在數學世界裡，圓的歷史非常古老，中國傳統數學關於圓的討論很多，對於 圓的一些基本性質也很早就能掌握。「圓，一中同長也」，146這種圖形在生活環境 裡廣泛存在，影響深遠。以圓面積的計算言，許多算書有所論述，《九章算術》
卷第一〈方田〉「以御田疇界域」，即用以土地田畝與邊界區劃的測算，147其中，
有討論圓區域面積的求法者：
「今有圓田，周三十步，徑十步，問為田幾何？」
「又有圓田，周一百八十步，徑六十步三分步之一，問為田幾何？」
有討論弓形區域面積的求法者：
「今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？」
「又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問為田幾何？」
圓區域面積的求法是：
「術曰：半周半徑相乘得積步。」
「又術曰：周徑相乘，四而一。」
「又術曰：徑自相乘，三之，四而一。」
「又術曰：周自相乘，十二而一。」
弓形區域面積的求法是：
「術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，
二而一。」
不論由題設數據或解題術文，都顯示 出《九章算術》裡所設定的圓周與直徑長
的比值是「周三徑一」。除了周三徑一數值粗略外，「半周乘半徑即圓面積」是為 準確公式。至於弓形面積的求法，「以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。」換 用現代數學符號，參照右上圖4.4.1，即為：
2 ) ) (
2(
1 2 a a b a
ab+ = + ，而 2
) (a b a +
是 梯形ABCD 之面積，以梯形面積為弓形面積，當然不免誤差。
146 《墨經》〈經上〉裡圓的定義。
147 李繼閔，《《九章算術》導讀與譯注》，（西安：陝西科學技術出版社，1998 年），頁 232。
b a
矢 a
D C
A B
圖4.4.1
弓形面積近似於上底與下底分別是矢與弦，高為矢之梯形面積，此一構想並 非《九章算術》獨有，《張邱建算經》卷中最後一題，已知弦與弧田面積，問矢 幾何？「術曰：置田積步，倍之為實，以弦步數為從法，開方除之，即得矢。」
也是同一法則的應用。有趣的是在古希臘與古印度也都曾經採用相同的弓形面積 近似公式。148為了解採用此一近似公式所估算出來的弓形面積近似值的誤差大 小，在單位圓上，如果矢長已知，則其弦長、弓形面積準確值、弓形面積估算值、
絕對誤差、相對誤差，經以電腦實際計算，皆取至六位小數，列表如下：
[ 表一：《九章算術》弧田面積公式之誤差測算 ]
矢長 弦長 面積準確值 面積估算值 絕對誤差 相對誤差 0.05 0.624500 0.020923 0.016862 0.004061 0.194070 0.10 0.871780 0.058726 0.048589 0.010137 0.172614 0.15 1.053565 0.107046 0.090268 0.016778 0.156740 0.20 1.200000 0.163501 0.140000 0.023501 0.143737 0.25 1.322876 0.226656 0.196610 0.030046 0.132564 0.30 1.428286 0.295499 0.259243 0.036256 0.122694 0.35 1.519868 0.369255 0.327227 0.042028 0.113818 0.40 1.600000 0.447295 0.400000 0.047295 0.105736 0.45 1.670329 0.529092 0.477075 0.052017 0.098315 0.50 1.732051 0.614185 0.558013 0.056172 0.091458 0.55 1.786057 0.702168 0.642416 0.059752 0.085097 0.60 1.833030 0.792673 0.729909 0.062764 0.079181 0.65 1.873499 0.885363 0.820137 0.065226 0.073671 0.70 1.907878 0.979922 0.912758 0.067164 0.068541 0.75 1.936492 1.076055 1.007435 0.068620 0.063770 0.80 1.959592 1.173479 1.103836 0.069643 0.059347 0.85 1.977372 1.271925 1.201633 0.070292 0.055264 0.90 1.989975 1.371130 1.300489 0.070641 0.051521 0.95 1.997498 1.470838 1.400062 0.070776 0.048120 1.00 2.000000 1.570796 1.500000 0.070796 0.045070
由表中數據看來，此一近似公式的誤差很大，尤其是弦長與矢長之比值較大 時，其相對誤差有達到19% 以上者，因此希臘數學家海龍(Heron)認為，若弦長
148 希臘海龍(Heron)在其著作《度量論》中說到古希臘也用此近似公式。印度馬哈維拉(Mahavira) 對此近似公式的使用，則引起後人的推測，認為他可能看過《九章算術》，英國科學技術史家 李約瑟(J. Needham)(1900～1995)也以此為中國數學流入印度的可能證據之一。參閱：梁宗巨，
《世界數學通史》，（瀋陽：遼寧教育出版社，2001 年），上冊，頁 634～635。
多於3 倍弧長，即 a＞3b 時，應用 ab
149 海龍(Heron)，希臘數學家，著有《度量論 (Metrca)》、《測量儀器 (On the Dioptra)》等書，約 西元62 年前後活躍於亞歷山大。參閱：沈康身，《九章算術導讀》，（武漢：湖北教育出版社，
153 郭守敬(1231～1316)字若思，元順德邢台人，天文學家、水利學家、數學家。王恂(1235～1281) 字敬甫，中山唐縣人，數學家、天文學家。許衡(1209～1281)字仲平，懷州河內人，思想家、
參以古制，創立新法，154對三次內插法和球面三角作出了貢獻。他也反復地應用 沈活的會圓術，計算黃赤道宿度變換、太陽視赤緯、白道交周等，弧矢割圓術的 創用是「授時曆」在數學方法上的一大成就，其準確度為歷代較佳者。155「授時 曆」之名得自《尚書》〈堯典〉「敬授人時」之語，西元 1280 年編成後總共實行 了364 年，與西漢「太初曆」、唐代「大衍曆」並稱為中國史上三大曆法。
然而，沈括公式只是近似公式，要求取得更好的結果還有待努力。已知徑矢 之長，求弧背長，究竟採用沈括公式來估算，其誤差有多少？在單位圓上，設定 矢長，經以電腦實際計算，下表列出其弦長、弧背長準確值、以沈括公式推算所 得弧背長估算值、絕對誤差、相對誤差等各值，亦皆取至六位小數：
[ 表二：沈括公式求弧背長之誤差測算 ]
矢長 弦長 弧長準確值 弧長估算值 絕對誤差 相對誤差 0.05 0.624500 0.635121 0.627000 0.008121 0.012787 0.10 0.871780 0.902054 0.881780 0.020274 0.022475 0.15 1.053565 1.109622 1.076065 0.033557 0.030242 0.20 1.200000 1.287002 1.240000 0.047002 0.036521 0.25 1.322876 1.445468 1.385376 0.060093 0.041573 0.30 1.428286 1.590798 1.518286 0.072512 0.045582 0.35 1.519868 1.726424 1.642368 0.084055 0.048688 0.40 1.600000 1.854590 1.760000 0.094590 0.051003 0.45 1.670329 1.976864 1.872829 0.104035 0.052626 0.50 1.732051 2.094395 1.982051 0.112344 0.053640 0.55 1.786057 2.208062 2.088557 0.119505 0.054122 0.60 1.833030 2.318559 2.193030 0.125529 0.054141 0.65 1.873499 2.426450 2.295999 0.130451 0.053762 0.70 1.907878 2.532207 2.397878 0.134329 0.053048 0.75 1.936492 2.636232 2.498992 0.137240 0.052059 0.80 1.959592 2.738877 2.599592 0.139285 0.050855 0.85 1.977372 2.840456 2.699872 0.140584 0.049494 0.90 1.989975 2.941258 2.799975 0.141283 0.048035 0.95 1.997498 3.041551 2.899998 0.141553 0.046540 1.00 2.000000 3.141593 3.000000 0.141593 0.045070
觀察表中數據，沈括公式的相對誤差值最多不到6%，但數學家並不以此為
154 郭守敬「所創法凡五事：一曰太陽盈縮；二曰月行遲疾；三曰黃赤道差；四曰黃赤道內外度；
五曰白道交周。」參見：(明)宋濂，《元史》列傳第五十一，〈郭守敬〉傳。
155 參閱：陳美東，《郭守敬評傳》，（南京：南京大學出版社，2003 年），頁 241～251。
滿足，沈括之後陸續有人於弧矢論別立新術，一為應用性的推廣，一為準確性的 追求，此其間，作為弧矢研究最早的科學方法，割圓術一直有力的絕技。