因數與倍數的學習成效對於異分母加減法學習的影響-以中部地區國小六年級為例
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(2) 施，教育目標、教學方法皆與以往迥然不同，評量的方式勢必要有所突破。 傳統的評量都是單一化的總分來標記學生，無法描述學生的學習狀況，無 法瞭解學生的知識表徵結構，更無法確切的解決學生在學習上所遭遇的困 難，也可能會因評量之誤而扼殺了學生的學習動機與興趣。 評量工具是否能真正測得學生的能力，是重要的因素，余民寧、林曉 芳、蔡佳燕（2001）研究發現：利用徑路搜尋所繪製出來的知識結構圖， 可以供作分析、診斷學生的錯誤概念之用，進而能夠針對學習缺陷之處提 出適當的補救措施，可以改進傳統紙筆評量方法之不足，更可以進一步提 供極具參考價值的診斷資訊。於是本研究擬運用網路概念的徑路搜尋 (path finder)之分析技術(Schvaneveldt,1990)來測量知識結構，期望分 析知識結構與學習表現的關係，並且藉以比較知識結構之間的差異，以瞭 解學生的學習歷程，及提供教師面對不同能力學生時應採用何種教學方 式，以作最佳的補救教學措施。Lester(1985)提出，要對學習低成就學生 進行補救教學，有效的教學策略是必須的。 影響學生學業成就者，除了學生的智力因素外，另外還有些屬於非智 力的其他因素，因此，要想在教育上真正達成「因材施教」的理想，就必 須考慮影響學校教育效果的非智力因素（張春興，1996） 。 本研究乃欲使用試題反應理論(item response theory，簡稱 IRT)， 為基礎的徑路搜尋，分析國小六年級學童因數倍數與異分母加減法之知識 結構。資料來源與分析工具主要依據「自編之因數倍數概念與異分母加減 法運算測驗」 、「試題反應理論」 、 「徑路搜尋」來進行，期待藉由此研究能 更了解學童的因數與倍數的學習成效對於異分母加減法學習的影響以及 其知識結構與認知型式關係，並根據研究的結果提出教學及評量上的建 議。. 2.
(3) 第二節. 研究目的. 本研究主要目的在於探討國小六年級學童學習因數倍數的成效是否直接 影響其異分母加減法運算的學習，欲透過徑路搜尋的方法，探討學生的知識 結構圖在學習歷程上差異，並以集群分析探討不同集群的學童，其知識結構 圖的差異。. 第三節. 待答問題. 一、 探討學習的成效之相關 因數倍數題與異分母加減法題之相關？ 二、 探討知識結構與能力值之分析 (1) 相似性指數對能力值之預測情形？ (2) 不同能力值的學童，其知識結構圖的差異如何？ 三、 探討知識結構與原始分數之分析 (1) 相似性指數對原始分數之預測情形？ (2) 原始分數相同但能力值不同的學童，其知識結構圖的差異如何？ 四、 探討知識結構與集群分析之分析 (1) 不同集群的學童，其相似性指數的差異如何？ (2) 不同集群的學童，其知識結構圖的差異如何？. 第四節. 名詞釋義. 本研究所涉及之相關特定名詞的界定及說明如下： 一、六年級學童 3.
(4) 指九十五學年度六年級的學生，是第一屆從一至六年級都接受九年一貫 課程的學生，這群學生在九十五學年度為六年級，此份研究工具是在六年級 上學期施測的。 二、因數與倍數 本研究針對因數倍數的主要概念，涵括因數、公因數、最大公因數、倍數、公 倍數及最小公倍數概念。 1. 因數：是以正整數為範圍，設a、b、q 為正整數，若a＝b×q或 a÷b＝q，則稱 b 為a 的一個因數。 2. 公因數：以正整數為範圍，兩個或兩個以上的整數，他們共同都擁有 的因數，稱為這兩個（或兩個以上）整數的公因數。 3. 最大公因數：以正整數為範圍，兩個或兩個以上的整數，他們共同都擁 有的因數中最大者，稱為這兩個（或兩個以上）整數的最 大公因數。 4. 倍數：是以正整數為範圍，設a、b、q 為正整數，若a＝b×q或 a÷b＝q，則 稱a 為b的一個倍數。 5. 公倍數：以正整數為範圍，兩個或兩個以上的整數，他們共同都擁有 的倍數，稱為這兩個（或兩個以上）整數的公倍數。 6. 最小公倍數：以正整數為範圍，兩個或兩個以上的整數，他們共同都擁 有的倍數中最小者，稱為這兩個（或兩個以上）整數的最 小公倍數。. 三、異分母加減法運算技巧 1. 通分—找出分母之共同倍數，最好是最小公倍數，使用最小公倍數的好 處，就是要避免運算太大數字 。 2. 擴分—分母、分子乘以相同的數其值不變. (等值分數的概念) 。. 3. 加減法計算—當分母相等時，分子進行加減運算。 4. 約分—最簡分數。 (以質因數約分) 5. 轉換帶分數與假分數 (借位問題). 4.
(5) 四、知識結構 所謂知識結構(knowledge structure)，係指學習者透過內在的認知歷 程，將數個單一概念組合之後所形成的組織。本研究透過徑路搜尋，計算出 PFC、GTD、PRX 三種指數，作為知識結構的指標，得分愈高表示受試者知識 結構與專家知識結構相似性愈高。 五、徑路搜尋 徑路搜尋等技術係由美國墨西哥洲立大學 R. W. Schvaneveldt 教授領 導的團隊開發出來的軟體程式，可用來評量、表徵、分析學習者在某個學習 領域所習得的知識結構。本研究採用知識網路組織工具(Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT)分析知識結構，參數 r 設定為∞，參數 q 設定為 n-1。. 六、試題反應理論 試題反應理論又稱為潛在特質論，係假定個體在某一測驗上的表現或反 應，可由一個或一組因素來解釋，而這種因素是觀察不到的，故稱為潛在特 質。而試題反應理論是根據受試者在試題上的實際表現，來分析試題的鑑別 度、難度及猜測度等測驗指標與受試者潛在特質關係的一種理論。 試題反應理論(item response theory)建立在兩個基本概念上：(1)考生 (examinee)在某一測驗試題上的表現情形，可由一組因素來加以預測或解 釋，這組因素叫作潛在特質(latent traits)或能力(abilities)；(2)考生的 表現情形與這組潛在特質間的關係，可透過一條連續性遞增的函數來加以詮 釋，這個函數便叫作試題特徵曲線（item characteristic curve，簡寫為 ICC） 。其實，我們把能力不同的考生得分點連接起來所構成的曲線，便是能 力不同的考生在某一測驗試題上的試題特徵曲線，把各試題的試題特徵曲線 加總起來，便構成所謂的試卷特徵曲線（test characteristic curve，簡寫 為 TCC）。因此，試題特徵曲線即是一條試題得分對能力因素所作的迴歸線，. 5.
(6) 這條迴歸線在基本上是非直線的，但直線的試題特徵曲線也是有可能的，端 視所選用的試題反應模式(item response model)而定。（余民寧，1991） 試題反應理論(IRT)是測驗領域中較新的技術，它已經被應用在教育、心 理、醫療等相關領域中，如國中基本學力測驗、托福、GRE、GMAT 考試，以 及國外的一些人格量表與醫學相關量表的編製。當代著名的電腦化適性測驗 (CAT)也必須仰賴 IRT 的理論與技術才能運作。. 第五節. 研究限制. 本研究以國小六年級學童為對象，以自編工具，透過徑路搜尋的方法， 探討學生知識結構差異。在研究過程中，由於一些難以控制的客觀因素的影 響，故產生以下的限制： 一、就研究樣本而言 本研究僅以台中縣國民小學學童為取樣範圍，樣本維持原來班級進行研 究，因此本研究的外在效度之推論範圍會有所限制。 二、就研究方法而言 透過訪問的方式，可幫助瞭解學童在數學能力的發展，但本研究僅依紙 筆測驗所得的學童因數倍數以及異分母加減法知識結構來探討，是有所不足。 三、就研究工具施測時間而言 施測時間為六年級上學期，因剛上完分數加法的單元，時間點較不適當， 應將施測的時間延後一段時間，不會因記憶猶新而影響學習的實際成就。. 四、就研究的方法而言 測量知識結構的方法相當多，各有其特色與限制。本研究透過徑路搜尋 的方法，探討學生在因數倍數概念與異分母加減法概念的知識結構圖的差 異，其餘測量知識結構方法，則不包括在本研究的範圍內。. 6.
(7) 第二章 文獻探討 本章共分五節，主要根據本研究中的相關理論進行探討。第一節因數與 倍數，第二節異分母加減法運算，第三節知識結構，第四節為徑路搜尋，第 五節為試題反應理論，各節內容如下。. 第一節. 因數與倍數. 壹、因數倍數相關研究 因數的學習有許多學者與研究者研究，發現學習因數具有種種困難與迷 思。林珮如（2002）的研究發現：由於因數的先備知識錯誤，導致因數概念 上的迷思。例如：由乘法和除法導入因數與倍數概念時，學童會認為乘法是 越乘越大，除法會越除越小，所以用乘法是求倍數的，用除法才是求因數。 只要出現乘就認定是倍數，只要出現除就認定是因數。而因數教材中，因數 又是公因數和最大公因數的先備知識，學童更因為學習因數概念和算則的失 敗，影響了公因數和最大公因數的學習。茲將因數倍數的相關研究整理如下 表：. 7.
(8) 表2-1-1 因數倍數相關研究之整理分析表 因數的相關內容 研究者. 研究發現. 以因數的定義. 對於「甲數能整除乙數」或「甲數能. 陳清義（1996）. 被乙數整除」的敘述中，誰除以誰、 那個是因數或那個是倍數分不清楚 先備知識. 林珮如（ 2002）. 學生的先備知識不足， 造成概念的混 淆. 何東樨及蕭金土. 部分學生無法理解因數的概念. （ 1996） 黃耀興及邱易斌. 學童對於因數與倍數的名詞意義容易. （ 1999）、周文忠. 產生混淆. （ 2002）、林珮如 （2002） 黃耀興及邱易斌. 學童在求因數的過程中， 容易產生遺. （1999）、周文忠. 漏的情形（ 特別是1）因數的概念與. （ 2002）. 計算. 黃耀興及邱易斌. 學生也會對於因數與公因數的意義產. （1999）、林珮如. 生混淆的情形. （2002） 、周文忠（2002） 林珮如（2002）、周文 學生容易利用關鍵字解題認為「因數 忠（ 2002）. 就是要用除的」公因數的概念與計算. 8.
(9) 表2-1-1因數倍數相關研究之整理分析表(續) 因數的概念很抽 （黃國勳、劉祥通， 對學生而言，它只是一個獨立於生活之外的 象 2002）。 數學名詞，比較難透過具體的活動讓學生真 正理解因數的意義. 因數和倍數的 相關性. 黃耀興、邱易斌 （1999）. 公因數、公倍數 黃耀興、邱易斌 名詞混肴 （1999）. 因數、公因數的 游麗卿（1997） 問題與解題活 動 因數、公因數的 何東墀、蕭金土 應用（文字題） （1996） 黃耀興、邱易斌 （1999）. 在數學上，都是透過因數引入倍數意義 的方式（說明：若A 是B 的因數，就等 於B 是A 的倍數）來教學，但對測量運 思尚未發展完全的學童而言，比較不容 易掌握倍數概念的意義。 ＊有15.25％的小朋友會將公倍數與公 因數的名詞概念混淆在一起，以為「任 何數的公倍數＝1」。 ＊ 有35.59％的小朋友，會把因數（公 因數）、倍數（公倍數）的名詞意思 混淆不清。 *在因數問題上，有1.69％的小朋友常常 會漏了1（因為1 是任何數的因數）。 *在因數問題上，有小朋友會漏的數字本 身也是它的因數。 學生沒有連結解題活動和解題紀錄。. 因數的綜合應用是數學學習障礙學生 之數學問題範圍之一。 ＊小朋友在處理應用題的時候，有些人 缺乏整體的構思與整合性的解題策略。 ＊文字題方面的解題情形更是學生學習的 困難處。. 貳、不同課程標準及能力指標的「因數與倍數」課程分析 (一)64 年課程的因數與倍數教材編排（資料來源：國立編譯館 1991、1992. 9.
(10) 版；國民小學數學科新課程概說-低、中、高年級），如下表 2-1-2： 表 2-1-2 64 年課程的因數與倍數教材編排 年級. 單元及單元名稱. 教材內容 1.利用「方陣排列」或「等分組」情 境，經驗因數的意義. 第一單元 因數. 2.質數與合數的意義 3.公因數與最大公因數的意義. 五年級. 4.互質的意義. 上學期. 1.倍數的意義 第二單元 倍數. 2.公倍數與最小公倍數的意義 3.奇數與偶數的意義. 第五單元 分數. 1.約分的意義(公因數的應用) 2.通分的意義(最小公倍數的應用). (二)82 年課程的因數與倍數教材編排（資料來源：國立編譯館 1999、2000 版；國民小學數學科新課程概說-低、中、高年級），如下表 2-2-2：. 10.
(11) 表 2-1-3 82 年課程的因數與倍數教材編排 年級 五年級 上學期. 單元及單元名稱 第十四單元 線段圖. 第四單元 因數與倍數 五年級 下學期. 第六單元 比 第十二單元 1 公分和多 少條繩子一樣長. 六年級 上學期. 第六單元 擴分與約分. 教材內容 1.利用「方陣排列」或「等分組」情 境，經驗因數的初步概念 1.因數的意義 2.倍數的意義 1.公因數和最大公因數的意義 2.公倍數與最小公倍數的意義 公倍數的應用 1.約分的意義(公因數的應用) 2.通分的意義(最小公倍數的應用). (三)89 年課程的因數與倍數教材編排（資料來源：翰林出版社 2004、2005 版；國民小學數學科新課程概說-低、中、高年級），如下表 2-4： 表 2-1-4 89 年課程的因數與倍數教材編排 年級. 單元及單元名稱. 教材內容 1.利用「方陣排列」或「等分組」情. 第一單元 因數與倍數. 境，經驗因數的概念 2.倍數的概念. 六年級 上學期. 第三單元. 1.公因數的概念. 公因數與公倍數. 2.公倍數的概念. 第四單元 分數. 1.約分的意義(公因數的應用) 2.通分的意義(最小公倍數的應用). 11.
(12) 由上我們可以發現三個年段對小學因數倍數的教學內容沒有很大 的差異，有差異的是在2001年版的因數倍數課程往後挪到六年級才教。 從皮亞傑（Piaget）的認知發展論來看，剛升上國小五年級學童尚處於 具體運思期（concrete operational stage），他們的推理思維能力只 限於眼見的具體情境或熟悉的經驗（張春興，1996），因此對於因數概 念的學習是感到困難的。另外，公因數的意義則是三階層的概念，整除 →因數→公因數。從前面的實例中，可以明瞭學童在計算的操作上也許 經由練習便能學會運算的技巧，但是對於整除與因數，或是整除與公因 數，甚至是因數與公因數之間彼此意義的連結，學童恐怕是比較難以理 解的。. 第二節. 異分母加減法. 壹、影響兒童分數概念表現的因素 呂玉琴（ 1991a）指出影響兒童分數概念表現的因素可以分二部分 來探討： 試題因素及學生因素。試題因素有如下數項： 不同分數意義 的接受情形、分數試題的了解層次、單位量的指認、等分的概念、表徵 及分數的結構。學生因素則包含年齡， 空間概念， 長度、面積守恆概 念，性別及智力。 一、試題因素 （ 一） 不同分數意義的接受情形 Kerslake(1986)曾以一系列的問題面測學生， 以了解兒童接受五種 不同分數意義的程度。結果發現學生較能接受的分數意義是： 部分/全 體 、子集/集合、 數的意義(引自呂玉琴， 1991a)。黃緯馨(1995)研究 我國高年級學生在數線上表示分數的能力時， 發現兒童會忽略數線上的. 12.
(13) 參考值，將數線當作1 個單位量，再以「部分/全部」的方式解題， 可 見數線是一個單位長時， 與「部分/全部」的意義類似。在不同的分數 意義中，大部分的研究都發現在分數的五種意義中， 以「部分/全部」 及「子集/集合」這兩種意義較容易被學生接受。 （ 二） 分數試題的了解層次 根據Hart（ 1981）發展的分數概念試題。其中包含分數的意義、等 價分數及分數加減法運用（ 12-13 歲），我們可以得到這樣的訊息： 由 層次一部份/全體與層次二子集/集合的數學特性來看， 似乎隱含連續量 上的分數意義是先於離散量的意義發展的。 （ 三） 單位量的指認 呂玉琴（1991a）指出學生在處理單位量時，無論是「部分/全部」 或「子集/集合」或數線的分數問題時，都有指認單位量的困難。楊壬孝 （1988）指出兒童在處理「分數是一個集合等分後的幾組」的問題時， 對 單位量的指認有問題。此外， 兒童指認單位量的困難的三種類型則是： 忽略給定的單位量、受分子控制、受分母控制。林福來等（ 1996）發現 兒童的單位量概念有兩個特點： （1）兒童在處理自己不熟悉的分數問題， 或是遇到無法處理的情形時， 會改變單位量或分解單位量， 使問題簡化到自己可以處理。例如：給一 包5 片口香糖，要兒童拿這些口香糖的1/2，兒童將5 片口香糖分為2 片、2 片一堆，剩一片放置一旁不要， 兒童改變了單位量。 （2）兒童傾向於自我假設在同一情境中出現的各個分數具有相同的單位 量。例如：「如果爸爸、媽媽回家時，各買了一個蛋糕，爸爸把它的蛋 糕分一半給你， 媽媽把她的蛋糕分一半給弟弟， 你和弟弟吃的一樣多 嗎？ 」題目中雖沒有提供具體的蛋糕或蛋糕的圖像， 但兒童都會假設 兩個蛋糕一樣大， 不會考慮不同單位量對解題的影響，而回答兩個人都. 13.
(14) 分到一半，應該一樣多。 （四） 等分的概念 等分概念在連續量是將全部「分」為相等的部分；在離散量， 是將 一堆分散的物體，「分」成等量的子集合。多個研究指出等分概念對兒 童分數概念的影響（ Piaget,1960；林碧珍，1990；呂玉琴，1991a）， 許多分數的解題活動也都建立在等分概念的運作上（ 呂玉琴， 1994）。 但是，亦有多項研究顯示兒童的等分概念並不完備，例如： 大部分國小 三年級學生在處理分數板的問題時，只注意到分數板分割成幾塊， 而沒 有注意到分割的每一塊是否相等。除此之外， 兒童常犯的錯誤有： 將 連續量分成兩份，但兩份的大小不一樣；將同樣大小的離散量分成兩份， 但兩份個數不一樣多； 將不同大小的離散量分成個數相同的兩份， 但 兩份的總量不一樣多（ 呂玉琴， 1991b）。此外，兒童在判斷分割後的 部分是否等份時，也會以視覺的約估及對折或折成三份、四份等直觀的 方式來判斷是否等分（ Freudenthal.1983）。 有的兒童的等分概念則涉及分割後各部分的形狀與面積。例如：有 20﹪－25﹪的國小五、六年級兒童認為平面圖形的等分，就是分割的每 一塊要面積相等且形狀都相同。（林碧珍， 1990） （五） 表徵 Lesh et al.（1987）認為學生必須具有下列條件才算了解一個概念 （例如1/3 這個概念）： （1）它必須能將此概念放入各種不同的表徵系統中， （2）在給定的表徵系統內，他必須能很有彈性的處理這個概念， （3）他必須能夠很精確的將此概念從一個系統內轉換到另一個表徵系 統（ 引自呂玉琴，1991a）。 表徵系統在分數的教學中被大量使用，是因為實物與圖畫式的表徵. 14.
(15) 系統， 一般上被認為較易使分數與符號規則連結。例如： 切割成不同 單位的圓形分數板（ 如1/2 分數板、1/3 分數板等）， 分數長條或畫 圖。而屬於靜態的圖畫表徵主要有面積、代表離散物的圖形、數線三種， 他們的主要功能在於幫助學生連結數學符號及內在的心理表徵、連結概 念的多重意義、並建立正確的概念，以避免使用記憶的規則（黃緯馨， 1995）。兒童的概念如果沒有在不同表徵之中多方檢驗， 可能會誤解兒 童對概念的掌握。影響表徵系統之內或之間的轉換因素，常與知覺的線 索有關。例如， 將符號轉換到圖形表徵上， 知覺所提供的線索， 很容 易干擾兒童的解題（ Behr, et al.1983）。現在我們將表徵系統對分數 概念的影響分成表徵系統內的影響及表徵系統間的影響二部分來探討： （1）表徵系統內的影響 （a）圖形表徵系統：以長方形最易處理，正方形次之，圓形最難（ Piaget, et al. 1960）。在數線模式上，當兒童解決數線等分割後的段數等於分 母的問題時， 其答對率高於等分割段是分母的因數、分母的倍數或與分 母無關的分數問題（ 黃馨緯，1995） （b）符號表徵系統： 學生在處理等價分數時， 約分的問題比擴分的 問題難（ 楊壬孝， 1988） （2）表徵系統間的影響 （a）圖形表徵與符號表徵之間的轉換： Post, et al.（ 1985）由教室 觀察發現學生在比較分數的大小時，部分學生不會將圖形轉換成符號再 做比較，只是直觀的以圖形中斜線面積的多少作為分數大小的判斷。 （b）實物表徵與符號表徵之間的轉換：Clement（ 1988）面談五年級 學生的分數概念時，發現學生操作教具的成就比操作符號的成就差很 多。例如： 要學生找出12 顆彈珠中的1/4， 其答對率為10﹪ ； 要學 生求12的1/4， 其答對率為51﹪ 。. 15.
(16) （c）語言表徵與圖形表徵之間的轉換：當學生把語言轉換成數線模式 時， 兒童會受到語言的影響而發生問題。例如： 要求兒童在數線上標 出3/5 時，因為先念分母（五分之三的「五」），所以會先在數線上數 五格，再數三格， 而將3/5 標在數線5 後面第三小格的地方（ 楊壬孝， 1987； 黃馨緯，1995）。 （d）不同表徵系統之間的轉換的難易情形：Lesh, et al.（ 1987）探 討4-8 年級學生的分數概念時發現不同的表徵系統之間的轉換難易程度 不同，其中以圖形轉換成符號最難。最容易的轉換是要求學生讀出一個 寫成符號的分數（例如：3/4 怎麼念？）即符號轉換成語言。 （六） 分數的結構 分數的結構問題涉及的有（ 呂玉琴， 1991a）： （1）阿基米德分數的大小， 兒童在處理大小不同的阿基米德分數問 題時， 困難度也不同。例如：Piaget, et al.（1960）發現兒童先會處 理1/2 的分數問題， 其次依序是1/4、1/3、1/5、1/6。 （2）自然數的影響會呈現在兒童比較分數大小與等值分數上，他們易 犯的錯誤是根據分母的大小來比較； 根據分子的大小來比較； 將分子 分母同加一數來比較； 分別比較二個分數的分子分母。 二、學生因素 1.年齡： Piaget, et al.（ 1960） 用「部分/全體」的分數問題來研 究孩童的分數概念， 結果發現兒童在4~4.5 歲能處理「1/2，1/4」的分 數問題，6~7 歲能處理「1/3」的分數問題，7~9 歲能利用試誤法處理「1/6」 的分數問題， 而10 歲便能明確的處理「1/6」的分數問題。就不同類型 的分數試題而言，整體看來，分數概念的表現隨年齡的增加而增加 （ Southwell,1983；楊壬孝，1988），且成就的增長速度亦受年齡的影 響（Southwell,1984）。. 16.
(17) 2.空間概念： Figueras, et al. （ 1985）發現學生只會處理平面圖形。 3.長度、面積守恆概念： Piaget, et al.（ 1960）將分數概念細分成 七個子概念， 而長度、面積守恆概念及其中的一個子概念。 4.性別： Southwell （ 1983,1984）發現就整體而言，男女之間分數概 念的成就並沒有統計上的差異。 5.智力： Post, et al. （ 1985）由其教學實驗的過程中觀察到智力的 高低會影響學生分數概念的學習。 影響兒童分數概念的因素很多， 兒童在整數概念發展時不同的運思 層次表現，應該也會出現在分數概念的發展中，例如：具備加法性分數 的兒童可以瞭解單位分數內容物為單一個物離散量，或連續量的同分母 分數合成、分解及比較問題，而等值分數概念的理解，至少必須具備巢 狀分數概念進而理解異分母分數合成、分解及比較問題。因此，考量研 究者之時間與人力，乃針對學童解決真分數中同分母與異分母之合成、 分解時，是否已能理解「加法性分數」、「巢狀分數」之分數詞意義， 並注意上述各項因素是如何影響兒童分數概念的。. 貳、不同課程標準及能力指標的「分數」課程分析 (一)64 年課程的分數教材編排(資料來源：國立編譯館 1991、1992 版；國 民小學數學科新課程概說-低、中、高年級)，如下表 2-2-1：. 17.
(18) 表 2-2-1 64 年課程的分數教材編排 年級 二年級 下學期 三年級 下學期. 單元及單元名稱 第四單元 分分看. 教材內容 1 2. 1 4. 分數的初步概念(了解 、 的意義) 1.分數的認識(分母、分子). 第六單元 分數. 2.分母為 100 以內的真分數的認識 3.同分母分數比較大小 1.分數的種類(真分數、假分數與帶. 四年級 下學期. 分數) 第五單元 分數. 2.同分母分數比較大小 3.同分母分數的加減 4.等值分數 1.分數的約分、擴分. 五年級. 第五單元 分數. 上學期. 2.最簡分數 3.異分母分數比較大小. 第八單元 分數的加減. 異分母分數的加減. 五年級. 第四單元 分數的乘法. 分數乘以整數. 下學期. 第六單元 分數的除法. 分數除以整數. 第一單元 分數的乘法. 分數的乘法運算. 第三單元 分數的除法. 分數的除法運算. 第五單元. 1.分數的數線. 六年級. 整數、小數與分數. 2.分數與小數的關係. 上學期. 第十單元 分數四則. 分數四則運算. 第十一單元 整數、小數與分數的計 整數、小數及分數的四則混合計算 算. (二)82 年課程的分數教材編排(資料來源：國立編譯館 1999、2000 版；國 民小學數學科新課程概說-低、中、高年級)，如下表 2-2-2：. 18.
(19) 表 2-2-2. 82 年課程的分數教材編排. 年級 單元及單元名稱 二年級 第五單元 分繩子 下學期 第七單元 最少要帶幾拾元. 教材內容 1.分數概念的初步認識 2.分數的讀法轉換成記法. 三年級 第二單元 幾分之幾 下學期 第四單元 十的幾倍 第六單元 記成另一種算式填充題. 1.分母為20以內的真分數的認識 2.分母為10的真分數 連續量的情境下，同分母分數的加減 離散量的情境下，同分母分數的加減. 第八單元 0.1 與. 1 10. 四年級 第六單元 上學期 四千加五百六十七 第八單元 五萬減四千三百二十一 9 7 四年級 第一單元 包和 包合 10 10 下學期 起來是多少包 第二單元. 11 3 條與 1 條 8 8. 第四單元. 10 1 張與 張 100 10. 第六單元 五千五百五十萬 1 10. 第七單元 1 條與 1.1 條. 1 2. 對等分的離散量加以命名，如 、. 1 3. 分數與小數的關係 分母為 100 以內的真分數的認識 1.同分母真分數的加減 2.真分數乘以整數 同分母真分數的加減. 1.分數的認識(分母、分子) 2.分數的種類(真分數、假分數與帶 分數) 1.等值分數的初步認識 2.同分母分數的加減 1.假分數與帶分數的關係 2 2. 3 3. 2. 、 …. 100 和 1 的關係 100. 分數與小數的關係. 第十二單元 83 5 盒與 5.83 盒 100. 19.
(20) 表 2-2-2. 82 年課程的分數教材編排(續 1). 第一單元. 1.同分母帶分數的加減. 3 2 盒的 6 倍是多少盒 10. 2.分數乘以整數. 第二單元. 1.分數乘以整數. 2 2 4 條與 4 條 3 3. 五年級. 第六單元. 2.省略帶分數寫法中「+」號. 2 4 包和 包 3 6. 等值分數的初步認識. 上學期 第七單元 盡量分完與全部分完 第十二單元 27 支冰棒的. 整數除法的商為分數 4 9. 倍是幾支冰棒 第十六單元 24 瓶果汁的. 4 9. 1.整數除法的商為分數 2.分數乘以整數 整數乘以分數. 被是幾瓶果汁 第 一單 元. 601 397 袋比 1000 1000. 袋多了多少袋 第二單元 分數的乘法. 1.等值分數的初步認識 2.同分母分數的加減 異分母分數的乘法 1.分數的數線. 第十單元 分數的除法. 2.同分母分數的除法 3.分數與比的關係. 五年級. 下學期 第十二單元 1 公分和多少 1.等值分數 條繩子一樣長 2.分數的數線 第十三單元 4 公斤的多少 1.整數乘以分數 2.分數的數線 4 倍是 公斤 5 3.整數除法的商為分數 第十五單元 乘、除先算， 再由最左往右算. 連續量的情境下，異分母分數的乘法. 20.
(21) 表 2-2-2. 82 年課程的分數教材編排(續 2) 1.異分母分數的乘法. 第一單元. 4 瓶和「九分之 2.透過比例圖示，理解兩異分母分數 6. 的共同單位分數的分母是兩異分. 幾」平一樣多. 母分數的公倍數 1.異分母分數比較大小 六年級. 第三單元 最簡分數. 2.最簡分數 3.整數除法的商為分數. 上學期. 1.分數表示在數線上 第六單元 擴分與約分. 2.分數與小數的關係 3.擴分、約分與通分 1.異分母分數的加減，並化成最簡分. 第十單元 3 1 5 袋比 袋多 袋 8 6 24. 第一單元 六年級. 小數乘法的直式紀錄. 數 2.異分母分數的乘法 3.分數的兩步驟問題 1.複習異分母分數的加減及乘法 2.複習分數除以整數 3.複習整數除以分數. 下學期 第四單元 18 3 與 18 3 20 20. 同分母分數的除法. (三)89 年課程的分數教材編排(資料來源：翰林出版社版 2004、2005 版， 國民小學數學科新課程概說-低、中、高年級) ，如下表 2-2-3：. 21.
(22) 表 2-2-3 年級 三年級 上學期 三年級 下學期. 89 年課程的分數教材編排. 單元及單元名稱 第五單元 我們來吃蔥油餅. 教材內容 分數概念的初步認識(分母為 12 以 內的單位分數). 第六單元 玩具工廠. 同分母真分數的加減. 第一單元 分數 四年級 上學期 第四單元 假分數與帶分數. 1.分數的認識(分母、分子) 2.同分母分數的加減 3.分數乘以整數 4.等值分數的初步認識 1.分數的種類(真分數、假分數與帶 分數) 2.同分母分數的加減. 四年級 下學期. 第二單元 分數. 1.等值分數的初步認識 2.異分母分數的比較 3.同分母分數的加減. 五年級 上學期. 第一單元 分數與小數. 1.分數的數線 2.分數與小數的關係. 五年級 下學期. 第一單元 分數. 第四單元 分數 六年級 上學期. 六年級 下學期. 第九單元 分數與小數的乘法. 第八單元 分數的除法. 1.等值分數 2.分數乘以整數 1.擴分、約分與通分 2.最簡分數 3.異分母分數的加減 1.整數除法的商為分數 2.整數乘以分數 3.異分母分數的乘法 1.分數除以整數 2.同分母分數的除法 3.異分母分數的除法 4.分數的四則運算. 22.
(23) 由上我們可以知道，三個年段對小學分數的基本概念與運算都已完 整的教學完畢，而且三個年段沒有太大的改變，差異較大的部分是在 82 年版的課程，因為異分母分數除法的部分往後挪到國中才教，但其內容 卻是三個年段當中分佈在最多單元的，因為 82 年的課程結構是緊緊相連 在一起的，所以每個新單元的開始都與前一個單元做連接，並讓學生做 複習的工作。而 64 年版的課程的不同則是讓學生先學習完全的分數概 念，等到六年級再做綜合練習計算，加強學生的精熟度。 三個年段的課程標準，都將異分母加減法的課程安排在因數倍數的 課程之後，隨著因數倍數課程的移動也調整異分母加減法課程的授課時 間。. 第三節. 知識結構. 壹、知識結構之理論分析 對於知識結構的定義，長久以來由於不同學者的研究重點、研究動 機 和 理 論 觀 點 的 不 同 而 有 不 同 的 看 法 。 而 認 知 結 構 (cognitive structure)是認知心理學研究的主題，探討此主題有助於了解個人獲得 知識的心理歷程；認知結構是指長期記憶中概念的關係和組織，有助於 個人進行儲存、提取和操弄等訊息處理歷程。有許多名詞與認知結構一 詞 是 類 似 的 ， 如 知 識 的 心 理 表 徵 (mental representation of knowledge) 、 知 識 表 徵 (knowledge representation) 、 知 識 結 構 (knowledge structure)，都是重視知識在個人心理的結構或狀態，而直 接影響學習、思考和問題解決等活動（饒見維，1994；江淑卿，1997）。 綜言之，知識結構是存在長期記憶中的認知結構，能掌握知識的組 織特質和關係，個人透過建構、修正和重組知識結構，影響學習和認知 的表現。 23.
(24) 一、知識的類型 認知心理學家 Anderson (1990)將知識分為兩類：一為陳述方式表 達的知識均屬陳述性知識，二為按一定程序理解操作從而獲致結果的知 識稱為程序性知識。其中陳述性知識一詞，是指靜態知識，亦即是屬於 理解物件、事件或想法的概念性知識，當某人知其然時，他就能對該物 件做清楚的描述，但並不必然要會懂得使用該知識；而程序性知識一詞， 是指動態性的知識，亦即是指對於完成一件事情所需各步驟的技能性知 識。 Mitchell ＆ Chi(1984)指出，知識結構屬於陳述性知識的一部 份，主要在表徵事件與概念之間的關係；但另有學者 Jonassen, Beissner ＆ Yacci(1993)認為知識結構是傳遞陳述性知識，進入程序性知識的中 介，有助於個體了解如何組織知識（如圖 2-3-1）(引自 江淑卿，1997)。. 陳述性知識 knowing that →. 知識結構 knowing why. 程序性知識 →. knowing how. 圖 2-3-1 陳述性知識、程序性知識與知識結構三者的關係. 二、知識表徵的類型 Rumelhart ＆ Norman(1985)認為知識的表徵大致可分為類比式、命題式 和程序式表徵系統。 (一)類比式（analogical）表徵系統：直接以圖像、影像表徵知識的類比式 表徵系統(analogical reprensentational system)係假設知識由多元表徵構 成，包括語意和心像表徵。 (二)程序式（procedural）表徵系統：以實際作業或動作程序表徵知識的程 序式表徵系統(procedural reprensentational system)係假設知識以條件句. 24.
(25) 形式呈現，強調知識結構和修正的動態歷程。 (三)命題式（propositional）表徵系統：呈現知識結構語意部分的命題式表 徵系統(procedural reprensentational system)係假設知識以條件句形式呈 現，強調知識結構和修正的動態歷程。 兩個概念加上連結兩概念的連結語所組合出的有意義單元就叫命題。然 而由於多數的類比式與程序式表徵系統所表徵的知識都能藉由命題式表徵系 統取代，其中以文字表現的命題式表徵法簡單易懂，更重要的是人類記憶儲 存知識也是以命題為單位，所以用命題式表徵系統去呈現知識就是最自然也 是最普遍的方式，本研究所採的網路模式即係屬命題式表徵系統。. 貳、知識結構之測量 多位學者研究發現，知識結構與學習表現有密切的關係，且知識結構能 有效預測學習表現。在知識結構的差異方面，專家的知識結構優於生手，能 力較佳者的知識結構優於能力較差者；在教學對知識結構的影響方面，發現 教學的介入能改變知識結構，所以知識結構有測量之必要，可藉由知識結構 的測量，發現教學的成效，並依其知識結構修正教學的步驟，以及能更有效 的施予補救教學，達到更有效的學習成效。 一、測量方法的特性 Royer, Cisero ＆ Carlo (1993)曾指出，網路模式對知識結構的研究 相當具體與客觀，大多數測量知識結構的方法是根據此理論發展出來的，這 些方法有三項特性（江淑卿，1997） (一)所測量的知識結構的靜態的。 (二)所測量的知識結構於陳述性知識，對於程序性知識的測量較有限。 (三)不同測量方法僅測得部份複雜的認知表徵，且各有其適合的領域。 二、測量方法的種類. 25.
(26) 測量知識結構的方法很多，Koubek ＆ Mountjoy(1991)將測量方法分 為四類，包括晤談法、分類法、圖解法、量尺法；鍾世帆（2005）將知識結 構評量方法整理如表 2-3-1 所示： 表 2-3-1 知識結構評量方法分析表 測量 方法. 方式. 晤談法. 分類法. 圖解法. 透過晤談、放聲. 透過卡片分類、樹 將個體的概念. 思考、原案分. 狀結構分析等方. 量尺法 透過不同量尺. 構圖，根據評分 化程序測量知. 析、觀察或文件 法，分析個體的認 系統計分，評量 識結構。 分析等過程取向 知結構。. 理解能力。. 的方法，分析個 體的認知結構。 能深入了解個體 快速簡單、可了解 將知識結構的. 以客觀和統計. 知識結構的內容 結構特質和改變。 內容分析，進一 方式產生圖解 特色 組織和變化。. 步量化。. 和知識結構相 關量數，進行知 識結構測量。. 所獲取的資料需 仍需透過主試者 限制. 評分時需透過. 透過主試者主觀 主觀解釋評分，無 主試者的解. 無法確實了解 概念接近性所. 的解釋，且較難. 法處理團體和平. 釋，無法避免主 代表的意義。. 統計分析。. 均的知識結構。. 觀經驗影響。. 本研究為獲得客觀的數據，以及進一步統計分析，故選擇量尺法較 適合。經常運用的量尺法包括重視整體知識結構關係的多向度量尺、重 視知識結構概念類別的集群分析、以及重視知識結構內關係的徑路搜尋 網路(pathfinder networks)(Jonassen, et al.,1993)，下列分別敘述及比較之. 26.
(27) （蔡佳燕，1990） 1.多向度量尺： 是多變量分析的一種，蒐集 n 個觀察點的相似度，形成近似矩陣，然後 根據此近似矩陣，決定最佳的 m 度空間來描述這些觀察體，而這 n 個觀察點 有其座標位置，從座標位置可以知道觀察點的空間關係為何。 2.集群分析： 亦是多變量分析的一種，是根據相似性客觀地將相似者歸集在同一集 群，有階層集群分析(hierarchical cluster analysis)和非階層集群分析 (non- hierarchical cluster analysis)兩種。本研究所利用的集群分析方 法是 K 平均數法(K-means methods)，即先假定集群的個數為 K，將所有觀察 值分成 K 群，然後依各觀察值到中心點距離遠近重新移動，使各觀察值將移 至最靠近的群體中，此時再計算各群體的新中點，這時繼續再移動各觀察值 到最近的群體，這樣不斷重複，直到不能再重新分派為止。 3.徑路搜尋網路分析： 是一個理論圖形(graph-theoretic)方法，能將近似矩陣(proximity matrix)經過轉換後，獲得一個網路結構(network structure)，在這網路結 構中，每一概念是一個節點(node)，而節點之間用一個線來鏈結(linking)， 表示兩概念之間有關係。此外，在鏈結的線上有一個加權值(weighting)，表 示節點之間的鏈結強度。本研究即以此為主要研究工具，下節將著重對徑路 搜尋之理論與分析應用加以探討。 Cooke, Durso ＆ Schvaneveldt(1986)亦指出，徑路搜尋比多向度量尺 的向度表徵，更能掌握回憶作業中的組織關係。徑路搜尋強調概念與概念間 的關係，而多向度表徵則只提供關於全部概念空間的訊息。比較概念與概念 的關係，可以凸顯不同個體間的知識結構差異，如此有助於解釋個體的表現 差異，此為徑路搜尋較其他知識結構表徵技術更實用、有效的主要特點，在. 27.
(28) 此將不同知識結構量尺方法分析比較如表 2-3-2。 表 2-3-2 不同知識結構量尺化方法之比較分析 量尺化 方法. 三者共同點. 研究重點. 限制. 空間呈現. 適用資料. 1. 引 發 知 識 掌握結構中 鏈結沒有命 以節點和鏈 適 用 階 層 性 係 透 過 概 最重要的關 名，以鏈結 結呈現二向 和 非 階 層 性 徑路搜尋. 念 間 相 似 係，了解概 長度表示相 度的網狀或 結構、次序和. 網路分析. 性 的 判 斷 念之間的位 關程度，視 階層圖。. 比率資料、對. 獲 得 接 近 置。. 需要予以鏈. 稱和非對稱. 性矩陣。. 結命名。. 相關性。. 多向度 量尺. 2. 將 知 識 結 掌握結構整 需主觀解釋 二向度以上 構 量 尺 體 概 念 關 向 度 的 定 的空間結構 化。. 係。. 義。. 呈現。. 3. 無 法 切 實 掌握結構概 需主觀解釋 樹狀階層結 適 合 處 理 階. 集群分析. 了 解 相 似 念類別。. 集群階層的 構呈現。. 層結構，不適. 性判斷，所. 分割點。. 合非階層結. 代表的因. 構。. 素。 （引自：江淑卿，1997）. 徑路搜尋以結構網路模式表徵知識結構，且可看出概念之間的相關性， 因此本研究選用徑路搜尋來分析國小學童面對因數倍數與異分母加減法運算 之知識結構，並配合集群分析的 K 平均數法（K-means methods） ，根據相似 性客觀地將相似者歸集在同一集群，藉此發現各個集群裡學生的知識結構特 性，並試著找出其共同的問題所在，分群補救教學，已達更佳的教學成效。. 28.
(29) 第四節. 徑路搜尋. 壹、徑路搜尋的基礎理論 徑路搜尋是 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的領導人 R. W. Schvaneveldt 及其研究小組，依據網路模式和圖解理論，研發徑路搜 尋網路量尺化算則 (pathfinder scaling algorithm)， 用以建構與分析受 試者之知識網路結構型態，可獲得徑路搜尋網路、圖解理論距離、徑路搜尋 網路圖解及與參照結構比較之相似性指數 （PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數） ， 並設計知識網路組織工具(knowledge network organizing tool，簡稱 KNOT) 以執行徑路搜尋。其理論基礎假設知識可以被組織的，且一個人的知識要豐 富 ， 必須 理 解 領 域 中主 要 概 念 間所 存 在 的 關 係 (Johnson, Goldsmith, ＆ Teague,1994)，通常用來輔助、分析和評量知識結構，希望藉此提供評量個 體知識結構之另一選擇。 徑路搜尋網路是以節點和鏈結相互連接之網路結構，一個節點代表一個 概念，如果有 n 個節點，每對節點之間都有鏈結，則有. n 2 n 條鏈結。而節點 2. 與節點之間的鏈結關係以距離權值表示其鏈結強度，但沒有命名。鏈結的特 色是能掌握知識結構中概念與概念間的關係，並藉此了解哪些鏈結間的關係 比較重要，但也因鏈結沒有命名，在解讀圖解時較難直接了解其結構形式 (Schvaneveldt, 1990)。. 貳、徑路搜尋的分析過程 徑路搜尋法評量知識結構的過程大致可分為三個步驟：引出知識、表徵 知識結構及評價知識結構，以下將這三個程序來分析徑路搜尋法的評量歷程。 一、徑路搜尋之引出知識 量尺法中知識的引出一般有字詞聯想、分類法、相似性評定、構圖等， 徑路搜尋法通常採用相似性評定法，來評量個體對於概念與概念間相互關係. 29.
(30) 的瞭解情形。首先挑選欲進行研究的一群概念，兩兩配對，由受試者進行判 斷各配對概念間的相似性、關聯性或心理距離，獲得受試者之接近性矩陣， 接近性矩陣中數值愈小，表示兩概念關係愈緊密。 然而相似性評定法雖具備客觀和施測簡易的優點，且研究者在編製量表 的同時可以掌握研究所需涵蓋的概念，較具完整性，但發現受試者無法精確 掌握其評定的標準，當概念數目較多時，此問題可能更嚴重(黃湃翔，2004)。 為修正此種研究辦法的缺失，本研究將使用傳統試卷施測，並搭配試題反應 理論與類似係數，求得受試者在不同步驟文字題概念之接近性矩陣。 二、徑路搜尋之表徵知識結構 徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之相似性 矩陣資料以徑路搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)轉換成距離矩陣 和徑路搜尋網路(PFNET)。徑路搜尋法在轉換過程中，需先決定 r 和 q 兩個參 數，其中參數 r 用來決定兩節點間徑路長度的計算方式，其範圍從 1 至∞，參 數 q 用來限制徑路間聯結鏈的數目，其範圍從 2 到 n-1 之間，n 表示節點數量， =∞, q =n -1 時，表示 所以參數 r 和 q 不同，其形成的徑路搜尋網路亦不同，當 r 探測所有不同的節點聯結路徑，並產生最少徑路的徑路搜尋網路圖(涂金堂， 2000；余民寧、林曉芳，2001；許淑貞，2003；黃湃翔，2004)。此外在徑路 搜尋量尺化的算則中，僅會保留權重總和最小的聯結鏈，也就是保留「最短 長度的徑路」 ，因此徑路搜尋網路的聯結方式有直接鏈(direct link)與非直接鏈 (indirect link)兩種。例如在圖 2-2-1 中，概念 A 與概念 C 間之鏈結方式，可能 =∞, q=4 時，直接鏈 A-C 為直接鏈或非直接鏈，由接近性矩陣可看出知，當 r 權重為 3，而非直接鏈 A-B-C 權重為 1，所以保留非直接鏈 A-B-C(涂金堂， 2000；黃湃翔，2004)。. 30.
(31) 接近性矩陣. 距離矩陣. A B C D E. A. B. C. D. E. A 0. 1. 3. 2. 3. A. 0. 1. 1. 2. 3. B 1. 0. 1. 4. 6. B. 1. 0. 1. 2. 3. C 3. 1. 0. 5. 5. C. 1. 1. 0. 2. 3. D 2. 4. 5. 0. 4. D. 2. 2. 2. 0. 3. E 3. 6. 5. 4. 0. E. 3. 3. 3. 3. 0. 最短距離. r , q =4. 徑路搜尋網路 A B C. 圖 2-4-1. E D. 接近性矩陣與徑路搜尋網路. (引自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991) 三、徑路搜尋之評價知識結構 得到徑路搜尋網路後，將受試者之徑路搜尋網路與參照結構相互比 較，可得三個相似性指數（PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數）以作為量化 數值評估依據，且其值域均介於-1 與 1 之間，值愈小表示受試者與參照 結構愈不相似，反之則表示愈相似。以下將以圖 2-4-2 之網路一、網路 二及網路三為例，解釋三個相似性指數及其計算過程。. 31.
(32) 網路一 A B PFC = .43 GTD = .79. D. E. F. G. 網路二. 網路三. A. A B. D. PFC = .74 GTD = .42. C. E. C F. 圖 2-4-2. B G. D. E. C F. G. 徑路搜尋網路之 PFC 值及 GTD 值. (引自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991) (一)GTD 指數 又稱為圖解理論距離指數（graphical theoretic distance，簡稱 GTD），是指兩個徑路搜尋網路中其圖解理論距離的相關性。圖解理論距離的 算則是以節點間所經過的鏈結數目來計算，而節點與節點之間的連結距離為 1，求其相關係數，範圍從-1 至 1，值越大表示兩個網路越相似。在圖 2-4-2 中，網路一及網路二之所有節點間的圖解理論距離值如表 2-4-1 所示，而兩個 圖解理論距離矩陣對應值之相關係數，即 GTD 指數為 .79。. 32.
(33) 表 2-4-1. 節點. 由圖 2-4-1 計算所得之 GTD 指數 節. 點. A. B. C. D. E. F. G. －. 1. 1. 2. 2. 2. 2. －. 2. 1. 1. 3. 3. －. 3. 3. 1. 1. －. 2. 4. 4. －. 4. 4. －. 2. 網路一 A B C D E F G. －. 網路二 A. －. B C. 1. 2. 1. 1. 3. 3. －. 1. 2. 2. 2. 2. －. 3. 3. 1. 1. －. 2. 4. 4. －. 4. 4. －. 2. D E F G. －. GTD 指數為 .79 （引自 Goldsmith et al.,1991） (二)PFC 指數 PFC 指數或稱 C 指數(closeness index)係利用集合理論(set theory)計算兩個網路共有的節點組，再以其鄰近節點的交集與聯集之平 均比率。表示知識結構圖中，兩個網路的每個節點周圍所銜接其他節點的. 33.
(34) 相似程度，範圍從 0 至 1，值越大表示兩個網路越相近。算法如表 2-4-2 所示。 表 2-4-2 根據圖 2-4-2 之網路一與網路二計算所得之 PFC 指數 鄰近節點. 節點交集. 節點聯集. 共有節 大. 點. 網路一. 網路二. 集合. 集合. 大小. 比率. 小 A. {B,C}. {B,D,E} {B}. 1. {B,C,D,E} 4. 1/4. B. {A,D,E} {A,C}. 1. {A,C,D,E} 4. 1/4. C. {A,F,G} {B,F,G} {F,G} 2. {A,B,F,G} 4. 2/4. D. {B}. {A}. U. 0. {A,B}. 2. 0/2. E. {B}. {A}. U. 0. {A,B}. 2. 0/2. F. {C}. {B}. {C}. 1. {C}. 1. 1/1. G. {C}. {B}. {C}. 1. {C}. 1. 1/1. {A}. 比率總和為 3，PFC＝3/7＝.43，U 表示空集合。 (引自 Goldsmith et al.,1991) (三)PRX 指數 PRX 指數(proximity data matrix)又稱為接近性指數。算法是直接 由評定量尺所獲得的接近性矩陣(proximity matrix)，求兩網路接近性矩 陣對應值元素的相關係數，範圍為 0 至 1，值越大表示兩個網路越相近。 舉例如表 2-3-3 與表 2-3-4，求出兩網路接近性矩陣對應值元素的相關係 數的值，即為接近性指數的值。. 34.
(35) 表 2-4-3. 根據圖 2-4-2 之網路一的接近性矩陣. 節點. A. B. C. D. E. F. G. A. a₁ ₁. a₁₂. a₁ ₃. a₁ ₄. a₁₅. a₁₆. a₁₇. B. a₂ ₁. a₂₂. a₂ ₃. a₂ ₄. a₂₅. a₂₆. a₂₇₇. C. a₃ ₁. a₃₂. a₃ ₃. a₃ ₄. a₃₅. a₃₆. a₃₇. D. a₄ ₁. a₄₂. a₄ ₃. a₄ ₄. a₄₅. a₄₆. a₄₇. E. a₅ ₁. a₅₂. a₅ ₃. a₅ ₄. a₅₅. a₅₆. a₅₇. F. a₆ ₁. a₆₂. a₆ ₃. a₆ ₄. a₆₅. a₆₆. a₆₇. G. a₇ ₁. a₇₂. a₇ ₃. a₇ ₄. a₇₅. a₇₆. a₇₇. 表 2-4-4. 根據圖 2-4-2 之網路二的接近性矩陣. 節點. A. B. C. D. E. F. G. A. b₁ ₁. b₁ ₂. b₁₃. b₁ ₄. b₁ ₅. b₁₆. b₁ ₇. B. b₂ ₁. b₂ ₂. b₂₃. b₂ ₄. b₂ ₅. b₂₆. b₂ ₇. C. b₃ ₁. b₃ ₂. b₃₃. b₃ ₄. b₃ ₅. b₃₆. b₃ ₇. D. b₄ ₁. b₄ ₂. b₄₃. b₄ ₄. b₄ ₅. b₄₆. b₄ ₇. E. b₅ ₁. b₅ ₂. b₅₃. b₅ ₄. b₅ ₅. b₅₆. b₅ ₇. F. b₆ ₁. b₆ ₂. b₆₃. b₆ ₄. b₆ ₅. b₆₆. b₆ ₇. G. b₇ ₁. b₇ ₂. b₇₃. b₇ ₄. b₇ ₅. b₇₆. b₇ ₇. 参、徑路搜尋的相關研究 一、與學習表現關係之相關研究 近年來徑路搜尋的研究愈來愈受重視，而在一些徑路搜尋的研究中， 經常都使用 GTD、PFC、PRX 三種相似性指數來預測學習的表現。 最早實際應用到心理學的為 Goldsmith 等人(1991)，探討採用徑路搜 35.
(36) 尋法和多向度量尺所測量的知識結構，對於大學生在心理學研究法學期成 績的預測力。研究結果發現，徑路搜尋計算所得的 PFC 指數，較 GTD 指數、 PRX 指數、多向度量尺計算所得的指數有更好的預測力。 Gomez 和 Housner(1992)以物理準教師為對象，採用徑路搜尋法探討 受試者的物理教學知識結構與其學期成績表現的關係。研究結果顯示，三 種相似性指數皆與學期成績有顯著的相關，預測力最高的為 PRX 指數，其 次為 PFC 指數，最低的是 GTD 指數。 Action, Johnson ＆ Goldsmith (1994)則採用評定 24 個電腦程式 概念間相關程度，來研究 61 位修習電腦課程學生知識結構與學業表現的 關係，並建立九種參照結構，研究結果發現，採用不同參照結構，所計算 出來的 PFC 指數，預測學習表現效果最佳。 江淑卿(1997)以徑路搜尋法探討國小學童自然科知識結構與科學文 章理解能力的關係，研究結果顯示，預測力最高的為 GTD，其次為 PFC， 最低的為 PRX，而在知識結構中以高成就組學生與參照結構最相似，其次 為中成就，低成就組差異最大。 涂金堂(2001)以 216 名國小六年級學生為對象，探討不同數學能力學 生其數學文字題問題結構的差異情形。結果發現，不同數學能力學生的數 學文字題問題結構有差異，且高數學能力學生的 PRX 指數值顯著高於中數 學能力學生。 許淑貞(2003)針對數學幾何三角形概念，將圖形概念測驗所得之結果 運用試題反應理論與模糊認知結構，求出學生之概念矩陣，探討學生之幾 何概念，結果顯示量化結構指數能有效預測能力值，其中以 PFC 指數具有 最佳的預測力。 黃湃翔(2004)探究高中學生物理學科的知識結構和學習表現的關 係，研究結果發現知識結構量化指數中以 PFC 指數對於高成就組與全體學 生之力學學習成就預估效力最高。 36.
(37) 黃美盼(2004)在整數加減法文字題知識結構與認知型式關係之研究 中，發現知識結構量化指數中以 GTD 指數具有最佳的預測力。 鐘世帆(2004)於國小學童整數乘除概念知識結構與認知型式相關之 探討，發現在高乘除能力組中，以 PFC 指數最佳；在中乘除能力組中，以 PRX 指數最佳；在低乘除能力組中，以 GTD 指數最佳；在全體學生中，以 PRX 指數最佳。 綜合上述研究發現，以徑路搜尋網路分析計算出的三種相似性指數 GTD、PFC、PRX 與學習表現的關係，在不同的特定學習領域，三種相似性 指數皆能有效預測學習的表現，但哪一指數預測力最佳則尚無定見。 二、專家與生手差異性之相關研究 在知識結構差異性的相關研究中，其基本假設是專家與生手的知識結 構組織和關係有所不同。為了瞭解個別差異，許多研究進行了專家與生手 的比較。 Schvaneveldt, Durso, Goldsmith, Breen, Cooke, Tucker & Maio (1985)比較飛行專家與生手有關飛行的知識結構。結果發現，徑路搜尋與 多向度量尺都能預測及區辨專家與生手的知識結構。 Goldsmith 等學者(1991)依據考試成績將學生分為四種能力組，透過 徑路搜尋測量知識結構。結果顯示，能力較佳學生的知識結構與參照結構 愈相似。 國內研究者蔡佳燕（2000）探討國小學生數學學科知識評量之情形。 研究發現知識結構評量結果可明顯區別出數學成就差異。 余民寧、林曉芳、蔡佳燕(2001)利用徑路搜尋為評量方法，並使用量 尺化程序分析學生的知識結構，發現不同學力程度學生的知識結構不盡相 同，學力程度愈高學生的知識結構愈接近所期望的學習成果。 林曉芳、余民寧(2001)利用徑路搜尋方法，分析國中學生二元一次方 程式課程的知識結構與學業成就之關聯。研究發現(一)、低成就學生的概 37.
(38) 念結構圖與教師的概念結構圖差異甚大；中學習成就學生次之；高成就學 生在代數上的理解情形近似於教師，尤其數學學習成就較佳的學生，其學 習的表現與教師相同。(二)、低成就學生的概念結構圖大多相仿，且與高 成就學生的概念結構圖有明顯的差異存在。 黃美盼(2005)以徑路搜尋測量有關加減法文字題的知識結構。研究發 現高能力值組知識結構圖與標準參照知識結構圖較為相似，中低能力值組 知識結構圖與標準參照知識結構圖較不相似。 由上述有關知識結構的差異性研究結果可知，不同特定領域的專家和 生手在知識結構存在顯著的差異，不同能力者的知識結構有所不同。 三、結合試題反應理論的徑路搜尋網路分析 近來，許淑貞（2003）結合試題反應理論及模糊化認知結構改進徑 路搜尋方法，並將之應用在幾何概念領域。研究結果發現(一)、學生能力 較低者，知識結構圖中與 A1（三角形基本辨識）連接的概念數多於能力值 較高者，且能力值愈相近，其知識結構圖就愈相似。(二)、三個相似性指 數與能力值之間均呈現高度相關，且以 PFC 指數具有最佳預測力。 周先祝（2003）則改良山下等人的類似係數融入試題反應理論，做為 徑路搜尋近似資料的值，並以 Van Hiele 幾何思考層次的理論為基礎，將 此方法運用在國小六年級學童四邊形幾何概念的知識結構分析上。研究結 果顯示，在幾何思考層次順階層類型當中，各類型學童之間的相似性指數 PFC 值及能力值均達到顯著的差異，且達到的幾何思考層次愈高者，其知 識結構圖的核心概念與標準參照知識結構圖的核心概念愈相似。 在徑路搜尋的應用方面，以試題反應理論與徑路搜尋結合運用在知識 結構的分析上是一個可行的方向。因此本研究欲使用試題反應理論，就每 位學生在每一題的答對機率，以及利用試題 i、j 之類似係數 sij ，以做為進 行徑路搜尋分析之資料基礎，分析學童加減法知識結構。. 38.
(39) 國內應用徑路搜尋認知診斷評量方法來探索各種學科領域知識結構 的研究，已如雨後春筍般的蓬勃發展，此為應用圖形表徵方式來呈現潛藏 的網路結構關係，可增加研究結果的說服力，教學者亦可藉此了解學習者 知識結構發展的情形(涂金堂，2000、2001)，分析及診斷學生的錯誤概念， 並針對學習缺陷提出適當的補救措施。. 第五節. 試題反應理論. 雖然根據歷史學家 Dubois(1970)的描述，早在西元二千多年前科舉時 代的中國，即有能力測驗(科舉考試制度)的雛形產生，但是針對「測驗」 這門學問進行科學化、系統化、及量化的研究者，卻開始於歐美各國，西 風東漸後才又傳入中國（余民寧，2002） 。 測驗理論(test theory)可分為兩大學派，一為古典測驗理論 (classical test theory)—主要是以真實分數模式(true score model) 為骨幹，依據弱假定(weak assumption)而來；另一為現代測驗理論(modern test theory)—主要是以試題反應理論為架構，所依據的為強假定(strong assumption)。本節所要探討試題反應理論即為現代測驗理論的理論中心。. 壹、古典測驗理論與現代測驗理論之比較 古典測驗理論模式的發展已為時甚久，且具規模，所採用的計算公式 簡單明瞭，是目前心理計量學界應用最廣的測驗理論，但卻有些許缺點； 學者為改進古典測驗理論的缺失，於是發展了以試題反應理論為理論架構 的現代測驗理論，以下將兩種測驗理論相互比較其優缺點（余民寧，1992， 2002） 。 一、抽樣變動 古典測驗理論所採用的指標：如難度(difficulty)、鑑別度 (discrimination)、和信度(reliability)等，都是一種樣本依賴(sample 39.
(40) dependent)的指標；這些指標的獲得，會因接受測驗的受試者樣本不同而 有所不同，因此，不同潛在特質的樣本，同一試卷很難獲得一致的難度、 鑑別度、或信度等。 現代測驗理論所採用的試題參數(item paramter)（如：難度、鑑別 度、猜測度） ，是一種不受樣本影響(sample-free)的指標；也就是說，不 會因受試者不同而有所不同。 二、測量標準誤 古典測驗理論以一個相同的測量標準誤(standard error of measurement)，作為每位受試者的潛在特質測量誤差指標，這種作法並沒 有完全考慮受試者能力的個別差異，對於高、低能力兩極端潛在特質的受 試者而言，這種指標極為不合理且不甚精確，致使理論模式的適當性受到 懷疑。 現代測驗理論能夠針對每位受試者，提供個別差異的誤差指標，因此 能夠精確推估受試者的能力估計值。 三、能力比較 古典測驗理論對於非複本(nonparallel)，但功能相同的測驗所測得 的分數之間，無法提供有意義的比較；有意義的比較僅侷限在相同測驗的 前後測或複本測驗分數之間。 現代測驗理論可測量估計出受試者個人能力，不受測驗的影響，並且 對於不同受試者間，亦可進行有意義的比較。 四、副本實施 因為古典測驗理論對信度的假設，是建立在複本(parallel forms)測 量的概念假設上，但是這種假設往往不存在於實際測驗情境裡，我們不可 能要求每位受試者接受同一份測驗無數次，而仍然假設每次測量間都彼此 獨立不相關。 現代測驗理論以試題訊息量(item information)及試卷訊息量(test 40.
(41) information)的概念，來做某個試題或整份試卷的測量準確性，作為評定 試卷內部一致性的指標。 另外現代測驗理論所採用的適合度考驗值(statistic of goodness-of-fit)，可以提供考驗模式與資料間之適合度、受試者的反應 是否為非尋常(unusual)之參考指標。 五、預測力 古典測驗理論忽視受試者的試題反應組型(item response pattern) 所代表意義，認為原始得分相同的受試者，其潛在特質（如能力）或試題 參數（如難度）必定相同。其實並不如此，即使原始得分相同的受試者， 其反應組型意義也不見得會完全一致，所以其潛在特質和試題參數估計值 應該會有所不同。 現代測驗理論同時考慮受試者的反應組型與試題參數等特性，因此估 計個人能力時，除了能夠提供一個精確的估計值外，對於原始分數相同的 受試者，也往往給予不同的能力估計值。 兩派測驗理論各有所長，也各有其限制。古典測驗理論雖不夠嚴謹， 但淺顯易懂，便於在實際測驗情境（尤其是小規模資料）實施；現代測驗 理論雖嚴謹，但艱深難懂，適用於大樣本測驗資料分析。. 貳、試題反應理論的理論基礎 一、基本假定 試題反應理論必須符合以下基本假設，試題反應模式方能被用來分析 測驗資料（余民寧，1992） (一)單向度 單向度(unidimensionality)是指測驗只測一個特質或能力。單向度 的意義雖然簡單，但實際上測驗時難免受其他因素影響，Hambleton 和 Swaminathan(1985)認為只要測驗資料有一個「主控」因素就算符合，而. 41.
(42) 這主控因素便是特質或能力。 (二)局部獨立性 局部獨立性(local independence)就是某受試者能力而言，項目 間無相關存在，也就是說一個題目不能為另一個題目提供線索。 (三)非速度測驗 非速度測驗(nonspeedness)是假設測驗屬於難度測驗(power test)， 施測時沒有時間限制，也就是說學生測驗成績不理想是因為能力不足，而 不是時間不夠答完所有試題所導致。 (四)知道-正確假設 知道-正確假設(know-correct assumption)是假設學生若知道某試題 的正確答案，就能答對該試題；若不知道某試題的正確答案，就會答錯該 題。 二、基本的試題反應模式 試題反應模式是對受試者能力與試題難易度、鑑別度及猜測度等參數間的關 係所做的數學陳述，用來描述潛在特質與正確反應機率關係。常用的試題反應. 模式，有下列三種，每一種模式都依其採用的試題參數的數目的多寡來命 名(余民寧，1992b)。 (一)單參數對數模式(one-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示： Pi () . 1 1 e. D ( b i ). i 1,2, , n. (一). 其中， Pi () 表示任何一位能力值為 的考生答對試題 i 或在試題 i 上正確反 應的機率；bi 表示試題難度(difficulty)參數；n 是測驗試題的總數； D 為 常數，模式中通常設為 1.7。 此參數模式假設試題之鑑別度都相等，且沒有猜題因素的存在，僅. 42.
(43) 有該題的難易度 bi 會影響受試者的測驗結果。理論上 bi 的範圍是介於 之 間，但實際應用上只取於 3 之間，且其值愈大表示試題愈困難。當受試者 的能力值等於試題難易度時，其答對該題的機率為.5，而受試者的能力值 大於試題難易度時，其答對該題的機率高於.5，反之，其答對該題的機率 則低於.5，因此試題難易度值愈大，受試者要答對該題就必須具有更高的 能力。 (二)雙參數對數形模式(two-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示： Pi () . 1 1 e. Da i ( b i ). i 1,2, , n. (二). 其中，各符號的定義與公式一相同，唯多了一個參數：試題鑑別度 (item discrimination) ai ，它的涵義與在古典測驗理論中的涵義相同，同 是用來描述試題 i 所具有鑑別力大小的特性。 此參數模式比單參數對數模式多了參數鑑別度 ai ，並假設猜題因素 不存在。理論上 ai 的範圍是介於 之間，但實際應用範圍是介於 0 與＋2 之間，且其值愈大表示試題愈能區別不同能力的受試者。在單參數對數模 式中假設 ai 1 。 (三)三參數對數形模式(three-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示： Pi () c i (1 c i ). 1 1 e. Da i ( b i ). i 1,2, , n. (三). 其中，各符號的定義與公式二相同，唯多出一個參數：猜測參數 (pseudo-chance parameter) ci 。這個參數提供試題特徵曲線一個大於零的 下限，它代表著能力很低的考生答對某試題的機率。 此參數模式由雙參數對數模式所延伸，多了參數猜測度 ci ，是指能 43.
(44) 力很低的受試者猜對該題的機率，且其值愈小表示猜測的因素愈小，試題 就愈理想，但在實際狀況下是很難避免的，而在單參數對數模式及雙參數 對數模式中，均假設 ci 0 。 綜合上述之分析，故本研究之工具採用三參數對數模式。. 参、試題反應理論在評量上之相關研究 國內近來陸續將試題反應理論應用在成就測驗。吳裕益、張酒雄、 張玉茹（1998）應用在國中學生英文成就測驗的編製、分析與常模建立。 劉湘川、鄭富森、許天維、林原宏、施淑娟、施慶麟、蘇惠華（1998）將 之應用在中文研究生學術性向測驗之編製。吳裕益、林月仙（2000）則應 用在國小中低年級數學診斷測驗之編製及理論模式之驗證研究。 隨著電腦測驗軟體的發展與進步，應用試題反應理論所編製的適性測 驗亦是精益求精。何榮桂（1991）就運用試題反應理論於題庫中項目參數 分配型態對電腦化適性測驗選項的影響。朱錦鳳（2002）運用此種理論來 探討國中生物科適性測驗的建構歷程—IRT 理論的應用。汪慧瑜、余民寧 (2006) 運用試題反應理論探討國中基本學力測驗量尺分數的另類表示方 法。劉湘川（2006）也運用試題反應理論尋找測驗分析新模式。. 44.
(45) 第三章 研究程序 第一節. 研究架構. 本研究擬採用試題反應理論為基礎的徑路搜尋，分析學童知識結構。 根據研究目的及相關文獻探討，提出如圖 3-1-1 之研究架構。 確定研究主題 蒐集資料及閱讀相關文獻. 撰寫研究計畫. 專家修正試題. 發展研究工具 編製筆試試卷. 選擇預試對象. 實施試卷預試. 信效度分析及碓定試題 正試施測(團體) 知識結構之 徑路分析. 試卷資料分析 資料分析 撰寫研究報告. 圖 3-1-1. 研究架構圖. 45. 統計套裝軟體.
(46) 本研究的實施步驟為： 一、擇定研究主題，確立研究目的後，蒐集因數倍數題和異分母加減法題 理論相關的文獻，參考並整理後，諮詢指導教授及實際擔任六年級數學領 域教學工作的國小教師數位，請其提供有關數學工具的修改與建議，進而 編製成此測驗工具。 二、筆試試題三十題修正後，選擇台中縣國小的六年級學童62人，進行預 試。 三、預試後以Cronbach α係數檢驗工具試卷的一致性。並刪去較不恰當 之試題六題。 四、選取台中縣的國民小學六年級學童七班，共208人，進行正式筆試。 五、根據筆試結果，整理資料加以分析。 六、撰寫研究報告，完成本研究。. 第二節. 研究對象. 因數倍數課程安排在國小高年級，異分母加減法課程也在六年級課程 中，故本研究測驗對象為國小六年級學童。 基於研究的便利性，正式施測樣本皆取自台中縣的國民小學。預試樣 本共 62 人，經篩選填答不完全及有問題的樣本，得有效樣本數為 61 人。 正式施測採便利取樣，共 208 人，整理後去除填答不完全及不適用的樣本， 得有效樣本數為 206 人，茲將樣本分配情形，列於表 3-2-1 中。. 46.
(47) 表 3-2-1. 研究樣本人數分配表. 班級. 男生. 女生. 小計. 一班. 15. 15. 30. 二班. 15. 14. 29. 三班. 16. 12. 28. 四班. 13. 17. 30. 五班. 16. 14. 30. 六班. 15. 16. 31. 七班. 14. 16. 30. 合 計. 104. 104. 208. 第三節. 研究工具. 本研究用以收集資料的工具為自編因數倍數與異分母加減法能力測 驗，茲說明如下：. 壹、自編因數倍數與異分母加減法能力測驗 一、研究工具之編製 本研究所使用的因數倍數與異分母加減法能力測驗由研究者自編， 主要測量受試者的因數倍數概念以及應用因數倍數概念運算異分母加減 法的能力，正式施測試題共有二十四選擇題。因為要測試因數倍數概念對 異分母加減法運算能力的影響，故刻意捨去文字題，避免學生因歷程錯誤 而解題錯誤。徐建煌(2003)的研究中指出，國小學童在解分數文字題的確 存在六類的歷程錯誤類型。試題內容如表 3-3-1：. 47.
(48) 表 3-3-1 因數倍數與異分母加減法問題內容一覽表 題. 問題內容. 號. 1 37 最小的和最大的因數加起來是多少？(1)37 (2)38 (3)39 2 下面哪個數不是 52 的因數？(1)14. (2)13 (3)4. 3 最小的質數和最小的合數合起來是多少？(1)7 4 75 和 25 的最大公因數是多少？(1)5. (4)2。. (2)6. (2)15. (3)5. (3)25. (4)4。. (4)75。. 下列哪個數最小的因數和最大的因數加起來和是 65？(1)56 5 (3)63. (4)40。. (2)59. (4)64。. 6 14、56 和 63 的最大公因數是多少？(1)1. (2)2. (3)7. 7 30 和 78 的公因數一共有多少個？(1)1 個. (2)2 個. 8 6、8 和 10 的最小公倍數是多少？(1)320. (2)240. (4)14。. (3)3 個 (3)180. (4)4 個。 (4)120。. 9 15、18 和 24 的最小公倍數是多少？(1)120. (2)240. (3)360. (4)480。. 10 下面哪個數不是 20 和 36 的公倍數？(1)180. (2)360. (3)540. (4)630。. 11 下面哪個數是 12 和 16 的公倍數？(1)24. 4 2 2 ＋ ＝ (1) 11 6 12 5. (2). 2 3. 3 9 13 ＋ ＝？(1) 1 10 20 13 4. (2) 1. 1 7 8 1 ＋ ＝？(1) 1 28 14 8 20. (2) 1. 15. 2. 19 7 26 ＋ ＝？(1) 2 30 45 75. 11 15. (3). 3 20. 9 20. (2) 2. 7 23 17 29 ＋2 ＝？(1) 3 (2) 3 25 25 75 16 15. 48. (3)36. (4). 4 。 30. 6 7. (4). (3) (3). 26 45. (2)48. 73 80. (3) 2. (3) 3. 3 4. (4)60。. 13 。 14. (4) 1. 19 。 40. 12 71 (4) 2 。 90 90 4 5. (4) 3 。.
(49) 表 3-3-1. 因數倍數與異分母加減法問題內容一覽表(續). 8 9 11 － ＝？(1) 19 17 19 57. 7 1 6 5 － ＝？(1) (2) 6 12 18 12 6 19 9 10 － ＝？(1) 23 19 23 46. 17 57. (2). 21 23. 29 46. (3). 9 1 37 － ＝？(1) 3 16 10 80. (2) 2. 8 6. 3. 9 9 1 － ＝？(1) 3 65 13 52. (2) 2. 29 65. (3) 3. 5 32 27 11 6 － 2 ＝？(1) 4 (2) 3 35 35 35 22 7. (3) 3. 2 7 5 5 3 － 2 ＝(1) 1 (2) 1 18 6 18 23 9. 5 6. 21. 7 9 2 1 － ＝？(1) 1 4 24 16 20. (2). (3) 3. (3). 8 32. (3). 10 。 46. (4). 3. 20. 5 。 19. (4). 6 5 。 (4) 12 6. (3). (2). 9 19. (3). 1 10. 7 。 80. 1 65. (4) 2. 9 28. (4) 3 。. (4). 73 80. (4) 2. 29 。 52. 4 5. 5 。 18. (4). 79 。 80. 二、施測工具之信度與效度 (一)測驗工具之信度 在信度方面，本研究採取 Cronbach α係數方式，來求得測驗內部一 致性。正式施測之 Cronbach α係數為.88，顯示本測驗具有良好之信度。 根據表 3-3-2 因數倍數與異分母加減法問題之試題分析，一般而言，鑑別 度以.25 以上為標準，高於.4 為優良試題。並以 t 檢定（t-test） ，比較 高低分組受試者的平均答對率，若高低分組的平均答對率有顯著之差異， 49.
(50) 則試題具鑑別度。另外，分析各題與總分間的相關性，達顯著水準，為鑑 別度良好之試題。 表 3-3-2 因數倍數與異分母加減法問題之試題分析 各題與. Alpha. 總分之. If Item. 題號. p. ph. pl. (ph+pl)/2. ph-pl. t. 關係. Deleted. 1. 0.704. 0.966. 0.41. 0.688. 0.556. -8.18. 0.586**. 0.8765. 2. 0.903. 1. 0.754. 0.877. 0.246. -4.423. 0.417**. 0.8784. 3. 0.495. 0.845. 0.311. 0.578. 0.534. -6.959. 0.413**. 0.8827. 4. 0.738. 0.948. 0.525. 0.737. 0.423. -5.982. 0.504**. 0.8771. 5. 0.646. 1. 0.23. 0.615. 0.77. -14.193 0.689**. 0.8731. 6. 0.665. 0.931. 0.492. 0.712. 0.439. -6.038. 0.410**. 0.8825. 7. 0.51. 0.759. 0.262. 0.511. 0.497. -6.182. 0.484**. 0.8817. 8. 0.791. 0.931. 0.574. 0.753. 0.357. -4.953. 0.476**. 0.8786. 9. 0.733. 0.948. 0.443. 0.696. 0.505. -7.171. 0.500**. 0.8766. 10. 0.782. 0.966. 0.508. 0.737. 0.458. -6.636. 0.598**. 0.8744. 11. 0.845. 0.983. 0.639. 0.811. 0.344. -5.337. 0.440**. 0.8782. 12. 0.777. 0.983. 0.459. 0.721. 0.524. -7.864. 0.379**. 0.8738. 13. 0.854. 0.983. 0.623. 0.803. 0.36. -5.544. 0.408**. 0.8746. 14. 0.786. 0.948. 0.459. 0.704. 0.489. -6.92. 0.383**. 0.8735. 15. 0.786. 0.948. 0.607. 0.778. 0.341. -4.913. 0.294**. 0.8783. 16. 0.811. 1. 0.443. 0.722. 0.557. -8.692. 0.477**. 0.8702. 17. 0.641. 0.966. 0.262. 0.614. 0.704. -11.394 0.496**. 0.8733. 18. 0.879. 0.983. 0.639. 0.811. 0.344. -5.337. 0.416**. 0.8734. 19. 0.879. 1. 0.623. 0.812. 0.377. -6.026. 0.385**. 0.8742. 20. 0.743. 0.983. 0.426. 0.705. 0.557. -8.416. 0.411**. 0.873. 21. 0.845. 1. 0.541. 0.771. 0.459. -7.135. 0.423**. 0.8736. 22. 0.631. 0.948. 0.197. 0.573. 0.751. -12.714 0.505**. 0.8712. 23. 0.655. 0.914. 0.279. 0.597. 0.635. -9.232. 0.376**. 0.876. 24. 0.743. 1. 0.393. 0.697. 0.607. -9.618. 0.425**. 0.8734. 50.
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