算律管新術 算律管新術 算律管新術 算律管新術

中國古代相當重視音律，在由音律決定律管長度的問題上，從春秋時代的 管子，⁵⁵到明朝的朱載堉的十二平均律，⁵⁶皆在此花了相當的研究，而形成一套 科學理論和算法。項名達讚揚朱載堉十二平均律，比之古律是較精確的算法。

為了了解律管的長度和音律的關係，我們先介紹十二個律名，分別是黃鐘、大 呂、太蔟、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓、林鐘、夷則、南呂、無射、應鐘。除了 十二個律名外，還有黃鐘倍律、大呂倍律、……應鐘倍律。其律管長度皆是前 者之倍，也有黃鐘半律、大呂半律、……應鐘半律，其律管長度皆是前者之半。

而十二平均律的律管長以現在眼光來看，是為一等比數列，表示如下：

律名 黃鐘 大呂 太簇 夾鐘 姑洗 仲呂 蕤賓 林鐘 夷則 南呂 無射 應鐘 管長

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表 4-2-2

接下來，我們來看看朱載堉如何求各律管長：

新法算律 新法算律新法算律

新法算律，用勾股用勾股用勾股術用勾股術術，本諸周禮術 本諸周禮本諸周禮，栗氏為量本諸周禮 栗氏為量栗氏為量栗氏為量，內方尺而圜其外內方尺而圜其外內方尺而圜其外內方尺而圜其外，則圜徑與則圜徑與則圜徑與則圜徑與 方斜同方斜同方斜同

方斜同，知方知方知方之知方之之斜之斜斜，即知圜之徑矣斜 即知圜之徑矣即知圜之徑矣。方尺即黃鍾即知圜之徑矣 方尺即黃鍾方尺即黃鍾方尺即黃鍾，圜徑即蕤賓圜徑即蕤賓圜徑即蕤賓圜徑即蕤賓，由蕤賓可由蕤賓可由蕤賓可由蕤賓可 得南呂得南呂得南呂

得南呂，由南呂可得應鍾由南呂可得應鍾由南呂可得應鍾，既得應鍾由南呂可得應鍾 既得應鍾既得應鍾，則終始循環諸律既得應鍾 則終始循環諸律則終始循環諸律則終始循環諸律，皆可相生皆可相生皆可相生皆可相生。⁵⁷ 文中之意，黃鍾的長度與蕤賓的關係，可由下圖 4-2-3 表示：

黃黃

倍倍

B C A

圖 4-2-3

研究三角八線入手，得到二項式展開式。參考項名達，《象數一原》卷六，頁 10。參 考韓琦，〈《數理精蘊》對對數造表法與戴煦的二項式展開式的研究〉，《自然科學史研 究》第十一卷第二期，頁 115。參考陳啟文，《清代算學家戴煦及其算學研究》，頁 45~77。

55項名達曾說：｢算律以三分損益，隔八相生，其法始於管子，後世宗之。｣可見春秋 圓內接正方形之邊長，即為

黃鐘律管長。圓的直徑，即 為蕤賓律管長。再由蕤賓，

可得南呂，由南呂可得應 鐘，既得應鐘，則諸律循環 可求。此代表十二平均律的

律管長為一個連比例。而朱載堉十二平均律的實際求法如下：

56朱載堉(1536~1610)，字伯勤，號句曲山人，明宗室鄭恭王厚焥嫡子，生於懷慶(今河 南沁陽)，為明代樂律家及數學家，所創十二平均律在世界律學史佔有重要地位。

律名 黃鐘 大呂 太簇 夾鐘 姑洗 仲呂 蕤賓 林鐘 夷則 南呂 無射 應鐘 半黃鍾

10.正黃鐘六乘，乘半黃鐘四乘，與仲呂十一乘等積，即

φ

φ

φ

括號外面次方是 1 之意。太簇的 11 乘方為

蕤賓 林鐘 夷則 南呂 無射 應鐘