三角形分類奠基活動修改歷程

本節分成兩部分，第一部分詳述奠基活動設計的歷程，依照設計研究法呈 現每個循環中的準備、執行與評鑑三階段的內容，詳述各個循環的活動設計架 構、學生試驗結果與修改活動的依據；第二部分則描述每個活動之間設計歷程 與調整機制。

一、設計循環歷程

在設計三角形分類奠基活動的過程中，經歷了四次循環過程(圖 四-1)，本 節將會描述每次修改的理論依據以及修改機制，並且提出修改或設計新的奠基 活動，以作為其他活動設計師的參考．以下分別描述每次循環中最重要的階段 性成果：

第一循環：尋找出合適的隱喻並設計出「發展分類」活動。

要設計出一個合適的奠基活動，首先需要找到一個好的隱喻基底，

並且從隱喻基底出發設計奠基活動。

第二循環：設計「應用分類」活動。

將發展分類的概念進行延伸並且能靈活運用分類概念。

第三循環：設計「命名分類」活動。

第四循環：進行教學實驗。

將三角形分類奠基活動用於教學現場，以檢測活動的有效性。

圖 四-1 三角形分類奠基活動設計循環圖

(一)、 第一循環：尋找出合適的隱喻並設計出「發展分類」活動。

在第一循環的準備階段中，研究者以國小四年級三角形單元內容進行設 計，在進行設計之前研究者將活動目標訂為學生能以三角形邊與角的特徵進行 分類，要如何在活動當中讓學生能夠聚焦在三角形邊與角的特徵並且發展三角 形分類的概念，將是設計「發展分類」活動的重點。

在設計「發展分類」活動中(圖四-2)，研究者根據活動設計架構中最底層的 學習理論開始進行設計，在Duval 幾何學習理論中四種認知理解，其中知覺性 理解指的是學生藉由直接觀察圖形的表徵進行該圖形的理解，學生在理解圖形 時必定會出現知覺性理解而且並伴隨其他另外三種理解（構圖性、操弄性、論 述性），可見圖形表徵對於學生理解圖形的重要性，因此在設計三角形奠基活動

時，研究者將設計出了大量且不同種類型的三角形圖卡，幫助學生在活動過程 察與操作卡牌，而來源域的潛在目標也就成為目標域的隱喻，此外在Mr.Miss 中Miss 的機制中使學生在活動當中對遊戲內容的結構感到缺乏，此缺乏感來自 Mr,Miss理 論

Mr機 制 隱喻：有效分類

奠基設計原則 引動思考 遊戲規則衍生遊戲策略

根據上述設計原則與理論而衍生出的「發展分類」的活動規則如下：四人 一組，每一個人均有一副相同三角形卡牌共 30 張，其中 10 張為直角三角形(5 張等腰、5 張不等腰)、10 張為銳角三角形(2 張正三角形、3 張等腰、5 張不等 腰)、10 張為鈍角三角形(5 張等腰、5 張不等腰)(圖四-3)，以及 3 枚代幣。遊戲 開始，在四人中選定一位玩家扮演莊家，莊家在 30 張三角形卡牌中選取一張當 作神秘卡，其他玩家必須要從 30 張卡牌中去猜測莊家選定的神秘卡，但玩家要 從 30 章卡牌當中毫無根據的猜對莊家的神祕卡是極為困難的，因此玩家可以花 費一枚代幣進行對莊家的提問，玩家問有關神秘卡的任何問題，莊家根據所選 的神秘卡並照實回答，不過一律只能回答「是」、「否」，不能回答其他答 案，在提問的過程中其他玩家也能參考其他玩家所提問的問題進行猜測，當所 有玩家都提問完畢時就進行最後猜測，最後莊家再公布正確答案，能正確猜到 莊家手中的三角形卡牌的玩家將獲得分數，將所有玩家的得分做紀錄並且代幣 重新回收，此回合結束接者輪到下一位玩家擔任莊家，發放每人三枚代幣並開 始新回合。

圖 四-3 三角形卡牌

在進行執行階段之前，研究者將設計完初步的「發展分類」活動與專家小 組進行乾實驗，討論與模擬學生可能會有的反應，並加以微調活動的規則讓活 動能更流暢。由於研究者當時尋找學生來進行試驗相當困難，因此無法找到一 組(4 人)學生進行試驗，最終只找尋到一位國小四年級的學生進行試驗，且試驗

學生的數學程度佳。在試驗過程中，研究者發現學生在遊玩第二、三回合之後 所提出的問題開始慢慢聚焦在於三角形邊與角的特徵上，可說明發展分類活動 有達成預期的活動目標。

接者研究者在執行階段所記錄學生的反應與回饋，再專家小組進行討論。

將「發展分類」活動做調整，將30 張三角形圖卡調降至 7 張，7 張分別為 7 類，分別為正三角形、等腰銳角三角形、等腰直角三角形、等腰鈍角三角形、

非等腰銳角三角形、非等腰直角三角形、非等腰鈍角三角形，調整理由是太多 三角形圖形表徵對於尚未學習三角形單元的學生認知負荷過於龐大，而且試驗 學生有反應說圖卡太多不好觀察。

圖 四-4 第一循環設計流程圖

(二)、 第二循環：設計「應用分類」活動。

在第二循環的準備階段中，原先設定的活動目標為學生能以三角形邊與角 的特徵進行分類，第一循環中所設計出的「發展分類」活動在執行階段確實能 夠使學生在活動過程中漸漸發展出分類概念，但礙於發展分類的活動規則，會 將學生的分類概念形成二分法的分類方式，例如：你的三角形是不是有直角？

這種二分法在分類概念是很常使用的方法，不過三角形分類不僅只有二分法的 方式，另外三分法或其他方法，例如將三角形分成鈍角三角形、直角三角形、

銳角三角形三種類別。因此研究者發現「發展分類」活動尚有不足的地方，研

究者加以設計後續的「應用分類」活動來加強前個活動不足的地方。為此研究 者將活動目標調整為學生能以三角形邊與角的特徵進行分類並且加以靈活運用 分類概念。

在設計「應用分類」活動一開始(圖四-5)，研究者也是根據活動設計架構來 進行設計。首先先考慮最底層的學習理論，也是根據Duval 幾何認知理解中的 知覺性理解，三角形圖形表徵對學生學習三角形是極為重要的，因此研究者決 定延用「發展分類」所設計的三角形卡牌，此外Mr,Miss 奠基學習理論中 Miss 的機制提到在具象物理性操作的鷹架並且進行調整操作的動作、想像操控以及 圖像、動作以及符號表徵紀錄之間的協調，三方有幫助於學習者關於目標域的 數學感並維持正在進行的結構性連結，說明了學生經歷過「發展分類」後發展 出的分類概念將成為後續「應用分類」的來源域，並且對「應用分類」活動目 標相互連結，因此「應用分類」活動設計在「發展分類」之後；接者來到活動 設計架構中層的中介架構，奠基進教室活動設計五原則中的原則三－共建數 學，促進學生討論達成共建數學，此將活動設計為小組合作的機制，透過同組 的討論強化學生對於應用分類的概念；接者到頂層的設計工具，本身「應用分 類」活動亦是本研究第三個研究問題（三角形分類奠基活動是否能提升學生幾 何思考的層次）的研究工具，為此研究者考慮學生建構抽象數學概念的過程，

依據RBC 架構設計出「應用分類」活動，在此活動過程中藉由先前「發展分 類」活動所發展出的分類概念進行辨識(R)，接者學生再建立出應用三角形的分 類概念 (B)，並且建構出較完整的三角形分類概念(C)。

圖 四-5 應用分類活動設計架構圖

根據上述設計原則與理論而衍生出的「應用分類」的活動規則如下：四人 一組，各組學生將會抽一張數字卡，其數字卡為 3、4、6 其中一個數字，根據 所抽到的數字卡，各組學生互相討論並對 7 張三角形卡牌進行分類，若抽到數 字卡 3 則該組將把 7 張三角形卡牌分成 3 類，並且寫出分類的依據。分類完成 之後並請教師紀錄，接著各組去猜測其他組的分類依據並且寫下來，最後教師 公布各組分類依據的答案，猜對最多組分類的依據獲得分數越高。

在進行執行階段之前，研究者將設計完初步的「發展分類」活動與專家小 組進行乾實驗，討論與模擬學生可能會有的反應，專家小組建議將三角形卡牌 中邊長與角度的數值做調整，由於真實數學的三角形邊長與角度的關係並非是 揭示整數關係，在加上國小四年級之前已經有小數後一位的概念，因此研究者 將其邊長與角度的數值設計成更為貼近真實數學的三角形。圖四-6 為經過修改 的三角形卡牌

應用 分類活動

Duval幾 何 學 習理論 知覺性理解 Mr,Miss理 論

Miss機 制 RBC架 構 建構完整分類概念

奠基設計原則三 共建數學 小組合作

圖 四-6 調整後的三角形卡牌

在執行階段中，研究者找了另外一位國小四年級學生，試驗學生數學程度 較低且對數學學習沒有很大的興趣。在試驗過程中，試驗學生再「發展分類」

活動中玩了五、六回合才漸漸提問出較關鍵的問題，相較於第一循環的試驗學 生需要玩得回合數較多，才有機會發展出初步的分類概念。接者進行「應用分 類」活動，研究者與試驗學生先各自自行分類三角形卡牌，接者再互相猜測對 方三角形分類依據，研究者發現試驗學生在分類三角形的過程中沒有問題，但 是在猜測研究者的分類依據時有困難，但研究者給予少量的提示，還是能使試 驗學生也能正確回答出研究者三角形分類的依據。可說明「應用分類」活動有 達成預期的活動目標。令人意外的是在整個活動結束後，原本對於數學學習沒

活動中玩了五、六回合才漸漸提問出較關鍵的問題，相較於第一循環的試驗學 生需要玩得回合數較多，才有機會發展出初步的分類概念。接者進行「應用分 類」活動，研究者與試驗學生先各自自行分類三角形卡牌，接者再互相猜測對 方三角形分類依據，研究者發現試驗學生在分類三角形的過程中沒有問題，但 是在猜測研究者的分類依據時有困難，但研究者給予少量的提示，還是能使試 驗學生也能正確回答出研究者三角形分類的依據。可說明「應用分類」活動有 達成預期的活動目標。令人意外的是在整個活動結束後，原本對於數學學習沒