第五章 結論與建議
第二節 建議
根據本研究之結論，擬對教學、教材與未來研究三方面，提出以 下建議：
一、在教學上的建議
（一）加強學生對等號概念的認識
在教學過程中教師可積極加強學生對多項式的運算型等號與方 程式的關係型等號的認識，且在學生尚未建立完整等量意義之前，盡 量避免進行方程式的解題運算，但如何才能夠有效地加強學生對方程 式結構的認識，則是一個值得研究代數教學者再深入探討的問題。
（二）檢視學生的先備知識
從教學現場中發現多數學生不喜歡這個單元，仔細觀察在九年一 貫教材編排下，第三冊幾乎都是代數的運算，而解一元二次方程式是 編排在最後一個單元，且又必須具備之前學過的基礎如：十字交乘 法、乘法公式、等量公理、平方根的意義等等，因此容易造成學生的 倦怠感。因此教師在學生學習的過程中，可以將這些概念分類歸納，
以加強學生基本概念的使用。
（三）鼓勵學生說出自己的想法
針對同一種錯誤類型背後的錯誤原因可能不同，學生可能是平方
根的觀念錯誤，也可能是誤認為方程式的解都必須是正數。因此應多 鼓勵學生說出自己對於整個解題過程的想法，才能糾正所有錯誤。建 議教學時，不僅要多請學生上台解題，更要能引導學生說明自己的想 法。
（四）適時完整地講解題目
發現不少學生在解配方法的題型過程中，錯誤類型未必是出現在 配方法的過程。如：(x+1)2 ＝3，有的學生會配方法、開根號及等量 公理的觀念，卻錯在開根號與等量公理的順序。大部份的老師常會將 配方法解一元二次方程式的重點放在題目前面的配成完全平方式，而 忽略題目後面的計算，而學生認真聽完老師的講解，最後自己做還是 錯，將產生很大挫折感及影響日後學習。為了減少這種現象發生，建 議在教學時應適時地完整地講解題目。
二、教材及評量方面
（一）教材的內容宜多方面的呈現，才能避免學生對相同類型題目的 重複練習時，產生沒有理解或錯誤的學習。由研究結果可以發現許多 學生對於多項式與方程式的混淆導致錯誤，表示學生雖有等號概念的 名稱的概念，但僅是死記，而未能真正理解其意義；由多項式與解一
（二）將研究中發現學生常出錯的錯誤類型，適時地提醒學生並納入 教材內容加以標記，對老師的教學及學生的學習都有幫助。若能將這 些學生可能有的錯誤概念及錯誤原因歸納整理後納入教師手冊，對於 教師的教學及學生的學習必能有所助益。
三、未來的研究方面
（一）本研究主要在探討國中生在不同等號概念下在一元二次方程式 單元學習後所呈現之解題表現，並未進一步探討其他變項，如：地區、
性別、學習成就及學習態度的不同等，是否影響此單元錯誤類型或錯 誤原因之研究探討。此外，本研究之研究樣本是使用康軒版的學校，
並未加以比較使用各種版本的學生學習本單元之錯誤類型的差異，亦 未比較不同縣市，使用同一版本之學習成效的不同，建議未來也可以 針對此部分作比較研究。
（二）本研究受限於教師個人命題及分析試題，在編擬預試、選題、
審題至最後完成正式試題上的一系列考慮篩選上，難免有顧此失彼之 憾，且本研究僅大略性地探討一元二次方程式單元，並未對此單元之 進行深入的細節探討，故謹期待未來相關方面的研究能夠在此處更加 的完善。未來的研究亦可針對本單元提出的錯誤類型及原因設計有效
學做更一進一步的探討。
值得一提的是，繳交空白卷或無效卷之無效樣本人數在比例上並 不算少，這不單單只先備知識不足的問題，可能與現行我國整個教育 制度都有關聯。從此處思考，不難想像未來全面實施十二年國教時，
會出現連國中數學基本的內容都有問題的學生被迫出現在高中的數 學教室裡上課的大問題，此有待研究教育之專業人士進行探討。
參考文獻
一、中文部份
王文科、王智弘（2005）。教育研究法（九版）。台北：五南。
李登貴（2008）。國二學生解一元二次方程式錯誤類型之研究。國立 高雄師範大學數學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。
林清山、張景媛（1994）。國中生代數應用題教學策略效果之評估。
教育心理學報，27，35-62。
倪斯杰（2006）。一次方程與一次不等式。台北：九章。
郭汾派、林光賢（1988）。國中生文字符號概念的發展。中華民國第 五屆科學教育學術研討論文彙編，177-206。
郭生玉（2001）。教育測驗與評量（修訂版）。台北：精華。
梁宗巨（1995）。數學歷史典故。台北：九章。
梁淑坤（1996）。研究與教學合一：以分析「一元二次方程式」的錯 誤為一個例子。嘉義師院學報，10，455-472。
教育部（2003）。九年一貫課程綱要數學領域。台北：教育部。
康軒文教事業（2009）。國民中學第三冊數學2上教師手冊（第五版）。
台北：康軒文教。
陳澤民譯(1995)。數學學習心理學。台北：九章。
陳維民（1998）。兒童的未知數概念研究一個國小六年級兒童的個案
研究。高雄師範大學數學教育研究所碩士論文，未出版，高雄。
陳嘉皇（2008）。國小學童等號概念解釋與解題策略初探。台灣數學 教師電子期刊，13，34-46。
楊喻惟（2009）。等號概念對國中生一元一次方程式解題策略與解題 表現的影響。國立臺中教育大學數學教育所碩士論文，未出版，
台中。
廖瓊菁（2001）。國小六年級代數教學之研究。國立屏東教育大學國 民教育研究所碩士論文，未出版，屏東。
廖學專（2002）。初探國中生等號概念之心像。國立臺灣師範大學數 學研究所碩士論文，未出版，台北。
戴文賓、邱守榕（1999）。國一學生由算術領域轉入代數領域呈現的 學習現象與特徵。科學教育，10，148-174。
戴政吉、侯美玲、詹勳國(2002)。算術到代數的數學學習研究。國教 天地，150，8-15。
簡珮華（2000）。ax+b=代數？。載於列志佳、簡珮華、黃家鳴（主 編），數學的故事，（頁 48-61）。台北：九章。
二、英文部份
Alibali, Martha W., Knuth, Eric J., Hattikudur, Shanta, McNeil, Nicole M., & Stephens, Ana C.. (2007). A Longitudinal Examination of
Equivalent Equations. Mathematical Thinking And Learning, 9(3), 221–247.
Asquith, Pamela, Stephens, Ana C., Knuth, Eric J., & Alibali, Martha W.
(2007). Middle School Mathematics Teachers’ Knowledge of
Students’ Understanding of Core Algebraic Concepts: Equal Sign and Variable. Mathematical Thinking And Learning, 9(3), 249–272.
Baroody, Arthur J. & Ginsburg, Herbert P.(1983). The Effects of
Instruction on Children's Understanding of the "Equals" Sign. The Elementary School Journal, 84(2), 198-212.
Behr, Merlin, Erlwanger, Stanley, & Nichols, Eugene. (1980). How Children View the Equals Sign. Mathematics Teaching, 92, 13-16.
Booth, L.R.(1984). Child-method in secondary mathematics. Educational Studies in Mathematics, 12, 29-41。
Clement, J.,Lochhead, J., & Monk, G.(1981). Translation difficulties in learning mathematics. American Mathematical Monthly, 88, 286-290。
Collis, Kevin F. (1975). The development of formal reasoning. Newcastle, Australia: University of Newcastle.
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. A.
Grouws(Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 390-419). New York: Macmillan.
Knuth, Eric J., Stephens, Ana C., McNeil, Nicole M., & Alibali, Martha W. (2006). Does Understanding the Equal Sign Matter? Evidence from Solving Equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297-312.
Kuchemann, D.(1981) Algebra. In K. M. Hart, M. L. Brown, D.E.
Kuchemann,D.Kerslake,G.Ruddock&M. McCaryney(Eds.),Children’s Understanding of Mathematics:11-16,102-119.London : John
Murrary.
McNeil, Nicole M., & Alibali, Martha W. (2005a). Why Won’t You Change Your Mind? Knowledge of Operational Patterns Hinders Learning and Performance on Equations. Child Development, 76(4), 883-899.
McNeil, Nicole M., & Alibali, Martha W. (2005b). Knowledge Change as a Function of Mathematics Experience: All Contexts are Not
Created Equal. Journal Of Cognition And Development, 6(2), 285–306.
McNeil, Nicole M., Grandau, Laura, Knuth, Eric J., Alibali, Martha W., Stephens, Ana C., Hattikudur, Shanta, & Krill, Daniel E..(2006).
Middle-School Students’ Understanding of the Equal Sign: The Books They Read Can’t Help. Cognition And Instruction, 24(3), 367–385.
Polya, G. (1985). How to Solve It.-A New Aspect of Mathematical Method.
(Second Edition). Princeton and Oxford: Princeton University Press.
Resnick, p.(1981). Sum misconceptions concerning the concept of variable The Mathematics Teacher, 74, 418-420。
Schliemann, Analucia D., Carraher, David W., & Brizuela Barbara M.
(2007). Interpreting Research About Learning Algebra. In Bringing Out the Algebraic Character of Arithmetic From Children’s Ideas to Classroom Practice(pp. 1-13). Mahwah, NJ：Lawrence Erlbaum
Wanger, S(1981). Conservation of equation and function under
transformation of variable. Journal for Research in Mathematics Education, 12, 107-118。
Wollman, W.(1981). Determining the sources of error in a translation from to sentence.
附錄一 「等號概念與一元二次方程式試題」預試卷
〈範圍〉一元二次方程式 年 班 姓名: □男□女 給同學的話: 這份填寫卷主要是協助老師了解大家的學習情形。不 管會寫或不會寫，都請在空白處寫上你的想法及演算過程。請同學 儘量不空白，好讓老師了解大家是如何解題。填寫資料不算為考試 成績，也不公開，以自然的想法填寫即可，謝謝合作。
一、請回答下列問題：
3＋5＝8
1.上述式子中，箭頭所指之符號的名稱為何？ˍˍˍ。
2. 請寫下“＝”所代表的意義是什麼：（請你用自己的話寫下來）
ˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍ。
二、請你化簡或解出 x 值。（以下題目不限用方法作答）
(1) x(x+7)＝0 (2) (x-5)(x+6)＝0
(3) x2－121＝0 (4) 3x2－4x－1＝-9x－3
附錄一 「等號概念與一元二次方程式試題」預試卷 (5) (4x-5)(
3
x-2)＝0 (6) (3x-1)(2x+3)＝(x+4)(3x-1)
(7) x2＋6x＋4＋2x2＋3x＋1＝ (8) (12x－5)2＝(11x－4)2
(9) 23＝x2 (10) 10x＝5x2
(11) (2x-3)(x-4)＝0 (12) (x+4)2=7(x+4)－12
(13) (2x－5)(x＋4)＝－6 (14) 17＝(2x+1)2
附錄一 「等號概念與一元二次方程式試題」預試卷 (15) x2＋2x－3＝0 (16) x2＋3＝6x
(17) (x2－9)＋2x2－2x＋1＝ (18) 9＝4(x－2)2
(19) 891＝x(x-6) (20) x2＋6x-9＝0
(21) -39x2＋15＝24x (22) -5＋4x＋x2－(5x2＋4x＋1)＝
(23) 3x2＋5＝2x (24) x2＋7x－18＝0
(25) 399－4x＝x2 試題結束，記得檢查一喔！
附錄二 「等號概念與一元二次方程式試題」正式卷
〈範圍〉一元二次方程式 年 班 姓名: □男□女 給同學的話: 這份填寫卷主要是協助老師了解大家的學習情形。不 管會寫或不會寫，都請在空白處寫上你的想法及演算過程。請同學 儘量不空白，好讓老師了解大家是如何解題。填寫資料不算為考試 成績，也不公開，以自然的想法填寫即可，謝謝合作。
一、請回答下列問題：
3＋5＝8
1.上述式子中，箭頭所指之符號的名稱為何？ˍˍˍ。
2. 請寫下“＝”所代表的意義是什麼：（請你用自己的話寫下來）
ˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍ。
二、請你化簡或解出 x 值。（以下題目不限用方法作答）
(1) 9x2－64＝0 (2) 3x2－4x－1＝-9x－3
(3) (4x-5)(
3
x-2)＝0 (4) (3x-1)(2x+3)＝(x+4)(3x-1)
附錄二 「等號概念與一元二次方程式試題」正式卷
(5) (-2x2－8)－(2x2＋3x－8x)＝ (6) (12x－5)2＝(11x－4)2
(7) 23＝x2 (8) 10x＝5x2
(9) (x+4)2=7(x+4)－12 (10) (2x－5)(x＋4)＝－6
(11) 17＝(2x+1)2 (12) x2＋3＝6x