《弧矢算術》二卷，明顧應祥撰。顧應祥(1483～1565 年)字惟賢，號箬溪，
浙江長興縣人。明弘治乙丑(1805)進士，歷任饒州推官、江西副使、山東布政使、
都察院右副都御史、南京刑部尚書等職。顧應祥勤奮好學，少時受業於王陽明，
著有《傳習錄疑》、《致良知說》等書。而涉獵廣博，尤精於《九章》句股算法，
明嘉靖癸巳年(1533)夏四月在滇南巡撫行堂，顧應祥寫下了自己第一本數學著作
《句股算術》，他在〈自序〉中說：「自幼性好數學，然無師傅，每得諸家算書，
輒中夜思索至於不寐，久之若神告之者，遂盡得其術。」由此可知，顧應祥雖拜 王陽明為師，曾致力性理學的探討，但是數學卻始終是他的興趣所在。156
明嘉靖年間，唐順之作為《弧矢論》，與顧應祥有所討論，157促進了顧應祥 對於弧矢算術的研究，「因弧矢一法失其真傳，取諸家算書，參附己意，補輯成 編」，158嘉靖壬子年(1552)春三月，《弧矢算術》完稿刊刻，顧應祥說道：
弧矢一術，古今算法所載者絕少，錢唐吳信民《九章算法》止載一條；
《四元玉鑑》所截數條，皆不言其所以然之故；沈存中《夢溪筆談》有割圓 之法，雖自謂造微，然止於徑矢求弦，而於弧背求矢、截積求矢諸法俱未備，
予每病之南曹，訟牒頗暇，乃取諸家算書間附己意，各立一法，名曰《弧矢 算術》，藏諸篋笥，俟高明之士取正焉，未敢謂盡得其閫奧也。159
《弧矢算術》全書結構，首為作者自序。次為〈弧矢論說〉，附〈方圓論說〉
二文。其次為圓徑、截矢、截弦、截積、弧背、殘周互求之術，又附《方圓術》，
講述圓求容方、圓徑折變：圓周求徑、圓徑求周、圓周求積、圓徑求積、圓積求 周、圓積求徑等等問題。最後一題「黃鍾算附：假如黃鍾之管空容九分，問圍圓 幾何？」以下關注焦點，主要是徑、矢、弦、截積、弧背、殘周互求之術。
顧應祥以沈括《夢溪筆談》割圓之法止於徑矢求弦，有心為弧背求矢、截積 求矢等問題各立一法，他完成了「圓徑與截矢，求截弦」；「圓徑與從旁截積，求 截矢」；「圓徑與截積，求截弦」；「圓徑與弧背，求矢」；「圓徑與弧背，求截弦」；
156 王連發，《勾股算學家——明顧應祥及其著研究》，(台北：國立臺灣師範大學數學研究所碩士 論文，2002 年)，頁 22。
157 唐順之在〈給顧箬溪中丞第二書〉中有：「僕既作為《弧矢論》，以請于明公，而明公亦既演 之為書矣！」之語，見《荊川集補遺》卷三。
158 見《浙江采集遺書總錄》。
159 (明)顧應祥，〈弧矢算術序〉，《弧矢算術》。
「圓徑與弧背，求截積」；「截積與截矢，求截弦」；「截積與截弦，求截矢」；「截 積與截矢，求圓徑」；「截積與截弦，求圓徑」；「截積與截矢，求截弧背」；「截矢 與弦，求圓徑」；「截矢與弦，求截弧背」；「截矢與截弦，求截積」；「截弦與外周，
求截矢」諸題，亦有功於後學矣！唐順之、顧應祥二氏之說，周述學、程大位都 採用過，周述學《神道大編歷宗算會》卷七〈弧矢經補上〉、卷八〈弧矢經補下〉
都講徑弧矢弦互求法；程大位《直指算法統宗》卷三、卷六亦論弧矢術，160甚至
《直指算法統宗》卷三〈方圓論說〉一文，即為顧應祥原作。
李銳(1768～1817)字尚之，號四香，江蘇元和人。諸生。幼開敏，有過人之 資。從書塾中檢得《算法統宗》，心通其義，遂為九章八線之學。161篤學樸厚，
長於經義，通《公羊春秋》、《虞氏易》，著《周易虞氏略例》。162師事錢大昕，163 得中西異同之奧，於古曆尤深，自三統以迄授時，悉能洞澈本原。164錢大昕誨之：
「為弟子不勝其師，不為賢弟子。」，閉戶沈思五年，盡通疇人家言，錢大昕為 當代通儒第一，以為勝己；165阮元譽之：「深於天文算術，江以南第一人也！」
阮元輯《疇人傳》，李銳之力為多。166李銳又著《召誥日名考》，融會古曆，發明 經術；也校釋整理中國古代數學名著，發明古人之術，精通妙悟，數百年絕學獨 能明之。167與焦循、汪萊齊名，有「談天三友」之稱。
李銳的數學成就主要在方程論，所作《開方說》上卷討論多項式方程正根與 係數正負的關係，等同「笛卡爾符號法則」，正是這方面的傑作。他是乾嘉學派 在天文曆算領域的代表人物，學術風格與本派治學宗旨有密切的關係。不論疏理 傳統經典，發揚古代方法；或者考察傳統題材，獲得嶄新成果，都做出了非凡的
160 參閱：李儼，《明清算家的割圓術研究》，《中算史論叢第三集》，收入《李儼、錢寶琮科學史 全集》第七卷，(瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年)，頁 257。周述學(1522～1566)字繼志，明 山西山陰人。讀書好深思，精天文曆算。為《星道五圖》，推究五緯細行。與唐順之論曆法，
取歷代史志之議，正其訛舛，刪其繁蕪。又撰《神道大編歷宗算會》十五卷，為論算專著。
程大位(1533～1606) 字汝思，號賓渠，安徽休寧人。出身商家，讀書廣博，好書法和算學，
因經商需要遍訪名師，廣泛蒐集算書，刻苦鑽研有得。約四十歲而專研各家學說，加上自己 見解，於六十歲時完成《直指算法統宗》，卷一與卷二為基本事項與演算法，卷三至卷十二為 應用問題解法彙編，卷十三至卷十六爲「難題」彙編，卷十七為雜法，最後附《算學源流》，
是中國古代數學中十分重要的著作，流傳非常廣泛和長久。
161 阮元，〈李尚之傳〉，《揅經室二集》卷四。
162 (清)徐世昌，〈四香學案〉，《清儒學案》卷一百二十六。
163 錢大昕(1728～1804)字曉徵、辛楣，號竹汀。江蘇嘉定人。乾隆甲戌(1754)進士，改庶吉士，
散館授編修，官至少詹事。乾隆乙未(1775)辭官不復出，主講鍾山、婁東、紫陽書院，弟子 著籍甚眾。兼擅數長，精通訓詁、音韻、曆算、金石，尤邃於史。著述宏富，有《二十二史 考異》、《三史拾遺》、《潛研堂全集》、《三統術衍》、《恆言錄》、《辛楣吟稿》等。
164 羅士琳，〈李銳〉，《續疇人傳》，《疇人傳彙編》下冊，（台北：世界書局，1982 年），頁 657。
165 參閱：(清)趙爾巽，《清史稿》列傳二百九十四，〈疇人二〉。
166 參閱：阮元，〈李尚之傳〉，《揅經室二集》卷四。
167 參閱：阮元，〈重刻測圓海鏡細草序〉，《重刻測圓海鏡細草》。
貢獻。168李銳與張敦仁共著《緝古算經細草》，詳論王孝通之學術。於顧廣圻處 得秦九韶《數書九章》，169乃窮究天元一術，郭守敬、李冶之說始明。知唐順之、
顧應祥之書甚無謂也，170然而句股術、弧矢論都是傳統數學裡重要的命題，乃演 作《弧矢算術細草》與《句股算術細草》闡明之，《弧矢算術》與《句股算術》
都是顧應祥的著作。
《弧矢算術細草》一卷，是李銳1798 年的作品，他先敘述寫作動機：
說弧矢者，肇於《九章》〈方田〉，自是以後，北宋沈括以兩矢冪求弧背；
元代李冶用三乘方取矢度，引信觸類，厥法綦詳矣！明顧箬溪應祥作《弧矢算 術》，既如積之未明，徒開方之是衍，務末遺本，不亦傎乎！銳受學師門，泛 觀古籍研九數者十年，冀千慮之一得，爰集弧矢之問，入以天元之法，凡十三 術，都為一卷，願與海內游藝之士共審正焉！
全書體例與結構，首列「弧矢圖式」，次為「今問正數」，主要內容是十三個
「問、答、術」，並用天元一術詳為演「草」。其問與術，列表如下：
編號 今問 術曰
1 今有矢、弦 問圓徑。
矢自乘于上，又以半弦自之，加上位為實。矢為法。得圓徑。
2 今有矢、圓徑 問弦。
以矢減圓徑，餘以矢乘之為實。開平方得半弦。
3 今有弦、圓徑 問矢。
半弦自之為實。圓徑為益從。一常法。開平方得矢。
4 今有矢、弦，
問弧背。
倍矢加弦，又以矢再乘之，于上。半弦自之，又以弦乘之，加 上位為實。矢冪、半弦冪相併為法。得弧背。
5 今有矢、弧背 問弦。
倍矢減弧背，餘以矢冪乘之，又四之為實。四之矢冪為從。弧 背為益廉。一常法益積。開立方得弦。
6 今有弦、弧背 問矢。
半之弦自乘，又以二數相減，餘乘之為實。從空。二數相減餘 為益廉。二步為隅。翻法。開立方得矢。
7 今有圓徑、弧背 問矢。
二數相乘，得數又自之為實。圓徑再自之，又四之于上。又以 二數相乘，四之減上位為第一廉。第二廉空。四步為隅。開三 乘方得矢。
168 參閱：劉鈍，〈開方說提要〉，《中國科學技術典籍通彙．數學卷》第五冊，(鄭州：河南教育 出版社，1993 年)，頁 5-3。
169 顧廣圻(1776～1835 或作 1839)字千里，號思適居士、一雲山人。江蘇元和人。不事科舉業，
年逾三十始為諸生。以小學而通經學，以為經學而校勘，為人校刻，當時名流多相推重，凡 經手定，增重藝林。著有《思適齋集》、《說文考異》、《韓非子識談》等。
170 阮元，〈李尚之傳〉，《揅經室二集》卷四。
元 元
太
○
8
今有矢、殘周 問弦。
二之矢冪，以矢步乘之，又以矢冪乘殘周，加之于上。矢冪自 之，又三之，減上位為實。二之矢冪，以矢步乘之為從。矢步 乘殘周，內減六之矢冪，為第一廉。二之矢步為第二廉。三步 虛隅，三之，減上位為實。圓徑再自之，又四之于上。又以二 數相乘，益積。開三乘方得半弦。
9 今有弦、殘周 問矢。
半弦冪自乘，又三之為實。二數相併，又以半弦冪乘之為益從。
四之半弦為第一廉。二數併為第二益廉。一常法。開三乘方得 矢。
10 今有矢、弦 問截積。
以矢加弦，又以矢乘之為實。二為法。得截積。
11 今有矢、截積 問弦。
二之截積，內減矢冪為實。矢為法，得弦。
12 今有弦、截積 問矢。
倍截積為實。弦為從。一步常法。開平方得矢。
13 今有圓徑、截積 問矢。
倍截積自之為實。從空。四之截積為第一廉。四之圓徑為第二 廉。五虛隅。開三乘方得矢。
其「問、答、術、草」全文，以第一「今問」為例，為：
今有矢二十五步，弦一百五十步，問圓徑幾何？
荅曰：圓徑二百五十步。
術曰：矢自乘于上，又以半弦自之，加上位為實。矢為法。得圓徑。
草曰：立天元一為圓徑，以矢減之得 為矢徑差，又以矢乘之得 為一段半弦冪，寄左。然後以半弦自之得 為同數，與左相 消得 。上法下實得二百五十步，即圓徑也，合問。
此一細草以現在代數符號表示，為：設x 為圓徑，則 x－25 為矢徑差，以矢 乘之得25x－625 為一段半弦冪。半弦自乘得 5625 為同數，得 25x－625 = 5625，
解之得x = 250。這裡所用到的「圓中矢徑差，以矢乘之，即半弦冪」，此一性質 即今之「圓冪定理」。
馮桂芬(1809～1874)字林一，號景亭，江蘇吳縣人。道光庚子年(1840)一甲 二名進士，官翰林院編修。少工駢體文，中年後則致力古文辭。知識廣博，於書
馮桂芬(1809～1874)字林一，號景亭，江蘇吳縣人。道光庚子年(1840)一甲 二名進士，官翰林院編修。少工駢體文，中年後則致力古文辭。知識廣博，於書