國立新營高中
99
課綱 數學科
自我
學習要點、 習題手冊
範圍
:
數
學選修
(
甲上
)
機率統計
II
、 三角函數
高
三
:
班
號
學
生
:
指
導 教 師
:
鄭國順
老師
參考版本
:
南一
,
翰林
,
龍騰 版
新營高中
鄭國順 編
版本修訂
:2012
年
11
月
4
日
目
次
1
機率統計
II
1
1.1
隨機的意義
. . . .
1
1.2
二項分佈
. . . .
5
1.3
抽樣與統計推論
. . . 11
2
三角函數
23
2.1
弧度、 弧長
. . . 23
2.2
三角函數的性質與圖形
. . . 24
2.3
三角函數的圖形
. . . 28
2.4
三角函數的應用
. . . 35
2.5
複數的幾何意涵
. . . 38
3
習題參考答案
44
3.1
第一章
. . . 44
3.2
第二章
. . . 46
第
1
章
機率統計
II
1.1 隨機的意義 隨機變數: 將試驗的每種結果(樣本點) 分別對應一個”數值”, 此種函數對應關係即為隨 機變數。 1. 離散型隨機變數: 隨機變數X對應的數值有限多個, 或像整數那樣多, 稱隨機 變數X為離散型隨機變數。 如投擲硬幣正反面次數、 骰子點數、 顏色、 血型等。 2. 連續型隨機變數: 隨機變數X對應的數值可以是某一實數區間內的任何一個 值, 稱隨機變數X為連續型隨機變數。 如量測長度、 重量、 高度、 體積等。 等機率樣本空間S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間 S 。(若樣本 空間內的所有樣本點發生機率均等, 此時稱為等機率樣本空間)。 例: 投擲兩公正相同骰子, 則其點數有 H6 2 種不同的情形 (事件)。 其等機率樣本空 間有 62 個樣本點 (事件)。 骰子點數一個6一個3點的事件有 (3, 6), (6, 3) , 而骰子點數兩個6點的事件只有 (6, 6) , 前者有2個樣本點, 後者只有1個樣本點; 且 (1, 1), (1, 2), · · · ,(3, 6), · · · , (6, 3), · · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 n(S) 就是數出 所有可能會發生且機會均相等的樣本點個數; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的 個數 n(S) = 62。 機率質量函數: 將離散型隨機變數X的每一個數值x對應其所發生的機率, 此種對應關 係所形成的函數 f (x) 稱為 X 的機率質量函數, 即 f (x) = P (X = x) 簡稱機率 函數 (p.m.f)。 若 X 為離散型隨機變數,X = {x1, x2, · · · , xn} 而 f(x) 為其機率質量函數則 0 ≤ f(xi) ≤ 1, i = 1, 2, 3, · · · , n 且 n P i=1 f (xi) = 1 機率分布表 X x1 x2 · · · xk · · · xn px p1 p2 · · · pk · · · pn x1 x2 x3 x4 x5 0.1 0.35 0.2 0.15 隨機變數 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形 數學期望值與變異數: 設離散型隨機變數 X 的所有可能值為 x1, x2, x3, · · · , xn , 而這 些值的機率分別為 p1, p2, p3, · · · , pn 且 p1 + p2 + · · · + pn = 1。(f (x) 為其機率 質量函數) 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 隨機的意義 ·
1. X 的數學期望值: E(X) = Pn
i=1
xif (xi) = x1p1 + x2p2 + · · · + xnpn 。 根據
機率與報酬值作為決策的依據
2. X 的變異數: V ar(X) = E[(X−µ)2] = E(X2)−µ2 = Pn
i=1 (xi−µ)2f (xi) = p1(x1−µ)2+p2(x2−µ)2+· · ·+pn(xn−µ)2 = n P i=1 pi(xi−µ)2 = n P i=1 pix2i−µ2 其中標準差 σX = p V ar(X) 期望值: 隨機變數的中心位置。 標準差: 隨機變數所有可能值與中心位置分散狀況的度量單位。 隨機變數 X 的機率分布可以用期望值及標準差 (變異數) 做摘要。 隨機變數若具 有相同的期望值及標準差 (變異數) 未必具有相同的機率分布。 求隨機變數的期望值與標準差 (變異數) 通常可由機率分布函數依定義計算可得。 或由簡單基本的隨機變數期望值與變異數再找出此隨機變數與之關係(線性或簡單 的加法、 乘法關係) 利用期望值與變異數的數學性質(i.i.d. 獨立性、 同質性的機率分布), 可求得此隨機變數的數學期望值與變異數。 期望值、 變異數與標準差的性質: 期望值是隨機變數集中趨勢的代表值, 標準差是描述 隨機變數的分散性與變異性。 由數學性質知先求得變異數後再求出標準差。 1. E(aX + b) = aE(X) + b 2. V ar(X + b) = V ar(X) , σ(X + b) = σ(X) 3. V ar(aX) = a2V ar(X) , σ(aX) = |a|σ(X) 4. V (aX + b) = a2V ar(X) , σ(aX + b) = |a|σ(X) 兩隨機變數的期望值與變異數: (i.i.d. 獨立性、 同質性的機率分布)
1. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩隨機變數, 則 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 2. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數, 則 E(XY ) = E(X)E(Y ) 3. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數, 則 V ar(X±Y ) = V ar(X)+
V ar(Y ) 例: 紅球20個, 白球10個, 從袋中取球: 1. 每次取一個, 取出不放回, 共取3次, 則取出紅球個數的期望值為? 2. 每次取一個, 取出後再放回去, 共取3次, 則取到紅球個數的期望值為? 3. 一次取出3個, 取到紅球個數的期望值為? ≡ 3× (取一粒球, 紅球個數的期望值為) = 3 × 2030 = 2 例題演練 例題1 求投擲一公正骰子點數X的機率分布、 期望值與標準差? [Ans: Xpi 1 2 3 4 5 6 x 16 16 16 16 16 16 , E(X骰子) = 7 2, σ骰子 = r 35 12 ] 順伯的窩
例題2 投擲公正骰子, 令隨機變數 X 表投擲一骰子所出現點數的2倍 。 隨機變數 Y 表 投擲兩次骰子的點數和。 分別求隨機變數 X, Y 的機率分布、 期望值及標準差? [Ans: Xpi 2 4 6 8 10 12 x 16 16 16 16 16 16 2 4 6 8 10 12 1 6 骰子點數的2倍 x 機 率 值 f (x ) 機率質量函數圖形
E(X) = E(2骰子點數) = 2E(X骰子) = 7,V ar(X) = E(X2)−µ2 = V (2X骰子) =
4V ar(X骰子) = 4 × 35 12, σx = r 364 6 − 7 2 = r 35 3 = p V ar(X) = 2σ骰子; Yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 py 361 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 3 36 5 36 兩骰子點數和y 機 率 值 g (y ) 機率質量函數圖形
E(Y ) = E(X1 + X2) = 2E(X1) = 2 ×
7 2 = 7, V ar(Y ) = E(Y 2) − µ2 = 1974 36 − 7 2 = 210 36 = V (X1+ X2) i.i.d. = V (X1) + V (X2) i.i.d. = 2V (X骰子) = 2 × 35 12, σY = r 35 6 = √ 210 6 ≈ √ 5.8 = 2.4]. 例題3 連續投擲一公正骰子2 次, 以 X 表示出現點數的和, 求 X 的期望值與變異數? [Ans: xi表第 i 次骰子點數, 則 µ = E(x1+ x2) = E(x1) + E(x2)i.i.d.= 2 × 3.5 =
7, V ar(X)i.i.d.= 2V ar(x1) = 356 ]
例題4 已知隨機變數X1, X2 的機率分布表如下, 求這兩個隨機變數的期望值、 變異數 與標準差?(請觀察X2 = 0.5X1 + 15 關係) [Ans:E(X1) = 30, var(X1) = 200, σX1 = 10 √ 2;E(X2) = 30, var(X2) = 50, σX1 = 5 √ 2 ] X1機率分布表 X1 10 20 30 40 50 px1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 , X2機率分布表 X2 20 25 30 35 40 px2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 例題5 袋中有5個球,2個紅色球,3個藍色球, 編號分別為紅1, 紅2, 藍3, 藍4, 藍5, 由袋 中每回取1球, 共取2回,X 表2次中取到紅色球的次數, Y 表2次中取到兩球的號 碼和; 分別依 (a) 取出後不放回袋中,X, Y 的機率分布? [Ans: Xp 0 1 2 x 0.3 0.6 0.1 , Y 3 4 5 6 7 8 9 py 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 ] 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 隨機的意義 · (b) 取出後放回袋中,X, Y 的機率分布? [Ans: X 0 1 2 px 9 25 12 25 4 25 , Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 py 1 25 2 25 3 25 4 25 5 25 4 25 3 25 2 25 1 25 ] 例題6 袋中裝有相同大小的10元代幣3枚,50元代幣2枚, 自袋中任取2枚, 則所得金額的 期望值為多少?[Ans: E(X) = 20×3+60×6+100×110 = 52;10×3+50×23+2 × 2 = 52 ] 例題7 一賭博遊戲為投擲3公正硬幣, 若出現一正面賭客可得100元, 出現兩正面賭客可 獲得300元, 出現3正面賭客可得500元, 但出現3反面則賭客賠1500元。 問此遊戲 賭客的贏得獎金期望值為多少元? [Ans: E(X) = −1500+300+900+5008 = 25 ] 習題1-1 隨機的意義 1. 投擲一對公正骰子, 若 S 表兩骰子點數情形的等機率樣本點 (a, b) 所形成的樣本 空間, 令隨機變數 X 表S中樣本點 (a, b) 的最大點數; 隨機變數 Y 表S中樣本 點(a, b) 的點數和。 (a) 求等機率樣本空間 S (b) 求隨機變數 X 的機率分布及機率函數圖形? (c) 求隨機變數 X 的數學期望值及其標準差近似值 (可用計算器求近似值)? (d) 求隨機變數 Y 的機率分布及機率函數圖形? (e) 求隨機變數 Y 的數學期望值及其標準差近似值 (可用計算器求近似值)? 2. 投擲一對公正骰子, 令隨機變數 X 表點數 (a, b) 中的最小點數, 求隨機變數 X 的機率分布、 數學期望值及其標準差 (可用計算器求近似值)? 3. 投擲一公正硬幣3次, 令 X 表出現正面次數的隨機變數, 求隨機變數 X 的機率分 布及其機率函數圖? 隨機變數X的期望值與標準差? 4. 某廠牌汽車導航機 GPS 的誤差值 (公尺), 以隨機變數X表示, 其機率分布如下, 求隨機變數X的期望值與標準差? X1機率分布表 X 0 10 20 30 40 50 px 0.05 0.1 0.15 0.3 0.3 0.1 5. 一箱子中有10個燈泡, 其中2個壞掉, 今從箱中取3個燈泡測試, 求取出燈泡中壞 燈泡個數期望值? 6. 一賭客付出5元就可玩投擲兩公正硬幣遊戲, 獎金規定若出現一正面可得1元, 出 現兩正面可獲得2元。 問玩此遊戲賭客獲利的期望值為多少元? 此遊戲規則對賭客 是否友善? 7. 一賭博遊戲為投擲兩公正硬幣, 若出現一正面或兩反面賭客均可得1元, 出現兩正 面賭客可獲得5元。 問此遊戲賭客的贏得獎金期望值為多少元? 若此遊戲規則是公 平的, 則玩此遊戲一次必須付出多少元? 8. 投擲公正骰子, 令隨機變數 X 表投擲一骰子點數為奇數點則 X 取值為1, 偶數點 則取值為3。 求隨機變數X的期望值與標準差? 順伯的窩
9. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或5次試驗均無正面 就停止, 求隨機變數X的期望值? 10. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或4次均為反面, 求 隨機變數X的期望值? 11. 一不均勻的硬幣, 已知出現正面的機率為 1 3, 出現反面的機率為 2 3, 投擲此硬幣直 到出現正面或4次反面為止, 求投擲此硬幣次數的期望值? 12. 學校福利社舉辦抽獎活動, 原本所有獎額的期望值為500 元, 標準差為100 元。 今 慶祝校慶, 將每個獎項金額提高 20%, 額外加贈100元抵用券, 求此次活動中抽獎 一次所得獎額的期望值與標準差? 13. 某保險公司針對一年期住宅房屋火險:“保費200元, 在一年內房屋發生火災可獲理 賠100萬元”。 依據資料顯示住宅房屋發生火災的機率為0.0015, 求每張保單中, 保 險公司獲利的期望值是多少? 14. 甲、 乙兩人要分獎金10000元, 約定競技, 先勝三局者可得全部獎金, 比賽開始第 一局甲勝, 第二局乙勝, 第三局甲勝; 後因故無法繼續比賽, 問應如何分配獎金才 合理? 15. 一製造商現需決定要即時擴充廠房或一年後才擴充。 現若即時擴充廠房而且碰到 經濟景氣, 則可賺進300萬元, 但若碰到經濟不景氣會損失80萬元; 若採行一年後 才擴充, 碰到經濟景氣, 則可賺進160 萬元, 但若碰到經濟不景氣仍可賺16 萬元。 假設進一步知道明年經濟景氣機率為 2 3 , 經濟不景氣機率為 13 , 則應採用那一策 略, 才能有較大的獲利期望值? 16. 投擲一公正硬幣 4 次, X 表出現正面次數, 求 X2 的期望值?hint: V ar(x) = E(x2) − E(x)2 由數學性質推算 (簡易); 或找出X2的機率分布依定義求得 (計算 較複雜) 17. 投擲一公正硬幣3次, 隨機變數 X 定義為若第一次硬幣為正面則X取值為0, 若出 現反面則取值為1 , 隨機變數 Y 表3次硬幣中出現正面的次數。 分別求隨機變數 X、Y 的機率分布與期望值? 求 XY 的數學期望值? 1.2 二項分佈 獨立事件: 設A,B 為同一樣本空間的兩事件, 當事件 B 發生的機率不因為事件 A 的發生與 否而受到影響, 稱兩事件為獨立事件。 即事件發生機率 P (A ∩ B) = P (A)P (B) 則稱 A 與 B 為獨立事件。 若兩事件不是獨立稱為相依事件。 若 A,B 為獨立事件, ⇔ A、B 的餘事件 A′, B′ 亦為獨立事件。 1. P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
2. P (B|A) = P (B)且 P (A|B) = P (A) A,B,C 三事件獨立:
⇔ A,B 獨立;B,C 獨立; A,C 獨立且 P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) ⇔ A′, B′, C′亦獨立; A′, B, C 亦獨立; · · ·
注意: 若 A,B,C 三事件為兩兩獨立事件未必 A、B、C 三事件獨立。
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 二項分佈 · 常見的獨立事件: 重複丟一個硬幣出現正反面的事件、 重複投擲一個骰子出現的點數、 重複由一袋 中抽球(取後放回袋中) 的顏色這些前後事件的結果都是獨立事件。 實務上: 取樣後不再放回情形 (超幾何機率分布)。 當母體樣本數夠大, 取樣樣本數 相對很小時, 則樣本不放回與放回 (獨立) 方式所得的機率值很接近。 伯努利試驗: 一隨機試驗中, 所在乎的是具有“對立”性質結果的發生與否。 特定事件A發生 (成 功) 的機率為 p, 不發生 (失敗) 的機率為 1 − p = q , 則稱此隨機試驗為伯努利試 驗。 並以 1, 0 的取值表示試驗隨機變數 Y 的成功與否, p 為這試驗的成功率。 伯努利試驗隨機變數: Y = 1 , 成功的機率為p 0 , 失敗的機率為q = 1 − p 。 伯努利試驗的期望值 E(Y ) = p, 變異數 V ar(Y ) = pq 二項分配Bin(n, p): 具有獨立重複進行成功率為 p 的伯努利試驗n次, 以隨機變數X表示成功的次數, 記為 Bin(n, p) Bin(n, p): 獨立重複伯努利試驗n回。 稱隨機變數X為參數(n, p) 的二項機率分 配, 記為 X ∼ B(n, p)。
1. 成功次數期望值 E(X) = E(Y1+ Y2+ · · · + Yn) = E(Y1) + E(Y2) + · · · +
E(Yn) = p + p + · · · + p = np
2. 變異數 V ar(X) = V (Y1+Y2+· · ·+Yn)i.i.d= V (Y1)+V (Y2)+· · ·+V (Yn) =
pq + pq + · · · + pq = npq 3. 恰成功 k 次的機率質量函數 f (x = k) = P ({X = k}) = Cn k(1 − p)n−kpk , 0 ≤ k ≤ n 二項分配的性質: X 0 1 · · · k · · · n px C0np0(1 − p)n C1np1(1 − p)n−1 · · · Cknpk(1 − p)n−k · · · Cnnpn(1 − p)0 X ∼ B(n, p) 的二項機率分配, 隨機變數 X 表示成功的次數, 則 1. X 的期望值 µ = E(X) = Pn k=0 kCkn(1 − p)n−kpk = np 2. X 的變異數 σ2 = V ar(X) = E(X2) − µ2 = np(1 − p) = npq
因為 E(x2) = E(x2−x+x) = E(x(x−1))+E(x) = Pn
k=0k(k −1)C n k(1 − p)n−kpk + np = n(n − 1)p2 Pn k=2k(k − 1)C n−2 k−2(1 − p)n−kpk − 2 + np = n(n − 1)p2 + np 所以 V ar(X) = n(n − 1)p2 + np − (np)2 = np − np2 = npq 3. X 的標準差 σ = pnp(1 − p) = √npq 順伯的窩
二項分佈機率圖形特徵: 1. 單峰: 隨機變數X (成功次數) 由小至大, 其機率質量函數 P (X = k) 上升 到一高點後下降。 2. 眾數 (最高點): 當 Cknpk(1−p)n−k ≥ Ck+1n pk+1(1−p)n−k−1, 且 Ck−1n pk−1(1− p)n−k+1 ≤ Cknpk(1 − p)n−k 時機率質量函數 P (X = k) 為最大值。 即 (n + 1)p − 1 ≤ Mo = (X = k) ≤ (n + 1)p 時, 機率值最大。 3. 偏態: (a) p = 0.5 時,p.m.f. 圖形左右對稱。 2 4 6 8 10 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 (b) p < 0.5 時,p.m.f. 圖形右偏。 2 4 6 8 10 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 (c) p > 0.5 時,p.m.f. 圖形左偏。 2 4 6 8 10 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 高爾頓板的二項式機率分布實驗: 每一小紅色球由上層向下會隨機向左 (發生機 率P ) 或向右落下再撞擊到下一層的柱臺, 最後落到最底層 (n層) 下不同編號 (由 左至右為0、1、2、· · · 、k、· · · 、n ) 的溝槽, 其溝槽發生機率 P (X = k) = Cn kpkqn−k。 例題演練 例題1 投擲一公正硬幣 3 次, 若 A 表第一次出現正面的事件, B 表第二次出現正面的 事件, C 表恰連續出現兩正面的事件。 則下列敘述何者為真? (1) A、B 為獨立 事件 (2) A、C 為獨立事件 (3) B、C 為獨立事件 (4) A、B、C 為獨立事件 (5) P (A|B) = P (A|C) [Ans:1,2,5]
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 二項分佈 · 表 1-2: 不同規則抽獎的中獎問題(取球顏色問題) 取球方式 (抽獎) 一次取一球,取出不放回,共取n球(n 人依序抽獎) 一次取一球, 取出放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎) 第i位抽中獎品機率 第i位抽中機率p1 = p2 = · · · = pn 第i位抽中機率p1 = p2 = · · · = pn 中獎機率與次序無關 每 回 為 條 件 機 率 受 到 前 人抽中及沒抽中的 影 響(每 人 是 否 中獎為相依事件) 每回均為獨立事件(二項式機率) 若已知第k位中獎與否 ⇒ 改變後人中 獎機率 若已知第k位中獎與否 ⇒ 不改變後人 中獎機率 n(球) 人無序結果發 生的機率 如同一次取出 n 球所發生事件的機率 取出 n 球無序結果發生機率為二項式 機率 Cn k(p)k(1 − p)n−k 例題說明: 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 取出兩球均為紅球的 機率 P (R1∩R2) = P (R1)P (R2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ R2) = P (R1)P (R2) = C2 2( 3 5) 2 = 9 25 (獨立事件) 第一球為 R, 第二球 為W 的機率 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2) = 3 5 × 2 5 = 6 25 無 序 結 果:2 球 為 1R1W的機率 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)p(W2|R1) + P (W1)P (R2|W1) = 3 5· 2 4+ 2 5· 3 4 = 3 5 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)P (W2) + P (W1)P (R2) = C12( 3 5)( 2 5) = 12 25 與 一 次 取 出 兩 球 為 1R1W 的 機 率 C3 1C12 C5 2 = 3 5 相同 條件機率: 已知第一球為 R 則 第二球為 R 的機率 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) = 2 4 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 第 一 球 為W則 第二球為 R 的機率 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) = 3 4 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 取 出 3 球 為 2R1W, 則第3球為 R機率 P (R3|2R1B) = = 1R1W排列 (2R1W排列) = 2! 3!/2! = 2 3 P (R3|2R1B) i.i.d. = P (R3) S:2R1B = P (R3) = 2 3 期望值 (n 人中獎個 數) 取出n球R球期望值 E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np 當母群體數量很大, 取樣樣本相對很小時, 重複投擲骰子或重複袋中抽球, 取後放回(獨立事件、 二 項式分布) 與取出不放回(超幾何分布)其機率函數就愈接近。 兩分佈具有相同的期望值np = nw N 順伯的窩
例題2 袋中有300個紅色球,200個藍色球, 小華每次從袋中抽取一球, 共取兩回, 若X表 兩球中抽到紅球的次數。 (a) 若每次抽球後放回袋中, 求 P (X = 1) 機率值? [Ans:X ∼ B(2,35), P1 = C12pq = 0.48] (b) 若每次抽球後不放回袋中, 求 P (X = 1) 機率值? [Ans:P1 = C12 × 300500 × 200 499 ≈ 0.4810 , 超幾何分布] 例題3 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落 下再撞擊到下一層的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 5(由左至右) 的溝槽, 已知彈珠落 下向左、 向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠落 到幾號溝槽的機率最小? (3). 彈珠落到幾號溝槽的機率最大? Ans:325 ;p0 = p5 = 321 ;p2 = p3 = 1032 例題4 某工廠生產產品是不良品的機率為 1 3, 今脽機抽樣6件產品, 若恰抽出4件不良品
的機率為a, 至少抽中4件不良品的機率為b, 求a, b? [Ans:a = 20
243, b = 60+12+1 729 ] 例題5 設生男, 生女的機率均等, 對有3個小孩的家庭, 以隨機變數 X 表男孩的個數, 求 X 的期望值與標準差? [Ans:xi表第 i 胎是男孩隨機變數,µ = E(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.= 3E(x1) = 1 2 × 3 = 3 2, V ar(X = x1 + x2 + x3) i.i.d. = 3V ar(x1) = 3 4,σ = √ 3 2 ] 例題6 連續投擲一公正骰子5次, 以隨機變數 X 表示出現點數6的次數, 求 X 的期望值 與標準差? [Ans: µ = 5 6, σX = 5 6] 例題7 丟一個均勻的硬幣10 次, 令隨機變數 X 表示試驗中硬幣出現正面的次數, 則這 11種可能正面次數出現的機率是否相等? 這11種可能中, 哪一種正面次數機率為 最高? [Ans:X ∼ B(10, 0.5),Pk = Ck10(1/2)k(1/2)10−k,Mo = [(n + 1)P ] = [5.5] = 5, P5 = 252/1024] 習題1-2 二項分佈 1. 袋中有編號為 1到12的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,2,3,4 的事件,B 表示取到球號1,2,5,6,7,8的事件, C 表示取到球號為1,2,5,9,11,12的事 件。 (a) 問 A、B、C 三事件中, 任兩事件是否為獨立事件? (b) 問 A、B、C 三事件是否為獨立事件? 2. 袋中有編號為 1到9的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,5,9 的 事件,B 表示取到球號2,5,8的事件, C 表示取到球號為3,5,7的事件。 問 A、B、C 三 事件是否為獨立事件? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 二項分佈 · 3. 盒中有6 張大小相同的卡片, 分別標示號碼 1, 2, 2, 3, 3, 3, 今從中一次取出一張, 取完查看號碼後放回, 連取三次, 求連續三次都取到1的機率? 求此三次號碼總和 為6的機率為何? 4. 投擲一公正硬幣3次, 令 X 表出現正面次數的隨機變數, 求隨機變數 X 的機率分 布、 期望值與標準差? 5. 投擲一公正硬幣4次, 求正面次數的機率分布、 期望值、 標準差? 6. 某人打靶的命中率為 14 , 且每次打靶的結果互為獨立, 此人朝同一目標射擊5次, 求靶面恰中2發的機率? 求擊中靶面次數不超過2次的機率? 7. 已知一箱內裝有8個燈泡, 其中有2個故障, 現今從箱內隨機抽取3個燈泡, 求故障 燈泡數目的期望值? 8. 某次測驗, 試卷共有20 題單選題, 每題有4 個選項, 且每題都只有一個正確答案, 大明在此試卷上每題都隨機選擇一選項作答, 求大明此測驗卷答對題數的期望值 與標準差? 若每一題為5分, 求大明此次測驗成績的期望值? 9. 隨機變數 X 是參數為 (15, 0.4) 的二項式分佈, 其機率分布圖如下: 選出正確選 項 (1) X的期望值為6 (2) X 標準差大於4 (3) X = 6 時, 機率值最大 (4) P (x = 8) > P (x = 10) (5) P (X = 4) > P (x = 8) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415 100.02−4 0.06 0.12 0.18 0.21 隨機變數X 機 率 值 P (X = k ) 參數(n, p)的二項式機率分布圖 10. 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入紅色彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向 右落下再撞擊到下一層的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 6(由左至右) 的溝槽, 已知彈 珠落下向左向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠 落到幾號溝槽的機率最大? (3). 若紅色彈珠全改由左側 A 處注入, 落到1號溝槽 的機率為何? 又落到幾號溝槽的機率最大? 11. 重複丟兩枚均勻的硬幣300 次, 若隨機變數 X 表示兩枚硬幣均出現正面的次數, 求 X 的期望值與標準差? 12. 丟一個出現正面機率為 14 的硬幣100次, 出現正面次數的期望值及標準差是多少? 若出現正面 k 次的機率為 Pk 則下列選項何者為真? (1) k = 25 時 Pk 為最大值 (2) P24 > P26 (3) P24 = P26 (4) P23+ P24 > P26+ P27 順伯的窩
1.3 抽樣與統計推論 表 1-3: 普查與抽查的優缺點及適用場合 普查與抽查: 普查 抽查 受查對象完整 節省物力,時效性, 機動性高 優點 能取得高精確度資料 可獲既定精確度的估計量 沒有抽樣誤差 具毀損性資料只能用抽樣方法 費時費力 需完整母群體底冊 缺點 不具時效性 需高層次抽樣技術 難保證資料品質 抽樣誤差難以避免 國家基本資料 蒐集精細項目資料 適用場合 受查單位規模大, 數量小 受查單位規模小, 數量大 宜每隔幾年更新資料 適合較短週期的調查; 彌補非普查年資料 母群體: 所研究對象的整體。 抽樣: 為取得樣本之過程。 樣本: 從母群體中選取代表的子集, 以供了解母群體。 樣本資料: 抽樣所得樣本資料數 據。 隨機亂數表: (見附錄) 每一數字出現次數相當且無規律的一些數字表, 作為取樣的號碼依據。 通常依指定 的方法由第n列第k行開始每數個數字一數為抽樣的一個號碼, 如母群體無此號碼 或已選取則取消, 再往下數下一個號碼, 直到取出欲抽樣的樣本個數為止。 表 1-3: 亂數表 1 5646 9713 5457 6316 2470 1589 3537 4856 2 1824 2087 3481 9008 6295 5307 0595 0085 3 5419 0063 8842 1481 3172 8368 2278 0352 4 0736 3612 2601 8314 5345 4440 3440 4501 5 7694 3558 5396 8937 1036 0913 6342 1601 6 7626 0305 3169 5995 2346 5486 5145 0254 7 4864 3515 0113 0324 8529 5772 2201 3944 8 2975 8738 7388 2520 5350 6409 0022 3944 9 2033 8160 8275 6750 1860 7253 1650 6130 10 1223 0477 2222 0176 4283 2232 1105 7285 11 3202 3377 2546 9120 4650 9945 0689 0718 12 8105 1192 1745 6676 4417 5093 4465 1858 13 6512 4221 8003 0733 3570 9837 0829 3921 14 4864 6538 2675 4880 3075 5687 6981 1414 15 2169 4985 0960 3670 2196 3202 8931 0842 16 2658 7622 0830 8030 3539 2414 9556 6458 17 7564 3005 4827 2165 1357 4997 9475 4948 18 8418 4305 1034 7271 6555 4368 7609 8109 19 8878 0963 6981 2853 1083 5982 1373 5117 20 2520 2784 5797 8428 5487 4035 3379 4822 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 抽樣與統計推論 ·
抽樣方法: 為了提高統計分析結論的準確性。
抽樣方法的選擇: 就研究目的與實際情況考量正確性、 方便性、 經濟性選擇抽
樣方法。
1. 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling): 將母群體每一元素編號後, 隨 機選取 n 個號碼, 此 n 個號碼的元素即為 n 個樣本的方法。 優點: 公平客觀。 缺點: 實施不易、 費時、 高成本。 2. 分層抽樣 (Stratified Sampling): 先將母體依某一標準分成幾個不重複的子 母群體, 稱為層。 再將每層隨機抽得的樣本為分層隨機樣本。 (不同層的樣本資 料間存有差異性) 優點: 精確度、 利於比較、 取樣方便。 缺點: 作業計算繁雜、 費時。 3. 系統抽樣 (等距抽樣)(Systematic Sampling): 將母群體元素依某方式排列, 先從前面第 k 個元素選取一個元素後, 再按某固定規律選取下一個元素的抽 樣方法。(僅適用於母體非循環性的資訊) 優點: 作業方便、 簡單。 缺點: 不適用具週期性資料。 4. 部落抽樣 (Cluster Sampling): 先將母體依某一標準分成幾個兩兩不相交 的子集, 稱為部落。 再從隨機抽得幾個部落的全面性樣本為樣本稱部落隨機樣 本。(部落內差異大, 部落間差異性不大) 優點: 經濟省事、 簡便易行。 缺點: 若分群不當會嚴重偏差。 抽查方式: 1. 郵寄 (網站) 問卷: 成本低、 姓名住址不易取得、 回收率低、 資料可靠性 疑慮。 2. 電話訪問: 成本低、 限電話普及區、 如何能使受訪者願意回答問題。 3. 面訪: 花費大、 實施困難、 用於重要複雜的調查。 常態分配(高斯分配) X ∼ N(µ, σ2): 一種常見的連續型隨機變數, 其機率函數f (x) = 1 √ 2πσe −12(x−µσ ) 2 圖形為倒鐘形的對稱曲線, 稱為機率密度函數 (p.d.f.), 此種機率 分佈稱為常態分配。 若平均值為 µ, 標準差為 σ 我們記為 X ∼ N(µ, σ2) 自然界中, 有許多不確定現象的次數分配可以用常態分配來描述, 例如成人的身高, 生物的壽命, 智力測驗的分數, 零件的壽命, 測量所造成的誤差, 手機電池待機時 間等等。 常態分布的一些重要性質: 1. 常態分配的平均數=中位數=眾數 2. 標準常態分布 Z ∼ N(0, 1): 若一常態分布, 其平均數為0, 標準差為1, 稱此 常態分布為標準常態分布。 3. X 為一常態分布, 平均數 µ, 標準差 σ , 則 Z = X − µ σ 的平均數為0, 標準 差為1 , 稱Z為X的標準化。 順伯的窩
−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 N (0, 1) N (0, 1 22) N (0, 22) −4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 N (0, 1) N (1, 1) N (2, 1) 常態分配經驗法則: (68% − 95% − 99.7%) 對於常態分配的資料, 若知道樣本資料的平均數為 µ , 標準差為 σ 則 1. 大約有 68% 的資料會落於區間 [µ − σ, µ + σ] 內。 (距離 µ 一個標準差範圍內的數據, 約佔 68% ) 2. 大約有 95% 的資料會落於區間 [µ − 2σ, µ + 2σ] 內。 (距離 µ 二個標準差範圍內的數據, 約佔 95% ) 3. 大約有 99.7% 的資料會落於區間 [µ − 3σ, µ + 3σ] 內。 (距離 µ 三個標準差範圍內的數據, 約佔 99.7% ) x µ f (x) = √1 2πσe − 1 2( x − µ σ ) 2 µ − 3σµ − 2σµ − 1σ µ + 1σµ + 2σµ + 3σ 68% µ ± 1σ x µ f (x) = √1 2πσe − 1 2( x − µ σ ) 2 µ − 3σµ − 2σµ − 1σ µ + 1σµ + 2σµ + 3σ 95% µ ± 2σ x µ f (x) = √1 2πσe − 1 2( x − µ σ ) 2 µ − 3σµ − 2σµ − 1σ µ + 1σµ + 2σµ + 3σ 99.7% µ ± 3σ 中央極限定理: n 個樣本的平均數 X ∼ N(µ, √σ n) 從母體中, 以簡單隨機抽出n個樣本, 當樣本數 n 足夠大時, 這些樣本統計量會隨 著不同的抽樣樣本而改變, 因此是一隨機變數, 理論上這些樣本隨機變數的平均數 X 會趨近於母體平均數 µ , 樣本標準差為 s 應會趨近於母體標準差 σ。 樣本平均數 X 會隨著不同的樣本與不同的樣本數而變動, 故 X 也是一個隨機變 數(非樣本資料隨機變數)。 而此隨機變數(X的隨機變數) 的分布會趨近於平均數 為µ 標準差為 √σ n 的常態分布, 稱為中央極限定理。
樣本平均數的分布
:
從平均數為 µ , 標準差為 σ 的母體隨機抽取樣本數為 n 的樣本。 則樣本平均數 X : 1. 當樣本數 n 較大時,X 的分布會近似於常態。 2. 抽樣樣本 X 的平均數等於 µ 3. 抽樣樣本 X 的標準差等於 σ√ n 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 抽樣與統計推論 · 中央極限定理與常態分布的應用: 1. 理論上母群體的平均數 µ , 變異數 σ2 未知, 我門希望透過觀察 (抽樣) 一組 隨機樣本 x1, x2, x3, · · · , xn 平均數 x = x1 + x2 + xn3 + · · · + xn 來估計 母體均數 µ (大數法則), 樣本標準差 s 來估計母體標準差 σ 2. 隨機樣本 x1, x2, x3, · · · , xn的平均數 X = x1 + x2 + xn3 + · · · + xn, 樣本標 準差 sx 與樣本平均數標準差 σX 、 母體均數 µ, 母體標準差 σ 的關係 (a) 隨機變數 (樣本平均數) X 的分配會接近常態分配 N (X, σX2 )。 (b) 隨機變數 X 的平均數會與原母體平均數 µ 相等。 (c) 隨機變數 X 的標準差(標準誤) 為 σX 與原母體的標準差 σX 不同, 為 σX = σ√X n ≈ sx √ n E(X) = E(n1(X1 + X2+ · · · + Xn)) = n1E(X1+ X2+ · · · + Xn) = 1
n[E(X1) + E(X2) + · · · + E(Xn)] = 1
n(nµ) = µ
V ar(X) = V ar(n1(X1+ X2+ · · · + Xn)) = n12V ar(X1+ X2+ · · · +
Xn)i.i.d.= n12[V ar(X1) + V ar(X2) + · · · + V ar(Xn)] = n12(nσ2) =
σ2 n (d) 一般母體的標準差 σ 是未知的, 以樣本標準差 s 來代替 σ ; 由常態分配 的經驗法則知: P r(|X − µ| ≤ 2 × s√ n) ≈ 0.95 (e) 母體 µ 落於隨機區間 [X − 1.96 × s√n, X + 1.96 × s√n] 內的長期機率 約0.95 二項分配與常態分布: 當 n 越來越大時, 參數為 (n, p) 的二項機率分配, 會越近似於 µ = np, σ = √npq 的常態分配。 若 np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5 時, 二項機率分配 Bin(n, p) 可視為常態機率分配 N (np, √npq) 1. P ({µ − σ ≤ X ≤ µ + σ}) ≈ 68% 2. P ({µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ}) ≈ 95% 3. P ({µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ}) ≈ 99.7% 信賴區間C.I. 與信心水準(1 − α)%: 會落於區間 [a, b] 內的機率為 (1 − α)%。 稱區間 [a, b] 為信賴區間,(1 − α)% 為信心水準。 由中央極限定理 (樣本的平均數 X ∼ N(µ,√σ n)) 及常態經驗法則(68-95-99.7): X 離母體平均數 µ 在2個標準差√σ n範圍內的機率約為95% , 即 P r(|X − µ| ≤ 2 × √σ n) ≈ 0.95 可解讀為 順伯的窩
0 5 10 15 0.05 0.10 0.15 0.20 10 20 30 40 50 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 圖 1-3: B(20, 0.5)、B(50, 0.5)二項機率分配 與常態分配機率曲線 1. X 落於區間 [µ − 2 × √σ n, µ + 2 × σ √ n] 的機率約為 95% 。 2. µ 落於區間 [X − 2 × √σ n, X + 2 × σ √ n] 的機率約為 95% (上述 X 為隨機區間, 若根據某次抽樣的樣本推論, 此時的X即為一固定的隨機變 數x, 則此次樣本所推得的信賴區間必包含母體 µ或不包含母體 µ) 信賴區間=估計值 ± 誤差界限=[ 估計值-誤差值, 估計值+ 誤差值 ] 。 誤差值 e = Zα/2× σ√ n , 其中 Zα/2 為標準常態分配在 (1 − α)100% 信心水準 下的統計值, 在 68%,95%,99.7% 下,Zα/2 值分別約為 1,2,3 信賴區間的意義: 母體均數 µ 的 95% 信賴區間在重複的抽樣下大約有 95% 的區間會涵蓋真正的母 體均數 µ 。 不是說每次得到的信賴區間, 涵蓋真正的母體均數 µ 的機率值為 0.95; 事實上每一次的信賴區間, 涵蓋真正的母體均數 µ 的機率值不是1就是0(不是對 就是錯) 95% 信賴區間就是指重複抽樣 (不同的樣本資料)1000回下, 得出1000個不同的 信賴區間, 此1000個信賴區間中, 每一個信賴區間一定涵蓋母體均數 µ, 否則就是 不涵蓋母體均數 µ, 其中約有950回會涵蓋母體均數 µ。 此時信賴區間涵蓋母體均 數 µ就說其機率值為1, 不涵蓋母體均數 µ就說其機率值為0, 則1000個隨機變數 不是1就是0, 而1約有950個, 因此描述單一個信賴區間為涵蓋母體均數 µ(隨機 變數為1), 稱我們對它有 95% 的信心強度。 而非講說發生涵蓋母體均數的機率為 95%, 因每一回的信賴區間 (隨機變數) 就只有涵蓋、 不涵蓋 (隨機變數非1即0)。 母體均數 95% 信賴區間: [X − 1.96 × σ√ n, X + 1.96 × σ√n] 的正確解讀 1. 樣本平均數 X 是一隨機變數, 因此信賴區間為一隨機區間(非機率區間), 隨 所抽取出現的樣本之不同而異。 某次樣本所得信賴區間可以概括 µ , 另一次 (組) 樣本所得區間可能不概括 µ, 長期試驗下 µ 被概括在內的可能性為 95% 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 抽樣與統計推論 · 54 56 58 60 62 64 66 10 20 30 40 50 coverage: 94% 54 56 58 60 62 64 66 10 20 30 40 50 coverage: 96% 圖 1-3: 模擬 µ = 60, σ = 10常態分配, 在信心水準 95% 下, 樣本數100及36的50個信賴區間, (真 正涵蓋母體均值60覆蓋率為94%及96%) 2. 樣本抽出後, 隨機變數 X = x 即已確定, 此時 µ 落於此信賴區間 [x−1.96× σ √ n, x + 1.96 × σ√n]的機率為1或0, 3. 樣本平均數與母體真正平均數的誤差值在 1.96 × σ√ n 以內的機率值 = P r(|X − µ| ≤ 1.96 × σ√n) ≈ 0.95 4. 對事件 x− 1.96 × σ√ n ≤ µ ≤ x + 1.96 × σ√n 有 95% 的把握可能發生。 對此區間而言, 95% 不是一個機率值。 5. 此區間 [x− 1.96 × σ√ n, x+ 1.96 × σ√n] 可能會, 也可能不會涵蓋真正的平 均數。 母體平均數落於此區間的機率不是1(涵蓋 µ ) 就是0(不涵蓋 µ )。 6. 多次重複抽樣所得的信賴區間, 其中心點可能都不同, 但每一個區間長度都相 同, 且區間包含母體平均數的比率為 0.95 順伯的窩
實際應用: 大部分不知常態母體標準差的資訊, 此時利用抽樣樣本來推論母體 (此 時機率分布為 t 分配, 隨著n愈大,s → σ, 機率分佈愈接近常態分布)。 在抽出 n 個樣本, 樣本平均數為 x , 樣本標準差為 s 則有關母體均數 µ 的統計 推論為: 1. 68% 的信賴區間: 母體平均數 µ 落在區間 [x− 1 × s√ n, x+ 1 × s√n] 內的 信心強度為 68% 。 (100回試驗中約有68回為真) 2. 95% 的信賴區間: 母體平均數 µ 落在區間 [x− 2 × s√ n, x+ 2 × s√n] 內的 信心強度為 95% 。 (100回試驗中約有95回為真) 3. 99% 的信賴區間: 母體平均數 µ 落在區間 [x−2.576× s√ n, x+2.576× s√n] 內的信心強度為 99%。 (100回試驗中約有99回為真) 母體比率 p 的信賴區間: [p − e,b p + e] ,b p 為樣本比率, e 為最大誤差值b 令同意 (支持) 與不同意 (不支持) 的隨機變數 X 分別為1與0 隨機樣本 x1, x2, x3, · · · , xn = 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, · · · , ≡ n回伯努利試驗。 其 樣本平均值約為母體比率 (大數法則) 為 p =b P xi n = X , 樣本標準差 Sx = √npq 樣本比率的平均數 E(p) = E(b Pxi n ) = 1 nE( P xi) = npn = p 而樣本比率的變異數為V ar(p) = V ar(b Pxi n ) = 1 n2V ar( P xi n ) i.i.d. = 1 n2 × npq = pq n, 故樣本比率標準差為 σpb= q b p(1 −p)b n ≤ 12√n 若 X 表服從 Bin(n, p) 的隨機變數成功次數, X 表平均成功次數(大數法則約為 母體贊成的比例p =b X n) 隨機變數, 則 E(p) = E(X) = E(b xn) = 1 nE(X) = 1 n × np = p V ar(p)b = V ar(X) = 1 n2V ar(X) Bin(n,p) = 1 n2 × np(1 − p) = pq n, σX = q p(1 − p) n 母群體比率估計值的 95% 信賴區間為 (ˆp−1.96 q ˆ p(1 − ˆp) n , ˆp+1.96 q ˆ p(1 − ˆp) n ) 其中 ˆp 是抽查n個樣本的同意人數比率。 依中央極限定理及常態經驗法則: 有關母體比率 p 的信賴區間: 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 抽樣與統計推論 · 1. 90% 的信賴區間: [p − 1.645b q b p(1 −p)b n ,p + 1.645b q b p(1 −p)b n ] 2. 95% 的信賴區間: [p − 1.96b q b p(1 −p)b n ,p + 1.96b q b p(1 −p)b n ] 3. 99% 的信賴區間: [p − 2.576b q b p(1 −p)b n ,p + 2.576b q b p(1 −p)b n ] 估計母體比率 p 的樣本數與最大誤差: 誤差 e = Zα/2 × r b p(1 −p)b n ≤ 1 √ n 其中 Zα/2為標準常態分配在 (1−α)100% 信心水準下的統計值, 在 90%,95%,99% 下, 分別為 1.645,1.96,2.576 最大誤差 e = Zα/2 q b p(1 −p)b n ≤ Zα/2· 1 2√n , (二次函數 p(1 −b p) ≤b 1 4 ) 特別在 95% 信心水準下, 最大誤差 e ≤ 1√ n 信賴區間、 抽樣樣本數與信心水準關係: 母體為常態分布的信賴區間由抽樣的樣本資料、 樣本數與信心水準所決定。 母體 µ 的95%信賴區間 C.I=[X − 2 × √σ n, X + 2 × σ √ n] = [X ± 2σ √ n] 1. 重複抽樣 (試驗) k 回, 隨著k愈大, 此k個 95% 信賴區間涵蓋母體均數的比 率愈接近 95% 2. 信心水準95% 的抽樣誤差 e = √2σ n 。 信賴區間的長度為抽樣誤差的2倍。 3. 若抽樣樣本數為 n , 隨著n愈大, 此 95% 信賴區間的長度就愈短, 但不會改 變此回是否會涵蓋母體均數 (單獨一信賴區間就只有涵蓋、 不涵蓋) 4. 信心水準愈高則信賴區間長度就愈長, 但不會改變此回是否會涵蓋母體均數 (單獨一信賴區間就只有涵蓋、 不涵蓋)。 信心水準99.7% 的抽樣誤差 e = 3σ √ n 。 5. 若想信心強度高 (高準確性), 信賴區間短 (高精確性) 則必須抽樣樣本數愈 大。 順伯的窩
母群體比率估計值的 95% 信賴區間為 (ˆp−1.96 q ˆ p(1 − ˆp) n , ˆp+1.96 q ˆ p(1 − ˆp) n ) 1. 母體比率 p 的信賴區間中點是樣本比率 pb 2. 信賴區間愈短愈精準, 區間長度等於誤差值2倍。 3. 當樣本數 n 愈大時, 若 p 不變, 則抽樣誤差界限 e 愈小, 信賴區間長度變愈b 短。 4. 信心水準愈高, 則誤差 e 會愈大, 信賴區間長度也愈長。 5. 信賴區間會隨著抽樣資料不同算出不同的樣本比率 p , 而得到不同的信賴區b 間。 對信賴區間的錯誤解讀: 1. 若信賴水準為 95% , 則母體均值 µ 落於信賴區間的機率為 95%。 (正解: µ 落於 C.I. 的機率不是1就是0) 2. 若信賴水準為 95% , 則樣本均值 X 落於信賴區間的機率為 95%。 (正解: X 必為其 C.I. 的中點) 3. 若信心水準為 95% 的信賴區間, 則此區間有 95% 的機率會涵蓋母體均值 µ。 (正解: µ 落於此 C.I. 的機率不是1就是0; 就長期重複抽樣下,CI 會涵蓋 µ 的機率約為0.95) 例題演練 例題1 某次考試中, 應試人數 4000人, 考試成績近似於常態分配, 若平均成績是70分, 標 準差9分, 估計分數在61分到79分的大約人數? [Ans:2720人 (資料分佈⇒常態 經驗法則)] 例題2 有關母群體平均數 µ 在 95% 信心水準下的信賴區間的敘述何者正確? (A) 母群 體平均數 µ 落於其信賴區間的機率為 95% (B) 樣本平均數 X 落於其信賴區間 的機率為 95% (C) 其信賴區間涵蓋母群體平均數 µ 的機率為 95% (D) 重複 試驗100回所建構出的100個信賴區間, 可能有95回會涵蓋母群體平均數 µ (E) 95% 信心水準並不是說每一個信賴區間有 95% 的機率會真正涵蓋母群體平均數 µ [Ans:DE] 例題3 已知某學校學生 (人數頗多) 的身高為常態分配, 且標準差為9公分; 今由這些學 生中隨機抽取36人調查得知樣本身高的平均數為 168公分: (a) 依此調查結果, 並依常態經驗68-95-99.7法則, 推估此學校學生身高介於 (150, 186) 的人數比率為多少? [Ans:95%(資料分佈⇒常態經驗法則)] (b) 求此學校學生平均身高在 95% 信心水準下的信賴區間? [Ans:168 ± 3 = (165, 171),(母體均數的統計推論)] 例題4 已知袋中有5 顆球, 其中3 顆是紅色球, 從袋中每次取出一球, 取完放回, 共取24 次, 隨機變數 Y 表示取出紅色球的比率; 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 抽樣與統計推論 · (a) 求 Y 的期望值與標準差? [Ans:E(Y ) = 0.6, σ =q0.6∗0.424 = 0.1] (b) 重複試驗多次, 試估計約 95%的紅色球比率所在的區間? [Ans:[0.6 ± 0.2]] 例題5 從生產線隨機抽出400個產品, 得到樣本的不良率為 8% , 求此生產線不良率 p 的 95% 信賴區間? Ans:[0.0529, 0.1071] ,(母體比率的統計推論) 例題6 某調查研究想了解某地區曾經出國遊學的比率 p 有多少, 若設定在信心水準為 99.7% , 誤差在 ±0.02 之內, 請問至少需要調查多少人? [Ans:2500人] 例題7 某次選舉, 民意調查有效樣本數為 n = 1000 , 其中支持甲候選人有450人, 支持 乙候選人有550人, 分別求支持甲候選人比率的 95% 信賴區間? 及支持乙候選人 比率的 95% 信賴區間? [Ans: 甲 [0.4185,0.4851], 乙 [0.5185,0.5815]] 例題8 某工廠生產燈泡, 其有效使用時間符合常態分配, 平均為800小時, 標準差為100小 時, 問隨機抽取25個燈泡, 則平均使用時間超過840小時的機率有多少? [Ans:0.05] 例題9 一高中學校想調查學生早上每天通學花費時間。 假設已知母體標準差為24分鐘, 試 問在 95% 的信心水準下, 需要多少樣本才能使估計的誤差不超過 5 分鐘? [Ans: n ≥ (1.96σe )2 = 88.51 , 取89(93) 人] 例題10 若已知候選人甲, 得票率為0.36, 從選民中任選100位調查, 有26位到46位選民說 投給甲的機率約為?(以常態近似) [Ans:P (0.26 ≤ ˆp ≤ 0.46) ≈ 95%] 習題1-3 抽樣與統計推論 1. 一流高中高一60位學生數學成績如表: 表 1-3: 一流高中高一60位學生數學成績資料 (班平均65.6) 座號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成績 73 50 64 58 74 68 56 62 76 54 座號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 成績 66 71 61 75 67 43 69 69 64 52 座號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 成績 55 58 61 64 78 63 64 57 77 66 座號 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 成績 64 61 59 52 62 66 65 76 56 67 座號 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 成績 66 51 70 73 63 58 67 72 69 62 座號 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 成績 86 66 60 68 67 66 62 73 63 71 (a) 根據一流高中成績表及附錄的亂數表, 從第10列的第5行開始, 利用簡單隨機 抽樣方法選出7位學生的號碼 (座號) 及成績為多少? 此7位學生的平均分數 為? (b) 一流高中成績表中, 若從第10列的第5,6行開始, 利用系統隨機抽樣方法選出 6位學生的號碼 (座號) 及成績為多少? 此6位學生的平均分數為? 順伯的窩
組別 人數 抽樣代表 抽樣平均 40 ∼ 60 14 60 ∼ 70 32 70 ∼ 90 14 (c) 一流高中成績表中, 若將分數為三組(人數分別為 N1, N2, N3 ), 每一組抽樣 樣本人數依人數比例 ( N1 : N2 : N3 ) 抽出, 求其每一組平均 X1, X2, X3 若 以 X = N1X1 + N2X2 + N3X3 N1 + N2 + N3 當成估計班平均的分數; 現從亂數表第10 列 的第 5 行開始每兩位數字為一數 (續接下一列數字), 各抽選4,9,4 人; 則抽樣 樣本分數分別為多少 (填入表格內)? 又班平均的估計值 X 為多少? (d) 求這60位學生的數學平均成績、 成績的變異數與標準差?(自行比較抽樣的平 均值與標準差) 2. 某校高三有甲、 乙、 丙、 丁四班, 各班級人數如下表: 班級 甲 乙 丙 丁 人數 30 40 50 60 欲 從中抽選8名學生接受數學學科能力抽測, 在下列各種抽樣方法中, 求甲班的書豪被 抽中的機率為多少? (a) 以班級為單位, 每班抽出2名學生 (b) 隨機先抽出一班, 再從該班級抽出8名學生 (c) 先將全三年級180明學生加以編號, 再隨機抽出8名學生 3. 人類從受孕到分娩的懷孕期時間, 大致呈現平均數 266 天, 標準差 16 天的常態分 布, 問約有多少比例的人會在266天以內分娩? 依據常態經驗法則, 求中間 95% 的人其懷孕天數範圍? 4. 全校每位同學投擲一枚均勻硬幣20次, X 表每人所擲出正面的次數, 求 X 的平 均數與標準差? 試求 P (6 ≤ X ≤ 14) 機率近似值 (以常態經驗法則近似)? 5. 求估計 P14 k=6 C20 k (12)k(12)20−k 的近似值? 6. 某校高二學生 1000人, 第二次段考數學成績為常態分配, 已知平均成績68分, 標 準差8分, 試估計有多少人不及格? 書豪 此次考試考84分, 則他數學成績大約排名 多少? 7. 某工廠依過去生產經驗知, 其產品約有 1 10 是不良品, 今生產一批貨品共有900個, 試求不良品個數不大於72個的機率?(常態近似值) 8. 某高中有1000 位學生考試, 其數學成績直方圖呈鐘形 (即資料是常態分佈) 且已 知其平均值為70分, 標準差為10分, 請概估: (a) 此次數學成績不及格的學生約有幾位? (b) 成績超過90分的學生有幾位? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 抽樣與統計推論 · (c) 某學生成績80分, 則他在此全體考生大約排名第幾名? 9. 民調公司做總統大選支持度調查, 成功訪問1100位合格選民, 其中有605位表示支 持甲候選人, (a) 求這次調查中, 甲候選人的支持度 (b) 在 95% 的信心水準下, 這次民調的抽樣誤差為多少個百分點? (c) 依據此次民調, 計算甲候選人支持度的 95% 信賴區間? 10. 某廠牌手機的重量為常態分布, 且已知平均重量為78公克、 標準差為4公克, 若隨 機抽取該廠牌手機100支, 問此100支手機平均重量介於中間 95% 機率之區間範 圍為何? 11. 投擲一枚均勻硬幣100次, 求出現正面次數在45次至55次之間的機率? 12. 連續投擲一公正骰子500次, 以 X 表這500次所出現點數為5點的比率, 試求 X 的期望值及標準差 σX ? 並估計 X 信心水準為 95% 的信賴區間? 13. 下列敘述何者為真? (A) 信心水準愈高則所對應的信賴區間長度亦愈長 。 (B) 信 心水準愈高則所對應的信賴區間長度愈短。 (C) 選取的樣本數多寡不影響信賴區 間的長度。 (D) 選取的樣本數愈多則信賴區間的長度愈短。 (E) 選取的樣本數愈 少則信賴區間的長度愈長。 14. 下列哪些方法可縮小信賴區間的寬度 (長度)?(A) 降低信心水準 (B) 增加信心水 準 (C) 增大抽樣的樣本數 (D) 減少抽樣的樣本數 (E) 重複相同的試驗多次 15. 從100個樣本中得到其平均數為25, 樣本標準差為 5 , 求母體均數在 95% 信心水 準的信賴區間與誤差值? 16. 假設全國高中男生的身高平均為173 公分, 標準差5 公分, 且大致為常態分配, 若 自其中抽取50人, 問此50人平均身高的標準差為何? 17. 某銀行的一分行的存戶存款餘額平均為75000元, 標準差為16000元, 今由這些存 戶隨機選出64人, 則平均存款餘額介於71000 ∼ 79000 元的機率約為多少? 18. 從某公司隨機選取 80 名員工調查其薪資, 得知這 81 名員工的平均月薪為 42500 元, 標準差為 5220元, 求此公司員工的平均月薪 95% 的信賴區間? 19. 某次民意調查欲調查政府某項政策的支持度 p , 在信心水準 95% 下, 希望最大誤 差不超過 0.03; 則至少需多少個有效樣本, 才能確保誤差在 ±3% 以內? 20. 從某科系中隨機抽取36人測量其身高, 結果平均值 170公分, 若已知此科系學生 身高標準差為 7公分, 求此科系學生平均身高的 95% 信賴區間? 21. 班上某次考試, 從考生隨機抽取8人, 其成績如下: 68,92,85,73,50,77,76,95 (全班 的標準差 12√2 ), 若全班成績成常態分配 , 求全班平均成績的 95% 信賴區間? 22. 某公司宣稱生產的產品在 95% 信心水準下, 合格率高達 80%, 在抽樣誤差為 3.2百 分點的範圍內, 該公司至少要檢驗多少個產品? 順伯的窩
第
2
章
三角函數
2.1 弧度、 弧長 弧度制的度數 θ : 半徑為r的圓 O, 在圓周上取一段弧長P Q= r, 則⌢ P Q 所對應的圓心⌢ 角 ∠P OQ 為1弧度。 單位圓圓心角 90◦ 所對的弧長是 π 2 , 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種 度數單位。 即 弧度 π ≡ 180◦ ;2π ≡ 360◦ 。 1弧度 ≡ 180◦ π ; 1 ◦ ≡ π 180 弧度 。 O s = rθ θ r = 1 P Q 扇形弧長 s = r · θ : 半徑為 r 的圓 O, 弧度為 θ 所對應的弧長 s = r · θ。 扇形的面積 A = 1 2r 2θ: 半徑為 r 的圓 O, 弧度為 θ 所對應的扇形面積 A = 1 2r 2θ。 例題演練 例題1 將弧度 5π 6 , 2 化為度? Ans: 5π 6 = 150 ◦, 2 = 360◦ π ≈ 114.59 ◦ 例題2 已知一扇形半徑為 12 公分, 圓心角為60◦, 求此扇形的弧長及面積? Ans:s = 4π公分,A = 24π平方公分 例題3 若一扇形的弧長為 s 公分, 扇形面積為 A 平方公分, 且s = A, 求此扇形的半徑 長? Ans:r = 2 習題2-1 弧度、 弧長 1. 將60◦, 150◦ 化為弧度? 2. 已知一扇形半徑為12公分, 圓心角為120◦, 求此扇形的弧長及面積?3. 設 a = sin 1, b = sin 2, c = sin 3, d = sin 4 , 試比較 a, b, c, d 的大小?
4. 已知一扇形的弧長為2公分, 扇形面積為4平方公分, 求此扇形的半徑為及圓心角?
5. 一扇形半徑為10, 圓心角為 6π
5 , 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 O
為頂點的正圓錐, 此正圓錐底面為一圓 O′, 求圓 O′ 的半徑 r′ 及此正圓錐頂點 O
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 三角函數的性質與圖形 · 到底面中心 O′ 的距離 h(正圓錐的高)? O O O′ h r′ 2.2 三角函數的性質與圖形 廣義角的三角函數定義: 若廣義角θ 是標準位置角 (x 軸正向為始邊, 原點為夾角的頂 點), 在終邊上取一點 P (x, y), r = OP =px2 + y2 則三角函數定義為 正弦函數: sin θ = y r , 餘弦函數: cos θ = x r 正切函數: tan θ = y x , 餘切函數: cot θ = x y 正割函數: sec θ = r x , 餘割函數: csc θ = r y x y O P (x, y) θ x y O P (x, y) θ x y O P (x, y) θ x y O P (x, y) θ 三角函數的基本關係:
1. 平方關係: sin2θ + cos2θ = 1, tan2θ + 1 = sec2θ, 1 + cot2θ = csc2θ 2. 倒數關係: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1
3. 商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 tan θ = sin θcos θ , cot θ = cos θsin θ , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ
4. 餘角關係: ∠A +∠B = 90◦
則 sin A = cos B, cos A = sin B , tan A = cot B, sec A = csc B
csc θ sec θ tan θ sin θ cos θ cot θ 1 順伯的窩
三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系:
1. 餘角關係 ∠A +∠B = 90◦ : sin A = cos B, sin B = cos A 2. 補角關係 ∠A +∠B = 180◦: sin A = sin B, cos A + cos B = 0 3. 周角關係 ∠A +∠B = 360◦ : sin A + sin B = 0, cos A = cos B
4. 反向角關係 ∠A = 180◦+∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相
反數關係)
5. 奇偶性: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ, cot(−θ) = − cot θ;sec(−θ) = sec θ, csc(−θ) = − csc θ
6. 三角函數值相反數:sin(−θ) = − sin θ; cos(180◦ − θ) = − cos θ
tan(180◦− θ) = − tan θ; cot(180◦ − θ) = − cot θ sec(180◦ + θ) = − sec θ; csc(180◦+ θ) = − csc θ 三角函數化簡公式 −→ 旋轉木馬記憶法: sin -sin cos -cos tan
-cot -sin sin
cos -cos csc -csc sec -sec sin cos 圖 2-2: 三角函數化簡公式: 旋轉木馬記憶法
1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。(sin(θ +90◦) 比 sin θ 角度多90◦, 就以sin θ
為主輻) 2. 以 90◦ 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉。 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。(例:sin(θ + 90◦) 就是sin θ 逆時針轉 90◦, 輪輻位置為 cos θ) 三角測量: 1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長、 角度或相關量。 2. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函 數及其性質解決問題。 將包含已知邊長 (角度) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出; 再仔細 觀察這些三角形有何上列公式 (定理) 可運用。 3. △ABC 內外角平分線性質: 交點到兩底邊端點距離比等於其兩腰長度比 ∠A 角平分線交底邊 BC 於 D 點, 則 BD : CD = AB : AC 已知一三角函數求其餘三角函數值方法: 1. 銳角參考角法: 每一標準角θ終邊與x軸所夾之銳角參考角α,θ 角的三角函數 值絕對值與α 的三角函數值相同, 再由θ 象限角位置決定其三角函數值的正 負。 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 三角函數的性質與圖形 · 2. 坐標法: 利用 cos θ = x r, sin θ = y r 找出 θ 終邊上的點P (x, y)坐標, 再依三 角函數定義求其餘三角函數值。 3. 基本關係法: 利用平方關係、 商數關係、 倒數關係求其餘三角函數值。 例題演練
例題1 已知 (−3, −4) 為標準位置角 θ 終邊上的一點, 試求 cot θ, sec θ 的值? Ans:cot θ = 3 4, sec θ = −5 3 例題2 已知 cos θ = 3 5 且 θ 為第四象限角, 求θ 的其他三角函數值? sin θ = −4 5 , tan θ = −43, cot θ = −34, sec θ = 53, csc θ = −54 例題3 若 π ≤ θ < 3π
2 且 cot θ = 2 , 求 csc θ 及 sec(π − θ) 的值? Ans: csc θ =
−√5, sec(π − θ) = √
5 2
例題4 已知 sin θ − cos θ = 1
2, 求下列各式的值:(1) sin θ · cos θ (2) tan θ + cot θ (3) sec θ − csc θ ? (1)38 (2) 8 3 (3) 4 3 例題5 若 θ 是第三象限角, 已知 tan θ + cot θ = 25
12, 試求:(1) sin θ cos θ =? (2) sin θ + cos θ =? (3) sec θ + csc θ =? Ans: 12
25; −7 5 ; −35 12 例題6 一測量員在一山的正南方山腳下 A 點, 測出山的仰角為 60◦, 若測量員向東方移 動300公尺到達 B 點, 測得山頂的仰角為 30◦, 求此山的高度? [Ans: 75√6 公尺] 習題2-2 三角函數的性質 1. 一人自塔頂俯視塔正東方一點 A, 俯角為 45◦ , 俯視塔北 60◦ 東一點, 俯角為 30◦ , 且 A,B 兩點相距100公尺, 求此塔高? 2. 一人於山麓測得山頂的仰角為 45◦ , 由此山麓循 30◦ 斜坡上行200公尺, 再測得 山頂的仰角為 75◦ , 求此山的高度?(sin 15◦ = √6−√2 4 ) 3. 自塔的正西方一點 A, 測得塔頂仰角為 45◦ , 在塔的南 60◦ 西一點 B, 測得塔頂 仰角為 30◦ 若 A,B 兩點相距40公尺, 試求塔高? 4. 今有 A,B 兩點分別在大湖的兩岸, 某人在距湖的遠處一點, 測得 AC = 100m, BC = 150m,∠ACB = 60◦ , 試求 AB 的長度? 5. 甲, 乙兩人相距500公尺, 同時測量一建築物高度, 甲在建物的正東方測出建物頂 點仰角 45◦ , 而乙在建物東偏南 30◦ , 測出建物頂點仰角 30◦ , 求建物的高度? 順伯的窩
6. 某人在一塔的正西方 A 點, 測得塔頂仰角為 60◦ , 在 A 點正南方 B 點, 測得塔
頂仰角為 30◦ , 已知此塔高為150公尺 , 求 A,B 兩點距離? 公尺
7. 一船以固定速率向東37◦南航行, 於上午10時, 測得燈塔方位為東23◦北, 至下午2
時, 測得燈塔方位為北23◦ , 此時船與燈塔距離為 40√3 公里, 求此船的速率?
8. 利用坐標法求三角函數值: 若直線 ←→OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點P 的坐標
如下, 分別求三角函數 sin θ, cos θ, tan θ 值? (a) P (−2, 3) (b) P (3, −4) 9. 先將 θ 化為較簡同界角後, 再求其三角函數值 ? (a) tan 9π 4 (b) cos 17π 6 (c) sin(−2π 3 ) (d) sec(−7π 4 ) (e) tan(−π 3) (f) csc(−315◦) (g) csc(−270◦) (h) cot(390◦) (i) sec(−3π) (j) tan19π 6 (k) cos(−2π) 10. 三角函數的奇偶性質: (a) cot(−3π 2 ) (b) tan(−37π 4 ) (c) sin(−9π 4 ) (d) tan(−9π 4 )
11. 已知θ 角中 sin θ, cos θ, tan θ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值? (a) csc θ = −2, tan θ > 0
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 · (b) tan θ = −4, sin θ < 0 12. 求下列三角函數值? (a) sin π 12 cos 7π 12 − cos π 12sin 7π 12 =? (b) cos π 12cos 5π 12 + sin π 12 sin 5π 12 =? (c) sin θ = 1 3, θ 為第二象限角, 分別求 a = cos θ ,b = cos(θ − π 3) ,c = sin(θ + π 6) ,d = tan(θ + π 4) 值?
13. 若 θ 是第二象限角, 且 sin θ = 35 , 求 cos θ 與 tan θ 的值?
14. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P (2, −3) , 試求 θ 角的六個三角函數值?
15. 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cos θ − sin θ = 13 , 求 sin θ cos θ 與 sin θ + cos θ 的 值?
16. 已知 cos θ = −35 , 且 θ 為第二象限角, 求其他三角函數值? 17. 若 tan θ = 43 求 3 sin θ + 2 cos θ2 sin θ + 3 cos θ =? (分子分母同除以cos θ)
18. 已知 sin θ + cos θ = −√2, 求下列各式的值:
(a) sin θ · cos θ = (b) tan θ + cot θ = (c) sec θ + csc θ = 2.3 三角函數的圖形 週期函數: 對每一定義域中的元素 x, f (x + t) = f (x) 恆成立, 另一實數 t′ 也滿足 f (x + t′) = f (x) ,t′ 是 t 的整數倍, 則稱 f 是週期為 t 的週期函數。 三角函數的圖形及性質: 1. 正弦函數 y = f (x) = sin x 圖形 −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 f (x) = sin x 順伯的窩
表2-3: 特別角的三角函數值 x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π sin x 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 cos x 1 √23 √22 12 0 −1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 x π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π sin x 0 −12 −√22 −√23 −1 −√23 −√22 −12 0 cos x −1 −√3 2 − √ 2 2 −12 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 x −π 3 −π 4 −π 6 0 π 6 π 4 π 3 tan x −√3 −1 −√3 3 0 √ 3 3 1 √ 3 (a) 定義域D與值域R: D = {x|x ∈ R},R = {y| − 1 ≤ y ≤ 1} (b) 週期T = 2π: 滿足 sin(x + t) = sin x, 取 k = 1滿足 t = 2kπ = 2π 為 最小值, 正弦函數的週期為 T = 2π。 (c) 振幅: 正弦函數振幅為 A = Max − Min 2 = 1 (d) 對稱: y = sin x 圖形以 x = π 2 + nπ, n ∈ Z 的鉛直線 (過函數圖形最高 點或最低點的鉛直線) 均為其線對稱。 y = sin x 圖形與x軸交點 (nπ, 0), n ∈ Z 為其對稱點 (對稱中心)。 特別 是正弦函數 y = f (x) = sin x 圖形對稱於原點 (0, 0) , 為奇函數。 2. 餘弦函數 y = f (x) = cos x 圖形 −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 f (x) = cos x (a) 定義域D與值域R: D = {x|x ∈ R},R = {y| − 1 ≤ y ≤ 1} (b) 週期T = 2π: 滿足 cos(x + t) = cos x, 取 k = 1滿足 t = 2kπ = 2π 為 最小值, 餘弦函數的週期為 T = 2π。 (c) 振幅: 正弦函數振幅為 A = Max − Min 2 = 1 (d) 對稱: y = cos x 圖形以 x = nπ, n ∈ Z 的鉛直線 (過函數圖形最高點或 最低點的鉛直線) 均為其線對稱。 y = cos x 圖形與x軸交點 (π 2 + nπ, 0), n ∈ Z 為其對稱點 (對稱中心)。 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 · 特別是餘弦函數 y = f (x) = cos x 圖形對稱於y 軸, 為偶函數。 3. 正切函數 y = f (x) = tan x 圖形 −2π −π−π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π y tan(x)
(a) 定義域D與值域R: 由商數關係 tan x = sin x
cos x 所以 D = {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R} (b) 週期T = π: 滿足 tan(x + t) = tan x, 取 k = 1滿足 t = kπ = π 為最 小值, 餘弦函數的週期為 T = π。 (c) 對稱: y = tan x 圖形以 (nπ 2 , 0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是 y = f (x) = tan x 圖形對稱於點(0, 0), 為奇函數。 (d) 漸近線: 直線 x = π 2 + nπ, n ∈ Z 都是正切函數 y = tan x 的漸近線。 4. 餘切函數 y = f (x) = cot x 圖形 −2π −π−π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π y cot(x) (a) 定義域D與值域R: 由倒數關係 cot x = 1 tan x 所以 D = {x|x 6= nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R} (b) 週期T = π: 滿足 cot(x + t) = cot x, 取 k = 1滿足 t = kπ = π 為最 小值, 餘弦函數的週期為 T = π。 (c) 對稱: y = cot x 圖形以 (nπ 2 , 0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是 y = f (x) = cot x 圖形對稱於點(0, 0), 為奇函數。 (d) 漸近線: 直線 x = nπ, n ∈ Z 都是餘切函數 y = cot x 的漸近線。 −2π −π −π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π y tan(x) cot(x) 5. 正割函數 y = f (x) = sec x 圖形 順伯的窩
−2π−3π 2 −π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sec(x) cos(x) (a) 定義域D與值域R: 因為 sec x = 1 cos x, cos x 6= 0 , 所以定義域 D = {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z}, 值域 R = {y|y ≤ −1, 或 y ≥ 1} (b) 週期T = 2π: 因sec x = 1 cos x, cos x 6= 0, 餘弦函數的週期為 2π, 故正 割函數周期亦為 2π。
(c) 對稱: 正割函數y = sec x與y = cos x 圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中 心) 都相同, 亦為偶函數。 (d) 漸近線: 直線 x = π 2 + nπ, n ∈ Z 為正割函數圖形的漸近線。 6. 餘割函數 y = f (x) = csc x 圖形 −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y csc(x) sin(x) (a) 定義域D與值域R: 因為 csc x = 1 sin x, sin x 6= 0 , 所以定義域 D = {x|x 6= nπ, n ∈ Z}, 值域 R = {y|y ≤ −1, 或 y ≥ 1} (b) 週期T = 2π: 因sec x = 1 sin x, sin x 6= 0, 正弦函數的週期為 2π, 故餘 割函數周期亦為 2π。
(c) 對稱: 正割函數y = csc x與y = sin x 圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中 心) 都相同, 亦奇偶函數。 (d) 漸近線: 直線 x = nπ, n ∈ Z 為餘割函數圖形的漸近線。 函數圖形的平移伸縮: 一般正弦函數y = f (x) = a sin(kx + b) + c , 則 ( f (x)振幅 : |a| f (x)週期 : |2π k | 考慮正弦函數 y = f (x) = sin x 標準圖形, 與 Y = g(X) = a sin(kX + b) + c 圖形的關係: Y = g(X) = a sin(kX + b) + c ⇒ Y − c a = sin(kX + b) , 若 x = kX + b y = Y −cb 時, 則 y = f (x) = sin x 與 Y = g(X) = a sin(kX+b)+c 圖形就會重疊 (相同), 故當 X = x − bk Y = ay + c 時, 兩函數圖形是重疊的, 即 g(X) 圖形是 f (x) 圖形 向左平移(x軸負向)b 單位, 再左右縮小 k 倍 上下方向(y軸方向) 伸展 a 倍後再向上平移 (y 軸)c 單位 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 ·
表 2-3: 三角函數圖形的特點
函數 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x
圖形 (一週期) −π−π2 π 2π −1 1 y −π2 π 2π3π2 −1 1 y −π2 π 2 x = −π 2 x =π 2 y π 2 π x = 0 x = π y −π2 π 2 π3π2 x = −π 2 x =π 2 x =3π 2 −1 1 y −π−π 2 π 2 π x = −π x = 0 x = π −1 1 y 定義域 R R x 6= π 2 + nπ x 6= nπ x 6= π 2 + nπ x 6= nπ 值域 [−1, 1] [−1, 1] R R (−∞, −1] ∪ [1, ∞) (−∞, −1] ∪ [1, ∞) 鉛直漸近線 無 無 x = π 2 + nπ x = nπ x = π 2 + nπ x = nπ 與x軸交點 nπ π 2 + nπ nπ π 2 + nπ 無 無 與y軸交點 0 1 0 無 1 無 週期 2π 2π π π 2π 2π 奇偶性質 奇 偶 奇 奇 偶 奇 對稱 原點 y 軸 原點 原點 y 軸 原點 正、 餘弦函數圖形關係: y = cos x = sin(x + π2)
y = sin x , 餘弦y = cos x是正弦 y = sin x函數圖形在x軸方
向左平移 π 2 單位。 −2π −π −π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 (π 2, 1) (0, 1) y sin(x) cos(x) 正弦函數的平移: −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sin(x) sin(x +π 2) sin(x + π) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 −2 1 2 y sin(x) sin(x) + 1 sin(x +π 2) + 1 sin(x +π 2) − 1 正弦函數的伸縮: 順伯的窩
−2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sin(x) sin(2x) sin(x 2) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −2 1 2 y sin(x) 2 sin(x) 1 2sin(x) 例題演練
例題1 設 a = sin 1, b = sin 2, c = sin 3, d = sin 4 , 試比較 a, b, c, d 的大小? b > a > c > d
例題2 將 y = sin x 和 y = cos x 的圖形畫在同一平面上, 並利用圖形求 (1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時, y = sin x 和 y = cos x 的圖形有幾個交點? (2) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時, 解 sin x = cos x Ans: 2個交點; x = π4,5π4
例題3 利用 y = sin x 的圖形, 畫出 (1) y = 2 + sin x (2) y = sin(x − π3) 的圖形?
Ans: −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 −2 2 3 y sin(x) sin(x) + 2 sin(x −π 3)
例題4 利用 y = cos x 的圖形, 畫出 (1) y = 2 cos x (2) y = cos(2x) 的圖形? Ans:
−2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 −2 2 3 y y = cos(x) y = 2 cos(x) y = cos(2x) 例題5 在 −2π ≤ x ≤ 2π 的範圍, 求方程式 sin x = x 6 的實根個數? Ans:3個實根, −2π −3π 2 −π − π 2 π 2 π 3π2 2π −1 1 y 例題6 某城市紀錄歷年資料的月平均溫度 (◦C) 變化曲線如下:
Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec t值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temp(T◦C) 28 27 25.5 22 18.5 16 15 16 18 21.5 24 26
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫 若此城市月均溫可用數學模型 T = f (t) = a sin bπ(t − c) + d 來表示 (a, b, c, d > 0), 則 (1) a = 132 (2) b = 1 6 (3) c 最小值為 10 (4) d = 43 2 (5) c值可以為22 1,2,3,4,5 習題2-3 三角函數的圖形 1. 比較 a = cos 1, b = cos 2, c = cos 3, d = cos 4 的大小? 2. 求下列函數的週期T 、 最大值M與最小值m: (a) y = 3 sin 2x (b) y = 3 2cos(x + π 2) (c) y = 2 sinx 3 + 1 (d) y = 3 cos(x + π 4) − 2 3. 求下列函數的週期: (1). y = cos 2x (2). y = tan(x + π 2) 4. 求下列條件下的值?
(a) 若 f (x) = sin x , 且 f (a) = 1
3, 求 f (−a) =? ,f(a) + f(a + 2π) + f(a + 4π) = ?
(b) 若 f (x) = sec x , 且 f (a) = −4, 求 f(−a) =? ,f(a) + f(a + 2π) + f(a + 4π) = ?
(c) 若 cot θ = −2, 求 cotθ + cot(θ − π) + cot(θ − 2π) = ?
5. 右圖為函數 y = a cos bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期 與振幅及 a, b, c 的值? − π 3 π 3 2π3 π 4π3 −1 1 2 3 y 順伯的窩
6. 右圖為函數 y = a sin bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期 與振幅及 a, b, c 的值? − π 3 − π 6 π 6 π 3 π 2 1 2 3 2 5 2 7 2 y 7. 利用伸縮平移描繪三角函數圖形:y = sin(x − π2) 8. 將圖形 y = cos x , 如何伸縮平移可得到函數 y = 2 sin x 的圖形? 9. 方程式 x − sin x = 1 有幾組實數解? 10. 在 −2π ≤ x ≤ 2π 的範圍, 求方程式 sin x = 2x 的實根個數? 11. 方程式 sin x = 1 2 在 0 ≤ x ≤ 4π 範圍內實根的個數? 2.4 三角函數的應用 正餘弦函數的疊合 : f (x) = a sin x + b cos x + c : 圖形以 2π 為週期, 振幅為 √a2 + b2 的波狀圖形。 f (x) = a sin x + b cos x + c = √a2 + b2(√ a a2+b2 sin x + b √ a2+b2 cos x) + c
= √a2 + b2(cos θ sin x + sin θ cos x) + c
= √a2 + b2sin(θ + x) + c 故 −√a2 + b2 + c ≤ f(x) ≤ √a2 + b2 + c π 4 π 2 3π4 π 5π4 3π2 7π4 2π9π4 −1 −√2 1 √ 2 y sin(x) cos(x) sin(x) + cos(x) 正弦函數sin x與餘弦函數cos x的疊合的意義: 1. 將正弦、 餘弦函數 (週期皆為 2π, 振幅皆為1) 經由和角公式, 化為單一個正 弦函數 √a2 + b2sin(θ + x) + c, 其週期仍為 2π , 振幅為 √a2 + b2 2. 將正弦、 餘弦函數圖形疊合, 圖形位移, 振幅放大為 √a2 + b2 3. 描述兩個週期相同的波重疊之效應, 形成相同週期的波, 強度增大, 此即為物 理上的共振現象 (聲波、 水波、 電波等) 順伯的窩
