到底面中心 O′ 的距離 h(正圓錐的高)?
O
O
O′ h
r′
2.2
三角函數的性質與圖形
廣義角的三角函數定義: 若廣義角θ 是標準位置角 (x 軸正向為始邊, 原點為夾角的頂 點), 在終邊上取一點 P (x, y), r = OP =px2 + y2 則三角函數定義為
正弦函數: sin θ = y
r , 餘弦函數: cos θ = x r 正切函數: tan θ = y
x , 餘切函數: cot θ = x y 正割函數: sec θ = r
x , 餘割函數: csc θ = r y
x y
O P (x, y)
θ x
y
O P (x, y)
θ x
y
O P (x, y)
θ x
y
O
P (x, y)
θ
三角函數的基本關係:
1. 平方關係: sin2θ + cos2θ = 1, tan2θ + 1 = sec2θ, 1 + cot2θ = csc2θ 2. 倒數關係: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1
3. 商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 tan θ = sin θcos θ , cot θ = cos θsin θ , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ 4. 餘角關係: ∠A +∠B = 90◦
則 sin A = cos B, cos A = sin B , tan A = cot B, sec A = csc B
csc θ sec θ
tan θ
sin θ cos θ
cot θ 1
順伯的窩
三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系:
1. 餘角關係 ∠A +∠B = 90◦ : sin A = cos B, sin B = cos A 2. 補角關係 ∠A +∠B = 180◦: sin A = sin B, cos A + cos B = 0 3. 周角關係 ∠A +∠B = 360◦ : sin A + sin B = 0, cos A = cos B
4. 反向角關係 ∠A = 180◦+∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相 反數關係)
5. 奇偶性: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ, cot(−θ) =
− cot θ;sec(−θ) = sec θ, csc(−θ) = − csc θ
6. 三角函數值相反數:sin(−θ) = − sin θ; cos(180◦ − θ) = − cos θ tan(180◦− θ) = − tan θ; cot(180◦ − θ) = − cot θ
sec(180◦ + θ) = − sec θ; csc(180◦+ θ) = − csc θ 三角函數化簡公式 −→ 旋轉木馬記憶法:
-sin sin
cos
-cos
-cot tan -sin sin
cos
-cos csc
-csc
sec
-sec
sin cos
圖 2-2: 三角函數化簡公式: 旋轉木馬記憶法
1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。(sin(θ +90◦) 比 sin θ 角度多90◦, 就以sin θ 為主輻)
2. 以 90◦ 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉。
3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。(例:sin(θ + 90◦) 就是sin θ 逆時針轉 90◦, 輪輻位置為 cos θ)
三角測量: 1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長、 角度或相關量。
2. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函 數及其性質解決問題。
將包含已知邊長 (角度) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出; 再仔細 觀察這些三角形有何上列公式 (定理) 可運用。
3. △ABC 內外角平分線性質: 交點到兩底邊端點距離比等於其兩腰長度比
∠A 角平分線交底邊 BC 於 D 點, 則 BD : CD = AB : AC 已知一三角函數求其餘三角函數值方法:
1. 銳角參考角法: 每一標準角θ終邊與x軸所夾之銳角參考角α,θ 角的三角函數 值絕對值與α 的三角函數值相同, 再由θ 象限角位置決定其三角函數值的正 負。
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 三角函數的性質與圖形 · 2. 坐標法: 利用 cos θ = x
r, sin θ = y
r 找出 θ 終邊上的點P (x, y)坐標, 再依三 角函數定義求其餘三角函數值。
3. 基本關係法: 利用平方關係、 商數關係、 倒數關係求其餘三角函數值。
例題演練
例題1 已知 (−3, −4) 為標準位置角 θ 終邊上的一點, 試求 cot θ, sec θ 的值? Ans:cot θ = 3
4, sec θ = −5 3 例題2 已知 cos θ = 3
5 且 θ 為第四象限角, 求θ 的其他三角函數值? sin θ = −45 , tan θ =
−43, cot θ = −34, sec θ = 53, csc θ = −54 例題3 若 π ≤ θ < 3π
2 且 cot θ = 2 , 求 csc θ 及 sec(π − θ) 的值? Ans: csc θ =
−√
5, sec(π − θ) =
√5 2 例題4 已知 sin θ − cos θ = 1
2, 求下列各式的值:(1) sin θ · cos θ (2) tan θ + cot θ (3) sec θ − csc θ ? (1)38 (2) 83 (3) 43
例題5 若 θ 是第三象限角, 已知 tan θ + cot θ = 25
12, 試求:(1) sin θ cos θ =? (2) sin θ + cos θ =? (3) sec θ + csc θ =? Ans: 12
25;−7
5 ;−35 12
例題6 一測量員在一山的正南方山腳下 A 點, 測出山的仰角為 60◦, 若測量員向東方移 動300公尺到達 B 點, 測得山頂的仰角為 30◦, 求此山的高度? [Ans: 75√
6 公尺]
習題2-2 三角函數的性質
1. 一人自塔頂俯視塔正東方一點 A, 俯角為 45◦ , 俯視塔北 60◦ 東一點, 俯角為 30◦ , 且 A,B 兩點相距100公尺, 求此塔高?
2. 一人於山麓測得山頂的仰角為 45◦ , 由此山麓循 30◦ 斜坡上行200公尺, 再測得 山頂的仰角為 75◦ , 求此山的高度?(sin 15◦ = √6−4√2)
3. 自塔的正西方一點 A, 測得塔頂仰角為 45◦ , 在塔的南 60◦ 西一點 B, 測得塔頂 仰角為 30◦ 若 A,B 兩點相距40公尺, 試求塔高?
4. 今有 A,B 兩點分別在大湖的兩岸, 某人在距湖的遠處一點, 測得 AC = 100m, BC = 150m,∠ACB = 60◦ , 試求 AB 的長度?
5. 甲, 乙兩人相距500公尺, 同時測量一建築物高度, 甲在建物的正東方測出建物頂 點仰角 45◦ , 而乙在建物東偏南 30◦ , 測出建物頂點仰角 30◦ , 求建物的高度?
順伯的窩
6. 某人在一塔的正西方 A 點, 測得塔頂仰角為 60◦ , 在 A 點正南方 B 點, 測得塔 頂仰角為 30◦ , 已知此塔高為150公尺 , 求 A,B 兩點距離? 公尺
7. 一船以固定速率向東37◦南航行, 於上午10時, 測得燈塔方位為東23◦北, 至下午2 時, 測得燈塔方位為北23◦ , 此時船與燈塔距離為 40√
3 公里, 求此船的速率?
8. 利用坐標法求三角函數值: 若直線 ←→
OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點P 的坐標 如下, 分別求三角函數 sin θ, cos θ, tan θ 值?
(a) P (−2, 3) (b) P (3, −4)
9. 先將 θ 化為較簡同界角後, 再求其三角函數值 ? (a) tan 9π
4 (b) cos 17π
6 (c) sin(−2π
3 ) (d) sec(−7π
4 ) (e) tan(−π
3) (f) csc(−315◦) (g) csc(−270◦) (h) cot(390◦)
(i) sec(−3π) (j) tan19π
6 (k) cos(−2π)
10. 三角函數的奇偶性質:
(a) cot(−3π 2 ) (b) tan(−37π
4 ) (c) sin(−9π
4 ) (d) tan(−9π
4 )
11. 已知θ 角中 sin θ, cos θ, tan θ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值?
(a) csc θ = −2, tan θ > 0
順伯的窩
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