第三章 研究方法
第二節 一元二次方程式的錯誤類型
表 4-2-2 等號五大題型與 MIZ 六大錯誤類型
1 2 3 4 5 6
MIZ 錯誤類型
等號類型
誤用 資料
語釋 語文
不合 邏輯
歪曲 定理
未驗算 技術上
平均 次數
一
等號左邊包含運 算 (共 3 題)
9% 7% 25% 42% 4% 13% 100%
二
等號右邊是一 個數字(共 4 題)
9% 4% 27% 45% 2% 13% 100%
三
等號右邊是未 知數 (共 7 題)
10% 4% 22% 47% 2% 15% 100%
四
等號右邊是運 算方程式(3 題)
8% 5% 26% 48% 2% 11% 100%
五
等號雙邊是運 算方程(共 3 題)
7% 7% 25% 46% 2% 14% 100%
一、由表 4-2-3 初步可以看出：
1. 在 McNeil 五大等號題型中，屬「等號左邊是運算」題型的平均錯 誤次數最多，而「等號右邊是一個數字」題型的平均錯誤次數最 少。
2. 按 MIZ 六大錯誤類型分析來看，不論在那一種題型（共五種）下，
以歪曲定理與不合邏輯為學生最主要出錯的錯誤原因。
3.「等號左邊是運算」題型是屬於多項式的四則運算的化簡，並非是 解方程式，但從考卷的結果中顯示學生對此類型的易錯機率卻是 最高，可見學生將「多項式的值」與「方程式的解」這兩種內容 混淆了。
二、下面先用六個例題來解釋 MIZ 模式的分類法，將有助於了解本 研究對一元二次方程式錯誤類型之分析
表 4-2-3 MIZ 錯誤類別、代碼、實例 1.誤用資料 例: (x-3)(x-3)＝121
x2-42＝121
註:學生沒有使用題目中的「32」，而誤用 42所造成的錯誤。
2.誤釋語文
例:若有四個連續偶數，假設最大的數為 x，則最小的數為何 最小的數＝x-4
註：最小的數應為 x-8，將連續偶數誤釋為連續的整數。
3.不合邏輯 例: 3x(x+2)＝9x-9
x(x+2)＝3x-3
x＝0，x＝-2 或 x＝1
註：把方程式看成 x(x+2)(3x-3)＝0 來作推論。
4.歪曲定理 例: 2x2+6x+5＝0
2x2+6x+9-9+5＝0 (x+3)2-4＝0
註: 使用 x2係數等於 1 的方法來處理 x2係數等於 2 的配方法。
5.未驗證答案 例: x＝6 (人)或 -6 (人)
註: x＝-6 時，人數會變成負數，造成不合理。
6.技術上的錯誤 例: x2+3x＝2
x2+3x+2＝0
註: 因不小心，2 之正負未注意到。
三、下列就 McNeil 對等號的五大類型分別進行討論分析：
（一）「等號左邊包含運算」
試題中屬於第一類型的題目共有三題，題目如下：
（5）(-2x2－8)－(2x2＋3x－8x)＝ （13）(x2－9)＋2x2－2x＋1＝
（18）-5＋4x＋x2－(5x2＋4x＋1)＝
表 4-2-5 等號左邊包含運算與 MIZ 分類之統計表
MIZ 錯誤類型
等號左邊 包含運算
（一）
誤用 資料
（二）
語釋 語文
（三）
不合 邏輯
（四）
歪曲 定理
（五）
未驗算
（六）
技術上 合計
第 5 題 8 6 20 32 3 4 78
第 13 題 10 11 25 39 5 13 107
第 18 題 3 0 18 33 3 16 78
合計 21 17 63 104 11 33 263
在 MIZ 分類統計中，以歪曲定理所佔的比例為最多，故將歪曲 定理作進一步討論，並以七年在教學現場教師的立場，用四種代數的 角度討論分析，並舉例說明。
歪曲定理
等號左邊 包含運算
（一）
同類項合併錯 誤
（二）
將化簡當作解 方程式
（三）
分配律出錯
（四）
未知數錯誤 合計
第 5 題 11 16 4 2 32
第 13 題 13 19 6 1 39
第 18 題 9 17 5 2 33
合計 33 52 15 5 104
第一種：同類項合併錯誤
所以，在第 5 題(-2x2－8)－(2x2＋3x－8x)
＝2x2－8－2x2－3x＋8x＝5x-8
學生因漏看題目中第一個括號內 x2係數為負數，把-2x2抄寫為 2x2， 而導致同類項合併的錯誤，正確的 x2項應為-2x2－2x2＝-4x2，屬於 此種佔了 33 個，佔所有歪曲定理的三分之一。
第二種：將化簡運算，當作在解方程式
所以，在第 13 題(x2－9)＋2x2－2x＋1＝3x2－2x－8 (x－2)(3x＋4)＝0
x＝2 或-3 4
屬於此種的佔了 52 個，佔所有歪曲定理的二分之一，比例之高。
第三種：分配律出錯
所以，在第 18 題 -5＋4x＋x2－(5x2＋4x＋1)＝
-5＋4x＋x2－5x2＋4x＋1＝－4x2＋8x-4
第四種：未知數錯誤
所以，在第 18 題 -5＋4x＋x2－(5x2＋4x＋1)＝
-5＋4x＋x－5x－4x－1＝-5x－6 此種錯誤完全是將一元二次式當作一元一次的式子。
「等號左邊是運算」的題型是屬多項式的化簡運算，課程內容編 排在國二上學期的第一章，而解一元二次方程式則是第三章的教學內 容，按理是學生己具有的先備知識，成功的機率應為高，但綜合學生 解題的結果，發現此種題型的錯誤率頗高，探索其原因可能是學生對 於多項式與方程式定義的認識一知半解，觀念糢糊懵懂，反而容易讓 學生將多項式的題目逕行當作方程式，造成解題上的錯誤。
（二）「等號右邊是一個數字」
試題中第二類型的題目共有四題，題目如下：
（1）9x2－64＝0 （10）(2x－5)(x＋4)＝－6
（3）(4x-5)(
3
x-2)＝0 （16）x2＋6x-9＝0
表 4-2-6 等號右邊是一個數字與 MIZ 分類之統計表
MIZ 錯誤類型
等號右邊是 一個數字
（一）
誤用 資料
（二）
語釋 語文
（三）
不合 邏輯
（四）
歪曲 定理
（五）
未驗算
（六）
技術上 合計
第 1 題 4 6 13 17 0 2 42
第 3 題 5 1 16 26 3 4 55
第 10 題 4 0 10 15 0 20 39
第 16 題 4 0 13 30 1 11 59
合計 17 7 52 88 4 27 195
在 MIZ 分類統計中，以歪曲定理所佔的比例為最多，故研究者 將歪曲定理作進一步的討論並說明。
歪曲定理
等號右邊是 一個數字
（一）
開平方 出錯
（二）
乘法公 式錯誤
（三）
移項法 則使用 錯誤
（四）
十字交 乘錯誤
（五）
等號右 邊未化 簡為 0
（六）
硬湊成 差的平 方公式
合計
第 1 題 9 6 1 0 1 0 17
第 3 題 0 13 10 0 0 3 26
第 10 題 0 1 0 2 7 5 15
第 16 題 0 8 1 21 0 0 30
合計 9 28 12 23 8 8 88
第一種：開平方出錯
左右兩邊開平方時沒有注意到左式的 9x2並非完全平方式，而寫成 9x＝±8，接著解出 x＝±
9 8。
屬於此種錯誤的比例佔 9 個，其運算錯誤的方式均大同小異。
第二種：乘法公式錯誤
所以，在第 1 題 9x2－64＝0 此類錯誤的學生雖有觀察出題目可用 乘法公式的方法解方程式，但卻錯用公式，將 9x2－64＝0 化為差
的平方(3x＋8)2＝0，進而解出 x＝-3
8重根。再由前題的整理結果 推測，此類的學生也並非完全不懂乘法公式，可能是在學習上一知 半解，所以錯用公式。屬於此種佔了 28 個，佔所有歪曲定理錯誤 近三分之一。
第三種：移項法則使用錯誤 所以，在第 3 題 (4x-5)(
3
x-2)＝0，此錯誤類型多半是在解題步驟
4x＋5＝0 或 3
x-2＝0 準備解出 x 時，將 4x＋5＝0 算得 x 為倒數錯
誤之－
5
4或移項少負號之 4
5，還有學生算成 3
5，屬於此種佔了 12 個。
第四種：十字交乘錯誤
所以，在第 10 題 (2x－5)(x＋4)＝－6
(2x－5)(x＋4)＝－6 2x2＋3x－20＝－6 2x2＋3x－14＝0 (2x－7)(x＋2)＝0 x＝
2
7或-2
屬於此種佔了 23 個，佔所有歪曲定理錯誤的四分之一。
第五種：等號右邊未化簡為 0
所以，在第 10 題(2x－5)(x＋4)＝－6
2x－5＝－6 或 x＋4＝－6
x＝-2
1或-10
其錯誤原因是學生誤用乘法性質，未把等號右邊化簡為 0，而直 接假設等號左邊的兩個算式為-6 和-6，才造成錯誤答案。
第六種：硬湊成差的平方公式
所以，在第 16 題 x2＋6x-9＝0，此類的錯誤是先將 x2＋6x-9＝0 利 用乘法公式之差的平方化為(x－3)2＝0，這些錯誤都是學生不夠細 心或者是硬湊，甚至可能是對乘法公式不熟悉，認為只要有個加項 和減項，就滿足差的平方公式。
在「等號右邊是一個數字」類型，依 MIZ 錯誤類型統計，其最
主要錯誤原因是歪曲定理，其次是不合邏輯，從上述的錯誤即可相互
對照；推估應是受了前面「因式分解」單元的干擾而產生的混淆。
（三）「等號右邊是未知數」
試題中第三類型的題目共有七題，題目如下：
（2）3x2－4x－1＝-9x－3 （7）23＝x2
（8）10x＝5x2 （12）x2＋3＝6x
（17）-39x2＋15＝24x （19）3x2＋5＝2x
（20）399－4x＝x2
表 4-2-7 等號右邊是未知數與 MIZ 分類之統計表
MIZ 錯誤類型
等號右邊是 未知數
（一）
誤用 資料
（二）
語釋 語文
（三）
不合 邏輯
（四）
歪曲 定理
（五）
未驗算
（六）
技術上 合計
第 2 題 4 2 14 21 0 6 47
第 7 題 4 3 14 17 0 7 45
第 8 題 7 3 10 24 2 9 55
第 12 題 4 4 14 25 3 6 56
第 17 題 5 2 11 29 0 10 57
第 19 題 6 0 19 31 0 14 70
第 20 題 11 0 10 48 1 11 81
合計 41 14 92 195 6 63 411
在 MIZ 分類統計中，以歪曲定理所佔的比例為最多，故研究者 將歪曲定理作進一步的討論與說明。
歪曲定理
等號右邊是 未知數
（一）
當成因 式分解
（二）
平方根 的觀念 錯誤
（三）
十字交 乘分解 錯誤
（四）
配方法 的錯誤
（五）
公式解 使用錯 誤或背 錯
（六）
忘了要 先降冪 排列
合計
第 2 題 9 1 7 2 2 0 21
第 7 題 1 8 5 0 0 3 17
第 8 題 5 7 0 2 0 10 24
第 12 題 0 0 10 8 7 0 25
第 17 題 0 0 16 2 11 0 29
第 19 題 0 8 14 0 9 0 31
第 20 題 0 13 20 15 0 0 48
合計 15 37 72 29 29 13 195
第一種：當作因式分解
所以，在第 2 題 3x2－4x－1＝-9x－3 3x2－4x－1＝-9x－3 3x2－4x－1＋9x＋3 ＝3x2＋5x－2
＝(3x＋2)(x＋1) 第二種：平方根的觀念錯誤
所以，在第 7 題 23＝x2會出現以下兩種最主要的錯誤
1. x＝±23，此類錯誤是等號右邊沒有開平方，根據學生的考卷內容 推測應為粗心，或者是對根號的運算還有問題。
2. x＝ 23或者為 x＝ 23重根：推測此類錯誤的學生多半對計算平 方根時是否加±還分辨不清，而註明重根者亦同，且可觀察出此方 面的錯誤人數不少。
屬於此種平方根觀念錯誤的佔 37 個，是所有歪曲定理錯誤的五分之 一。
第三種：十字交乘分解錯誤
所以，在第 19 題 x2＋5＝2x，此類錯誤的學生都是使用十字交乘，
且配對得到答案為 3
5或-1，錯誤學生並不少，推測學生若不是沒有注
意到常數配對並不是+5，就是對無解方程式沒有概念，因而硬湊答案 試試。屬於此種的佔 72 個，佔所有歪曲定理錯誤的三分之一。
第四種：配方法的錯誤
1.第 12 題 x2－6x＋3＝0 x2－6x＋3＝0 x2－6x＋(
2
6)2＝-3
學生進行配方的動作後，並沒有對式子作平衡的動作而繼續解題，
此處顯示學生在等量公理上的概念比移項法則弱，且對配方法的概 念仍然不夠熟悉。
2.第 20 題 399－4x＝x2，此類型的學生配方法的計算都沒有問題，
可惜的是在最後等式兩邊開平方時，右式沒有加上±，此類錯誤的 學生依舊多半對計算平方根時是否要加±還分辨不清。
第五種：公式解使用錯誤或背錯
所以，在第 12 題 x2－6x＋3＝0，將其公式解之係數寫錯，把題目 中常數項係數 3 視為公式解之公式中的 b，一次項係數-6 視為 c，因 而計算成 2
24 9 3
- ± + ，這類錯誤的學生並不少，大多因為沒有重新將
式子先用降冪整理過而看錯。
第六種：忘了要先降冪排列
所以，在第 17 題 -39x2＋15＝24x，因為大部分的方程式大都按照 降冪排列，學生因為忘掉要先降冪排列再做，而在排列的過程中把正 負號寫錯，導致無法將減號視為係數的性質符號。
在「等號右邊是未知數」類型中，可以發現學生的歪曲定理與不 合邏輯，主要是發生在利用配方法解一元二次方程式；在配方法時，
大家都知道過程，但是在移項的正負符號變化仍不熟練；重要的是因 為學生在配方過程中對「完全平方式」定理的誤解或一些不合邏輯的 觀念，而往往造成錯誤的結果。老師在教學時宜針對這些部份再加 強，並且反覆練習，養成正確的解題習慣，也許學生們之錯誤情形就 可減少。
（四）「等號右邊是運算方程式」
試題中第四類型的題目共有三題，題目如下：
（11）17＝(2x+1)2 （14）9＝4(x－2)2
（15）891＝x(x-6)
表 4-2-8 等號右邊是運算方程式與 MIZ 分類之統計表
MIZ 錯誤類型
等號右邊是 運算方程式
（一）
誤用 資料
（二）
語釋 語文
（三）
不合 邏輯
（四）
歪曲 定理
（五）
未驗算
（六）
技術上 合計
第 11 題 7 1 12 24 2 8 57
第 14 題 5 6 24 34 1 7 80
第 15 題 2 2 11 28 0 5 53
合計 14 9 47 86 3 20 179
在 MIZ 分類統計中，以歪曲定理所佔的比例為最多，故研究者 將歪曲定理作進一步討論並舉例說明。
歪曲定理
等號右邊是 運算方程式
（一）
錯用乘 法公式
（二）
平方根 的觀念 錯誤
（三）
移項法 則出錯
（四）
分配律 使用有 誤
（五）
十字交 乘錯誤
（六）
企圖直 接解方 程式
合計
第 11 題 9 7 2 1 0 5 24
第 14 題 10 17 2 3 0 2 34
第 15 題 8 16 1 0 3 0 28
合計 27 40 5 4 3 7 86
第一種：錯用乘法公式
所以，在第 11 題 17＝(2x+1)2
在學生的解題過程中，可知是預備用平方差的方法來解，但卻沒注 意到 17 也應該要先化為
( )
17 2才正確，而導致乘法公式的錯用。屬 於此種的佔 27 個，佔所有歪曲定理錯誤近三分之一。第二種：平方根的觀念出錯：。
所以，在第 14 題 9＝4(x－2)2
9＝4(x－2)2→4(x－2)＝±3，另外還有不少學生的解題過程是將式 子展開代簡整理後，才應用各類解方程式的方法去解題，但在展開 過程中當然也避免不了一些學生在平方根上的粗心錯誤，此類錯誤 的學生依舊多半對計算平方根時是否要加±還分辨不清。
第三種：移項法則出錯
所以，在第 14 題 9＝4(x－2)2
此類型的錯誤多半在移項上等出現計算錯誤的情形，大致上的錯誤 如：9＝4(x－2)2→4(x－2)＝±3，在開方時沒有注意到等號左邊還 有倍數 4 的部份、直接兩邊開方後遺漏掉左式的倍數 4。
第四種：分配律使用有誤：
所以，在第 14 題 9＝4(x－2)2
此部份的錯誤為一開始將等式左邊 4(x－2)2，利用分配律展開後，