清中葉研究球面三角術的，有梅瑴成(1681~1763)、汪萊(1768~1813)、焦循 (1763~1820)、安清翹(1759~1830)、張作楠(1772~?)、董祐誠(1791~1823)、項名 達(1789~1850)、陳杰、李善蘭(1811~1882)、顧觀光(1799~1862)、陳澧(1810~
1882)、徐有壬(1800~1860)、梅啟照、吳嘉善諸人。142其中項名達的《弧三角 和較術》即是球面三角的著作，本卷的特色是項名達以探討《平三角和較術》
的方式來討論球面三角，以球面三角之三邊的和與較入題，探討剩下的邊長或 角度。全文分成兩部分，一是討論正弧三角，一是討論斜弧三角，而且只有題 目與術(方法)，並無圖解，所以關於術的由來在解讀上有一定的困難，故本節 本者只好用｢納氏(Napier’s analogies)比例式｣或｢德式(Delambre’s analogies)比例 式｣等公式稍加變換，143驗證術的正確性。
當項名達在京城時，朱筠簏曾以黃赤大距生度差為題，144請問項名達如何 求黃赤道，項名達思索數日，終於在無可比例中尋得比例線，立下正弧三角和 較，共六術以及圖說，獻給朱筠簏，朱筠簏十分的稱讚，並說：｢由正弧而斜弧由正弧而斜弧由正弧而斜弧由正弧而斜弧，，，， 其和較當亦可求
其和較當亦可求其和較當亦可求
其和較當亦可求，，，，至平三角之和較至平三角之和較至平三角之和較，至平三角之和較，，，愈無不可求愈無不可求愈無不可求愈無不可求。｣145但後來項名達忙碌多時，
雖該術大致初定，但一直未能成書，直到癸卯(1843 年)夏，項名達友人王子琴 研究三角術，看到項名達這些術十分喜愛，堅持刻印成書，項名達才同意。
我們先來看一下項名達的《弧三角和較術》第一部分－正弧三角的內容。
(1) 《弧三角和較術》之正弧三角(其中一角為直角)
圖 4-5-13
142參閱李儼，〈三角函數和三角函數表的東來〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學 史全集》，第七卷，頁 231。
143｢納氏比例式｣和｢德式比例式｣是《崇禎曆書》所介紹的有關弧三角的西方數學知識。
144朱筠簏即是朱鴻，曾以張豸冠的《九術》寫本出示給汪萊看。
145項名達，〈《三角和較術》序〉。 若∠ =
C
90°，當有另外一個已 知角時，我們令此角為A
，將弧三 角和較術 18 道題目化成表格，以便 看出項名達題目的編排。表 4-5-6
項名達是以連比例四率法解題的，上面帶有正負號( ± )，代表寫出來的值 要取正的。底下以第 1 題為例：
有一銳有一銳有一銳
有一銳角角角，角，，有夾角兩，有夾角兩有夾角兩邊有夾角兩邊邊較弧邊較弧較弧，較弧，，，求夾角求夾角求夾角求夾角兩弧兩弧兩弧兩弧。
法以半角正切為一率 法以半角正切為一率法以半角正切為一率
法以半角正切為一率，，，半角餘切為二率，半角餘切為二率半角餘切為二率，半角餘切為二率，，，較弧正弦為三率較弧正弦為三率較弧正弦為三率較弧正弦為三率，，，求得四率，求得四率求得四率，求得四率，，即，即即即 和弧正弦
和弧正弦和弧正弦 和弧正弦。。。 。
一一一
一以以以求得弧為和弧以求得弧為和弧求得弧為和弧，求得弧為和弧，， ， 一
一一
一以以以求得弧以求得弧求得弧，求得弧，，減半周為和弧，減半周為和弧減半周為和弧，減半周為和弧，，， 一
一一
一以以以求得弧以求得弧求得弧，求得弧，，加半周為和弧，加半周為和弧加半周為和弧，加半周為和弧，，， 一一一
一以以以求得弧以求得弧求得弧，求得弧，，減全周為和弧，減全周為和弧減全周為和弧，減全周為和弧，，， 俱以和弧與
俱以和弧與俱以和弧與
俱以和弧與較弧相較弧相較弧相較弧相加
減
，
，，
，折半為夾折半為夾折半為夾角折半為夾角角角大
小
弧 弧 弧 弧。146
146項名達，《三角和較術》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，
頁 5-628。
題數 已知 所求
1 ∠
A
(銳角)， (± b c− )b
， c 2 ∠A
(銳角)，b c
+b
， c 3 ∠A
(鈍角)， (± b c− )b
， c 4 ∠A
(鈍角)，b c
+b
， c 5 ∠A
(銳角)， c a− a ， c 6 ∠A
(銳角)， a c+ a ， c 7 ∠A
(鈍角)， a c− a ， c 8 ∠A
(鈍角)， a c+ a ， c 9 a ，±(b c− )b
， c 10 a ，b c
+b
， c 11 c ，± ∠ − ∠( A B) ∠A
，∠B
12 c ，∠ + ∠
A B
∠A
，∠B
13 a ，± ∠ − ∠( A B) ∠
A
，∠B
14 a ，∠ + ∠
A B
∠A
，∠B
15 ± ∠ − ∠( A B)， (± a b− ) a ，
b
16 ± ∠ − ∠( A B)，a b
+ a ，b
17 ∠ + ∠A B
， (± a b− ) a ，b
18 ∠ + ∠
A B
，a b
+ a ，b
以圖 4-5-14 來說明題意。若
b
≥c
，已知∠ =C
90°，又A
為已知銳角，且 (b c− )tan tan cot
( ) ( )
以圖 4-5-15 來說明題意。若∠ =
C
90°，又A
為已知銳角，且 (c−a)已知， 弧。筆者認為列式一是由納氏比例式(Napier’s analogies)而得：( ) tan tan tan tan
2 2 2 2
( ) ( ) (90 ) (90 ) tan tan tan cot
2 2 2 2
以此求得cot( )
tan tan tan
(90 ) (90 )
tan tan tan
2 2 2
而列式一可能由德氏比例式tan( ): cot cos( ): cos( )
2 2 2 2
A
+B C a b
−a
+b
= 演變而
得，其中取
C
=90°代入即可推導出此式。正弧三角 18 題中，很多題目皆是共用一術。從第 1 題到第 4 題，列式都相 當於tan : cot sin( ) :
[
sin( )]
2 2
A A
b c b c
= − − + ，由此式求出
b
、c ，故可以歸納成一 術。第 5、6、7、8 題的列式為tan(90 ): cot(90 ) tan( ): tan( )2 2 2 2
A A c a c a
° − ° − − +
= ，
由此式求出 a 、c 。而第 9、10 題的列式為tan : cot tan( ): cot( )
2 2 2 2
a a c b
−b
+c
= ，
由此式求出 c 、
b
。第 11、12 題的列式為tan : cot cos( ) : cos( )2 2
a a
A B A B
= + − ，
再求 A、B。第 13、14 題列式cot : tan cot(( ) 45 ) : cot(45 ( ))
2 2 2 2
a a A
+B A B
−= − ° ° − ，
由此式求出 A、B。第 15、16 題列式為 : tan( ) sin( ) : sin( )
2 2 2
A B a b a b
r r
− + −⋅ = ，
再求出 a 、
b
。第 17、18 題列式為 : ( tan( )) co s( ): co s( )2 2 2
A B a b a b
r r
+ + −⋅ = ，
再由此式求出 a 、
b
。在〈附約法〉中，項名達用三率法作出另解，另解的題目為表 4-5-6 中第 1 題與第 3 題，合為一題討論，為〈附約法〉第 1 題；表格中第 2 題與第 4 題，
合為一題討論，為〈附約法〉第 2 題；表格中第 5 題與第 7 題，合為一題討論，
為〈附約法〉第 3 題；表格中第 6 題與第 8 題，合為一題討論，為〈附約法〉
第 4 題；此外表格中第 9 題、第 10 題、第 11 題、第 12 題、第 13 題、第 14 題，也收入在〈附約法〉中，所以〈附約法〉的題目共十題。我們以《弧三角 和較術》之正弧三角之第 5 題來看，比較連比例四率法與〈附約法〉所介紹三 率法的做法：
第 5 題之列式為tan(90 ): cot(90 ) tan( ): tan( )
2 2 2 2
A A c a c a
° − ° − − +
= ，
( ) (90 ) (90 ) ( )
tan : tan tan : cot
2 2 2 2
c
−a
° −A
° −A c
+a
⇒ =
即得連比例三率法，所以可知連比例三率法，只是由四率法轉變而生。接下來 介紹球面三角第二部分〈斜弧三角〉。
(2) 《弧三角和較術》之〈斜弧三角〉
項名達的《弧三角和較術》(1843 年)，其中討論斜弧三角二十式，並應用 納氏比例式，以為算例。150我們先來了解其中內容。
圖
4-5-18 A
B C
斜弧三角也只有題目和術，並無圖解，較難釐清項名達的思路。斜弧三角 共有 20 道題目，我們將題目化為表格統整如下：
表 4-5-7
150李儼，〈三角函數和三角函數表的東來〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全 集》，第七卷，頁 231。
任意一個斜弧三角，由已知條件分 成底下兩種情況：(1)若已知兩角，我們 令此兩角分別為
A
、B
，(2)若已知一角，我們令此角為
A
，剩下的兩個角，我們取作
B
、C
，其中B
≥C
。底下以第 1 題為例：
圖