2 。再開
4.2.5 橢圜求周術 橢圜求周術 橢圜求周術 橢圜求周術
= ⋅ + + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
，
若照我們現在的理解：
2 2 3 3
1 1 ( ) ( )(2 )
1 1 ...
2 2 2 2 2! 2 3!
d d
m m
d
d d m d d m d m d
L l l l
m m m
− −
+ + +
= ⋅ = − ⋅ = ⋅ + + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
項名達說此術他並不打算立為術，又說此術｢嫌其降位稍難耳嫌其降位稍難耳嫌其降位稍難耳嫌其降位稍難耳，而而而而其術固自其術固自其術固自其術固自 在也
在也在也
在也｣。68至於項名達是否將指數為負有理數的二項式展開式，與正的有理數作 一番連結而得到一般化的結果，恐怕是受限於符號，還沒有達到如此深刻的認 知。
4.2.5 橢圜求周術 橢圜求周術 橢圜求周術 橢圜求周術
卷六的〈橢圜求周術〉，內容主要有四個公式。但項名達只給出求橢圓周長 的幾個關鍵步驟和結果，而且缺少最重要的圖解，因此，戴煦在卷六說道：｢總 論云，觀後圖解便可洞然，而圖解實未有，頗疑非完本。｣後來，戴煦看到本卷 卷首項名達提及病軀不能從事，才知道項名達｢素有此志以疾作不果，非闕也｣，
而對於橢圓求周術，戴煦認為其｢術意淵奧術意淵奧術意淵奧，術意淵奧，，非累牘不能明，非累牘不能明非累牘不能明了非累牘不能明了了，了，，茲為補纂圖解，茲為補纂圖解茲為補纂圖解，茲為補纂圖解，，， 另編一卷附後
另編一卷附後另編一卷附後
另編一卷附後｣，69此點說明卷七的由來。項名達的基本想法，筆者會放在卷七 與戴煦〈橢圜求周術〉的圖解一同說明。
4.3《象數一原 象數一原 象數一原》卷七 象數一原 卷七 卷七： 卷七 ： ：橢圜求周圖解 ： 橢圜求周圖解 橢圜求周圖解 橢圜求周圖解
清代最早提出橢圓求周術的是董祐誠，只可惜他的方法是錯的。董祐誠於
1823 年歿於北京，其兄長董基誠將他的遺著收集成《董方立遺書》出版，該書
68項名達，《象數一原》卷六，頁 27。
69項名達，《象數一原》卷六，頁 38~39。
收集了他的五種曆算稿，《橢圓求周術》就是其一。他在序中曾提及朱鴻｢言圜 柱斜剖則成橢圜，是可以勾股形求之｣，因此，他秉持這種想法立算。他仿照《九 章算術》勾股章｢葛生纏木｣題的解法，以圓柱半周為勾，橢圓長、短軸的平方 之差為股之平方，求弦得橢圓半周。如設 ,a b 為橢圓長、短半軸，
p
為周長，則董祐誠的公式相當於p= 4
π
2b2+16(a2−b2)，70這個《橢圓求周術》顯然是 錯誤的，之後項名達提出了正確的解法。一般人認為〈橢圜求周術〉是在項名達晚年完成，其實〈橢圜求周術〉完 成年代很早，它於 1831 年完成，被收錄在《連筠簃叢書》，書中稱此術為〈橢 圜術〉，最後面有作者的結尾一句話：｢道光辛卯梅侶項名達校定於都城槐蔭館道光辛卯梅侶項名達校定於都城槐蔭館道光辛卯梅侶項名達校定於都城槐蔭館。道光辛卯梅侶項名達校定於都城槐蔭館
｣71，肯定了他成書的時間。〈橢圜術〉與《象數一原》第六卷所載的內容稍有 不同，〈橢圜術〉少了一小段｢用表求加減差乘除法｣，和｢求加減差表｣，72當然 還有戴煦的的按語，但卷六的〈橢圜求周術〉也少了兩行小字。總體來說，項 名達是把以前的著作〈橢圜術〉放到《象數一原》卷六，無怪乎黎應南在 1832 年為《下學盫勾股六術》作序時曾說：｢梅侶嘗立有弧三角總較術梅侶嘗立有弧三角總較術梅侶嘗立有弧三角總較術梅侶嘗立有弧三角總較術、求橢求橢求橢圓求橢圓圓弧線圓弧線弧線弧線 術術術
術。｣73更是為〈橢圜術〉出版的年代提出佐證。除了〈橢圜求周術〉，項名達 在其後備有三術，這三術是為求橢圜周長所由來而立術的。他說：｢有扺周線術有扺周線術有扺周線術有扺周線術，
而各橢弦可求 而各橢弦可求而各橢弦可求
而各橢弦可求，有橢弦術有橢弦術有橢弦術，而各橢弦和可有橢弦術 而各橢弦和可而各橢弦和可求而各橢弦和可求求，橢弦和既可求求 橢弦和既可求橢弦和既可求，橢圜周即無不可橢弦和既可求 橢圜周即無不可橢圜周即無不可 橢圜周即無不可 求求求
求。｣74所以，項名達在卷六收錄這三術，並說明立術之原。依照上文所述，先 有｢橢圓各扺周線術｣，才能由此求各橢弦長(此術稱為｢橢弦術｣)，再由｢橢弦術｣
求出橢圓逐分通弦和，並由橢圓逐分通弦和來逼近橢圓周長。項名達把這三術 連同｢橢圜求周術｣放在卷六時，位置正好與思路的先後順序顛倒，而在求橢圓 逐分通弦和時，此術最特別的地方是含有加減差，這是李儼介紹〈橢圜求周術〉
時所缺漏的地方。75《象數一原》卷六透露項名達基本想法，文中寫道：｢橢圓橢圓橢圓橢圓 弧線無可驗
弧線無可驗弧線無可驗
弧線無可驗，驗之以逐分通弦和驗之以逐分通弦和驗之以逐分通弦和，今求本數與求橢周同術驗之以逐分通弦和 今求本數與求橢周同術今求本數與求橢周同術今求本數與求橢周同術，所異者有加減差耳所異者有加減差耳所異者有加減差耳所異者有加減差耳，
70洪萬生，〈乾嘉學派與圓徑周率〉，《科學月刊》第二十二卷第九期。
71項名達，〈橢圜術〉，收入清．楊尚文編《連筠簃叢書》第 4662 冊。
72此表為戴煦補的，參閱李儼〈明清算家的割圓術研究〉，收入杜石然主編《李儼、錢 寶琮科學史全集》第七卷，頁 355。
73黎應南，〈《下學盫勾股六術》序〉。
74項名達，《象數一原》卷六，頁 38。
75加減差，這是李儼介紹〈橢圜求周術〉時所缺漏的地方。參考李儼〈中算家的圓錐曲 線說〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全集》第七卷，頁 491~508。
一象限析分越多 一象限析分越多一象限析分越多
一象限析分越多，則橢弦漸與弧合則橢弦漸與弧合則橢弦漸與弧合則橢弦漸與弧合，加減差加減差加減差加減差愈愈愈愈後後後後，而而而而其差亦其差亦其差亦其差亦愈愈愈愈微微微微，析至無量分析至無量分析至無量分析至無量分，
則橢弦和即橢圜象限 則橢弦和即橢圜象限則橢弦和即橢圜象限
則橢弦和即橢圜象限，亦無加減差可言矣亦無加減差可言矣亦無加減差可言矣亦無加減差可言矣。｣ 76他的做法是以橢圓大半徑作一個 平圓，把一象限平均分成幾等分，由平圓逐分通弦和求對應橢圓逐分通弦和，
當弧分分的越細，橢弦和就會十分逼近橢圓周長。但他立橢圓逐分通弦和此術 時，發現依公式求出來的值會和橢圓逐分通弦和的真正值有個差值，所以，他 建立用表求加減差乘除法和補求加減差法，來求出真正的橢圓逐分通弦和。
根據筆者針對卷七、卷六的比照，發覺戴煦所補著的卷七內容，完全按照 項名達思路的。但戴煦卷七除了補充圖解之外，又另增一術－從內容平圓立術，
而求得另一個橢圓求周公式。其實項、戴兩人分別以橢圓的外切平圓和內容平 圓立算的基本思想是相同的。初看文本時發覺戴煦的證明極其繁複，筆者分成 若干個步驟一一說明。其中，有些步驟參雜額外的公式，像底下的步驟(5)、(11)，
皆是戴煦為自己另外一個算法鋪路，但也只是依據項名達的想法稍稍變化。
(1) 依本文的闡述，建立一個圖形，如下圖 4-3-1 所示。在橢圓建立一個 外切圓甲乙丙丁，和一個內切圓庚巳辛戊。令外切圓直徑甲丙=2R，內切圓 直徑巳戊=2r。自圓心作心午、心壬 、心癸 三條直線，其中午、心、癸三點 共線，甲午 甲壬 = 。再作一外切圓通弦午壬交橢圓於子、寅兩點，再作一內 切圓通弦卯未，取其延長線交橢圓於子、丑兩點。得酉壬 酉子: =R r: ， 申未 申丑: =
r R
: 。酉
申
亥 心
午 壬
癸 辰 卯
寅
甲
丙
丁 乙
丑 子
戊
辛
巳 未 庚
圖 4-3-1
76項名達，《象數一原》卷六，頁 31。
上面所得的長度比，由右 圖 4-3-1 來看，按筆者的解讀，
可視為∆心壬午~∆心卯辰 ，
所以可得 R
= = r 午壬 午壬
寅子 辰卯 ，
由上式推得 R
= = r 酉壬 午壬
酉子 寅子 。 又∆辛卯未~∆辛壬癸 ，所以可
得 r
= = R 卯未 卯未
子丑 壬癸 ，此式又可
推得 r
= = R 申未 卯未
申丑 子丑 。
關於上面第一個式子，戴煦的解釋是，因為外切平圓和橢圓之半通弦比，
與外切平圓和內容平圓之半徑比相等。關於第二個式子，是因為內容平圓和橢 圓之半通弦比，與內容平圓和外切平圓之半徑比是相等的。雖然文本並無多作 解釋，但是這兩個關係式，曾記載於《交食曆指》(1632)和《曆象考成後編》(1742)，
尤其後者，有幾何圖形詳加說明。77
由步驟(1)，得到底下兩個公式：
1. 外切平圓和橢圓之半通弦比，與外切平圓和內容平圓之半徑比相等。
2. 內容平圓和橢圓之半通弦比，與內容平圓和外切平圓之半徑比相等。
(2) 取出外切平圓和橢圓來看，圖如下(見圖 4-3-2)。
圖 4-3-2
上述邊長比值皆是同用一股之兩直角三角形之另外一股的比值。若把∆甲子 巳和∆甲子丙對照，∆巳丑庚和∆丙申丁對照，∆庚寅壬和∆丁酉戊對照，∆壬 卯癸和∆戊未乙對照，上述對照方式均是同用一股的直角三角形，其兩兩對照的 三角形另外一股的比值皆為
R
r
。再取出內容平圓和橢圓來看，作法與上雷同，圖如下(見圖 4-3-3)。
77《交食曆指》為湯若望所傳，成書於明崇禎或清順治年間。《曆象考成後編》十卷為 戴進賢、徐懋德、明安圖、以及何國宗、梅瑴成、何國棟等人編成。參考李儼〈中算 家的圓錐曲線說〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全集》第七卷，頁 491 與 495。
由上面公式，可得
R
r
=子丙 子巳，又R
r
=戊丁 戊庚R r
⇒ = − =
−
戊丁 子丙 申丁 戊庚 子巳 丑庚。 同理，得
R
r
=酉戊寅壬，而
R
r
=亥戊 亥壬，R R
r r
⇒ = − =
−
亥戊 未乙 亥壬 卯癸。
圖 4-3-3
上述邊長比值皆是同用一股之兩直角三角形之另外一股的比值。若把∆戊 午乙和∆壬午乙對照，∆丁寅戊和∆辛丑壬對照，∆丙卯丁和∆庚子辛對照，∆ 甲辰丙和∆巳癸庚對照，上述對照方式均是同用一股之兩直角三角形，其兩兩 對照的三角形另外一股的比值皆為
R
r
。(3) 接下來探討同用一股之兩直角三角形。戴煦認為橢圓求周術生於開平方 捷法，所以戴煦取出項名達卷六的開方第一術和補第一術運用，公式分別如下：
(3) 接下來探討同用一股之兩直角三角形。戴煦認為橢圓求周術生於開平方 捷法，所以戴煦取出項名達卷六的開方第一術和補第一術運用，公式分別如下：