設A,B 為同一樣本空間的兩事件, 當事件 B 發生的機率不因為事件 A 的發生與 否而受到影響, 稱兩事件為獨立事件。 即事件發生機率 P (A ∩ B) = P (A)P (B) 則稱 A 與 B 為獨立事件。 若兩事件不是獨立稱為相依事件。
若 A,B 為獨立事件, ⇔ A、B 的餘事件 A′, B′ 亦為獨立事件。
1. P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
2. P (B|A) = P (B)且 P (A|B) = P (A) A,B,C 三事件獨立:
⇔ A,B 獨立;B,C 獨立; A,C 獨立且 P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)
⇔ A′, B′, C′亦獨立; A′, B, C 亦獨立; · · ·
注意: 若 A,B,C 三事件為兩兩獨立事件未必 A、B、C 三事件獨立。
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 二項分佈 · 常見的獨立事件:
重複丟一個硬幣出現正反面的事件、 重複投擲一個骰子出現的點數、 重複由一袋 中抽球(取後放回袋中) 的顏色這些前後事件的結果都是獨立事件。
實務上: 取樣後不再放回情形 (超幾何機率分布)。 當母體樣本數夠大, 取樣樣本數 相對很小時, 則樣本不放回與放回 (獨立) 方式所得的機率值很接近。
伯努利試驗:
一隨機試驗中, 所在乎的是具有“對立”性質結果的發生與否。 特定事件A發生 (成 功) 的機率為 p, 不發生 (失敗) 的機率為 1 − p = q , 則稱此隨機試驗為伯努利試 驗。 並以 1, 0 的取值表示試驗隨機變數 Y 的成功與否, p 為這試驗的成功率。
伯努利試驗隨機變數: Y =
1 , 成功的機率為p
0 , 失敗的機率為q = 1 − p 。 伯努利試驗的期望值 E(Y ) = p, 變異數 V ar(Y ) = pq
二項分配Bin(n, p):
具有獨立重複進行成功率為 p 的伯努利試驗n次, 以隨機變數X表示成功的次數, 記為 Bin(n, p)
Bin(n, p): 獨立重複伯努利試驗n回。 稱隨機變數X為參數(n, p) 的二項機率分 配, 記為 X ∼ B(n, p)。
1. 成功次數期望值 E(X) = E(Y1+ Y2+ · · · + Yn) = E(Y1) + E(Y2) + · · · + E(Yn) = p + p + · · · + p = np
2. 變異數 V ar(X) = V (Y1+Y2+· · ·+Yn)i.i.d= V (Y1)+V (Y2)+· · ·+V (Yn) = pq + pq + · · · + pq = npq
3. 恰成功 k 次的機率質量函數 f (x = k) = P ({X = k}) = Ckn(1 − p)n−kpk , 0 ≤ k ≤ n
二項分配的性質:
X 0 1 · · · k · · · n
px C0np0(1 − p)n C1np1(1 − p)n−1 · · · Cknpk(1 − p)n−k · · · Cnnpn(1 − p)0 X ∼ B(n, p) 的二項機率分配, 隨機變數 X 表示成功的次數, 則
1. X 的期望值 µ = E(X) = Pn
k=0
kCkn(1 − p)n−kpk = np
2. X 的變異數 σ2 = V ar(X) = E(X2) − µ2 = np(1 − p) = npq 因為 E(x2) = E(x2−x+x) = E(x(x−1))+E(x) = Pn
k=0k(k −1)Ckn(1 − p)n−kpk + np = n(n − 1)p2 Pn
k=2k(k − 1)Ck−2n−2(1 − p)n−kpk − 2 + np = n(n − 1)p2 + np
所以 V ar(X) = n(n − 1)p2 + np − (np)2 = np − np2 = npq 3. X 的標準差 σ = pnp(1 − p) = √npq
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二項分佈機率圖形特徵:
1. 單峰: 隨機變數X (成功次數) 由小至大, 其機率質量函數 P (X = k) 上升 到一高點後下降。
2. 眾數 (最高點): 當 Cknpk(1−p)n−k ≥ Ck+1n pk+1(1−p)n−k−1, 且 Ck−1n pk−1(1−
p)n−k+1 ≤ Cknpk(1 − p)n−k 時機率質量函數 P (X = k) 為最大值。 即 (n + 1)p − 1 ≤ Mo = (X = k) ≤ (n + 1)p 時, 機率值最大。
3. 偏態:
(a) p = 0.5 時,p.m.f. 圖形左右對稱。 2 4 6 8 10
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(b) p < 0.5 時,p.m.f. 圖形右偏。 2 4 6 8 10
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(c) p > 0.5 時,p.m.f. 圖形左偏。 2 4 6 8 10
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
高爾頓板的二項式機率分布實驗: 每一小紅色球由上層向下會隨機向左 (發生機 率P ) 或向右落下再撞擊到下一層的柱臺, 最後落到最底層 (n層) 下不同編號 (由 左至右為0、1、2、· · · 、k、· · · 、n ) 的溝槽, 其溝槽發生機率 P (X = k) = Cknpkqn−k。
例題演練
例題1 投擲一公正硬幣 3 次, 若 A 表第一次出現正面的事件, B 表第二次出現正面的 事件, C 表恰連續出現兩正面的事件。 則下列敘述何者為真? (1) A、B 為獨立 事件 (2) A、C 為獨立事件 (3) B、C 為獨立事件 (4) A、B、C 為獨立事件 (5) P (A|B) = P (A|C) [Ans:1,2,5]
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 二項分佈 ·
例題2 袋中有300個紅色球,200個藍色球, 小華每次從袋中抽取一球, 共取兩回, 若X表 兩球中抽到紅球的次數。
(a) 若每次抽球後放回袋中, 求 P (X = 1) 機率值? [Ans:X ∼ B(2,35), P1 = C12pq = 0.48]
(b) 若每次抽球後不放回袋中, 求 P (X = 1) 機率值? [Ans:P1 = C12 × 300500 ×
200
499 ≈ 0.4810 , 超幾何分布]
例題3 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落 下再撞擊到下一層的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 5(由左至右) 的溝槽, 已知彈珠落 下向左、 向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠落
到幾號溝槽的機率最小? (3). 彈珠落到幾號溝槽的機率最大?
Ans:325 ;p0 = p5 = 321 ;p2 = p3 = 1032 例題4 某工廠生產產品是不良品的機率為 1
3, 今脽機抽樣6件產品, 若恰抽出4件不良品 的機率為a, 至少抽中4件不良品的機率為b, 求a, b? [Ans:a = 24320, b = 60+12+1729 ] 例題5 設生男, 生女的機率均等, 對有3個小孩的家庭, 以隨機變數 X 表男孩的個數, 求
X 的期望值與標準差? [Ans:xi表第 i 胎是男孩隨機變數,µ = E(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.= 3E(x1) = 1
2 × 3 = 3
2, V ar(X = x1 + x2 + x3)i.i.d.= 3V ar(x1) = 3 4,σ =
√3 2 ]
例題6 連續投擲一公正骰子5次, 以隨機變數 X 表示出現點數6的次數, 求 X 的期望值 與標準差? [Ans: µ = 56, σX = 56]
例題7 丟一個均勻的硬幣10 次, 令隨機變數 X 表示試驗中硬幣出現正面的次數, 則這 11種可能正面次數出現的機率是否相等? 這11種可能中, 哪一種正面次數機率為 最高? [Ans:X ∼ B(10, 0.5),Pk = Ck10(1/2)k(1/2)10−k,Mo = [(n + 1)P ] = [5.5] = 5, P5 = 252/1024]
習題1-2 二項分佈
1. 袋中有編號為 1到12的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,2,3,4 的事件,B 表示取到球號1,2,5,6,7,8的事件, C 表示取到球號為1,2,5,9,11,12的事 件。
(a) 問 A、B、C 三事件中, 任兩事件是否為獨立事件?
(b) 問 A、B、C 三事件是否為獨立事件?
2. 袋中有編號為 1到9的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,5,9 的 事件,B 表示取到球號2,5,8的事件, C 表示取到球號為3,5,7的事件。 問 A、B、C 三 事件是否為獨立事件?
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 二項分佈 · 3. 盒中有6 張大小相同的卡片, 分別標示號碼 1, 2, 2, 3, 3, 3, 今從中一次取出一張,
取完查看號碼後放回, 連取三次, 求連續三次都取到1的機率? 求此三次號碼總和 為6的機率為何?
4. 投擲一公正硬幣3次, 令 X 表出現正面次數的隨機變數, 求隨機變數 X 的機率分 布、 期望值與標準差?
5. 投擲一公正硬幣4次, 求正面次數的機率分布、 期望值、 標準差?
6. 某人打靶的命中率為 14 , 且每次打靶的結果互為獨立, 此人朝同一目標射擊5次, 求靶面恰中2發的機率? 求擊中靶面次數不超過2次的機率?
7. 已知一箱內裝有8個燈泡, 其中有2個故障, 現今從箱內隨機抽取3個燈泡, 求故障 燈泡數目的期望值?
8. 某次測驗, 試卷共有20 題單選題, 每題有4 個選項, 且每題都只有一個正確答案, 大明在此試卷上每題都隨機選擇一選項作答, 求大明此測驗卷答對題數的期望值 與標準差? 若每一題為5分, 求大明此次測驗成績的期望值?
9. 隨機變數 X 是參數為 (15, 0.4) 的二項式分佈, 其機率分布圖如下: 選出正確選 項 (1) X的期望值為6 (2) X 標準差大於4 (3) X = 6 時, 機率值最大 (4)
P (x = 8) > P (x = 10) (5) P (X = 4) > P (x = 8) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415 10−4
0.02 0.06 0.12 0.180.21
隨機變數X
機率值P(X=k)
參數(n, p)的二項式機率分布圖
10. 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入紅色彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向 右落下再撞擊到下一層的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 6(由左至右) 的溝槽, 已知彈 珠落下向左向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠 落到幾號溝槽的機率最大? (3). 若紅色彈珠全改由左側 A 處注入, 落到1號溝槽
的機率為何? 又落到幾號溝槽的機率最大?
11. 重複丟兩枚均勻的硬幣300 次, 若隨機變數 X 表示兩枚硬幣均出現正面的次數, 求 X 的期望值與標準差?
12. 丟一個出現正面機率為 14 的硬幣100次, 出現正面次數的期望值及標準差是多少?
若出現正面 k 次的機率為 Pk 則下列選項何者為真? (1) k = 25 時 Pk 為最大值 (2) P24 > P26 (3) P24 = P26 (4) P23+ P24 > P26+ P27