第三章 研究方法
第三節 等號概念與一元二次方程式解題之關係
本節主要探討具備不同的等號概念的學生,在一元二次方程式解 題表現之差異情形。以學生在「一元二次方程式試題」的答題情況,
先瞭解具備不同等號念之學生在各個試題作答的正確性,藉以探討學 生的解題表現是否因等號概念的不同而有所差異。
一、不同等號概念者的解題表現
針對學生在「一元二次方程式試題」各試題作答之正確性進行分 析研究,分別以具備「運算型」、「關係型」不同等號概念的學生,探 討其在各試題之答對率,第一題到二十題共分為五大類的答對率如下 表 4-3-1 等號五大題型答對率
等號題型 (題號)
答對題數/
總題數
等號概念者×
答對率
(一)
等號左邊 是運算 (5.13.18)
276/536
=51.67%
(二)
等號右邊是 一個數字 (1.3.10.16)
512/716
=71.5%
(三)
等號右邊是 未知數 (2.7.8.12.
17.19.20)
818/1256
=65.14%
(四)
等號雙邊是 運算方程 (11.14.15)
346/536
=64.67%
(五)
等號右邊 是運算 (4.6.9)
343/536
=63.99%
運算型等號 概念者
5.8% 0% 0% 0% 0%
關係型等號 概念者
45.87% 71.5% 65.14% 64.67% 64.67
(一)運算型等號概念者:
從上表可知,運算型等號概念者的平均正確解題表現不論在那一 類型中都遠遠低於關係型等號概念者,且運算型概念者僅在「等號左 邊是運算」第一類(運:5.8%;關:45.87%),有答對者外,其餘四 種類型皆無答對者;探究其主要原因為後面這四類型的等號是屬於等 價關係之等號,若學生本身缺乏等量的概念,則對於這種有等式的題 型必無法求出其解。
由於本研究中發現八年級學生具備運算型等號概念的人數比例 占近二成的學生,代表這近二成的學生對於等號的概念僅僅停留在等 號是由左至右的運算結果之運算型等號,然而進入國中階段後是代數 課程的開始,等號不再只有運算型等號而是還有一個非常重要的意義 就是關係型等號,若沒有這個概念,則對於日後有關解方程式的學 習,將會造成莫大的困擾,所以建議教師在正式進行代數教學之前,
可先建立學生對等號的等量概念並釐清不同等號概念的相關概念以 減少學生學習上的迷思。
(二)關係型等號概念者:
與運算型概念者相較下,關係型概念者在正確解題表現不論是
正確率與解題策略的多元化,關係型皆優於運算型;McNeil 等人
(2006) 指出學生在邁入中學階段,當年級越高時,出現「關係 型」者就會越多相同,而方程式的作答正確性也會愈高;國內楊喻惟
(2009) 的研究結果發現「關係型」定義的解題者有較高的人數比例 是利用代數性質的解題策略及較高的機率利用代數性質的解題策略,
本研究的結果與兩項的研究結果相同,也可看出對等號概念理解的 重要性。
二、不同等號概念下一元二次方程式解題表現之綜合討論
在第一種「等號左邊是運算」的類型中,此題型的等號是屬於運 算型等號,若已具備關係型等號的學生必也已具備運算型等號的概 念,理應正確率應該不低,但研究結果卻發現,關係型的學生在這種 類型卻是正確率最低的;研究者探究其主要原因發現,大多數的解題 者誤將多項式化簡誤以為是方程式的型態,因為兩者間的混淆,而往 往造成解題上的錯誤。因此在學生開始學習代數方程式時,教師應先 將多項式與方程式間所出現的等號所代表的意義並不相同先做清楚 的交待,接著再由方程式等量的概念作為出發點,建立學生完整的使 用等量公理解題策略之概念,再進而將等量公理延伸至更具演算功能 的移項法則,以加強學生對方程式等量結構的認識。
由上述結果可知,國中階段的學生對於等號概念是偏向關係型等 號,而愈是傾向「關係型」的學生,其解題表現與正確性就愈高,也 就愈能成功解題。所以學生對等號概念的拓展是在代數方程式之前就 必須進行的重要工作,學生往往會因為不瞭解代數的結構,而容易被 結構中的符號、運算規則所混淆,以導致原有的先備知識無法與新概 念產生連結;學生會認為在算術階段中使用的等號與代數階段中所使 用的等號用途與意義仍是相同,還會將等號右邊永遠視為是運算的結 果,而導致最後以強記的方式來學習代數,並產生認知上的衝突,而 在學習上遭遇到許多的挫折。