在清中葉，討論平三角的書相繼問世，其中最重要的，是羅士琳《三角和 較算例》一卷和項名達的《平三角和較術》，他們分別以不同的方法研究平面三 角形。李儼曾說：｢古未有邊角和較相求之例，自三角術傳入，中算家乃知角度 之應用，而此義最精確的，當屬羅士琳、項名達。｣118由於前者成書較早，我們 不妨先看一下羅士琳《三角和較算例》，然後再看項名達的《平三角和較術》，
117參考王大有，〈《平三角和較術》序〉，項名達《三角和較術》。
118李儼〈三角術和三角函數表的東來〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全集》，
第七卷，頁 199~200。文中的李儼(1892 年 8 月 22 日~1963 年 1 月 14 日)，原名祿驥，
對中國數學史相當有研究，以《中國算學史》和《中國數學大綱》為其代表作。
兩者互為比較。
《三角和較算例》一卷，著於 1840 年，而羅士琳著書的由來是：陳杰因道 光七年(1827 年)考取之算學生張某，曾設有一角及大小腰各與底邊和一題，未 知自何而來，特無常法可馭，乃損書下詢，羅士琳因此而著成此書。119在《碑 傳集補》四十二卷，記載羅士琳立術的想法：｢《《三角和較算例《《三角和較算例三角和較算例三角和較算例》》》一卷》一卷一卷一卷，取斜平三取斜平三取斜平三取斜平三 角中兩邊夾一角術
角中兩邊夾一角術角中兩邊夾一角術
角中兩邊夾一角術，120鎔入立天元法之鎔入立天元法之鎔入立天元法之鎔入立天元法之，用和較推演成式用和較推演成式用和較推演成式用和較推演成式。｣121這是一部著重用天 元術方法研究三角形的著作，天元術可解三角是本書的重點。全書分成三部分，
共分為三例，每例八題，每題又有四術，共二十四題九十六術，其中一般的一 元二次方程式(有二次一次常數項係數的)六十四術，一次項係數為零的二次方 程式有四術，一次方程有十六術，其它的有十二術，122我們化為現代的話語看 一下內容。
每道題目的問題或所求大致如下：參考下圖，設有三角形 ABC，其三邊長 分別為 a b c、 、 ，垂線 BD 長為
h
，已知角 A，羅氏稱 a 為對邊，c 為大邊，b
為 小邊，假設已知角 A，又知 a b c h、 、 、 四者的和或較，如何求得 a b c h、 、 、 四 綫？請看底下第一例。
A C
B
D
圖 4-5-1 第一術求對邊
第一術求對邊第一術求對邊
第一術求對邊………第二術求大邊……第二術求大邊第二術求大邊，……第三術求小邊第二術求大邊 第三術求小邊第三術求小邊第三術求小邊，……第四術求垂第四術求垂第四術求垂第四術求垂 線線線
線……。123
119羅士琳，〈《三角和較算例》序〉。
120兩邊夾一角術即是餘弦定理，鄧玉函的《大測》，薛鳳祚的《三角算法》，皆有載錄。
121閔爾昌，〈羅士琳〉，《碑傳集補》卷四十二，頁 2302。
122郭世榮，〈羅士琳的《三角和較算例》簡介〉，《中國數學史論文集》，第三輯，頁 113。
123羅士琳，《三角和較算例》，轉引郭世榮，〈羅士琳的《三角和較算例》簡介〉，《中 國數學史論文集》，第三輯，頁 114。
第一例第一例
第一例第一例：：：：正餘弦相減為衍母正餘弦相減為衍母正餘弦相減為衍母正餘弦相減為衍母。。。。 第一題第一題
第一題第一題：：：銳角衍母用并：銳角衍母用并銳角衍母用并銳角衍母用并，，，，鈍角衍鈍角衍鈍角衍鈍角衍 母用差
母用差 母用差 母用差。。。。 有一角有一角
有一角有一角，，，，而角在兩邊而角在兩邊而角在兩邊而角在兩邊 中中
中中，，，，有大腰及底邊和有大腰及底邊和有大腰及底邊和有大腰及底邊和，，，， 有小腰與垂綫和
有小腰與垂綫和 有小腰與垂綫和
有小腰與垂綫和，，，，求三求三求三求三 邊及垂綫
邊及垂綫 邊及垂綫 邊及垂綫。。。。
《三角和較算例》每一題底下皆有四術，而且有式無草，筆者將術底下的 話省略。《三角和較算例》的特色是衍母，嚴格來說，衍母並非已知條件，它是 由題目已知角 A 來決定的，羅士琳把衍母相同的歸為一例，使每例中的問題在 算法上有一定的相似之處，並且在每題之首列出本題衍母，因此，我們不妨把 它視為已知條件。再者，我們把全書三例納入底下表格，更容易看出《三角和 較算例》的樣貌(表格內填入的是已知條件，所要求的是 a b c h、 、 、 的線段長，
其中
R
代表半徑，表格內填入衍母的加減是因為鈍角用減、銳角用加，衍母的 加減視角 A 來決定)。茲將羅士琳的題目與例題化成表格，124如下：第一例 第二例 第三例
衍母
R
⋅sinA
±R
⋅cosA R
±R
⋅cosA R
±R
⋅sinA
第一題 已知c
+a
，b
+h
已知c b
+ ，a
+h
已知c
+h
，b
+h
第二題 已知c
−a
，b
+h
已知c b
+ ，a
−h
已知c
+h
，c
+b
第三題 已知c
+a
，b h
− 已知c
−a
，a
+h
已知b
+h
，c b
+ 第四題 已知a c
− ，h b
− 已知c b
− ，a
−h
已知c
−h
，b
−h
第五題 已知b
+h
，a
+h
已知c
+a
，a b
+ 已知c
+h
，a
+b
第六題 已知a b
+ ，b
+h
已知c
+a
，c b
+ 已知c
+h
，a b
− 第七題 已知a b
+ ，a
+h
已知a b
+ ，c
+b
已知c
−h
，a
+b
第八題 已知h b
− ，h a
− 已知c
−a
，b a
− 已知c
−h
，a b
−表 4-5-1
羅士琳《三角和較算例》，並無求解三角形的內角，而是傾向求解三段邊長 及垂綫。將三角形的垂線列入考慮，在清代的算學著作倒是常見，明安圖的《割
124表格引自郭世榮，〈羅士琳的《三角和較算例》簡介〉，《中國數學史論文集》，第三 輯，頁 115。
題
例
圜密率捷法》卷二｢直角三角形邊角相求｣，除了搭配杜氏九術的算法外，也是 透過垂線來求各邊與夾角。125梅文鼎的《平三角舉要》，其三角形已知兩邊一 角求對邊的問題，就是將三角形自一角至底邊作垂線，分成兩塊直角三角形來 求解。126但項名達的《平三角和較術》，題目的用語並無垂線一詞，而是以角 與邊長的和較來探討互求的情況，所以項名達重心並沒放在垂線，反而集中在 三角形的內角上。
接下來，我們看項名達的《三角和較術》的內容。項名達把《三角和較術》
分成《平三角和較術》與《弧三角和較術》，其中《平三角和較術》又分成〈勾 股形〉和〈三角形〉，《弧三角和較術》又分成〈正弧三角〉和〈斜弧三角〉。127 探究如下：
(1) 《平三角和較術》之〈勾股形〉
A
C B
圖 4-5-2
項名達主要是探討邊長和較與角的互求，筆者先把勾股和較整理成表格 4-5-2，再依照《平三角和較術》之〈勾股形〉題目順序整理成底下表格 4-5-3。
表 4-5-2
125參考明安圖，《割圜密率捷法》卷二，《續修四庫全書》子部，天文算法類，頁 14。
126參考錢寶琮，〈梅文鼎的數學著作〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全集》， 第五卷，頁 288。
127正弧三角指的是有一個角為90°，斜弧三角的三個角皆不為90°。 直角三角形∆
ABC
，∠C
為直角，a為勾，
b
為股， c 為弦，項名達的《平 三角和較術》之〈勾股形〉，題目的特 色是：除了直角之外，還考慮到剩下兩 角的值，我們將三角形畫在右方。表 4-5-3
其中《平三角和較術》之〈勾股形〉第 1 題、第 2 題，可以對照項名達《勾 股六術》第二術第 1 題、第 2 題，雖然題目相同，但所求不同。同樣的，〈勾股 形〉5、6、9、10、13、14、15、16、17、18、19、20 題，可以對照《勾股六 術》第三術的 1、2、3、4 題，和第四術的 1、2、3、4 題，以及第五術的 1、2、
3、4 題。而最後的第 25 至 32 題，可對照《勾股六術》第六術的第 1 題至第 8 題。亦即〈勾股形〉與《勾股六術》密切相關的有 22 題，而剩下的 10 道題目 在編排上也蠻有趣的，如〈勾股形〉第 3 題與〈勾股形〉第 1 題密切相關，即 第 1 題的所求即為第 3 題的已知條件，其算式相同。同理，〈勾股形〉第 4、7、
8、11、12、21、22、23、24 題的所求，為〈勾股形〉第 2、5、6、9、10、17、
18、19、20 題的已知條件。
亦可把所求與已知條件整理成下表 4-5-4：
表 4-5-4
經筆者比對，《平三角和較術》之〈勾股形〉和〈三角形〉的題目，雖然皆 是邊長和較與兩角互求的題目，但與《數理精蘊》下編卷十七｢三角形邊角相求
｣相關程度不高，反倒是與《數理精蘊》下編卷三十七有點關聯。《數理精蘊》
卷三十七中有四則題目，與《平三角和較術》〈三角形〉的題目是一致的。128 而〈勾股形〉部分題目，可看成〈三角形〉一些題目的特例，也可循這四題的 方法解決。其中，《平三角和較術》〈勾股形〉的第 3、4、7、8 題，與《數理精
128參考《數理精蘊》卷三十七，頁 34a~37b。
蘊》卷三十七中這四則題目中的兩題，算式是相同的，其來源出自《數理精蘊》
｢三角形邊角相求｣面部三十一的一條算式，所以筆者會將此式的圖形，作為〈勾 股形〉和〈三角形〉圖解的依據。筆者先介紹此題算式，如下所示：
129
F
A D C
E
B
圖 4-5-3
因為CE CD: =EB DF: ，所以( ) : ( ) ( tan180 ) : ( tan )
2 2
A B C
b c b c BD
° −BD
−+ − = ⋅ ⋅ 。
而當筆者解析底下題目，大多會利用圖 4-5-3 作為圖解的依據。130
《平三角和較術》中的〈勾股形〉與〈三角形〉，其題目的解法皆是依照四 率法列式，但全文皆無圖解，只單單有題目、解法罷了。史家李儼在〈三角術 和三角函數表的東來〉，曾寫下〈勾股形〉第 17 題圖解和算式，131堪稱精妙，
故筆者試圖解析其它題目。底下為第 1 題：
有弦 有弦有弦
有弦，，，有勾股較，有勾股較有勾股較，有勾股較，，求兩角，求兩角求兩角。 求兩角 法以弦為一率
法以弦為一率法以弦為一率
法以弦為一率，，，勾股較，勾股較勾股較為二率勾股較為二率為二率，為二率，，半直角四十五度正弦為三率，半直角四十五度正弦為三率半直角四十五度正弦為三率，半直角四十五度正弦為三率，，求得四率為，求得四率為求得四率為求得四率為 半較角正弦
半較角正弦半較角正弦
半較角正弦。以半較角與半直角相加為勾旁角以半較角與半直角相加為勾旁角以半較角與半直角相加為勾旁角，以半較角與半直角相加為勾旁角，，，相減為相減為相減為相減為股旁角股旁角股旁角股旁角。132
文意是若取∆
ABC
，∠C
為直角， a 為勾，b
為股， c 為弦。他的列式相當129參考《數理精蘊》卷十七，頁 30b~32a。
130《數理精蘊》卷十七面部三十一之圖形為筆者圖解依據。
131參閱李儼〈三角術和三角函數表的東來〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮自然科 學史全集》，第七卷，頁 201。
132項名達，《平三角和較術》，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，頁 5-616。
一率一率一率一率 兩邊之總兩邊之總兩邊之總兩邊之總
二率二率二率二率 兩邊之較兩邊之較兩邊之較兩邊之較
三率三率三率三率 半外角切線半外角切線半外角切線半外角切線
三率三率三率三率 半外角切線半外角切線半外角切線半外角切線