《弧矢算術補》以李銳《弧矢算術細草》為藍本，演述弧矢術。《弧矢算術》
取弦、矢、圓徑、弧背、殘周、截積六事變化命題，已知其二求另四，六事知其 二之可能情形有十五種，即以李銳所舉十一題來說，每題四術，應有四十四術，
較之十三術頗有差距，此易之瀚所謂缺漏者甚夥是也。羅士琳的數學研究還刻意 追求完善，他每研究一類問題，總試圖全面徹底解決之，178因為之再增補二十七 術。羅士琳在本書目次中列出全部四十術後說：「以上舊有十三術，新補二十七 術，又除有圓徑有弧背，無庸求殘周一術，並缺求三術，適合四十四術之數。」
何以缺求三術，羅士琳在本書序文中也有說明，因有徑與弧背求截積，有徑與截 積求弧背、殘周，必須立地元，且數在三乘方以上，為符原術之例，姑闕之。
是書寫作完成，羅士琳即送請阮元指正，時道光二十四年(1844)，阮元八十 一高齡，已告老還鄉，優遊林泉，他很高興簽下「道光二十四年二月廿六阮元閱 于林泉樓下」字句，並蓋上「頤性延齡」之印，足見師生情誼。
《弧矢算術補》全書分〈自序〉、〈目次〉、〈用數〉、〈識別〉、〈問答〉、〈術曰〉
等幾部份，內容大要如下：
178 朱家生、吳裕賓，《羅士琳數學研究述評》，《揚州師院學報．自然科學版》第 11 卷第 2 期，
1991 年 6 月。
圖4.4.4 羅士琳《弧矢算術補》書頁。
《弧矢算術補》「用數」一仍李銳《弧矢算術細草》「今問正數」： 矢二十五步；弦一百五十步；圓徑二十五步；弧背一百五十五步；
截積二千一百八十七步半；殘周五百九十五步。
「識別」如同「今問正數」，可能都是參考李冶《測圓海鏡》體例。《弧矢算 術補》中有「識別」六題，前三題舊有，後三題羅士琳新增：
1. 半弦冪以矢除之，為矢徑差。
2. 倍截積以矢除之，為矢弦并。
3. 倍矢冪以徑除之，為弦背差。
4. 半弦冪加倍截積以矢除之，為弦徑并。
5. 弧背減弦乘半弦冪，於上；弧背加弦乘倍截積，於下，并上下二位以矢除 之，為一段弦背并(乘弦)內多兩段倍截積。179
6. 半弦冪加倍截積自之，於上；三因弦加殘周為弦背差，乘弦，又以倍截積 乘之，於中；半弦冪自之又倍之，於下，并上中下三位以矢除之，為一段周 背差乘倍截積內多五段周背差乘半弦冪。
「識別」相當現在的定理，為了說明方便，先定義以下將用到的名詞與符號：
矢：CE之長。設為a。
弦：PQ 之長，設為 b。又設半弦為 c。
圓徑：CD之長即直徑，設為d。
又設半徑為r。
截積：弓形PCQ 之面積，設為 A。
弧背：圓弧PCQ 之長，設為 s。
殘周：圓弧PDQ 之長，設為 t。
準此，以上「識別」可以用現在代數 符號表示如下，這些「定理」羅士琳並未 證明，筆者將給出說明或演述之，以明其 用，並檢查其正確性：
1. d a a
c2 = − 。即：圓冪定理。
2. a b a
A = +
2 。即：弓形面積近似公式。
179 原文缺(乘弦)二字，不真，校補。
截 積
圓徑
殘 周 弦
背 弧
矢
P Q
D C
O E
圖4.4.5 弧矢圖式
3. s b
編號 今有(已知) 問(求) 備 註 編號 今有(已知) 問(求) 備 註 1 矢、弦 圓徑 舊有 21 弦、圓徑 矢 舊有
2 矢、弦 弧背 舊有 22 弦、圓徑 弧背 新補 3 矢、弦 截積 舊術無草，今補 23 弦、圓徑 截積 新補 4 矢、弦 殘周 新補 24 弦、圓徑 殘周 新補 5 矢、圓徑 弦 舊有 25 弦、弧背 矢 舊有 6 矢、圓徑 弧背 新補 26 弦、弧背 圓徑 新補 7 矢、圓徑 截積 新補 27 弦、弧背 截積 新補 8 矢、圓徑 殘周 新補 28 弦、弧背 殘周 新補 9 矢、弧背 弦 舊有 29 弦、截積 矢 舊有 10 矢、弧背 圓徑 新補 30 弦、截積 圓徑 新補 11 矢、弧背 截積 新補 31 弦、截積 弧背 新補 12 矢、弧背 殘周 新補 32 弦、截積 殘周 新補
13 矢、截積 弦 舊有 33 弦、殘周 矢 舊草迂遠改從簡 14 矢、截積 圓徑 新補 34 弦、殘周 圓徑 新補
15 矢、截積 弧背 新補 35 弦、殘周 弧背 新補 16 矢、截積 殘周 新補 36 弦、殘周 截積 新補 17 矢、殘周 弦 舊求半弦，改求弦 37 圓徑、弧背 矢 舊有 18 矢、殘周 圓徑 新補 38 圓徑、弧背 弦 新補 19 矢、殘周 弧背 新補 39 圓徑、截積 矢 舊有 20 矢、殘周 截積 新補 40 圓徑、截積 弦 新補
羅士琳在原來十三術的基礎上，對以上四十個命題一一立術，一方面是他對 前人成果的全面總結，另一方面又是對前人工作的進一步發展。180《弧矢算術細 草》全書以天元入算，是羅氏對天元一術的又一發揚，其中之「今有弦與殘周，
問矢幾何？」一題，羅士琳認為原草紆遠較煩，改從簡易，今比較二人細草於下：
今有弦一百五十步，殘周五百九十五步，問矢幾何？
答曰：矢二十五步。
術曰：半弦冪自之，又三之為實。二數相并，又以半弦冪乘之為益從。六之 半弦冪為第一廉。181二數并為第二益廉。182一常法。開三乘方得矢。
180 朱家生、吳裕賓，〈羅士琳數學研究述評〉，《揚州師院學報．自然科學版》第 11 卷第 2 期，
1991 年 6 月。
181 李銳書：四之半弦冪為第一廉。羅士琳書：六之半弦冪為第一廉。應以羅書為正確。
182 李銳書：二數并為第二益廉。羅士琳書：二數并為第二廉。羅書漏植「益」字。
李銳草曰：立天元一為矢，以弦半之又自之得5625 為半弦冪。以天元除之， 乘，便為同數。與左相消得949218752 4190625 33750 745 2
x 2 4190625 33750 745 94921875