研究工具

本研究為能確實瞭解學生在等號概念下進行一元二次方程式運 算時產生的錯誤情形，依據 2008 康軒版國二上學期的數學課本及參 考相關文獻資料進行分析題目內容目標，包括有：學生的等號概念、

瞭解學生的等號概念對解一元二次方程式的情形。

本研究為了蒐集所需資料，利用之研究工具包含「等號概念與一 元二次方程式試題」測驗，其試題內容說明如下：

一、 等號概念試題

（一）編製過程

等號概念的題型設計採開放式問題，此是根據研究等號概念多年 的國外學者 McNeil 等人（2006）的研究內容做修改。McNeil & Alibali

(2006) 曾指出，透過開放式問題填寫的方式可以將學生的等號概念 內容對應到其他與等號概念相關的研究測量上，而且可以反映出數學 學習經驗愈豐富者，在等號概念表現愈傾向於關係型定義的描述。

（二）填答與計分方式

圖 3-3-1 等號概念開放式問題例示 一、請回答下列問題：

3＋5＝8

1. 上述式子中，箭頭所指之符號的名稱為何？

2. 請你寫下此符號所代表的意義：＿＿＿＿＿＿＿＿＿

在試題一中，開始會呈現一個等號，例如「3＋5＝8」，並且以 箭頭指向「＝」的位置，請受試者填答此符號的名稱及意義，這兩個 開放式的問題可以連結到受試者對於「＝」的名稱及概念，用以確認 受試者對於「＝」意義的認知。此部分開放式問題並無絕對正確或錯 誤的答案，主要計分方式是依據學生對等號意義的解釋，進行等號概 念的分類，採歸類編碼的計分方式將「運算型定義」等號概念編碼為

「0」、「關係型定義」等號概念編碼為「1」，用以進行建檔與統計

分析。

（三）預試結果分析

「等號概念之開放式問題」預試的題目採用「3＋5＝8」等式作 為第一題的例子，經預試後，並無題意表達不清的部分，且學生均能 完整填答其開放式問題的內容。

二、 一元二次方程式試題

（一）編製過程：

1.參考 92 年九年一貫課程綱要數學領域之能力指標與分年細目，以了 解學生應達成的學習階段，進行試題設計之依據。

表 3-3-1 一元二次方程式之能力指標與分年細目表

能力指標 分年細目

能熟練一元二次整係數方程 式的解法 (A-4-05)

1.能在具體情境中認識一元二次方 程式，並理解其解的意義。 (8-a-13) 2.能利用因式分解來解一元二次方 程式。 (8-a-14)

3.能利用配方法來解一元二次方程 式。 (8-a-15)

3. 能利用判別式,並利用公式解 來解一元二次方程式。(8-a-16)

資料來源：教育部 (2003) 九年一貫課程綱要數學領域

2.參考 2008 康軒版，此單元「一元二次方程式」在國一、二、三年 級的教材地位分析。

圖 3-3-2 2008 康軒版「一元二次方程式」單的教材分析圖：

【己習教材】

1.一元一次方程式（國中第一冊第三章）

2.因式分解（國中第三冊第三章）

3.乘法公式（國中第三冊第一章）

4.平方根（國中第三冊第二章）

【國中第三冊第四章概念】

1.一元二次方程式與其解的意義 ↓

2.知道「若 ab＝0，則 a＝0 或 b＝0」

↓

3.利用十字交乘法解一元二次方程式 ↓

4.利用乘法公式解一元二次方程式 ↓

5.利用平方根概念解一元二次方程式 ↓

6.利用配方法或公式解一元二次方程式

【未來發展】

3.「等號概念與一元二次方程式試題」是根據 McNeil 等人 (2006) 對 等號概念的研究，將題型分成運算型與關係型兩大類五類型，依據國 中數學相關單元之課本、習作內容編製而成，並與二名數學教師討論 後再經由指導教授修正，藉以建立專家效度，完成預試試卷。

（二）預試

1.實施目的：確立本研究施測試卷的可行性，作為刪減及修改試題 之依據。

2.施測對象: 高雄縣鳳山市某國中二年級學生一班共 36 人。

3.測驗方式: 以班級為單位，採集體測驗，測驗前均說明測驗目的 與作答時應注意事項。

4.測驗時間: 45 鐘。

5.測驗內容: 共 25 題，試題內容請參考（附錄一）。本測驗屬紙筆 測驗，計分方式：每題答對給一分，答錯則不予計分。

6.測驗結果: 根據預試測驗結果，對於太困難、空白率太高或無法 測出學生概念的題型，予以刪除，最後的試題再經由指 導教授的修正及指正，作為正式施測之試題。

7.測驗的試題分析

（1）試題難度：

a.本研究選取國二其中一班共 36 位學生實施預測，根據郭生玉 (2001)

提出在常態分配下最適當的比率是高低分組各佔 27%。故將高分組 P（前 27%人數）與低分組 P（後 27%人數）中答對每一題的人數百 分比計算出本試題的難度與鑑別度。

b.本試題受測人數為 36 人，而因有 6 名學生的成績為 0 分與 1 分，

且其考卷均為空白或亂寫，為不影響統計結果，在難度與鑑別度部 份將予以排除樣本之外（唯信度計算上仍予以保留）。

c.故此，有效樣本 30 份，依前後 27%比例，共選取高分組有 8 人，

低分組亦為 8 人。依此試題難度範圍經難度公式推算得 25%～88%

（郭生玉 2001）。

難易度 難易度等級 P≧0.8 極容易 0.60≦P＜0.80 容易 0.40≦P＜0.60 難易適中 0.20≦P＜0.40 困難

P＜0.2 極困難

（2）試題鑑別度：

鑑別度指數值介於-1.00 到 1.00 之間，指數愈高，表示鑑別度

度公式推算得 25%～88%（郭生玉 2001）。

鑑別指數 試題評鑑 0.4 以上 非常優良

0.30~0.39 優良，但可能需修改 0.20~0.29 尚可，但通常需修改 0.19 以下 劣，需淘汰或修改

PH＝高分組得分率（總分前 27％學生答對該試題的百分比）

PL＝低分組得分率（總分後 27％學生答對該試題的百分比）

難度

鑑別度＝PH－PL

a.下表是預試各題高分組與低分組答對人數統計表 表 3-3-2 預試各題高分組與低分組答對人數統計表

題號 高分組 答對人數

低分組 答對人數

題號 高分組 答對人數

低分組 答對人數

1 8 6 14 6 1

2 8 6 15 8 6

3 8 4 16 8 3

4 7 1 17 5 0

5 8 3 18 8 3

6 6 1 19 6 0

7 8 4 20 8 2

2 .

L

H

P

P P +

=

8 7 1 21 7 2

9 8 1 22 7 3

10 8 3 23 7 3

11 8 5 24 4 1

12 6 0 25 6 3

13 4 0

b.下表是預試各題之難度、鑑別度、刪選與修改之統計表 表 3-3-3 預試之難度、鑑別度、刪選與修改之統計表 題號 高分組得

分率（PH）

低分組得 分率（PL）

難度（P） 鑑別度（D） 決策

1 1 0.75 0.88 0.25 刪除

2 1 0.75 0.88 0.25 刪除

3 1 0.0.5 0.75 0.38 修改

4 0.875 0.125 0.50 0.75 保留

5 1 0.375 0.69 0.63 保留

6 0.75 0.125 0.44 0.63 保留

7 1 0.5 0.75 0.5 修改

8 0.875 0.125 0.50 0.75 保留

9 1 0.125 0.56 0.88 保留

10 1 0.375 0.69 0.63 保留

11 1 0.625 0.81 0.38 刪除

12 0.75 0 0.38 0.75 保留

13 0.5 0 0.25 0.5 保留

15 1 0.75 0.88 0.25 刪除

16 1 0.375 0.69 0.63 保留

17 0.625 0 0.31 0.63 保留

18 1 0.375 0.69 0.63 保留

19 0.75 0 0.38 0.75 保留

20 1 0.25 0.63 0.75 保留

21 0.875 0.25 0.56 0.63 保留

22 0.875 0.125 0.50 0.75 保留

23 0.875 0.375 0.63 0.5 保留

24 0.5 0.125 0.31 0.38 刪除

25 0.75 0.375 0.56 0.38 保留

預試試題經二位數學教師與指導教授建議，第 1、2、11、15、

24 題因考慮其難度與鑑別度後予以刪除；另外第 3、7 題則進行題目 的修改；其餘試題皆保留。

（3）試題信度：

為了解測驗內容的一致性，其方法採庫李法。庫德 (Kuder) 與 李查遜 (Richardson) 於 1937 年提出分析題目之間一致性的方法，簡 稱庫李法。該方法適用於一個測驗僅施測一次，同時適用於答對一題 的 1 分，答錯一題得 0 分的題目。藉由公式推算所得之庫李信度為 0.960104，顯示該份試題有良好的信度（郭生玉，2001）。

表 3-3-4 預試之試題信度

學生 座號

得 分

題目 編號

答對 人數

答對 比例 P

答錯 人數

答錯 比例 Q

比例之積 P*Q

2 (Xi-μ)

1 24 1 31 0.86 5 0.14 0.1204 86.08 2 18 2 28 0.78 8 0.22 0.1716 10.74 3 23 3 24 0.67 12 0.33 0.2211 68.52 4 6 4 14 0.39 22 0.61 0.2379 76.08 5 21 5 21 0.58 15 0.42 0.2436 39.41 6 16 6 18 0.50 18 0.50 0.2500 1.63 7 0 7 21 0.58 15 0.42 0.2436 216.74 8 22 8 18 0.50 18 0.50 0.2500 52.97 9 1 9 20 0.56 16 0.44 0.2464 188.30 10 7 10 21 0.58 15 0.42 0.2436 59.63 11 24 11 23 0.64 13 0.36 0.2304 86.08 12 22 12 11 0.31 25 0.69 0.2139 52.97 13 20 13 15 0.42 21 0.58 0.2436 27.86 14 1 14 17 0.47 20 0.53 0.2491 188.30 15 16 15 25 0.69 11 0.31 0.2139 1.63 16 19 16 23 0.64 13 0.36 0.2304 18.30 17 8 17 16 0.44 20 0.56 0.2464 45.19 18 7 18 23 0.64 13 0.36 0.2304 59.63 19 21 19 16 0.44 20 0.56 0.2464 39.41 20 20 20 21 0.58 15 0.42 0.2436 27.86 21 0 21 17 0.47 19 0.53 0.2491 216.74 22 8 22 20 0.56 16 0.44 0.2464 45.19 23 20 23 23 0.64 13 0.36 0.2304 27.86 24 8 24 15 0.42 21 0.58 0.2436 45.19 25 1 25 17 0.47 19 0.53 0.2491 188.30

26 21 39.41

27 22 52.97

28 25 105.63

29 11 13.85

30 21 39.41

31 20 27.86

32 23 68.52

33 23 68.52

34 0 216.74

35 22 52.97

36 9 32.74

題數 N＝25

比例乘積之和ΣPQ＝5.7949 學生人數 n＝36

平均分數 μ＝14.7222 變異數 S＝

1 )

( ²

−



− n

x

^{i μ} _＝

35 2589.23

＝73.978 庫李信度＝

−1 N

N (1－

S PQ

2



_)＝

4 2

5 2

×(1-73.978 5.7949

)＝0.960104

（4）試題效度：

本份預測試卷由前所述為根據國中數學課本及教師手冊、國中數 學教師教學經驗與建議、參考相關資料，再依據教學內容與等號類型 將每個題目作內容分析，建立雙向細目表。

表 3-3-5 預試試題之雙向細目表 等號類型

教學內容

等號左邊包 含運算

等號右邊是 一個數字

等號右邊是 未知數

等號右邊是運 算

等號雙邊是運 算方

式子的化簡 (5) (13) (18) 因式分解解法一

元二次方程式

(1) (3) (2) (7) (11) (4)

配方法解一元二 次方程式

(10) (8) (12) (14) (6)

公式解一元二次 方程式

(16) (17) (19) (20)

(15) (9)

（5）評分者信度：

由於本研究尚還針對一元二次方程式錯誤類型採 MIZ 模式 進行分析，其分類之評分者信度，則由研究者與其他協同分析者 進行獨立分析，評分者信度的計算方式，則依下列步驟進行計算

（引自歐用生，1991）：

1. 抽取研究樣本

研究者預試卷中有效卷 30 份，每份試卷 25 題，總共有 230 個錯誤試題，全部均納入研究樣本。

2. 邀請協同分析者二人共同評定。

3. 研 究 者 將 分 析 一 元 二 次 方 程 式 錯 誤 類 型 評 選 單 發 給 協 同 分析者，並說明分類方式和原則。

4. 由研究員和協同分析者就選取範圍內容，依分析類目自行

5. 根據歸類結果，依照下列公式計算之後，求得信度。

（1） 求相互同意值

P

ⁱ

2 1

2 N N Pi M

= +

M

：兩人同意的項目數

N

ⁱ：每個人有的同意數

（2） 求平均相互同意值

P

N p P

n

i



i

= =¹

N

：相互比較的次數

（3） 求信度

R

( ) [

^{nnP P}

]

R=1+ −1

n

：協同分析者人數

研究者參考 MIZ 模式分析一元二次方程式之錯誤類型與協 同分析結果一覽表後，根據信度計算公式，求得信度為 0.974，

計算數據如下：

1.評分者相互同意值

P

ⁱ

（1）分析者 A 與研究者分類相同的有 215 個 分析者 A 與研究者分類不同的有 15 個 分析者 A 與研究者相互同意值

P

ⁱ=0.966

分析者 B 與研究者分類不同的有 18 個 分析者 B 與研究者相互同意值為

P

ⁱ=0.959 （3）分析者 A 與分析者 B 分類相同的有 197 個 分析者 A 與分析者 B 分類不同的有 33 個 分析者 A 與分析者 B 相互同意值為

P

ⁱ=0.923

2. 平均相互同意值

P

將二個評分者相互同意值相加後，除於比較次數 3 次 得到平均相互同意值

P=

0.949

3. 信度

R

：代入信度公式，求得評分者信度

R

=0.974。

（三）正式施測：

1.實施目的：確實了解國二學生在一元二次方程式單產生的錯誤情 形。

2.施測對象: 高雄縣鳳山市某國中二年級六個班級，學生共 215 人。

3.測驗方式: 以班級為單位，採集體測驗，測驗前均說明測驗目的 與作答時應注意事項。

4.測驗時間: 45 鐘。

5.測驗內容: 共 20 題，試題內容請參考第四章。本測驗屬紙筆測 驗，計分方式：每題答對給一分，答錯則不予計分。

6.測驗結果: 請參考第四章的分析。

在文檔中 不同等號概念與一元二次方程式錯誤類型之分析 (頁 35-49)