開方式的冪級數表達是清代無窮級數研究的一個重要課題，它也是割圓術 常常需要用到的技巧，項名達就曾說：｢遞乘遞除術，以開平方，向嘗為八線互 求之用。｣項名達因為解決了開平方的問題，所以得到偶分通弦率。董祐誠由於 不曾涉足於此，因而沒有得到它。157像徐有壬也曾說：｢弦求矢者弦求矢者弦求矢者弦求矢者，，，，開方所馭也開方所馭也開方所馭也開方所馭也，，，， 今不馭以開方
今不馭以開方今不馭以開方
今不馭以開方，而馭以屢乘屢除之法而馭以屢乘屢除之法而馭以屢乘屢除之法而馭以屢乘屢除之法｣，158更凸顯開方式的冪級數表達式對割圓 術的重要性。項名達在開諸乘方捷術的研究工作起源於戴煦的《對數簡法》。乙 秋年(1845 年)戴煦將《對數簡法》給項名達觀看，隔日，項名達告訴戴煦：｢連連連連 比例遞求法可開平方
比例遞求法可開平方比例遞求法可開平方
比例遞求法可開平方，亦可開諸乘方亦可開諸乘方亦可開諸乘方，會得兩術亦可開諸乘方 會得兩術會得兩術會得兩術，屬稿未定屬稿未定屬稿未定屬稿未定。｣159而戴煦回家後 細細思索亦得兩術，所以，兩人共定了開諸乘方術。其中項名達的《開諸乘方 捷術》中開方第一術和補第二術為兩人共定，第二術為項名達獨自獲得，補第 一術為戴煦獨自獲得。《開諸乘方捷術》這四術筆者已在《象數一原》卷六討論 過，故不再介紹，僅討論開方第三術和第四術。
第三術 第三術第三術 第三術 以本乘方積 以本乘方積以本乘方積
以本乘方積，檢開方表檢開方表檢開方表，其積較本積稍大者用為借積檢開方表 其積較本積稍大者用為借積其積較本積稍大者用為借積，其根為借根其積較本積稍大者用為借積 其根為借根其根為借根其根為借根，以本以本以本以本 乘方乘數加一為廉率
乘方乘數加一為廉率乘方乘數加一為廉率
乘方乘數加一為廉率，迺迺迺以廉率乘借積為一率迺以廉率乘借積為一率以廉率乘借積為一率，廉率減一乘借積以廉率乘借積為一率 廉率減一乘借積廉率減一乘借積廉率減一乘借積，與本積與本積與本積與本積 相加為二率
相加為二率相加為二率
相加為二率，借根為三率借根為三率借根為三率，求得四率借根為三率 求得四率求得四率，為第二借根求得四率 為第二借根為第二借根為第二借根，置第二借根置第二借根置第二借根置第二借根，依本乘依本乘依本乘依本乘 方乘數乘之
方乘數乘之方乘數乘之
方乘數乘之，得第二借積得第二借積得第二借積，又以廉率乘第二借積為一率得第二借積 又以廉率乘第二借積為一率又以廉率乘第二借積為一率，廉率減一乘第二又以廉率乘第二借積為一率 廉率減一乘第二廉率減一乘第二廉率減一乘第二
157參考特古斯、郭世榮，〈晚清割圓術的飽和傾向〉，《自然科學史研究》第 17 卷第 4 期(1998)，頁 350。
158徐有壬，《割圓八線綴術》卷二。
159項名達，〈《續對數簡法》序〉，收入戴煦《續對數簡法》。
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的牛頓－拉弗森來處理此題的結果是一致的。162以現代形式的牛頓－拉弗森的
of Fluxions(1671)和 De Analysiper Aequationes Numero Terminorum Inflinitas(1669) 兩本
書，他以求解y3−2y− =5 0為例說明他的方法：1690 年，Raphson 在 Analysis Aequationrum Universalis 一書中系統的討論這個程序，
並改進了牛頓法。Raphson 近似以 ( ) Chelsea Pub. Co.,1985),pp.202~203。或參考 H. H. Goldstine,A History of Numerical
Analysis from the 16th through the 19th Century(New York,Heicelbery,Berlin：
Springer-Verlay,1977),p.65。
163項名達，《開諸乘方捷術》，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，頁 5-641。
1 1690 年 Raphson 在《一般方程分析》(
Analysis Aequationrum Universalis)
一書中系統 的討論這個程序，故又叫牛頓－拉弗森(J. Raphson,1648~1715)法。164而項名達的開方第三術的算式，就處理xn = A而言，其式子與牛頓－拉弗森迭代法是相似