集群分析部份採 SPSS10.0 版之 K 平均數法，其中試著分群的個數，
考慮收斂及各群學生數目的合理，故以 K 平均數法取得六個因素分數，再 以此六個因素分數將樣本分為六個集群，各群的 PFC、GTD、PRX 平均值等 資料如表 4-2-9。
表 4-2-9 集群分析的分類情況及相關資料分析
PFC 平均值 GTD 平均值 PRX 平均值 平均能力值 平均原始分數 人數 人數百分比(%)
第一群 0.093 0.389 0.481 -0.290017 16.78 36 17.476 第二群 0.348 0.796 0.862 0.702375 21.63 97 47.087 第三群 0.040 0.016 -0.105 -2.022349 5.92 13 6.311 第四群 0.086 0.330 0.426 -0.431679 15.71 14 6.796 第五群 0.093 0.425 0.525 -0.218157 16.74 31 15.049 第六群 0.039 0.033 0.051 -1.239523 10.47 15 7.282
欲探討各群的三種相似性指數值是否達到顯著的差異，針對三指數進 行變異數分析，如表 4-2-10。
表 4-2-10 各群之三種指數變異數分析表
變異來源 平方和 自由度 均方和 F 值 組間 3.79 5 0.76
誤差 10.12 200 0.05 PFC
總和 13.91 205
14.99***
組間 15.61 5 3.12 誤差 8.55 200 0.04 GTD
總和 24.17 205
73.00***
組間 18.75 5 3.75 誤差 8.08 200 0.04 PRX
總和 26.83 205
92.77***
***p<.001
表 4-2-10 得知，不同群學生的 PFC 值、GTD 值、PRX 值達顯著(p<.001) 差異，再進行 Scheffe 法之事後比較，分析如表 4-2-11、4-2-12、4-2-13。
表 4-2-11 各群 PFC 指數 Scheffe 事後比較摘要表
組別(平均) 第一群 第二群 第三群 第四群 第五群 第六群
第一群(.09) ─ -.26*** .05n.s. .01n.s. .00n.s. .05n.s. 第二群(.35) ─ .31** .26** .26*** .31***
第三群(.04) ─ -.05n.s. -.05n.s. -.00n.s.
第四群(.09) ─ -.01n.s. .05n.s.
第五群(.09) ─ .05n.s.
第六群(.04) ─
*p< .05 **p< .01 ***p< .001 n.s.p>.05
表 4-2-12 各群 GTD 指數 Scheffe 事後比較摘要表
組別(平均)數) 第一群 第二群 第三群 第四群 第五群 第六群
第一群(.39) ─ -.41*** .37*** .06n.s. -.04n.s. .36***
第二群(.80) ─ .78*** .47*** .37*** .76***
第三群(.02) ─ -.31* -.41*** -.02n.s.
第四群(.33) ─ -.09n.s. .30***
第五群(.43) ─ .39***
第六群(.03) ─
*p< .05 **p< .01 ***p< .001 n.s.p>.05
表 4-2-13 各群 PRX 指數 Scheffe 事後比較摘要表
組別(平均) 第一群 第二群 第三群 第四群 第五群 第六群 第一群(.48) ─ -.38*** .59*** .06n.s. -.04n.s. .43***
第二群(.86) ─ .97*** .44*** .34*** .81***
第三群(-.10) ─ -.53*** -.63*** -.16n.s.
第四群(.43) ─ -.10n.s. .38***
第五群(.53) ─ .47***
第六群(.05) ─
*p< .05 **p< .01 ***p< .001 n.s.p>.05
由表 4-2-11 至 4-2-13，各群在 PFC、GTD、PRX 指數差異之事後比較發現，
第二群各項指數得分最高，次高是第五群，第四、一群是中等表現，而各 指數得分最低為第三群和第六群。第一、四、五群無顯著性差異，選擇第 五群為中分群代表，分析此群之知識結構。第三、六群之間亦無顯著性差 異，選擇第三群為低分群代表，分析此群之知識結構。第二群則為高分群 之代表。二、集群分析與知識結構圖之分析
基於上述結果，比較第二群、第五群、第三群之知識結構圖特性。
(一)第二群：
第二群在三相似性指數是得分最高之一群（達顯著差異，p<.001），
共有九十七人，將第二群知識結構圖（圖 4-2-20 至圖 4-2-25）與標準參 照知識結構圖對照，發現此群各實例知識結構圖鏈結方式和標準參照知識 結構圖有很大相似之處，依其相似處將知識結構圖中二十四個題目分成三 區：第一區為因數的基本概念題，分別是：三、七、六；第二區為最大公 因、最小公倍數試題以及分母非互質的異分母加減法題：一、四、五、八、
九、十、十一、十七、十五、二十、二十三；第三區除了試題二為因數題 以外，其餘皆為異分母加減法題為：二、十二、十三、十四、十六、十八、
十九、二十一、二十二、 二十四。第二題雖然為因數倍數題，但題目設 計為選擇錯的答案，學生易因不夠細心而答題錯誤。由圖形中不難發現因 數倍數問題實為運算異分母加減法之基礎知識。實例之概念鏈結雖然沒有 完全精確，但都位於該區，表示這些概念彼此是有關係的，所以這一群學 童的因數倍數與異分母加減法的識結構已經很接近標準參照知識結構 了。將編號1、169、184、176、40、146 學生之知識結構圖分列於下：
圖 4-2-20 第二群實例一(=1.5306)
圖 4-2-21 第二群實例二 (=1.1002)
圖 4-2-22 第二群實例三(=1.02140) 圖 4-2-23 第二群實例四(=.8794)
圖 4-2-24 第二群實例五(=.8078) 圖 4-2-25 第二群實例六(=.7895)
表 4-2-14 第二群各實例之核心概念、能力值及指數值
實例 編號 核心概念 能力值θ PFC GTD PRX
一 1 1 1.5306 1 1 1
二 169 22 1.1002 .438 .972 .967 三 184 17 1.0214 .353 .955 .954 四 176 5、17 0.8794 .278 .934 .928 五 40 20 0.8078 .243 .898 .914 六 146 5、20 0.7895 .278 .900 .910
(二)第五群：
第五群在三相似性指數得分屬於表現中等一群，計有三十一人，觀察 此群學童知識結構圖（圖 4-2-26 至圖 4-2-34），發現其知識結構圖和標準 參照知識結構圖有差距，但各實例之間卻有非常大的相似之處。亦可依其 相似處將此群知識結構圖的二十四個概念分成四區，第一區為：概念一、
三、五、六、七、十七、二十三；第二區為：概念四、八、九、十五、二 十二；第三區為：概念十、十一、十二、十四、二十、二十四；第四區為：
概念二、十三、十六、十八、十九、二十一。由以上分區可看出此群學童 的知識結構和第二群學童的知識結構是不同的，標準參照知識結構圖的概 念八、概念四、概念六與概念一（核心概念）有所鏈結，但此群學童的概 念四大多數卻與概念九鏈結，概念四是最大公因數未知，概念九是最小公 倍數未知，可能是學童對這兩個概念混淆或不清楚，造成鏈結錯誤，對照 原始作答情形，發現此群學童在概念九作答情形不佳。
圖 4-2-26 第五群實例一(=.3479) 圖 4-2-27 第五群實例二 (=.4672)
圖 4-2-28 第五群實例三(=.5068) 圖 4-2-29 第五群實例四(=.4447)
圖 4-2-30 第五群實例五(=.5284) 圖 4-2-31 第五群實例六(=.3957)
圖 4-2-32 第五群實例七(=.4062) 圖 4-2-33 第五群實例八 (=.4375)
圖 4-2-34 第五群實例九 (=.3101)
表 4-2-15 第五群各實例之核心概念、能力值及指數值
實例 編號 核心概念 能力值θ PFC GTD PRX 一 81 17 0.5284 .179 .775 .859 二 31 17 0.5068 .179 .775 .855 三 24 17、22 0.4672 .122 .736 .846 四 37 17、22 0.4447 .122 .732 .841 五 187 17、22 0.4375 .122 .741 .839 六 155 5、17 0.4026 .150 .713 .831 七 128 5、13、17 0.3957 .150 .697 .829 八 13 16、17 0.3479 .095 .648 .817 九 196 17、22、16 0.3101 .070 .657 .807
(三)第三群：
第三群集在三相似性指數得分是較低一群計有十三人，觀察此群集學 童知識結構圖（圖 4-2-35 至圖 4-2-44），發現概念二和概念十一鏈結的比 例頗高，再比較標準參照知識結構圖，發現兩概念並無直接連結關係且相 距甚遠，概念二為因數題、概念十一為公倍數題，所以推論此群集學童可 能習得表面知識結構而無深層知識結構。此結果呼應了 Vosniadow &
Brewer(1987)、Gonzalvo et al.(1994)提出的，專家以抽象向度組織知 識，比較容易接受知識，而生手組織知識則缺乏理論、組織架構與基模（江 淑卿，民 86）。
圖 4-2-35 第三群實例一(=-1.5486) 圖 4-2-36 第三群實例二(=-1.7451)
圖 4-2-37 第三群實例三(=-1.8466)
圖 4-2-38 第三群實例四(=-1.9023)
圖 4-2-39 第三群實例五(=-2.0214)
圖 4-2-40 第三群實例六(=-2.0752)
圖 4-2-41 第三群實例七(=-2.2154)
圖 4-2-42 第三群實例八(=-2.2595)
圖 4-2-43 第三群實例九(=-2.2894)
圖 4-2-44 第三群實例十(=-2.3839)
表 4-2-16 第三群各實例之核心概念、能力值及指數值
實例 編號 核心概念 能力值θ PFC GTD PRX 一 5 - -1.5486 .070 -.088 -.089 二 144 12 -1.7451 .000 -.060 -.118 三 50 14、21 -1.8466 .045 -.043 -.124 四 22 19 -1.9023 .070 -.049 -.125 五 42 - -2.0214 .045 -.025 -.125 六 138 - -2.0752 .000 .007 -.123 七 7 10 -2.1524 .045 .049 -.114 八 108 - -2.2595 .045 .097 -.100 九 52 10 -2.2894 .045 .101 -.096 十 82 - -2.3839 .022 .146 -.079
集群分析的目的是將有相同特性的個體分在同一群，讓研究者將如山 一般多的資料簡化，而針對有興趣的方向做深入研究。本研究發現，利用 群集分析方法將受試者分成六群，各群之內的知識結構圖相似程度極高，
可見利用群集分析方法確能將不同知識結構的學童有效的分組。