盦算術盦算術

(1)

第第第

第 4 章章章《象數一原章象數一原象數一原象數一原》內容分析內容分析內容分析內容分析(下下下下)和和和和《下學下學下學下學盦算術

盦算術盦算術

盦算術三種三種三種三種》

《象數一原》卷五、卷六的部分，內容環繞在遞加數的推廣，其中卷六包含項名達一項重要的成就－橢圓求周術，他採用橢圓內接折線之和逼近橢圓周長的方式，成功求得橢圓周長公式，這是中國在研究二次曲線方面最早的重要成果，他還據此推出圓周率倒數的公式，這公式在中國數學史上也是創舉。

¹

而卷七的部份是戴煦針對項名達的橢圓求周術所作的圖解與補充，筆者會說明戴煦和項名達橢圓求周術的推導過程。第四章還會介紹項名達的另外幾本著作，其中《勾股六術》和《三角和較術》是項名達為初學者撰寫的入門書。其中《勾股六術》部分，是為探討勾股形各邊長及其邊長和、差的互求問題，其方法有些是古代留下來的舊術，有些則是項名達透過比例變換得出的新解，在此，筆者會與李銳《勾股算術細草》作一個對比。而項名達的《三角和較術》，

是研究勾股形、平面三角形及球面三角形各邊長的和、差與角度互求的問題，

本書作了有系統的分類和總結，而筆者會與羅士琳的《三角和較算例》做個比較，看看同時期的數學家作品的差異與個別特色。項名達晚年和戴煦共定二項式開 n 次方根的冪級數展開式，收錄在《開諸乘方捷術》中，書中並載有兩個項名達所創立的開 n 次方根的遞推公式，這些公式都與戴煦《續對數簡法》的內容有著密切的關聯。

4.1《象數一原象數一原象數一原》卷五象數一原卷五卷五：卷五：：諸術通詮：諸術通詮諸術通詮諸術通詮

項名達前四卷最主要是要將卷一獲得的兩個弦矢公式，推廣到任意有理數

起度弦矢率的情況。項名達認為｢上四卷發明整分上四卷發明整分上四卷發明整分、半分上四卷發明整分半分半分半分、零分起度弦矢率零分起度弦矢率零分起度弦矢率零分起度弦矢率，而而而而會歸於遞加數

會歸於遞加數會歸於遞加數

會歸於遞加數，末雖戡定末雖戡定末雖戡定，各數算術係為術推原末雖戡定各數算術係為術推原各數算術係為術推原，非就術詮解也各數算術係為術推原非就術詮解也非就術詮解也非就術詮解也｣。

²

而一心追求立術根源的他，藉由象數的對應，而新立此弧弦矢求他弧弦矢兩術，並認為這兩術｢其義蘊實包攬無遺，一切術皆自此而生，而各據其一得，今按術詮解二術，顯一切術自明｣。接著，他試圖探究董氏、杜氏諸術的原理，察覺｢半徑求半徑求半徑求半徑求

1

何紹庚，〈象數一原提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，

頁 5-470。

2

項名達，《象數一原》卷五，頁 1。

(2)

弦矢二術弦矢二術弦矢二術

弦矢二術，及董氏杜氏諸術及董氏杜氏諸術及董氏杜氏諸術及董氏杜氏諸術，雖彼此互異雖彼此互異雖彼此互異，幾莫知意指之所存雖彼此互異幾莫知意指之所存幾莫知意指之所存幾莫知意指之所存，及及及及以以以以二二二二術通之術通之術通之術通之，

則違者順則違者順則違者順

則違者順，奧者彰奧者彰奧者彰，無不奧者彰無不無不宛無不宛宛轉相從宛轉相從轉相從，而約歸一致轉相從而約歸一致而約歸一致而約歸一致｣。

³

亦即項名達清楚的體認到雖然這兩個公式、董氏、杜氏諸術各有一得，但在本質上是相通的。最後，

他發現在追求數學本質過程中，許多公式皆本著同一源頭而相會，所以，他生動的比喻說：｢河濟江河濟江河濟江淮河濟江淮淮皆水也淮皆水也皆水也，瓶盤釵釧皆金也皆水也瓶盤釵釧皆金也瓶盤釵釧皆金也，蓋象與數既得其通瓶盤釵釧皆金也蓋象與數既得其通蓋象與數既得其通，而術蓋象與數既得其通而術而術而術之各之各之各

之各據據據一得者據一得者一得者，亦有通詮一得者亦有通詮亦有通詮，無異詮矣亦有通詮無異詮矣無異詮矣。｣無異詮矣

⁴

這顯露項名達可貴的數學思想，他傾向對具體的問題進行抽象和提煉，因此，他所得到的公式蘊含更廣的普遍性和應用性。雖然董氏四術可以推得杜氏九術，但他並不滿足問題表面的具體解法，

反而更重視一般化和抽象化的結果，因此盡可能把問題的解決推廣到更高更深的層次。項名達的｢知本度通弦求他度通弦｣和｢知本度矢求他度矢｣具有高度概括性，故本節著重在他如何以這兩個公式解決董氏、杜氏諸術。他首先在卷五新立求弦矢四術：1.知本度通弦求他度通弦。2.知本度矢求他度矢。3.以半徑求逐度正弦。4.以半徑求逐度正矢。其實後兩術是由前兩術轉變而生，接下來先介紹此四術。

4.1.1 新立求弦矢四術新立求弦矢四術新立求弦矢四術新立求弦矢四術

知本度通弦求他度通弦知本度通弦求他度通弦知本度通弦求他度通弦知本度通弦求他度通弦

｢知本度通弦求他度通弦｣是由卷一的公式( c 求 c ，m 是正奇數)而推廣。

_m

若 c 為本弧通弦，所對圓心角為θ ，如今想求所對圓心角為

ⁿ

m

× θ 的弦

_n

m

c 。令

1

r

φ = ， φ

₂

= ，製造出一個連比例 c

¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷

2 3 4 5 6 7 8

...

φ φ φ φ

φ φ φ

φ ⁼ φ ⁼ φ ⁼ φ ⁼ φ ⁼ φ ⁼ φ ⁼ ^，其中

2

2 2

3 1

c r φ φ φ

φ

= × = ，

3 3

4 2 2

1

c r φ φ φ

= × φ = ，

5 3

6 4 4

1

c r φ φ φ

= × φ = ，

7

8 6

c

φ =

r

， φ

₁₀

以下類推之。

卷四公式轉化成

2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 7

3 2 2 5 4 3 7 6

( ) ( )( 3 ) ( )( 3 )( 5 ) 4 3! 4 5! 4 7! ...

n m

n n n m c n n m n m c n n m n m n m c

c c

m m r m r m r

− ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 7

3 2 2 5 4 3 7 6

( ) ( )( 3 ) ( )( 3 )( 5 ) 4 3! 4 5! 4 7! ...

n m

n n m n c n m n m n c n m n m n m n c c c

m m r m r m r

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5

3

項名達，《象數一原》卷五，頁 1。

4

同上。

5

參閱本文 142 頁。

(3)

知本度矢求他度矢知本度矢求他度矢知本度矢求他度矢知本度矢求他度矢

｢知本度矢求他度矢｣是由卷一的公式(

b

求 b ，m 是正整數) 而推廣。若

_m

c 為本弧通弦，所對圓心角為θ ，b 為本弧倍矢 2 vers = r ⋅ θ ，如今想求圓心角為

n

m

θ 之倍矢

_n

2 vers( )

m

b r n

m θ

= ⋅ 。由下圖 4-1-1 觀之。

水木金

界

心土

圖 4-1-1 由上式可得

^r ^c

c

=

b

，故我們視為 φ

₁

= ， r φ

₂

= ， c φ

₃

= ，同時 b

2 3

5 3

1

b r φ φ φ

= × φ = ，

3 3

7 5 2

1

b r φ φ φ

= × φ = ，

4

9 3

b

φ = r ， φ

₁₁

以下類推，就可以把卷四公式轉化成底下形式：

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2

4 6 2 8 3

( ) ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )

( ) ...

3 4 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8

n m

n n n m b n n m n m b n n m n m n m b

b b

m m r m r m r

− − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

6

若我們由 b = 2 r ⋅ vers θ 進行代換，可得：

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

2 4 6 2

( )(2 vers ) ( )( 2 )(2 vers )

vers( ) (2 vers ) ...

2 4! 6!

n n n m n r n m n m n r

r r

m m m r m r

θ θ

θ θ ⁻ ^⋅ ⁻ ^{⋅ −} ^⋅

⋅ = ⋅ + + +

⋅ ⋅ ⋅

項名達在卷五的｢總論｣提及：

酌定此二術酌定此二術酌定此二術

酌定此二術，……。術中術中術中，本數之乘除術中本數之乘除本數之乘除，根於連比例諸率本數之乘除根於連比例諸率根於連比例諸率；用數之乘除根於連比例諸率用數之乘除用數之乘除用數之乘除，

根於零整分遞加根於零整分遞加根於零整分遞加

根於零整分遞加。所以能比例者所以能比例者所以能比例者，以同式兩等邊三角相連次列也所以能比例者以同式兩等邊三角相連次列也以同式兩等邊三角相連次列也；所以與以同式兩等邊三角相連次列也所以與所以與所以與遞加數

遞加數遞加數

遞加數合合合者合者者，以弧分遞加者以弧分遞加以弧分遞加，諸率亦隨之遞加也以弧分遞加諸率亦隨之遞加也諸率亦隨之遞加也。不拘拘倍分析分諸率亦隨之遞加也不拘拘倍分析分不拘拘倍分析分，任立一不拘拘倍分析分任立一任立一任立一分子母

分子母分子母

分子母，而即有三角以著其形而即有三角以著其形而即有三角以著其形，有遞加以範其數而即有三角以著其形有遞加以範其數有遞加以範其數有遞加以範其數，奇偶錯立奇偶錯立奇偶錯立奇偶錯立，和較互和較互和較互和較互呈呈呈呈，

以及正負加減之以及正負加減之以及正負加減之

以及正負加減之，所由然無不曲會冥府所由然無不曲會冥府所由然無不曲會冥府，弦與矢所由然無不曲會冥府弦與矢弦與矢遂弦與矢遂遂條然而各遂條然而各條然而各就條然而各就就其緒就其緒其緒，理數其緒理數理數理數之妙

之妙之妙

之妙，固如是哉固如是哉固如是哉。固如是哉

⁷

6

參閱本文 142 頁。

7

項名達，《象數一原》卷五，頁 8~9。

取 ∆ 界金木~ ∆ 心界金，作金水垂直金木，則金水 = 水木。稱金水為界金之正矢，金木為界金之倍矢。由此圖形可知心界 = 界金

界金金木。

(4)

由此可知，項名達確切掌握圖形的畫法－割圓連比例圖形的結構，與遞加數的對應關係，建立象與數本質的聯繫，所以，才依此建立上面這兩術。而且，

項名達還認為凡任意起根所建立的遞加圖，即可建立相應的割圓連比例圖形，

然後再藉由遞加圖求出弦矢公式的係數，亦即把卷一兩個弦矢公式( c 求 c ，而

_m

m 是正奇數，和

b

求 b ，而 m 是正整數)推廣到更一般化的情況( c 求

_m _n

m

c ，和

b

求

n m

b ，其中 m，n 是正整數)。上文並說明這兩術是用連比例諸率作為冪級數的基底，其係數為遞加數推導而出。而項名達所立的｢知本度通弦求他度通弦｣和｢

知本度矢求他度矢｣，還具有其它功用，他說：｢此二術乃其本術此二術乃其本術此二術乃其本術此二術乃其本術，下二術特本下二術特本下二術特本下二術特本此變通之

此變通之此變通之

此變通之，以備製表之用耳以備製表之用耳以備製表之用耳。｣以備製表之用耳

⁸

亦即可以用此二術另闢兩術，下面新立的兩術是用來建造三角函數值表的。

以半徑求逐度正弦以半徑求逐度正弦以半徑求逐度正弦以半徑求逐度正弦

令圓心角 60 ° 之通弦為 c，則

c

= 2 sin 30

r

° = r 。令

_2n

60

c 代表圓心角為 ²ⁿ 60 × 60 ° 的通弦，則

_2n

60

2 sin(n )

c = r ⋅ ° 。由公式｢知本度通弦求他度通弦｣，取 m=60，n=2 n 代換得

2 2 3 2 2 2 2 2 5

2n 3 2 2 5 4

60

2n 2n[60 (2n) ] 2n[60 (2n) ][60 3 (2n) ]

...

60 4 3!(60) 4 5! (60)

r r

c r

r r

− ⋅ − ⋅ − ⋅

= + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2

3 2 5

2n 2n[60 (2n) ] 2n[60 (2n) ][60 3 (2n) ]

2 sin(n ) ...

60 4 3!(60) 4 5! (60)

r r

r r − ⋅ − ⋅ −

⇒ ° = + + +

⋅ ⋅ ⋅ ，

最後推得

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

(30 ) (30 )(30 3 )

sin( ) ...

2 30 4 3! (2 30)(30) 4 5! (2 30)(30)

n n n n n n

r n r − r − ⋅ − r

° = + + +

× ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ × 。

以半徑求逐度正矢以半徑求逐度正矢以半徑求逐度正矢以半徑求逐度正矢

因為 60° 倍矢 2 vers60 r ⋅ ° = 2 (1 cos 60 ) r − ° = ，若我們想求 r r ⋅ vers( n ° ，由公 ) 式｢知本度矢求他度矢｣，取 m=60， n = n 代換得

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

2

4 6 2

1 (60 ) (60 )(60 2 )

vers( ) ( ) ...

2 60 4! (60) 6! (60)

n n n r n n n r

r n r

r r

− − ⋅ −

⋅ ° = + + +

⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

4 6

1 (60 ) (60 )(60 2 )

vers( ) ( ) ...

2 60 4! (60) 6! (60)

n n n r n n n r

r n r

− − ⋅ −

⋅ ° = + + +

⋅ ⋅ 。

8

項名達，《象數一原》卷五，頁 9。

(5)

上面這兩個公式，因為三十度正弦和六十度正矢均為二分之一半徑，所以，

項名達依照｢知本度通弦求他度通弦｣和｢知本度矢求他度矢｣，給出這兩個特例的公式，上方二術可以求出正弦值和正矢值，對三角函數的造表法極有幫助，

這是項名達除了研究數學理論之外，還推及實用層面的一項應用。

4.1.2 論董氏四術論董氏四術論董氏四術論董氏四術

項名達先列出董氏四術的表達方式，然後解釋如何由｢知本度通弦求他度通弦｣及知｢知本度矢求他度矢｣獲得董氏四術。

(1)董氏第一術、有通弦有通弦有通弦，有通弦，，求加幾倍弧分之通弦，求加幾倍弧分之通弦求加幾倍弧分之通弦求加幾倍弧分之通弦凡弦之倍分凡弦之倍分凡弦之倍分凡弦之倍分，，，，皆取奇分皆取奇分皆取奇分皆取奇分

以 c 表示圓心角θ 所對應之弦長，以 c 為圓心角

_n n

θ 所對應之弦長，其中 n 為奇數，則此術可以表示成

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

2 2 4 3 6

( 1) ( 1)( 3 ) ( 1)( 3 )( 5 )

...

4 3! 4 5! 4 7!

n

n n c n n n c n n n n c

c nc

r r r

− ⋅ − − ⋅ − − − ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

而項名達取公式｢知本度通弦求他度通弦｣，令 m=1 代入得

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

2 2 4 3 6

( 1) ( 1)( 3 ) ( 1)( 3 )( 5 )

...

4 3! 4 5! 4 7!

n

n n c n n n c n n n n c

c nc

r r r

− ⋅ − − ⋅ − − − ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，

則與董氏第一術完全相同。

(2)董氏第二術、有矢有矢有矢，有矢，，求加幾倍弧分之矢，求加幾倍弧分之矢求加幾倍弧分之矢求加幾倍弧分之矢凡矢之倍分凡矢之倍分凡矢之倍分凡矢之倍分，，，，奇奇奇奇耦耦耦耦通用通用通用通用

此處的矢是正矢，以 r ⋅ vers θ = r (1 cos ) − θ 表示圓心角θ 之正矢，以 vers( ) (1 cos )

r ⋅ n θ = r − n θ 表示圓心角

n

θ 之正矢，其中 n 為整數。則此術可以表示成

2 2 2 2 2 2 2 3

2

2 2

(4 4) 2 ( vers ) (4 4)(4 16) 2 ( vers ) vers( ) ( vers ) ...

4 3 4 4 3 4 5 6

n n r n n n r

r n n r

r r

θ θ

θ θ ^{− ⋅ ⋅ ⋅} ⁻ ⁻ ^{⋅ ⋅ ⋅}

⋅ = ⋅ − + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

^，

項名達取由公式｢知本度矢求他度矢｣，令 m=1 代入得

2 2 2 2 2 2 2 3

2

( 1)(2 vers ) ( 1)( 2 )(2 vers ) vers( ) ( vers ) ...

4! 6!

n n r n n n r

r n n r

r r

θ θ

θ θ ⁻ ^⋅ ⁻ ⁻ ^⋅

⋅ = ⋅ − + +

⋅ ⋅ ，

只要稍微將董氏第二術化簡即可看出兩者相同。

(3)董氏第三術、有通弦有通弦有通弦，有通弦，，求幾分通弧，求幾分通弧求幾分通弧之一通弦求幾分通弧之一通弦之一通弦之一通弦此亦取奇數此亦取奇數此亦取奇數此亦取奇數

(6)

以 c 表示圓心角θ 所對應之弦長，以

₁

m

c 表示圓心角 ¹

m

⋅ θ 所對應之弦長，其中 m 為奇數，則此術可以表示成

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

1 3 2 2 5 4 3 7 6

1 ( 1) ( 1)( 3 1) ( 1)( 3 1)( 5 1)

...

4 3! 4 5! 4 7!

m

m c m m c m m m c

c c

m m r m r m r

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

而項名達由公式｢知本度通弦求他度通弦｣，令 n=1 代入得

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

1 3 2 2 5 4 3 7 6

1 ( 1) ( 1)( 3 1) ( 1)( 3 1)( 5 1)

...

4 3! 4 5! 4 7!

m

m c m m c m m m c

c c

m m r m r m r

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，

與董氏第三術完全相同。

(4)董氏第四術、有矢有矢有矢，有矢，，求幾分通弧之一矢，求幾分通弧之一矢求幾分通弧之一矢求幾分通弧之一矢此亦奇耦此亦奇耦此亦奇耦此亦奇耦通用通用通用通用

此處的矢是正矢，以 r ⋅ vers θ = r (1 cos ) − θ 表示圓心角θ 之正矢，以 vers( ) (1 cos )

r r

m m

θ θ

⋅ = − 表示圓心角

m

θ 之正矢，其中 m 為正整數。則此術可以表示成

2 2 2 2 2 3

2 4 2 6 2

1 1 (4 4) 2 ( vers ) (4 4)(4 4 4) 2 ( vers ) vers( ) ( vers ) ...

4 3 4 4 3 4 5 6

m r m m r

r r

m m m r m r

θ θ

θ θ ^{− ⋅ ⋅ ⋅} ⁻ ^⋅ ^{− ⋅ ⋅ ⋅}

⋅ = ⋅ + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，而項名達從由公式｢知本度矢求他度矢｣，令 n=1，得

2 2 2 2 2 3

2 4 6 2

1 1 ( 1)(2 vers ) ( 1)( 2 1)(2 vers ) vers( ) ( vers ) ...

4! 6!

m r m m r

r r

m m m r m r

θ θ

θ θ ⁻ ^⋅ ⁻ ^⋅ ⁻ ^⋅

⋅ = ⋅ + + +

⋅ ⋅ ⋅ ，

只要稍微將董氏第四術化簡即可看出兩者相同。

最後，關於董氏四術，項名達提出不解與困惑的地方：三角堆只可解釋前兩個公式係數的由來，但後兩公式，卻無法從三角堆得到圓滿的對應與解釋，

而且董氏四術，並無法整合成更槪括化的公式，這對於一向追求一般化的項名達來說，當然無法得到滿足。為此，項名達創立了更具一般化的弦矢公式，同時也進一步揭示了杜氏九術和董氏四術的立法之源。

4.1.3 論杜氏九術論杜氏九術論杜氏九術論杜氏九術

中國數學史上，魏晉的劉徽(約三世紀)是最早具有極限思想的數學家，他在

《九章算術》割圓術的注文寫到：｢割之彌細割之彌細割之彌細割之彌細，，，所失彌少，所失彌少所失彌少；所失彌少；；割之又割；割之又割割之又割，割之又割，，以致於不，以致於不以致於不以致於不可割

可割可割

可割，，，則與圓周合體而無所失矣，則與圓周合體而無所失矣則與圓周合體而無所失矣。｣則與圓周合體而無所失矣

⁹

除了割圓術，連同陽馬體積的推求，皆可顯

9

《九章算術劉徽注》卷一｢方田｣，收入郭書春、劉鈍點較《算經十書》，頁 91。

(7)

示他對極限原理的深刻體認，直到清朝中葉，數學家在極限方面還是不脫劉徽割圓術的想法。雖然劉徽知道如何去窮盡，卻未能將窮盡的程度數量化，

¹⁰

他的

｢數而求窮之者數而求窮之者數而求窮之者，數而求窮之者，，，謂以情推謂以情推謂以情推，謂以情推，，不用籌算，不用籌算不用籌算不用籌算｣，

¹¹

即是一個自白，而清中葉的數學家也保有這種特質。底下論及的杜氏九術就隱含著極限的概念，而明安圖、董祐誠、

乃至項名達，在極限這方面的想法都與劉徽相近似。

《象數一原》中｢杜氏九術｣的名稱，與《割圜密率捷法》的九術名稱不同，

但與《割圜連比例術圖解》的名稱相同。為了了解項名達如何證明｢杜氏九術｣，

我們將項名達的寫法化為現代符號表示，並藉助下圖 4-1-2 來了解他的思路。

子癸

辛

壬

丁庚乙

丙戊甲

己

(1)通弧求通弦圖 4-1-2 論曰

論曰論曰

論曰：設有弧析分至設有弧析分至設有弧析分至極設有弧析分至極極多極多多，所多所所析所析析之分必極細析之分必極細之分必極細之分必極細，此此此此極極極極細一弧通弦幾與弧合細一弧通弦幾與弧合細一弧通弦幾與弧合細一弧通弦幾與弧合，

以極以極以極

以極多分乘之多分乘之多分乘之，即原設通弧多分乘之即原設通弧即原設通弧即原設通弧。今以通弧求通弦今以通弧求通弦今以通弧求通弦，是以所今以通弧求通弦是以所是以所是以所析析析析極細一分弧通弦極細一分弧通弦極細一分弧通弦極細一分弧通弦，

而求原設多分弧通弦而求原設多分弧通弦而求原設多分弧通弦

而求原設多分弧通弦，則一分為分母則一分為分母則一分為分母，多分為分子則一分為分母多分為分子多分為分子多分為分子，乃倍分求弦術也乃倍分求弦術也乃倍分求弦術也乃倍分求弦術也。

¹²

這裡可以看出項名達已有極限的概念，底下論杜氏九術皆本此概念來推導，他把通弧看成切得非常細的通弦之和，設將通弧切成 n 分，而一分通弦即視為 c，

即由公式｢知本度通弦求他度通弦｣，取

m

= 1 ，即得

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

2 2 4 3 6

1

( 1) ( 1)( 3 ) ( 1)( 3 )( 5 ) 1 4 3! 4 5! 4 7! ...

n

n n n c n n n c n n n n c

c c

r r r

− ⋅ − − ⋅ − − − ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，

其中上述公式的 n c ⋅ 逼近於

S

，我們將每一項的分子化成一般式表示如下：

2

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 2

1 (2 1) ( 1 ) ... ( (2 1) )

^k ^k

[(1 )...(1 k )]

^k

n n n k c n c

n n

+ +

−

+

× − × × − − ⋅ = − − ⋅

10

洪萬生，〈初探劉徽的窮盡法〉，《師大學報》第 27 期(1982 年 6 月 5 日)，頁 579~590。

11

《九章算術劉徽注》卷五｢商功｣，收入郭書春、劉鈍點較《算經十書》，頁 134。

12

倍分求弦術即是董氏第一術。項名達，《象數一原》卷五，頁 17。

己丁辛稱為通弧，則己辛稱為通

弦。己丁為通弧之半，稱為弧背。己庚

為弧背己丁之正弦。庚丁為弧背己丁

之正矢，也是通弧己丁辛之｢矢｣。不妨

令通弧己丁辛 =S，通弦己辛 =

C

，弧背

己丁 = a (即為通弧之半)。

(8)

可以看出分子的一般式逼近於 S

²^k⁺¹

，所以項名達說：｢遞次乘法遞次乘法遞次乘法，本應取分遞次乘法本應取分本應取分子本應取分子子子母各自乘相減數

母各自乘相減數母各自乘相減數

母各自乘相減數，今分子極多今分子極多今分子極多，自乘後則越多今分子極多自乘後則越多自乘後則越多，分母又為一自乘後則越多分母又為一分母又為一，不煩乘分母又為一不煩乘不煩乘，祇不煩乘祇祇須祇須須減須減減減一一一

一、九九九、二十五等數九二十五等數二十五等數，是減數甚微二十五等數是減數甚微是減數甚微，可不必減是減數甚微可不必減可不必減可不必減。｣

¹³

所以，上述的｢知本度通弦求他度通弦｣可以改寫成

3 5 7

2 2 4 3 6

...

4 2 3 4 2 3 4 5 4 2 3 4 5 6 7

S S S

C S

r r r

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

從這兒可以看出項名達是用｢逼近｣的想法來處理問題，雖然缺乏符號式的表達，但他能依照直觀來思維，而以｢逼近｣類化到｢極限｣的情境解決極限的問題。

(2)通弧求矢(通弧即為圓心角 2 α 所對應的弧長，矢為 r ⋅ vers α )

項名達同樣把通弧看成切得非常細的通弦之和，設將通弧切成 n 分，而一分通弦即視為 c，其對應之倍矢為

b

，通弧

S

所對照的圓心角為 2 α ，一分通弦對照的圓心角 ²

n

α ，弧背 a 對照的圓心角 2 2 2 2

n n

α α

α = = ^{ }   ⋅

  ，即弧背 a 分成 2

n

等

分得一分弧，又矢為 r ⋅ vers α ，可由｢知本度矢求他度矢｣取 m = 1, n 以 2

n

取代得

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

4 6 2

(2 ) (2 )(4 )

vers ...

2 4 4! 2 6! 2

n b n n b n n n b

r ⋅ α = + ⁻ r ^⋅ + ⁻ r ⁻ ^⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

由

r c c

2

c b = ⇒ = 代入上式得 b r

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

4 6 2

( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )( 4 ) ( )

vers ...

2 4 4! 2 6! 2

c c c

n n n n n n

r r r

r α r r

− ⋅ − − ⋅

⋅ = − + −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

又

n c

⋅ →

S

，故上式分子

2 2 2

2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

1

2 2

( 2 )...( (2 ) ) ( ) (1 ( ) )...(1 ( ) )

k

k k

k

c k c

n n n k n

r n n r

+

+ +

− − ⋅ = − − ⋅

+ 2 2

1 k k

S r

+

→

+

，代入上式得

2 4 6 8

2 3 3 5 4 7

vers ...

4 2! 4 4! 4 6! 4 8!

S S S S

r ⋅ α = r − r + r − r +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

(3)弧背求正弦

13

項名達，《象數一原》卷五，頁 18。

(9)

項名達把弧背看成切得非常細的弦之和，設將弧背切成 n 分，而一分弦即視為 c，弧背對照的圓心角 α ，即可由公式｢知本度通弦求他度通弦｣求全弧通弦。取

m

= 1 ， n 以 2n 取代，則全弧通弦為

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

2 2 2 4 3 6

2 (4 1) 2 (4 1)(4 3 ) 2 (4 1)(4 3 )(4 5 )

2 ...

4 3! 4 5! 4 7!

n

n n c n n n c n n n n c

c nc

r r r

− ⋅ − − ⋅ − − − ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

又 n c ⋅ → ，故分子 a

2

2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 2

1 (2 1) (4 1) ... (4 (2 1) )

^k ^k

(4 )...(4 k )

^k

n n n k c n c

n n

+ +

−

+

− × × − − ⋅ = − − ⋅ 4

^k a2 1^k⁺

→ ⋅ ，代入上式得

3 5 7

2 4 6

2 2 2

2 sin 2 ...

3! 5! 7!

a a a

r a

r r r

α

⋅ = − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ，推得

3 5 7

2 4 6

sin ...

3! 5! 7!

a a a

r a

r r r

α

⋅ = − + − +

⋅ ⋅ ⋅ 。

(4)弧背求正矢

項名達同樣把弧背看成切得非常細的弦之和，設將弧背切成 n 分，而一分弦即視為 c，一分倍矢視為 b，弧背對照的圓心角α ，而一分弦對照的圓心角

n

α ，即可由公式｢知本度矢求他度矢｣，取

m

= 1 ，則

2 2 2 2 2 2 2 2 3

2

( 1) ( 1)( 2 ) vers( )

2 4! 6!

n b n n b n n n b

r ⋅ α = − ^{− ⋅} r + ⁻ r ⁻ ^⋅

⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 4

3

( 1)( 2 )( 3 ) 8! ...

n n n n b

r

− − − ⋅

− +

⋅ ，

由

^r ^c c b

= ，

c

2

b r

⇒ = ，又 n c ⋅ → 得 a

2 4 6 8

3 5 7

vers ...

2! 4! 6! 8!

a a a a

r ⋅ α = r − r + r − r +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

(5)通弦求通弧

項名達同樣把通弧看成切得非常細的弦之和，設將通弧切成 m 分，而全弧通弦視為 C，一分弧通弦為

₁

m

c ，即由公式｢知本度通弦求他度通弦｣，取

n

= 1 ，得

2 2 3 2 2 2 5

1 3 2 2 5 4

1 ( 1 ) ( 1 )(9 1) 4 3! 4 5!

m

m C m m C

c C

m m r m r

− ⋅ − − ⋅

= + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 7

3 7 6

( 1 )(9 1)(25 1)

...

4 7!

m m m C

m r

− − − ⋅

+ +

⋅ ⋅ ⋅ ，

兩邊同時乘上

m

，得

(10)

2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 7

1 2 2 2 4 4 3 6 6

( 1 ) ( 1 )(9 1) ( 1 )(9 1)(25 1) 4 3! 4 5! 4 7! ...

m

m C m m C m m m C

mc C

m r m r m r

− ⋅ − − ⋅ − − − ⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，

當分割至細時，

2 2 2 2 2

2

2 2

( 1 ) (3 1 )

1, 3 ,...

m m

− ⋅ −

→ → 類推之，又

₁

m

m c ⋅ → S ，得通弧

3 5 7

2 2 4 3 6

9 9 25 4 3! 4 5! 4 7 ! ...

C C C

S C

r r r

⋅ ⋅ ⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(6)矢求通弧(通弧即為圓心角 2 α 所對應的弧長，矢為 r ⋅ vers α )

設通弧對應的圓心角為 2 α ，項名達同樣把通弧看成切得非常細的弦之和，

設通弧切為 m 等份，相當弧背切了 2

m

等份，每一分弧對應的圓心角為 ²

m

α ，設

通弧 r ⋅ (2 ) α 對應的倍矢

b

= 2

r

⋅ vers α ，一分弧之倍矢為

₂

2 2 vers

m

b r

m

= ⋅ α ，一分

通弦即視為

₂

2 sin

m

c r m

= ⋅ α ，由公式｢知本度矢求他度矢｣取 n = 1, m 用 2

m

取代得

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2

2 4 6 2 8 3

2 2 (2 ) 2 (2 )(2 2 ) 2 (2 )(2 2 )(2 3 )

( ) ...

3 4 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8

m

m b m m b m m m b

b b

m m r m r m r

− − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 又

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

, , 4 4

2 2

m

m m m m m

m m

r c m m

rb c r b c m c S

c b

 

   

= ⇒ = ⇒   ⋅ ⋅ =   ⋅ =  ⋅  →

      ………..(a)

故等號兩邊再乘上 m r 得

²

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4

2

2 2 4 2 6 3

2 ( 4) 2 ( 4)( 2 4) 2 ( 4)( 2 4)( 3 4)

4 ...

3 4 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8

m

r m b r m m b r m m m b

m rb rb

m r m r m r

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⋅ = + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 當分割至細時，

2 2

( 4) m 1

m

− → ，

2 2

4

( 4)(4 4) m m 4

m

− −

→ ，

2 2 2

6

( 4)(4 4)(9 4) m m m 4 9

m

− − −

→ × 底下類推之，並由(a)代入上式得

2 3 4

2

2 3

4 4 4 4 4 9

4 ...

3 4 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8

r b r b r b

S rb

r r r

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，

2 3 4

2

2 2 3 3

(8 vers ) 4 (8 vers ) 4 9 (8 vers )

[(8 vers ) ...]

4 3 4 4 3 4 5 6 4 3 4 5 6 7 8

r r r

S r r

r r r

α α α

α ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^{⋅ ⋅} ^⋅

⇒ = ⋅ ⋅ + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

(7)正弦求弧背

項名達同樣把弧背看成切得非常細的弦之和，設將弧背切成 m 分，弧背對

(11)

照的圓心角α，一分弦對照的圓心角

m

α ，通弧對照的圓心角 2 2m m α = ^{ }   α ⋅

  ，設以全弧對照的通弦為

C

，一分弦即視為

₁

2m

C ，由公式｢知本度通弦求他度通弦｣得

2 3 2 2 5 2 2 2 7

1 3 2 2 5 4 3 7 6

2

(4 1) (4 1)(4 9 1) (4 1)(4 9 1)(4 25 1) 2 4 3! (2 ) 4 5! (2 ) 4 7! (2 ) ...

m

C m C m m C m m m C

C m m r m r m r

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 3 2 2 5 2 2 2 7

1 3 2 2 5 2 4 4 7 3 6 6

2

(4 1) (4 1)(4 9 1) (4 1)(4 9 1)(4 25 1) 2 2 4 3! 2 4 5! 2 4 7! ...

m

C m C m m C m m m C

mC m r m r m r

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 當我們切的夠細時，則

₁

2m

m C ⋅ → ，故 a

C

= 2

r

⋅ sin α ，上式兩邊同乘上 m，且上式分子

2 2

(4 4) m 4

m

⋅ −

→ ，

2 2

2 4

(4 4)(4 9 4) m m 4 9

m

⋅ − ⋅ ⋅ −

→ ⋅ ，…類推之，帶入上式即得

2 3 2 2 5 2 2 2 7 2 2 2 2 9

2 4 6 8

1 ( sin ) 1 3 ( sin ) 1 3 5 ( sin ) 1 3 5 7 ( sin )

sin ...

3! 5! 7! 9!

r r r r

a r r r r r

α α α α

α ^{⋅ ⋅} ^⋅ ^⋅ ^{⋅ ⋅} ^⋅ ^{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}

= ⋅ + + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

(8)正矢求弧背

項名達同樣把弧背看成切得非常細的弦之和，設將弧背切成 m 分，弧背對照的圓心角α ，一分弦對照的圓心角

m

α ，設弧背對應的倍矢為 b，而一分倍矢即視為

₁

m

b ，即由公式｢知本度矢求他度矢｣得

2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4

2

1 4 6 2 8 3

1 (1 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 )(1 3 )

( ) ...

3 4 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8

m

m b m m b m m m b

b b

m m r m r m r

− − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅

= − + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 由

1

2

1 1

m

m m

r c

b r c

c = b ⇒ = ，又

² ₁ ² ₁² ²

m m

m b r ⋅ = m ⋅ c → a ，故上式同乘上 m

²

⋅ 得 r

2 3 4

2

2 3

(2 vers ) 4 (2 vers ) 4 9 (2 vers )

[(2 vers ) ...)]

3 4 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8

r r r

a r r

r r r

α α α

α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

(9)圜徑求周

取 60 ° 的通弦為 c ，則 c = ，將 r 60° 之通弧 m 等分，則得到 m 條弦，每條弦長

₁

m

c ，即由公式｢知本度通弦求他度通弦｣得

2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 7

1 3 2 2 5 4 3 7 6

1 ( 1) ( 1)( 3 1) ( 1)( 3 1)( 5 1) 4 3! 4 5! 4 7! ...

m

m c m m c m m m c

c c

m m r m r m r

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，

(12)

當 m 極大時，

₁

m

m c ⋅ → 60° 通弧 = ¹

6 圓周長，又上式

3 5 7

1 2 2 4 3 6

9 9 25 4 3! 4 5! 4 7! ...

m

r r r

m c r

r r r

⋅ ⋅ ⋅

⋅ → + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

² ³

1 9 9 25

(1 ...)

4 3! 4 5! 4 7!

r

⋅

= + + + +

⋅ ⋅ ⋅

則圓周 6 (1 ¹

₂

⁹ ^{9 25}

₃

...) 3(2 ) ^{3(2 )} ^{9 3(2 )}

₂

^{9 25 3(2 )}

₃

...

4 3! 4 5! 4 7! 4 3! 4 5! 4 7!

r r r

r

⋅

r

⋅ ⋅ ⋅

= + + + + = + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 。

我們來看看項名達所求的圜周值：｢若以千若以千若以千萬為圜徑若以千萬為圜徑萬為圜徑，則求至第十一數萬為圜徑則求至第十一數則求至第十一數，并則求至第十一數并并并之得三千一百四十一萬五千九百二十六

之得三千一百四十一萬五千九百二十六之得三千一百四十一萬五千九百二十六

之得三千一百四十一萬五千九百二十六，即圜周即圜周即圜周即圜周。｣

¹⁴

亦即若由此式求至第十一數，相當得到圓周率 π = 3.1415926 。董祐誠所列出弧線表，是以半徑為一千兆，

而求出的全周是 6283185307179586，我們在此同時列出作個對比。在董祐誠的著作中，圜徑求周是擺在第一術，項名達介紹明氏九術之順序除圜徑求周之外，

其它順序是和董祐誠相同。

本節項名達處理杜氏九術時是用逼近的概念解釋，但其中已隱含對極限和無窮的看法。而在｢通弧求通弦｣公式的推算過程中，當提及各分子所含各減數的產生原因時，他指出：

其實弦求弦其實弦求弦其實弦求弦

其實弦求弦，，，，乘法有減數乘法有減數乘法有減數乘法有減數，，，，弧求弦弧求弦弧求弦弧求弦，，，乘法無減數，乘法無減數乘法無減數乘法無減數，，，，非不必減非不必減非不必減非不必減，，，，本不應減也本不應減也本不應減也本不應減也。

葢減數生於分母之一葢減數生於分母之一葢減數生於分母之一

葢減數生於分母之一，，，雖分母極細，雖分母極細雖分母極細，雖分母極細，，分子極多，分子極多分子極多，分子極多，，而終有分在，而終有分在而終有分在，而終有分在，，弦究微，弦究微弦究微歉於弦究微歉於歉於歉於弧

弧弧

弧。若渾與弧和若渾與弧和若渾與弧和，若渾與弧和，，則必無分可析，則必無分可析則必無分可析，則必無分可析，，無子母可名，無子母可名無子母可名，無子母可名，，分子即通弧，分子即通弧分子即通弧，分子即通弧，，分母并，分母并分母并無其分母并無其無其無其一

一一

一，，，無其一是無減數矣，無其一是無減數矣無其一是無減數矣。無其一是無減數矣。。。

¹⁵

這裡就把逼近的想法更進一步的擴展，有了極限思想，在中國傳統數學，

極限思想和直曲轉化思想源遠流長，從《九章算術》和劉徽，到明安圖和董祐誠，對圓內接正多邊形和圓周、弦與弧的互相轉化都隱含極限思想，顯然項名達繼承了這些前輩的想法。同時在卷五他也對有盡與無盡提出看法，他在卷五的｢總論｣指出：｢蓋弦矢蓋弦矢蓋弦矢，蓋弦矢，，，方邊也方邊也方邊也；方邊也；；；弧弧弧，弧，，圜，圜圜圜線也線也線也線也，，，方有盡，方有盡方有盡方有盡，，，圜，圜圜圜無盡無盡無盡，無盡，，分之設也，分之設也分之設也。分之設也。。。可有盡而亦可無盡

可有盡而亦可無盡可有盡而亦可無盡

可有盡而亦可無盡，，，假其有盡者，假其有盡者假其有盡者，假其有盡者，，察數之變，察數之變察數之變，察數之變，，而還其無盡者，而還其無盡者而還其無盡者，而還其無盡者，，得理之通，得理之通得理之通，得理之通，，弧與，弧與弧與弧與弦矢乃無可復遁

弦矢乃無可復遁弦矢乃無可復遁

弦矢乃無可復遁。。。。｣

¹⁶

這是項名達從｢逼近｣類化到｢極限｣的想法，雖然他沒能意識到取無限小量所引發的混淆涵義－諸如芝諾(Zeno，約西元前 490~西元前 425)

14

項名達，《象數一原》卷五，頁 30。

15

項名達，《象數一原》卷五，頁 18~19。

16

項名達，《象數一原》卷五，頁 30。

(13)

悖論，

¹⁷

但還是反應出對於有盡無盡的辯証認識，以及從有盡引向無盡的歸納推理思想。項名達卷五的思想接近了微積分學，像英國漢學家和傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie,1815~1887)說：

¹⁸

｢微積分為中土算書所未有，然觀當代天算家，如董方立氏、項梅侶氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顧尚之氏、暨李君秋紉，

所著各書，其理有甚近微分者。｣

¹⁹

項名達等數學家的所隱含的極限思想和直曲轉化思想，為了不久後傳入的解析幾何和微積分等近代數學知識，奠定了重要的思想基礎。

4.2《象數一原象數一原象數一原》卷六象數一原卷六卷六：卷六：：諸術明變：諸術明變諸術明變諸術明變

《象數一原》包含相當豐富的辯証思想，卷六一開始，項名達就提出：

象百變象百變象百變

象百變，即數亦百變即數亦百變即數亦百變，全體達用即數亦百變全體達用全體達用，故無一非變全體達用故無一非變故無一非變故無一非變，全用在體全用在體全用在體全用在體，故無變非一故無變非一故無變非一故無變非一，

非體一非體一非體一

非體一，而用變也而用變也而用變也。而用變也。。。前所論前所論前所論，象為弦矢前所論象為弦矢象為弦矢，正不惟弦矢而已象為弦矢正不惟弦矢而已正不惟弦矢而已，一度中八綫皆正不惟弦矢而已一度中八綫皆一度中八綫皆一度中八綫皆是象是象是象

是象，豈遂不與數會者豈遂不與數會者豈遂不與數會者豈遂不與數會者？又不又不又不又不惟惟惟八惟八八八綫綫綫綫而已而已而已，盈兩閒而已盈兩閒盈兩閒盈兩閒、耳聞耳聞耳聞耳聞、目見目見目見目見、身觸身觸身觸身觸、

意知者皆是象意知者皆是象意知者皆是象

意知者皆是象，豈遂不與數會者豈遂不與數會者豈遂不與數會者豈遂不與數會者？今將舊所定弦矢求八綫術今將舊所定弦矢求八綫術今將舊所定弦矢求八綫術今將舊所定弦矢求八綫術，開諸乘方捷開諸乘方捷開諸乘方捷開諸乘方捷術術術

術，算律管新術算律管新術算律管新術列於卷中算律管新術列於卷中列於卷中，是皆從遞加數轉變而得列於卷中是皆從遞加數轉變而得是皆從遞加數轉變而得。是皆從遞加數轉變而得

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文中對｢象｣與｢數｣有著精采的描述。這裡的｢象｣相當於空間形式，｢數｣相當於數量關係。象與數，有著非常密切的關係。可以透過數量關係研究空間形式，

也可以通過空間形式來研究數量關係。像卷一、卷三，項名達先創造一個割圓

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芝諾的著作並沒流傳下來，只能透過批評他的亞里士多徳及其詮釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨，關於運動的有四個悖論：二分說、阿基里斯追龜說、飛箭靜止說、運動場悖論，前三個悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續性的之間的區別，是無限可分和有限長度之間的矛盾，他反對那種空間是點的總和、時間是瞬刻的概念，他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。

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偉烈亞力是名英國籍的新教傳教士、漢學家、翻譯家、出版人以及藏書家。1846 年受聘到上海的倫敦宣道會(London Missionary Society)創辦的出版社｢墨海書館｣工作。

1847 年 8 月 26 日抵達上海，隨即在｢墨海書館｣任職。在 1852 年到 1859 年間，和李善蘭等人合譯了《幾何原本》的後九卷和英國數學家 de Morgan 的代數著作。

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何紹庚，〈象數一原提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷，頁 5-471。

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