d ( )d 0,

2

1





_C ^{f z z } _C^{ f z z }

由

可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，

则有

P60 定理

3.3

11 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理 计算 I ^



C ^sin z^dz^,

例 其中 C 为如图所示的一个半圆。

x y

i C

 2

解 设  _{如图所示，}

处处解析，



 C z z

I sin d ^



Γ sin zdz



 ²

0sin xdx ²

cos x 0



  1 cos2.

问 是否可以直接计算？

2

cos z 0



  1 cos2. 因此有



 C z z

I sin d ^



0²sin z dz 即

z

由于 在复平面上sin

P61 例 3.6

12 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

五、原函数

设在单连域 D 内，函数 恒满足条件F(z)  f (z), 定义 F(z)

则 称为 在 D 内的一个原函数

。

) (z

F f (z)

1. 基本概念及性质

函数 的任何两个原函数相差一个常数。

性质 f (z)

设 和 是 的两个原函数，则 证明 G(z) H(z) f (z)

) ( )

( ]

) ( )

(

[G z  H z   G z  H z  f (z)  f (z)  0, 其中， c 为任意常数。

, )

( )

(z H z c

G  



函数 的原函数 称为 的不定积分

，

定义 f (z) F(z) c f (z) .

) ( d

)

(z z F z c

f  



记作

定义P64 3.2

补

13 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

z0

 z D

五、原函数

2. 由变上限积分构成的原函数

定理 若 在单连域 D 内处处解析

，

) (z f

则 在F(z) D 内解析，且F(z)  f (z). ,

d ) ( )

(



0

 ^z

z f z

F   z , z₀  D, 令

, d ) 1 ^Δ (



^

  ^{z z}

z f

z  

, d ) 1 (

)

(^{z } _z



_z^{zΔz f z}

f 

证明

( 思路 ) z

z F z

z F z

F





 



 ( Δ ) ( )

(1)

, d

| ) ( )

(

| |

| ) 1

( ^ _



^{Δ }

 

 ^{z z}

z f f z s

z z z f

F 

z z  

直线段

P63 

定理 3.5

( 跳过 ?)

14 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

证明

( 思路 )

(2) | ( ) ( )| d ,

|

| ) 1

( ^ _



^{Δ }

 

 ^{z z}

z f f z s

z z z f

F 

,

| Δ

| | Δ

|

1   

 z

z ( 当 充分小 时 )

| Δ

| z ,

0 )

Δ ( lim Δ

0

Δ  

  f z

z F

z 即 F(z)  f (z).

z0

 z D

五、原函数

2. 由变上限积分构成的原函数

定理 若 在单连域 D 内处处解析

，

) (z f

则 在F(z) D 内解析，且F(z)  f (z). ,

d ) ( )

(



0

 ^z

z f z

F   z , z₀  D, 令

z z  

直线段



15 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

由于 也是 的一个原 函数，

证明 ^{F(z) }



_z^z₀ ^{f ( )d f (z)}

, )

( )

(z₀ G z₀ c

F  



. ) ( )

( 0

d ) ( )

( )

( _{1 0} ¹ _{1 0}

0

z G z

G z

z f z

F z

F ^z

z   









, )

( )

(z G z c

F  

有

, )

( )

(z₁ G z₁ c

F  

3. Newton-Leibniz 公式

定理 若 在单连域 D 内处处解析， 为 的原函 数，

) (z ) G

(z

f f (z)

P64 定理

3.6

五、原函数

16 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

. sin sinb  a

 z ^i

 ¹

0 3

3 1 .

1 d

0



^{i z}2 ^z

例 求

解



₀^{1i z2dz } ₃^{1 (1 i)3.}

b

z a

 sin . d



_a^bcos ^{z z} 例 求



_a^{bcos zdz}

解

. d

0 cos



^{iz z z}

例 求

解



₀^{i zcos zdz }



₀^{iz dsin z  z}sin ^{z i}0 ^



0ⁱsin ^zd^z z i

z

zsin cos ) 0

( 

  i sini  cosi 1.

17 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

解



ⁱ 

i ln(1 z)dz    



ⁱ 

i i

i z

z z z

z d

) 1 1

ln(





 



 



 ⁱ

i i

i z

z z z

z d

1

1 ) 1

1 ln(

i

z i

z z

z     

 [ ln(1 ) ln(1 )]

2 . )

2 ln 2

( π i

i 







P65 例 3.9

18 第

三 章 复 变 函 数 的 积 分

§3.2 柯西积分定理

休息一下 ……