等號概念與一元二次方程式解題之關係

本節主要探討具備不同的等號概念的學生，在一元二次方程式解 題表現之差異情形。以學生在「一元二次方程式試題」的答題情況，

先瞭解具備不同等號念之學生在各個試題作答的正確性，藉以探討學 生的解題表現是否因等號概念的不同而有所差異。

一、不同等號概念者的解題表現

針對學生在「一元二次方程式試題」各試題作答之正確性進行分 析研究，分別以具備「運算型」、「關係型」不同等號概念的學生，探 討其在各試題之答對率，第一題到二十題共分為五大類的答對率如下 表 4-3-1 等號五大題型答對率

等號題型 (題號)

答對題數/

總題數

等號概念者×

答對率

（一）

等號左邊 是運算 (5.13.18)

276/536

=51.67%

（二）

等號右邊是 一個數字 (1.3.10.16)

512/716

=71.5%

（三）

等號右邊是 未知數 (2.7.8.12.

17.19.20)

818/1256

=65.14%

（四）

等號雙邊是 運算方程 (11.14.15)

346/536

=64.67%

（五）

等號右邊 是運算 (4.6.9)

343/536

=63.99%

運算型等號 概念者

5.8% 0% 0% 0% 0%

關係型等號 概念者

45.87% 71.5% 65.14% 64.67% 64.67

（一）運算型等號概念者：

從上表可知，運算型等號概念者的平均正確解題表現不論在那一 類型中都遠遠低於關係型等號概念者，且運算型概念者僅在「等號左 邊是運算」第一類（運：5.8%；關：45.87%），有答對者外，其餘四 種類型皆無答對者；探究其主要原因為後面這四類型的等號是屬於等 價關係之等號，若學生本身缺乏等量的概念，則對於這種有等式的題 型必無法求出其解。

由於本研究中發現八年級學生具備運算型等號概念的人數比例 占近二成的學生，代表這近二成的學生對於等號的概念僅僅停留在等 號是由左至右的運算結果之運算型等號，然而進入國中階段後是代數 課程的開始，等號不再只有運算型等號而是還有一個非常重要的意義 就是關係型等號，若沒有這個概念，則對於日後有關解方程式的學 習，將會造成莫大的困擾，所以建議教師在正式進行代數教學之前，

可先建立學生對等號的等量概念並釐清不同等號概念的相關概念以 減少學生學習上的迷思。

（二）關係型等號概念者：

與運算型概念者相較下，關係型概念者在正確解題表現不論是

正確率與解題策略的多元化，關係型皆優於運算型；McNeil 等人

(2006) 指出學生在邁入中學階段，當年級越高時，出現「關係 型」者就會越多相同，而方程式的作答正確性也會愈高；國內楊喻惟

(2009) 的研究結果發現「關係型」定義的解題者有較高的人數比例 是利用代數性質的解題策略及較高的機率利用代數性質的解題策略，

本研究的結果與兩項的研究結果相同，也可看出對等號概念理解的 重要性。

二、不同等號概念下一元二次方程式解題表現之綜合討論

在第一種「等號左邊是運算」的類型中，此題型的等號是屬於運 算型等號，若已具備關係型等號的學生必也已具備運算型等號的概 念，理應正確率應該不低，但研究結果卻發現，關係型的學生在這種 類型卻是正確率最低的；研究者探究其主要原因發現，大多數的解題 者誤將多項式化簡誤以為是方程式的型態，因為兩者間的混淆，而往 往造成解題上的錯誤。因此在學生開始學習代數方程式時，教師應先 將多項式與方程式間所出現的等號所代表的意義並不相同先做清楚 的交待，接著再由方程式等量的概念作為出發點，建立學生完整的使 用等量公理解題策略之概念，再進而將等量公理延伸至更具演算功能 的移項法則，以加強學生對方程式等量結構的認識。

由上述結果可知，國中階段的學生對於等號概念是偏向關係型等 號，而愈是傾向「關係型」的學生，其解題表現與正確性就愈高，也 就愈能成功解題。所以學生對等號概念的拓展是在代數方程式之前就 必須進行的重要工作，學生往往會因為不瞭解代數的結構，而容易被 結構中的符號、運算規則所混淆，以導致原有的先備知識無法與新概 念產生連結；學生會認為在算術階段中使用的等號與代數階段中所使 用的等號用途與意義仍是相同，還會將等號右邊永遠視為是運算的結 果，而導致最後以強記的方式來學習代數，並產生認知上的衝突，而 在學習上遭遇到許多的挫折。