句股算術是中國傳統數學中非常重要的一個課題。中國算書對於句股定理的 討論，在現有文本中以《周髀算經》與《九章算術》最早，123前一書中有「若求 邪至日者，以日下為句，日高為股。句、股各自乘，并而開方除之，得邪至日。」
的論述。124後一書中也有「句、股各自乘，并而開方除之，即弦。」的術文，125 是即句股定理；更有內涵充實的〈句股〉專章，討論句股互求、句股容方、句股 容圓、句股測量、句股比率等二十四個相關問題。句股定理的發現，無論中外都 是膾炙人口的詩篇，126其在數學上與數學史上的地位，光耀輝煌，其重要性自不 待言。從《周髀算經》、《九章算術》以下，及至於今，歷來算學家對於句股理論 架構與應用的研究代有才人出，
句股名義，肇見於《周髀算經》，其曰折矩以為句廣三，股修四，徑隅五 者，著其名也。又曰偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠者，致其用也。迨 後劉徽、祖沖之割圓以求密率，西人六宗以求八線，可謂精義入神矣！要皆不 能外句股以立算，此其所以居九數之終，而曰以御高深廣遠，良不誣焉。127 句股定理為用廣大，歷久恆新，學者由此而深造焉可已。128
句股定理的問世，無疑是數學發現中偉大的成就，在歷代算家不間斷的努力 下，句股算術幾度成為數學研究的重心。自劉徽注《九章算術》採用出入相補法 證明句股定理，至李冶著《測圓海鏡》藉由天元術計算圓城半徑，對勾股的研究 實體從幾何走向了代數。129朱世傑作《四元玉鑑》，「探三才之賾，索九章之隱，
按天地人物立成四元」，130研究進路偏向代數方法，借用圖形推演算式有時不再 必要。這樣的路向當然是一種進步，是數學家有意的作為，因為圖形有時而窮，
有些圖形不可算，為無法之形，131有些問題難以圖解或無法繪圖表示，若要尋求
123 參閱：黃清揚，《中國 1368～1806 年間的句股術發展之研究》，(台北：國立臺灣師範大學數 學研究所碩士論文，2002 年)，頁 9。
124 參見：《周髀算經》卷上，收入郭書春、劉鈍點校《算經十書》，(台北：九章出版社，2001 年)，頁 38～39。
125 參見：《九章算術》卷第九，〈句股〉，第三問「術曰」。
126 希臘有「畢達哥拉斯為慶祝自己發現這定理，宰殺了 100 頭牛獻祭繆斯女神」的傳說；中國 則將此一定理的發現，借由周公與大夫商高的對話提出。參閱：劉鈍，《大哉言數》，(瀋陽：
遼寧教育出版社，1997 年)，頁 388～389。
127 梅瑴成，〈句股舉隅．識〉，梅文鼎《句股舉隅》，《梅氏叢書輯要》卷十七。
128 同上。
129 黃清揚，《中國 1368～1806 年間的句股術發展之研究》，(台北：國立臺灣師範大學數學研究 所碩士論文，2002 年)，頁 23。
130 祖頤，〈松庭先生四元玉鑑後序〉，羅士琳《四元玉鑑細草》。
131 羅士琳，〈三角和較算例．識〉，《三角和較算例》。
解答，必須另闢蹊徑。山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村，代數方法因而被引入 幾何研究的領域。天元術可有助算家擺脫圖形的限制，擺脫幾何思維的束縛，132 而成為處理句股算術、弧矢算術等等問題的利器。
天元純以理勝，不以形求，凡冪積之層見迭出，悉皆以虛實定正負，別 加減，因有正負斯有帶從，以其式有類於開方，即以開方法入之，舊說三乘 已上，無形狀可圖，誠以三乘已上，無不從之方，故算不繫乎？圖惟理明，
而算亦通焉！133
用立天元一術思考三角形，用代數方法解決幾何問題，羅士琳「少習天元一 術」，134在這方面的研究相當早，其《句股容三事拾遺》四卷即運用天元術處理 句股形中容方邊、容圓徑、容垂線之早期著作。其後，他對於天元術的應用更為 精熟，相較西法之「算由形出」，羅士琳更推崇天元術「算不繫乎圖」，他說：
蓋西士精於製器，器必有形，凡形之長短、廣狹、厚薄，悉皆用比例規別 作度算，以量取而得，故非圖則蔑由算焉！天元純以理勝，不以形求，凡冪積 之層見迭出，悉皆以虛實定正負，別加減，因有正負斯有帶從，以其式有類於 開方，即以開方法入之，舊說三乘已上無形狀可圖，誠以三乘已上無不從之方，
故算不繫乎圖，惟理明而算亦通焉！135
朱世傑作《四元玉鑑》與《算學啟蒙》，前者自「直段求源」以迄「雜範類 會」，凡二十門，悉以天元為術；136後者在下卷最後之「開方釋鎖門」三十四問 中，自第八問起就都以「立天元一」解題，並在第八題術文中有「以天元演之，
明源活法，省功數倍」之按語，作者深知有時單靠幾何性質，難以找到解題的切 入點，為了訓練讀者熟悉「不繫乎圖」的算法，
因而有漸進式的安排，以《四元玉鑑》卷下之 五最後一問為例：
「今有句股積三十步，只云句股和一十七 步，問弦冪幾何？
答曰：一百六十九步。
術曰：立天元一為弦冪，地元一為股，
天地配合求之，得二千八百七十三為正實，
一十七為益方，開無隅平方合問。」
132 孔國平，《李冶朱世傑與金元數學》，(河北：河北科學技術出版社，2000 年)，頁 133～142。
133 羅士琳，〈三角和較算例．識〉，《三角和較算例》。
134 羅士琳，〈三角和較算例．識〉，《三角和較算例》。
135 羅士琳，〈三角和較算例．識〉，《三角和較算例》。
136 羅士琳，〈朱世傑〉，《續疇人傳》，《疇人傳彙編》，(台北：世界書局，1982 年)，頁 616。
c c c c
b b
b
b a
a a
a
圖4.3.5
－1 (17)
－1 17 ( 0 )
－1 17 (－60) 1 －34 (289)
1 0 ( 0 ) 2 －34 (289)
－289 4913 (－17340) 1 －17 60
－2 34 (－289) 1
－169 (2873) 1 －17
－120 2040 (－17340) 60
－2 34 (－120) －169 1 2873
－17
借用幾何性質求解此一問題當然容易，由圖4.3.5，易知：(a + b)2－4ab = c2， 羅士琳在細草前，也有「以四句股積減和冪，即為弦冪，初可無須立元，術義如 斯，故不得不紆遠求之耳」之按語，不過朱世傑設定此題之著眼點，用心在意的 其實應是天元術的應用與四元消法的推廣。
羅士琳細草如下：
「草曰：立天元一為弦冪，地元一為股，以地元減句股和得
為句，用乘地元得 為直積，乃倍句股積得六十步，消之得
為今式。副以句自之得 為句冪。又股
自之得 為股冪。併句股二冪得 ，消天元得
為云式。以右行齊今式得
六十云式 ，消之得 為右式。
又倍今式 ，消云式得 為左式，用消右式得
，開無隅平方得一百六十九步，合問。
羅士琳在《三角和較算例》自序中提出：「算由形出，形以圖明。凡可算者 爲有法之形，不可算者爲無法之形。」數學來源於實踐，幾何圖形是對實際問題 的抽象。羅氏認爲西士精於「制器」，而器必有形，因此幾何學是與制器相聯繫 的。如果脫離了圖形，也就不存在幾何，三角也一樣，它依賴於幾何圖形，因而
「非圖則蔑由算焉。」代數與幾何有別，「天元純以理勝，不以形求。」就代數 而言，「算不繫乎圖，惟理明而算亦通焉。」他正確地認識到三角與天元術分別 屬於幾何與代數兩個數學分支。更重要的是他認爲它們不是不可統一的，可以用 天元術來研究三角形，用代數來解決幾何問題。他的《三角和較算例》、《句股容 三事拾遺》、《句股截積和較算術》等著作都是在這種思想指導下寫作的。
壬辰(1832)秋，黎應南時為浙江平陽縣令，137羅士琳南下拜訪，回憶同寓京 邸時，曾以勾股截容方積諸問題授予鄭復光，138句股容方、句股容圓可「以圖明 之」，利用圖形求解，實際上還不難。句股容長方形問題則因長闊有變化，高扁 難掌握，無法藉由適當的圖形以思考算理，解題並不容易。二人促膝談藝，幾番 討論後， 羅氏「 偶戲作句股容長方為題，長闊互求，變化不可思議」，139黎應南 勸請錄成一冊 ，「 茗香獨媿近於算胥也，然通卷中無一問重複，具有精理，在明 算者固歎其嚴謹，在入門仍以為隱秘，安得淺近目之乎？」140羅士琳完成此篇，
又將離開東甌客寓北上山東，作歷下行，141特將原稿贈送黎應南，而倩人錄副，
置諸行篋，他日讀之，如見良友，至於傳與不傳固不暇計。142是書初未付梓，後 為友人收入《連筠簃叢書》，143刊刻行世，流傳甚廣。