12. 求下列三角函數值?
(a) sin π
12 cos 7π
12 − cos π
12sin7π 12 =?
(b) cos π
12cos 5π
12 + sin π
12 sin5π 12 =?
(c) sin θ = 1
3, θ 為第二象限角, 分別求 a = cos θ ,b = cos(θ − π
3) ,c = sin(θ + π
6) ,d = tan(θ + π 4) 值?
13. 若 θ 是第二象限角, 且 sin θ = 35 , 求 cos θ 與 tan θ 的值?
14. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P (2, −3) , 試求 θ 角的六個三角函數值?
15. 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cos θ − sin θ = 13 , 求 sin θ cos θ 與 sin θ + cos θ 的 值?
16. 已知 cos θ = −35 , 且 θ 為第二象限角, 求其他三角函數值?
17. 若 tan θ = 43 求 3 sin θ + 2 cos θ
2 sin θ + 3 cos θ =? (分子分母同除以cos θ) 18. 已知 sin θ + cos θ = −√
2, 求下列各式的值:
(a) sin θ · cos θ = (b) tan θ + cot θ =
(c) sec θ + csc θ = 2.3
三角函數的圖形
週期函數: 對每一定義域中的元素 x, f (x + t) = f (x) 恆成立, 另一實數 t′ 也滿足 f (x + t′) = f (x) ,t′ 是 t 的整數倍, 則稱 f 是週期為 t 的週期函數。
三角函數的圖形及性質:
1. 正弦函數 y = f (x) = sin x 圖形
−2π−3π2−π −π2 π2 π 3π 2 2π 5π
2 3π
−1
1 f (x) = sin x
順伯的窩
表2-3: 特別角的三角函數值
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 · 特別是餘弦函數 y = f (x) = cos x 圖形對稱於y 軸, 為偶函數。
3. 正切函數 y = f (x) = tan x 圖形
−2π −π−π2 π2 π 3π 2 2π 5π
2 3π tan(x) y
(a) 定義域D與值域R: 由商數關係 tan x = sin x
cos x 所以 D = {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R}
(b) 週期T = π: 滿足 tan(x + t) = tan x, 取 k = 1滿足 t = kπ = π 為最 小值, 餘弦函數的週期為 T = π。
(c) 對稱: y = tan x 圖形以 (nπ
2 , 0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是 y = f (x) = tan x 圖形對稱於點(0, 0), 為奇函數。
(d) 漸近線: 直線 x = π
2 + nπ, n ∈ Z 都是正切函數 y = tan x 的漸近線。
4. 餘切函數 y = f (x) = cot x 圖形
−2π −π−π2 π2 π 3π 2 2π 5π
2 3π cot(x) y
(a) 定義域D與值域R: 由倒數關係 cot x = 1
tan x 所以 D = {x|x 6=
nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R}
(b) 週期T = π: 滿足 cot(x + t) = cot x, 取 k = 1滿足 t = kπ = π 為最 小值, 餘弦函數的週期為 T = π。
(c) 對稱: y = cot x 圖形以 (nπ
2 , 0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是 y = f (x) = cot x 圖形對稱於點(0, 0), 為奇函數。
(d) 漸近線: 直線 x = nπ, n ∈ Z 都是餘切函數 y = cot x 的漸近線。
−2π −π −π2 π2 π 3π
2 2π 5π
2 3π tan(x) cot(x) y
5. 正割函數 y = f (x) = sec x 圖形
順伯的窩
−2π−3π2 −π −π2 π2 π 3π
2 2π 5π
2 3π
−1 1 sec(x) cos(x) y
(a) 定義域D與值域R: 因為 sec x = 1
cos x, cos x 6= 0 , 所以定義域 D = {x|x 6= π
2 + nπ, n ∈ Z}, 值域 R = {y|y ≤ −1, 或 y ≥ 1}
(b) 週期T = 2π: 因sec x = 1
cos x, cos x 6= 0, 餘弦函數的週期為 2π, 故正 割函數周期亦為 2π。
(c) 對稱: 正割函數y = sec x與y = cos x 圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中 心) 都相同, 亦為偶函數。
(d) 漸近線: 直線 x = π
2 + nπ, n ∈ Z 為正割函數圖形的漸近線。
6. 餘割函數 y = f (x) = csc x 圖形
−2π−3π2 −π −π2 π2 π 3π
2 2π 5π
2 3π
−1 1 csc(x) sin(x) y
(a) 定義域D與值域R: 因為 csc x = 1
sin x, sin x 6= 0 , 所以定義域 D = {x|x 6= nπ, n ∈ Z}, 值域 R = {y|y ≤ −1, 或 y ≥ 1}
(b) 週期T = 2π: 因sec x = 1
sin x, sin x 6= 0, 正弦函數的週期為 2π, 故餘 割函數周期亦為 2π。
(c) 對稱: 正割函數y = csc x與y = sin x 圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中 心) 都相同, 亦奇偶函數。
(d) 漸近線: 直線 x = nπ, n ∈ Z 為餘割函數圖形的漸近線。
函數圖形的平移伸縮:
一般正弦函數y = f (x) = a sin(kx + b) + c , 則
( f (x)振幅 : |a|
f (x)週期 : |2π k |
考慮正弦函數 y = f (x) = sin x 標準圖形, 與 Y = g(X) = a sin(kX + b) + c 圖形的關係: Y = g(X) = a sin(kX + b) + c ⇒ Y − c
a = sin(kX + b) , 若
x = kX + b
y = Y −cb 時, 則 y = f (x) = sin x 與 Y = g(X) = a sin(kX+b)+c 圖形就會重疊 (相同), 故當
X = x − bk
Y = ay + c 時, 兩函數圖形是重疊的, 即 g(X) 圖形是 f (x) 圖形
向左平移(x軸負向)b 單位, 再左右縮小 k 倍
上下方向(y軸方向) 伸展 a 倍後再向上平移 (y 軸)c 單位
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 ·
sin(x) cos(x) y
正弦函數的平移:
−2π−3π2−π −π2 π2 π 3π
Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
t值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temp(T◦C) 28 27 25.5 22 18.5 16 15 16 18 21.5 24 26
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 ·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 14
16 18 20 22 24 26 28 30
月份
平 均 溫
若此城市月均溫可用數學模型 T = f (t) = a sin bπ(t − c) + d 來表示 (a, b, c, d > 0), 則 (1) a = 13
2 (2) b = 1 6 (3) c 最小值為 10 (4) d = 43
2 (5) c值可以為22 1,2,3,4,5 習題2-3 三角函數的圖形
1. 比較 a = cos 1, b = cos 2, c = cos 3, d = cos 4 的大小?
2. 求下列函數的週期T 、 最大值M與最小值m:
(a) y = 3 sin 2x (b) y = 3
2cos(x + π 2) (c) y = 2 sinx
3 + 1 (d) y = 3 cos(x + π
4) − 2
3. 求下列函數的週期: (1). y = cos 2x (2). y = tan(x + π 2) 4. 求下列條件下的值?
(a) 若 f (x) = sin x , 且 f (a) = 1
3, 求 f (−a) =? ,f(a) + f(a + 2π) + f(a + 4π) = ?
(b) 若 f (x) = sec x , 且 f (a) = −4, 求 f(−a) =? ,f(a) + f(a + 2π) + f(a + 4π) = ?
(c) 若 cot θ = −2, 求 cotθ + cot(θ − π) + cot(θ − 2π) = ?
5. 右圖為函數 y = a cos bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期
與振幅及 a, b, c 的值? −π3 π3 2π3 π 4π
−1 3 1 2 3 y
順伯的窩
6. 右圖為函數 y = a sin bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期
與振幅及 a, b, c 的值? −π3 −π6 π6 π3 π2
1 2 3 2 5 2 7 2
y
7. 利用伸縮平移描繪三角函數圖形:y = sin(x − π 2)
8. 將圖形 y = cos x , 如何伸縮平移可得到函數 y = 2 sin x 的圖形?
9. 方程式 x − sin x = 1 有幾組實數解?
10. 在 −2π ≤ x ≤ 2π 的範圍, 求方程式 sin x = 2x 的實根個數?
11. 方程式 sin x = 1
2 在 0 ≤ x ≤ 4π 範圍內實根的個數?
2.4