設計國小中年級三角形分類之奠基活動

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系(所) 碩士論文 Department of Mathematics College of Science. National Taiwan Normal University Master’s Thesis. 設計國小中年級三角形分類之奠基活動. 鄧智升 Deng, Jhih-Sheng. 指導教授：楊凱琳博士. 中華民國 109 年 7 月 July 2020.

(2) 謝辭我能夠完成這份論文特過了很多人的幫助，首先我要感謝我的指導教授楊凱琳教授，她就像是我在碩士班時期的一座燈塔，無論在課業上、研究上當我迷惘、手足無措的時候，教授都會給我方向和可行的方法，讓我在研究中能更進一步的接續下去，雖然教授在指導我的時候要求很高，但我知道教授的要求都是在訓練我成為一個好的研究生，好的研究生在產出一個學術論文時是需要非常嚴謹的，要以不同角度去審視問題，並且提出可行且精確的方法來解決問題，最後在完成論文。如果沒有楊凱琳教授的指導，我想這份論文也無法完成。我也感謝在讀碩班的時期幫助過我的學長姊，佳陽、世平、佑萱、薇毓、凱文，在我撰寫論文遇到瓶頸的時候，這些學長姊都會不吝與我討論，該如何解決遇到的瓶頸。其中佳陽學長給予我的幫助甚多，佳陽學長很像我另一位的指導老師，無論在撰寫論文、解釋資料都給予我莫大的幫助；另一位世平學長，在我收集資料時期幫助我收集研究資料，當時沒有世平學長的幫助我也無法將資料收齊並作分析。我很幸運我能在碩士班時期遇到這些學長姊，沒有他們我想也沒有現在的我和這份論文。也非常感謝我的家人無條件的支持我完成碩士學位，能夠包容體諒我念了這麼久的研究所，每次回家時家人都給我滿滿的關心，但是不是那種附有壓力的關心，能讓我能夠專心花大量時間專注在撰寫論文上。我相信我要感謝的人還很多，且一定有漏掉沒有感謝道的人，在此一併向您們致上十二萬分的誠摯的感謝. I.

(3) 摘要數學奠基活動是幫助奠定學生學習學校數學的根基，也成為了台灣數學教育改革的趨勢。目前奠基活動主要是以數學營的方式進行，都舉辦在周末或寒暑假，因為許多教師與活動師希望能更多學生享受學習數學的過程，師大數學教育中心提出一個新的計畫－奠基進教室，即保留奠基活動的精神，將活動修改後能夠融入正式課堂之中。在奠基活動前幾期的模組中，有許多與三角形相關的奠基活動，在這些活動中我們能看見學生有更多主動思考以及實務操作的教具。不過目前有關三角形奠基活動大多都是在探索中發展三角形分類概念，藉由遊戲來深化三角形分類概念，而少有做到在桌遊競爭中，學生思考策略而完成遊戲目標，此策略就隱含了三角形分類概念來進行，因此，學生為了想要主動完成任務，進而主動對三角形進行分類。於是我們以此為出發點，針對學生需要主動對於三角形進行分類去設計三角形分類奠基活動。從一開始使用海龜湯遊戲規則作為三角形分類的發想，進而設計出一系列奠基活動〈三角形海龜湯〉。本研究使用設計為本的研究法，經歷過四大階段的修改後，〈三角形海龜湯〉的設計的活動包含發展分類活動、應用分類活動、命名分類活動，設計完一系列的活動希望能幫助學生未來學習三角形內容奠下基礎，甚至到未來學習幾何相關的內容能更有自信，不過，本研究設計的奠基活動最核心的目標為如何有效對三角形進行分類。設計完的〈三角形海龜湯〉當做教學實驗的工具，並且設計前後測以及態度問卷，以檢驗〈三角形海龜湯〉對於學生的認知與情意有何影響。在進行教學實驗之後，我們看見學生在小組討論中發展了關鍵的基。在前後測中，雖然樣本數不夠，統計上無顯著差異，但在整體上還是有微幅的成長與進步。在情意問卷中，可以看見學生在進行奠基活動之後，對於數學的各方面情意都有良好的反饋。對於〈三角形海龜湯〉的活動也大都給予肯定，顯示在學生心中，〈三角形海龜湯〉能提升他們的幾何思考層次。. 關鍵字：三角形分類、〈三角形海龜湯〉、奠基活動、設計研究法. II.

(4) 目次謝辭.................................................................................................................................I 摘要............................................................................................................................... II 目次.............................................................................................................................. III 表目次.......................................................................................................................... IV 圖目次........................................................................................................................... V 第一章緒論.................................................................................................................. 1 第一節奠基活動的背景...................................................................................... 1 第二節幾何概念的奠基活動.............................................................................. 3 第三節研究動機.................................................................................................. 4 第四節研究目的與問題...................................................................................... 6 第五節名詞解釋.................................................................................................. 6 第二章文獻探討.......................................................................................................... 8 第一節活動設計架構.......................................................................................... 8 第二節三角形概念理解相關的教學活動........................................................ 26 第三章研究方法........................................................................................................ 28 第一節設計為本研究法.................................................................................... 28 第二節教學實驗................................................................................................ 35 第三節研究流程................................................................................................ 43 第四章研究結果........................................................................................................ 45 第一節三角形分類奠基活動修改歷程............................................................ 45 第二節前後測分析分析結果............................................................................ 62 第五章結論與建議.................................................................................................... 79 第一節結論與討論............................................................................................ 79 第二節建議........................................................................................................ 85 參考文獻...................................................................................................................... 87 一、英文部分...................................................................................................... 87 二、中文部分...................................................................................................... 89 附件一〈三角形海龜湯〉前測驗.............................................................................. 90 附件二〈三角形海龜湯〉後測驗.............................................................................. 93 附件三〈三角形海龜湯〉情意問卷.......................................................................... 96 附件四〈三角形海龜湯〉奠基活動教案.................................................................. 97 附件五〈三角形海龜湯〉學習單.............................................................................. 99 附件六〈三角形海龜湯〉圖片卡牌........................................................................ 103. III.

(5) 表目次表二-1 三角形分類奠基活動的設計法 ................................................... 25 表三-1 三角形分類概念測驗之雙向細目表 ........................................... 37 表三-2 前後測第三題編碼表 ................................................................... 38 表三-3 前後測第四題編碼表 ................................................................... 38 表三-4 前後測第五題編碼表 ................................................................... 39 表三-5 前後測第六題編碼表 ................................................................... 40 表四-1 前後測各題答對率 ....................................................................... 63 表四-2 前後測成對樣本統計量 ............................................................... 67 表四-3 前後測成對樣本相關性 ............................................................... 67 表四-4 前後測成對樣本檢定 ................................................................... 68 表四-5 情意問卷實驗班單一樣本檢定統計量 ....................................... 70 表四-6 情意問卷單一樣本檢定結果 ....................................................... 71 表四-7 前後測第三題編碼配分表 ........................................................... 72 表四-8 前後測第四題編碼配分表 ........................................................... 72 表四-9 前後測第五題編碼配分表 ........................................................... 73 表四-10 前後測第六題編碼配分表 ......................................................... 74 表四-11 前後測學生幾何思考層次交叉列點表 ..................................... 78. IV.

(6) 圖目次圖二-1 Ruthven 教學活動設計架構圖...................................................... 9 圖二-2Mr,Miss Mechanism 架構關係圖 ................................................. 12 圖二-3 RBC+C 架構圖 ............................................................................ 21 圖三-1 單次循環中設計奠基活動的流程 ............................................... 32 圖三-2 設計為本之奠基活動修改循環圖 ............................................... 33 圖三-3 單組前後測設計流程圖 ............................................................... 42 圖三-4 研究流程圖 ................................................................................... 43 圖四-1 三角形分類奠基活動設計循環圖 ............................................... 46 圖四-2 發展分類活動設計架構圖 ........................................................... 47 圖四-3 三角形卡牌 ................................................................................... 48 圖四-4 第一循環設計流程圖 ................................................................... 49 圖四-5 應用分類活動設計架構圖 ........................................................... 51 圖四-6 調整後的三角形卡牌 ................................................................... 52 圖四-7 第二循環設計流程圖 ................................................................... 53 圖四-8 命名分類活動設計架構圖 ........................................................... 54 圖四-9 角度文字卡與扣條尺 ................................................................... 55 圖四-10 第三次循環修改流程圖 ............................................................. 56 圖四-11 奠基活動教學實驗設計架構圖 ................................................. 58 圖四-12 精緻化三角形卡牌 ..................................................................... 58 圖四-13 第四循環修改流程圖 ................................................................. 59 圖四-14 三角形分類奠基活動內容 ......................................................... 60 圖四-15 各個活動之間關係圖 ................................................................. 61 圖四-16 活動二學生學習單內容 ............................................................. 76 圖四-17 活動三學生學習單內容 ............................................................. 76 圖四-18 活動四學習單內容 ..................................................................... 77 圖五-1 三角形分類奠基活動設計流程與 Mr*Miss 步驟圖................... 81. V.

(7) 第一章緒論. 第一節. 奠基活動的背景. PISA 2012(OECD 2014)顯示台灣國中小學生在數學能力評比中，達到高成就的學生人數相對於國際平均來的多，且在學習落後的學生人數相較於國際平均來的少。但學習落後的學生人數比率是在 7 個亞洲國家或經濟區中最高的，7 個國家或經濟區分別為上海、新加坡、香港、台灣、韓國、澳門、日本(林福來，2014)。雖然說台灣學生在數學能力上在國際上是名列前茅的，但為何台灣學生中數學學習低成就的學生在亞洲國家中排名人數中是最高的呢？在 2007 和 2011 針對台灣國小四年級學生在國際數學和科學教育成就趨勢調查(The Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS)研究中顯示(Martin, Mullis,& Foy, 2008; Mullis, Martin, Foy, &Arora, 2012)，台灣 4 年級與 8 年級的學生對數學的態度、數學的價值以及學習數學的自信皆顯現不佳，意即不喜歡學習數學、不重視數學、對數學沒信心。從 TIMSS 2007 到 TIMSS2011，學生不喜歡數學的態度比率增高，而且這比率也高於世界平均(林福來，2014)。這個現象顯現台灣學生雖然數學能力表現優異，但是討厭數學的態度相較下也是名列前茅。這也許是因為台灣的考試制度造就了學生現在對於學習數學的負面看法，學生學習數學是為了應付升學考試或家長期待等；也可能在求學過程當中升學競爭的壓力逐漸提高，進而對數學感到排斥，學習的過程偏向學生單方向的接受聽講與反覆的精熟練習，進而認為學習數學是沒有價值的。如何讓學生喜歡學習數學並認為學習數學是有用的，儼然成為台灣數學教師與教育研究者必須思考的一個課題。為此，林福來 (2014)提出的「就是要學好數學－JUST DO MATH」計畫中，其目的就是 1.

(8) 為了要改善台灣學生對於數學學習的低情意現況。在「就是要學好數學－JUST DO MATH」計畫中，由林福來帶領設計一系列的「奠基活動」扮演了很重要的角色。奠基活動的設計目的是為了提供學生在進入正式課堂學數學前能更具備有感且具體的學習基礎，並透過有趣的活動設計希望學生能夠對數學學習更有興趣及信心。據此，該計畫針對小學中年級、高年級和國中生，設計了許多富有趣味性和思考性的操作活動或是遊戲（奠基活動），並培訓奠基活動活動師來舉辦好好玩數學營。Lin,Wang 和 Yang(2018)研究已顯示，參與該營隊的學生大都認為奠基活動是有趣好玩的，且願意嘗試挑戰更困難的數學活動或遊戲，進而表示在進行活動的過程中感受到原來數學不是枯燥乏味。目前奠基活動大多都是以舉辦數學營的方式在進行，數學營的舉辦時間都在假日或寒暑假期間進行，不受限於正式課堂的時間，更能夠讓學生有充分的時間進行奠基活動。不過利用課餘的時間進行奠基活動確實有其限制，一方面是學生必須犧牲課餘的時間參與，另一方面是一場活動參與的人數也有所限制的，因此愈來愈多的教師在經歷過奠基活動的培訓以後，表示希望將奠基活動融入正式課堂中。為了希望讓更多學生能投入學習數學的過程，因應這樣的聲音與想法，師大數學教育中心提出一個新的計畫－奠基進教室，意為將奠基活動修改後融入正式課堂中，並且將活動保留奠基的精神（奠基進教室,林福來,民 106)。奠基進教室的概念並非將奠基活動直接移到課堂中使用，而是奠基活動需要經過老師或活動設計師的轉化，再運用於課堂中讓更多學生更能參與活動，例如：將奠基活動遊戲規則設計做改變，以便在平日課堂亦能使用，同時也能更緊密的連結當下的課程，於是，這就是為何將奠基活動轉變成奠基進教室的原因. 2.

(9) 第二節. 幾何概念的奠基活動. 幾何學在各大領域的應用與貢獻更是不勝枚舉，例如建築學房子、橋梁結構，彈道學中軌道，以及天文學的測量（吳志揚、陳文豪, 民 93）。理所當然，幾何是數學課程中必要的內容，幾何不但可以幫助人們能利用有條理的方式，表達或描述生活的世界（NCTM，1989，2000）。具有幾何相關經驗能幫助讓學生去表徵他們自己世界，協助算數的理解，幾何也可以提升問題解決的能力（Shaugnessy & Burger, 1985），因此幾何在教育的地位是不容質疑的。在台灣現行的九年一貫課程綱要數學領鋼中「圖形與空間」佔有很重要的地位，其中「平面圖形」的教材在「圖形與空間」的部分也佔有很大的份量，就連 TIMSS 測驗中「幾何測量主題」也單獨出來成一個主題單元進行測驗。不過，在林碧珍(2011，2012，2015)研究 TIMSS 2007 與 TIMSS 2011 中發現台灣國小四年級學生在幾何測量圖形主題與其他測量主題相較整體排名都落後一名，而在 TIMSS 2015 在幾何測量主題有顯著的進步，但相較於數量的主題卻落後一名，與資料呈現主題並列同名在第五名。目前排前五名的國家(新加坡、香港、台灣、日本、韓國)在 2011 至 2015 分數成績都提高，在上述亞洲國家台灣依據排在最後，此顯示了台灣國小學生在幾何測量主題上的學生學習幾何雖有進步，但也相較其他測量主題學生學習幾何上更為困難。研究者希望用奠基活動加以改善學生在學習幾何上的困難，奠基活動的目的為幫助學生學習數學概念，三角形分類奠基活動能幫助學生學習對學習平面幾何概念奠定基礎。目前有許多教師和研究者參與設計不同數學內容的奠基活動與奠基進教室活動，其中有許多包含平面幾何圖形分類概念的奠基模組。例如：三角形 72 變、四邊形 36 變(阮正誼，民 104)、長得像的圖形-三角形分類（侯雪卿，民 105）。在三角形 72 變的奠基活動中主要透過大量操作活動來學習三角形的分 3.

(10) 類，主要強調三角形的邊長關係，利用扣條尺讓學生發現在組合三角形的過程中，兩邊長度關係會影響到夾角的角度，進而學生組出不同種類的三角形，最後再由遊戲加強學生們的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的特性，缺乏了對於三角形進行有效性分類的需求感，而是經由教師提問與討論引導學生分類，而不是學生主動進行三角型分類；長得像的圖形-三角形分類利用學生已知的鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形讓學生去做分類，分類完學生發現每一種類的三角形中都是伸縮放大倍率的關係，其活動主要目的為利用三角型分類概念鋪墊相似形的基礎概念。在三角形 72 變奠基活動中學生透過大量操作來再製三角形並且藉由老師的提問引導進行分類，不過學生對於活動要求的分類需求感不夠強大，希望能夠驅使學生能主動地對三角形進行分類，為此研究者以製造學生對於三角形分類的需求感為起點，研發出三角形發展分類、應用分類、命名分類等概念的奠基活動。. 第三節. 研究動機. 為改善國小學生學習幾何主題上的困難，教師可以運用真實情境、教具、圖像、語言與符號等等表徵之間的轉換(Lesh,1987)，讓學生能夠用眼睛觀察圖形、用手操作圖形，來幫助學生對於幾何抽象概念的學習。Van Hiele 將學生幾何概念的發展分成五個層次，分別為視覺化層次（Visualization）、分析層次（Analysis）、非形式演繹（Informal Deduction）、形式演繹（Formal Deduction）、嚴密（Rigor）。在台灣國小二年級學生多數都能達到視覺化的層次，中年級階段得學生預期能夠達到分析層次，不過大多數的台灣中年級學生，甚至是高年級學生都還是停留在視覺化的層次(薛建成，2003)，此現象顯示台灣國小學生在學習幾何內容 4.

(11) 上有困難，教師該如何引導學生的幾何思考往更高層次邁進，儼然成為國小教師一個十分重要的課題。基於台灣國小學生近年在 TIMSS 的表現顯示對於幾何主題的學習有困難，再加上學生對於數學學習的態度以及信心低落，研究者思考若能夠結合林福來所提出的奠基活動的精神，設計一套發展學生幾何思考的奠基活動並且在正式課堂中使用，利用遊戲來深化與練習的作用，來鋪墊學生未來學習幾何的基礎，期望在整個活動過程不但能提升學生學習動機、樂於學習，又能夠提升學生的認知與情意。台灣現行的九年一貫數學課程中，一二年級課程包含藉由外觀、辨認、描繪與分類簡單幾何圖形，認識物體的角、直線和平面，三年級課程包含角度、正方形、幾何形體之操作，四年級課程包含垂直與平行和三角形（教育部，2008）。本研究選定設計國小中年級三角形奠基活動，主要有兩個原因，一是因為國小中年級學生在幾何思考層次中預期即將進入分析層次，少部分學生預期能夠進入非形式演繹層次(薛建成，2003)；二是因為在國民中小學課程標準可知，國小三四年級階段幾何圖形的學習具有極重要的份量，國小三四年級所學的幾何圖形概念對日後高年級及中學階段的幾何學習有很大的影響（吳德邦，1999）。四年級三角形單元比較著重於圖形上的數學特徵，因此為了能夠奠定學生的幾何概念，和希望能提升學生的幾何思考層次，另外希望設計能包含 Visualization、Analysis、Informal Deduction 三個層次的三角形分類奠基活動。綜合上述理由，要如何設計出一個數學奠基活動給國小四年級學生並且發展學生三角形概念，是本研究想進行探討的，期盼能夠奠定學生的幾何概念並且解決學習幾何上的困難。再者，希望藉由本研究提供教師一些設計奠基活動的原則，爾後給對未來想設計數學奠基活動的數學教師們或教育研究者一些參考。. 5.

(12) 第四節. 研究目的與問題. 基於上述的研究動機，本研究目的是設計一套的三角形分類奠基活動，來提升國小學生學習三角形的概念理解以及何思考的層次，並且透過三角形分類奠基活動來檢測學生對於數學學習的情意。. 希望達成上述的研究目的，本研究所提出的問題如下： 1.. 如何設計三角形分類奠基活動？. 2.. 學生參與三角形分類奠基活動後，認知與情意面向表現為何？. 3.. 三角形分類奠基活動是否能提升學生對於三角形幾何思考的層次？. 第五節. 名詞解釋. 本研究題目為「設計國小四年級三角形分類奠基活動」，故本研究中所使用的名詞分別說明如下：. 一、奠基活動「奠基」是在學生學習前，先讓學生經由活潑有趣的數學活動，激發學生對數學的興趣，可引起學生的數學學習動機，奠基名詞中的「奠」指的是奠定，「基」指的是數學的概念的根基，因此奠基顧名思義就是奠定學生的數學根基。奠基活動是在學習課堂單元前所進行的遊戲，奠基活動與遊戲不同的點是，遊戲是透過規則衍生勝利的遊戲策略，藉由策略而創造許多不同的趣味性，讓玩家能一直玩下去；然而奠基活動則是活動規則下衍生遊戲策略，但這些策略背後的是學生需要發展的數學概念，若學生能發展出此數學概念，則學生就沒必要繼續玩下去了，總而言之，奠基活動主要就是透過學生的思維來發 6.

(13) 展概念。. 二、海龜湯情境猜謎（Situation puzzle），又翻譯為情境推理遊戲，在亞洲地區稱作「海龜湯」，又另稱”是／不是遊戲”，是一種猜測情境事件真相的益智遊戲，其玩法是由出題者提出一個難以理解的事件，參與者可以提出任何問題以試圖縮小範圍並找出事件背後真相的原因，但是出題者僅能以「是（對）」或「不是（不對）」來回答問題。研究者依據此遊戲規則來設計本研究的三角形分類奠基活動，又稱三角形海龜湯。. 7.

(14) 第二章文獻探討本研究目的在於設計一系列三角形分類奠基活動，以提升國小學生三角形的概念理解以及幾何思考層次，因此，為了達成此目的我們須了解有關活動設計架構的相關文獻，以利於我們設計出合適的奠基活動。由於奠基活動在正式課堂前所實施，以便在正式課堂學習更有感，因此我們還需要了解國小階段三角形概念理解相關的教學活動，探討學生在學習三角形概念時會出現的迷思概念，希望本研究設計出的三角形分類奠基活動能幫助學生的三角形概念理解。本章將分成兩大節，第一節為活動設計的架構，第二節為學生對於三角形概念理解相關的教學活動。. 第一節活動設計架構教學設計此概念由 Ruthven et al 所提出來的，將教學設計架構分成三個層次，最底層為主要的學習理論(grand theories)，最上層為教學設計工具(design tools)，而中層為中介架構(intermediate theoretical framework)。由此教學設計整個架構的設計過程是由下而上發展，最先由底層的理論基礎出發，學習理論為整個教學設計的核心，然而在不同教學過程或是教學脈絡下，學習理論需要符合務實面的需求進行轉化，所以要直接運用理論進行工具設計是極其困難的。為了要設計整個教學活動並且達到我們預期的目的，我們必須設計出教學工具來輔助以達成我們的目標，這時中層的中介架構則就扮演非常重要的角色，中介架構是由下層的學習理論衍生而來的，當作學習理論與設計工具之間的橋樑。在三個層次相互連結，在設計教學活動過程時彼此相互影響，最後才能設計一套完整的活動。Lin, Yang, Lee, Tabach, and Stylianides (2011)利用此設計架構落實在教師專業成長工作坊，希望能夠提升數學老師對於設計數學臆測活動 8.

(15) 的能力，依 Ruthven et al.(2009)所提教學設計法，我們接續找尋適當研發三角形分類概念之奠基活動的學習理論、中介架構以及設計工具為何。. 設計工具中介架構學習理論圖二-1 Ruthven 教學活動設計架構圖. 一、. 學習理論：Mr,Miss Mechanism、Dvaul 幾何學習理論. (一)、 Mr,Miss Mechanism Lin、Yang 和 Tso (in submission)由奠基活動的理念出發，發展出一套學習理論－Mr,Miss Mechanism。Mr,Miss 的命名是由理論中機制運作的要素之字首拼組而成的，機制中的要素分別為：Metaphor（隱喻）、representation（表徵）、 Mathematical sense（數學感）、insufficiency（缺乏感）、structure（結構）、 system（系統）。不過要能清楚說明機制的運作，仍需要介紹以下六個基本元素. 1. Target domain（目標域）目標域指的是我們希望學習者學習的抽象數學概念，例如方程式之概念。. 2. Source domain（來源域）來源域為目標域之來源，與目標域具備互相對應的關係。來源域作為活動的情境，此時須考慮學習者有關的歷史背景與社會脈絡，例如將天平當作方程式概念的來源。. 3. Metaphorical ground（隱喻基礎） 9.

(16) 隱喻基礎被當作目標數學物件。創造目標域與對應的來源域並將其視為隱喻. 處來發展概念性的隱喻。概念性隱喻是以具體物體來理解抽. 象概念的認知歷程，譬如方程式當作天平。. 4. Connection（連結）將學習者的舊經驗連結至來源域，這樣才更有可能產生認知與工具的內在連結，譬如在方程式中，相等概念與天平之間的內在連結。. 5. Co-construction（共建）共建就是共同建構。共建又有分成兩部分，第一部分為學習者與進行中的活動共建，另一部分則是學習者與同儕討論時共建。學習者在與進行中的活動之間結構性連結可以在一個系統性歷程透過共建來進行調整。. 6. Operative manipulation（操控操作）指的是學習者在實務操作與想像操控之間的協調，簡寫成操控操作。在操控操作的基礎下，使用表徵作為工具以及調整表徵作為工具。. 介紹完基本元素，以下將使用基礎元素來描述各項要素彼此的運作機制 1.. Mr：Metaphor (隱喻)和 representation (表徵) 把數學概念轉化成隱喻基礎並且當作數學隱喻的根基，數學會共同出現於學習者的來源域、目標域、以及與任務性和社會性情境互動的關係，這三個面向的反思抽象與隱喻推理。在學習者的歷史性、任務性和社會性情境中找出並發展隱含的概念性隱喻，有意義的表徵（例如圖案與數字）代表學習者和正在進行中的活動之間相互作用的思考或結構性連結。奠基活動旨在提供必要的和充分的根基，其根基出現在任務情境中，而此任務情境包含了學習者的舊經驗連結的來源域和目標域。 10.

(17) 2.. Miss：Mathematical sense (數學感)、insufficiency(缺乏感)、structure (結構)與 system(系統) 奠基活動旨在促進學習者對抽象化的需求，其方式是藉由學習者在行物理性操作與想像操控、與同儕相互討論並且使用工具（例如文字、圖像、數字、表格）的過程中對任務情境內的結構感到缺乏，接者在系統性的歷程中共建潛在的結構。在具象物理性操作的鷹架並且進行調整操作的動作(例如用教具製作矩形)、想像操控（例如想像矩形及其相應的數字）以及圖像、動作以及符號表徵紀錄之間的協調，三方有幫助於學習者關於目標域的數學感並維持正在進行的結構性連結。. 3.. intrinsic (內在)與 regulation (調整) 綜合上述的機制，Mr,Miss Mechanism 的中間核心是學習者主動學習的機制，亦是奠基活動的核心，作為發展概念隱喻的驅動力。把奠基活動的任務情境遊戲化，以增加學習者的內在動機連結身心與工具，促進系統性歷程，其中學習者與進行中的活動之前的結構性連結更有可能來自反思抽象來調整結構。結構性連結的調整反應了學習者的自我歷史性、社會之間和任務之間情境。為此，將內在連結與自我間調整作為兩種動機的機制。. 上述所提到的是奠基活動的 Mr,Miss Mechanism 學習理論，本研究在設計三角形分類奠基活動，是有關幾何方面的數學概念，因此研究者探討學生幾何學習的理論。. 11.

(18) M. Target domain. Source domain. Mathematical sense. insufficiency. Metaphor. M Metaphorical ground. Intrinsic Regulative. r. Connection. s structure. representation Operative manipulation. i. system. s. Coconstruction. 圖二-2Mr,Miss Mechanism 架構關係圖. (二)、 Duval 幾何學習理論上述所提到的是奠基活動的 Mr,Miss Mechanism 學習理論，本研究在設計三角形分類奠基活動，是有關幾何方面的數學概念，因此研究者探討 Duval 幾何學習的理論。幾何圖形在幾何問題的情境當中，對於情境內圖形物件的關係能提供學生強烈且直覺的幾何想法，但在這直覺的想法通常無法幫助學生對於幾何問題的了解以及解決的方法，使得學生陷入盲目觀察幾何圖形的窘境。為了獲得一些關鍵性的啟發，Duval 將學生對於幾何圖形的認知分成四種認知理解：知覺性理解(perceptual apprehension)、作圖性理解(Sequential apprehension)、論述性理解(Discursive apprehension)、操弄性理解(Operative apprehension)以下分述之。 1.. 知覺性理解(perceptual apprehension) 知覺性理解指的是學生透過視覺、觸覺等其他感官對一個幾何圖形直接體驗與辨識，並且認知到圖形的組織原則與繪圖線索，並且將這些資訊組織後隨之產生心像的一種認知理解。被查覺到的圖形與視覺上的圖形有不同，差別在於圖形組織的原則與繪圖的線索。除了知覺性 12.

(19) 理解對完形的辨識，也可以辨識出幾何圖形上子圖形，例如長方形被對角線分割成兩個直角三角形。 2.. 構圖性理解(Sequential apprehension) 構圖性理解是學生構造出一種圖形或是描述其圖形的結構來認知圖形，個體對於圖形的基本結構不再是倚靠視覺上的認知理解，而是利用數學性質與構圖工具的限制來認知圖形，若學生不瞭解數學性質與構圖工具的限制，便無法完成目標圖形，使得圖形無法被瞭解。. 3.. 操弄性理解(Operative apprehension) 操作性理解是指學生轉換心像或實體圖像的一種認知理解，其中包含三種轉化形體的方法：分解組合(The mereologic way)、平移旋轉 (The place way)、光學變換(The optic way)，以下分別說明之。 (1) 分解組合(The mereologic way)：指的是將一個圖形分割成好幾個部分子圖形或是將好幾個部分圖形組合成另一個圖形。 (2) 平移旋轉 (The place way)：改變圖形的方向或位置 (3) 光學變換(The optic way)：指將圖形放大、縮小、鏡射或是從不同視角觀察圖形. 4.. 論述性理解(Discursive apprehension) 論述性理解是學生利用語言或文字來陳述一個幾何圖形所具備的的性質以及推理活動的認知理解。同一種圖形可能對不同學生會有不同的見解，因為每個人所見的脈絡或是了解的數學性質都不進相同，對於圖形只能說明學生對於該圖形的了解程度，因此對沒有任何說明的圖形是一種模糊的的表徵。. 論述性理解包含了學生對於圖形的命名、定義以及推論的活動。例如學生會如何說明鈍角三角形、銳角三角形與直角三角形…等不同的三角形，以及學生對於圖形的歸類與分類、學生應用不同圖形的數學性質進行推論活動，都是 13.

(20) 顯現出學生對於圖形的論述性理解。以上四種關於圖形的認知理解，Duval 認為圖形要發揮功能，必須觸發學生的知覺性理解，並且搭配其他三種認知理解中至少一種的認知理解。而在學習幾何圖形幾何知識來說，Duval(1998)則認為有三種認知過程，視覺化、構圖、推理，分述如下： 1.. 視覺化(visualization) 對於平面或是立體圖形表徵的認知，可能只是單純表象圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可以是根據文字敘述所進行圖形的再製。(吳邦德,2003). 2.. 構圖(construct) 使用作圖工具(尺、扣條尺、圓規、電腦軟體等)進行圖形再製的過程。此過程有助於學生發現圖形中的幾何意義。. 3.. 推理(reasoning) 進行論說的過程，例如：說明、證明等。. 以上三種認知過程，Duval(1998)主張應獨立發展；在教學上應區分不同視覺過程以及推理過程；三種認知過程的整合只有在各自獨立活動趨於成熟才有可能發生。本研究以 Duval 對於幾何圖形的四種認知理解以及三種認知過程，探究學生在三角形分類對於圖形是基於那些認知理解，以及學生的幾何認知過程在奠基活動中是如何進行的，並且把這些要素融入進三角形分類奠基活動設計中。. 14.

(21) 二、. 中介架構：數學遊戲以及奠基活動設計原則. (一)、數學遊戲與數學桌遊特性近期來有大量的相關研究有關於學生經由玩遊戲來學習並且觀察學習的影響為何，這些遊戲包含了影像遊戲、電腦遊戲或是以遊戲為基礎的快問快答 (Afari, Aldridge & Fraser, 2012)，但這些研究都是電子產品的遊戲，不過在台灣國小階段上課時段還是主要以課本的活動來進行教學，像是卡牌、骰子諸如此類的教學工具比較多國小老師來使用，並且應用這教具來設計一些遊戲讓學生透過競爭、合作來發展學童的數學概念(Bragg, 2003)。Lim-Teo(1991)將遊戲的類型分成六類：1.用來操作練習 2.用來加強概念 3.形成概念架構 4.引起數學研究 5.應用數學知識 6.純粹好玩。本研究的遊戲為發展學童三角形分類概念的奠基遊戲。對於數學遊戲的定義各個學者都有不同的定義與詮釋的方法，其中在過去三十年數學教育研究中 Harvey & Bright 對於遊戲的定應有三個特性：1.遊戲應該包含富有討戰性競爭對手或是任務 2.遊戲有訂定特定的規則 3.遊戲應很輕鬆且容易的參與。但是數學遊戲不光光只是完成任務，在這接任務中或是競賽中需要有特定的認知目標，隨後數學教育的學者 Oldfield’s(1991)將遊戲的定義額外補充兩點：1.遊戲有一個特定的終點 2.並且包含特定的數學認知目標。上述對於數學遊戲的定義對大部分的遊戲都能解釋得通，但是在遊戲的過程中還有一些重要的特點必須包含到，在遊戲過程中同儕的討論是極為重要的，學童透過討論不僅會增進思考並且得到立即的反饋，這對建構學童自己的知識結構是很有幫助的，特別是在沒有教師的介入的情況下(Booker,1996)。特透同儕討論能增進學童的社會參與的能力，所以也有學者(Gough,1993)強調小組遊戲的特點是遊戲必須超過一人，要有其他學童能參與討論或競爭，儘管遊戲有運氣的成分，每個玩家的行為都相互影響整個遊戲的結果，重要的是學童 15.

(22) 們在遊戲的互動討論的行為。綜合以上的學者的定義，Bragg(2012)認為教育上的數學遊戲有 7 個標準 1.遊戲應含有特定的數學認知目標 2.遊戲是有趣且容易投入的 3.遊戲有一系列的規則 4.遊戲應包含一位或多位能夠挑戰的競爭者 5.玩家每回合的行動都會影響後續對手的行動 6.遊戲須包含遊戲策略或是技巧，但結果有可能會因為一些運氣所影響 7.遊戲含有特別的終點在本研究的三角形分類奠基活動都有達到 Bragg 定義的 7 項標準，至於三角形分類奠基活動的詳細內容會在往後的章節進行深入的介紹。然而我們要思考為什麼人們喜歡玩遊戲或桌遊的原因，以及吸引人的桌遊有哪些特性，這些特性在設計奠基活動時能夠參考的，並且將奠基活動結合這些桌遊特性。知名的桌上遊戲設計師 Kramer (2015)認為，設計一個好的遊戲，需要有以下 15 點特性： 1.. 有原創性 (Originality). 2.. 有新鮮感且耐玩 (Freshness and replayability). 3.. 有驚喜感且隨機 (Surprise). 4.. 起始狀態公平 (Equal opportunity). 5.. 獲勝的機會一直存在 (Winning chances). 6.. 不能獲勝卻能決定贏家的情況不應存在 (No "kingmaker effect"). 7.. 不應太早淘汰 (No early elimination). 8.. 合理的等待時間 (Reasonable waiting times). 9.. 有富創意的掌控權 (Creative control) 16.

(23) 10. 整體包裝有一致性 (Uniformity) 11. 高品質的物件 (Quality of components) 12. 目標群體和規則的一致性 (Target groups and consistency of rules) 13. 有些微起伏的高張力 (Tension) 14. 易於學習與精通 (Learning and mastering a game) 15. 玩家影響力應大於規則複雜度 (Complexity and influence) 整理以上的 15 個特性，市面上的桌遊最終目的在於如何賺錢，為了要在市場上熱銷，就一定要深受玩家喜愛，玩家喜愛的原因不外乎是勝利的滋味、緊張且不確定的結果、感到有趣等等這些都是玩家被遊戲吸引的原因。. (二)、奠基活動設計原則數學奠基活動與一般數學遊戲或桌遊有些微的差異，奠基活動主要強調就是在進行奠基無需有豐富的先備知識就可以進行遊玩，透過活動的規則引動學生的數學思考，在遊玩的過程中漸漸發展出數學概念，直到學會該奠基活動的數學概念即可不用繼續遊玩。一般的數學遊戲大多都是需要一定的數學知識才能參與遊玩，不然就是透過剛學會的學概念進行數學遊戲來多家練習、強化數學概念。兩種數學遊戲其各自的目的不相同．則設計的原則與理念會有所差異，意即奠基活動並非精熟數學概念的遊戲而是發展數學概念的遊戲。數學奠基進教室的教學設計是基於現場教學的需求，將原先使用於課外營隊的模組活動加以轉化用於實際課堂中(國立臺灣師範大學數學教育中心[師大數學教育中心])，其設計有五個原則(師大教育中心，2018），分別如下： 1.. 引動思考：目標為：保障內在動機並主動學習。. 17.

(24) 在動手做、玩遊戲、解決任務的時候，要設計激發（引動）學生將具體操作轉換成內在思考的脈絡。 2.. 營造數學感：目標為：促進有感地學習，達成了解。透過具象化（embodiment）、可體現（realization）、探究（inquiry）活動，以促進學生將知覺性操作轉化成概念性與程序性運思。. 3.. 共建數學：目標為：促進討論，達成共建數學。活動能提供學生發展表達思維的語言與媒介（例如：圖像、表格、字詞等），以達成師生共建數學的目的。. 4.. 診斷介入：目標為：診斷概念，促進思考。活動設計及教學當下要能提供媒介或平台促成學生釐清並推進思維，以達成數學課程的學習目標。. 5.. 單元設計滲透：目標為：融單元教學於奠基脈絡中。奠基活動的精神（原則 1、2、3）在整個單元的教學與學習設計各面向都能充分體現。數學奠基活動與一般數學遊戲或桌遊有些微的差異，奠基活動主要強. 調就是在進行奠基無需有豐富的先備知識就可以進行遊玩，透過活動的規則引動學生的數學思考，在遊玩的過程中漸漸發展出數學概念。直到學會該奠基活動的數學概念即可不用重複遊玩，不過一般遊戲或桌遊注重耐玩性，可以一直重複的玩，且遊戲結果都會不同（特性 2），反觀奠基活動則是注重學生在奠基活動後有所學習與了解，若學生已經形成了該奠基活動的數學概念或程序性思考，就不必一直重複玩（原則二）。一般的數學遊 18.

(25) 戲大多都是需要一定的數學知識才能參與遊玩，不然就是透過剛學會的學概念進行數學遊戲來多加練習、強化數學概念。兩種遊戲其各自的目的不相同．則設計的原則與理念會有所差異，意即奠基活動並非精熟數學概念的遊戲而是發展數學概念的遊戲。 Kramer (2015)所提出的特性與奠基活動設計精神被非相互牴觸的，在桌遊的特性還是有很多值得我們在設計奠基活動來參考。例如：有驚喜感且隨機、合理的等待時間等等。在桌遊設計與奠基活動的設計上，可見奠基活動在學生學習數學的核心概念上，確實有其不可取代性。因此研究者將以奠基活動設計原則中前三個原則來作為設計三角形分類奠基活動的中介架構。在教學設計架構中的中介架構的原則底下都會有學習理論的支持。因此我們來看中介設計架構(奠基活動與奠基進教室活動的設計原則)與學習理論（Mr,Miss Mechanism）的關係。第一點，奠基活動原則一（引動思考）：保障內在動機並主動學習。藉由在奠基活動的任務情境引出學生的內在動機，並且在遊戲規則下讓學生經過反思抽象與自我調適進行主動學習，此點與 Mr,Miss Mechanism 中的第三個機制：內在與調整是互相呼應的。第二點，奠基活動原則二（營造數學感）：促進有感地學習，達成了解。內容提到透過具象化、可體現、探究活動，以促進學生將知覺性操作轉化成概念性與程序性運思。Mr,Miss Mechanism 中第二個機制提學習者在發展自身相關的目標域的數學感依賴於，具象物理性操作的鷹架並且進行調整操作的動作(例如用教具製作矩形)、想像操控（例如想像矩形及其相應的數字）以及圖像、動作以及符號表徵紀錄之間的協調。由此可知奠基設計原則二與 Mr,Miss Mechanism 中第二個機制 Miss：Mathematical sense (數學感)、insufficiency(缺乏感)、structure (結構)與 system(系統)。第三點，奠基活動原則三（共建數學）：共建數學，活動能提供學生發展表達思維的語言與媒介（例如：圖像、表格、字詞等），連結到 Mr,Miss Mechanism 中 19.

(26) 第二個機制提到奠基活動會藉由學習者在進行物理性操作與想像操控、與同儕相互討論並且使用工具（例如文字、圖像、數字、表格）的過程中對任務情境內的結構感到缺乏，接者在系統性的歷程中共建潛在的結構，因此奠基設計原則第三點同樣與 Mr,Miss Mechanism 中第二個機制相互連結。. 三、. 設計工具：隱喻、RBC 理論、學生幾何發展理論設計奠基活動的前後測、學習單或其他教育當作我們的工具，除此之. 外我們能將設計完成的三角形分類奠基活動視為檢測學生對於幾何思考層次的工具，因此在設計奠基活動以及其搭配的前後測背後有其設計的理由，接者我們探討在設計工具背後的理論依據。. (一)、隱喻前述所提到的 Mr,Miss Mechanism 中的隱喻，在奠基活動設計當中很重要的精神，整個奠基活動都圍繞著隱喻概念使學生發展概念，為此隱喻當作在設計奠基活動的工具之一，由此可知不只是中介架構與設計工具有密切的關係，在學習理論和設計工具之間也存在連結關係。在三角形分類奠基活動的隱喻概念就是如何對三角形進行有效的分類，為此在設計本研究的奠基活動的工具亦為如何讓學生在任務情境中進行三角形的分類。. (二)、 RBC+C 架構在設計奠基活動時需要考慮學生的在活動中的思考歷程，藉由遊戲的方式進行物理的操作的過程中，學生是如何將概念抽象化至腦中，在活動與活動的安排上研究者參考了 Tommy Dreyfus、Rina Hershkowitz 與 Baruch Schwarz (2001)所提出 Abstraction in Context(Aic)理論架構，其架構指的是學生在數學課程建構抽象數學知識的過程，此過程包含了三個可觀察的認知行為分別為：識別(Recognizing)、建立(Building-with)、建構 (Constructing)，將這三個認知行為建立成一個認知模型(RBC- model)。識 20.

(27) 別(Recognizing)指的是學習者看到某一個新的事物會跟自身的先備知識所做連結；建立(Building-with)指的運用先前具有的認知結構去實現策略或是解決問題；建構(Constructing)意指將先前的建立的認知結構做結合與整合再建構出新的認知結構，而在脈絡中建構新的認知結構並非完全正確的，甚至學習者可能還沒意識到他自己新的認知結構。此 RBC-模型明確指出，RBC 三種行為如何在整個脈絡下受到影響以及在抽象的過程中是如何交互作用與結合的，由建構行為後所生成的認知結構有可能是不穩的，學習者要靈活運用此新結構是不容易的，若要學習者要能夠靈活運用新的認知結構還需要經歷過鞏固(Consolidation)的行為。鞏固是一個永無止境的過程，在過程中學生能夠了解自己的結構，使用該認知結構能夠更加直接更加自然，使學生利用該認知結構的信心增強，並且展現出更多的靈活性。基於 RBC 模型的相關研究已經將”鞏固”視為一種獨立的建構過程(Dreyfus, & Tsamir, 2004; Monaghan, & Ozmantar, 2004, in press; Tabach, & Hershkowitz, 2002; Tabach, Hershkowitz, & Schwarz, 2006)， Tommy Dreyfus 發現認知行為是有一個特定方式交織在一起的，此構造可能同時進行或是衍伸出其他分支，抑或是結合再一起等等，其他種方式交互作用的，並且在往後的一系列活動中，學習者可能會強化他原有的結構抑或是產生新的結構。. 圖二-3 RBC+C 架構圖研究者依據 RBC+C 的架構去設計一系列的三角形分類奠基活動，因為奠基活動是涵蓋學習內容較小的且多項表徵的交叉使用，然而布魯納所 21.

(28) 提出的三種學習理論，包含動作表徵、形象表徵、符號表徵，這些學習所涵蓋的層面較廣，為此才利用 RBC+C 的理論架構來進行設計。分別是辨識任務、發展分類活動、應用分類活動以及命名分類活動。學生在經歷這些活動的過程中會將由先前活動建立的概念進而去對接下來的活動進行概念建構，甚至在進行中的任務去鞏固先前活動所新建構的概念。以本研究來說，學生在應用分類活動過程中，學生已經有先前的辨識活動與發展分類活動所建構的概念，並且與之作連結，甚至學生會修正、會強化先前活動中所建構的分類概念。由此可知學生在進行三角形分類奠基活動時腦中不斷重複 RBC+C 的動作，對三角形分分類有更好的分類系統，以便提升學生對於幾何的思考層次。. (三)、幾何概念發展相關理論本研究為設計三角分類奠基活動，因此幾何圖形概念的理論基礎顯得格外重要，故本研究以 van Hiele 的幾何思考層次理論(Thought level of geometry)，作為設計三角形分類奠基活動以及設計三角形分類認知前後測的依據。. 1.. van Hiele 幾何思考層次理論 (Thought level of geometry) 荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦，根據完形心理學（Gestalt. psychology）的結構論以及皮亞傑（J.Piaget）的認知發展論，所提出的幾何思考層次論（Hoffer,1983；Moline,1990）。本研究採用 van Hiele（1986）對幾何思考層次的說法，作為設計三角形分類奠基活動的活動安排順序。層次一為視覺層次（Visualization）、層次二為分析層次（Analysis）、層次三為非型式演繹（Informal Deduction）、層次四為型式演繹（Formal Deduction）、層次五為嚴密性（Rigor）。這五個層次為為循序漸進的，無法跳過某一個層次而近到下一 22.

(29) 個層次的，必須經過老師引導或是學生討論，方可以依序發展到較高的層次。以下分別介紹各層次的內容與表現。 (1) 層次一：視覺層次（Visualization）在此層次的學生的幾何概念只以看到物體本本身而不了解物體本身的屬性。例如：學生看到書本的形狀會認為是長方形、看到「□」為正方形，但是若看到「◇」就會認為不是正方形。此階段的學生的幾何思考受到視覺外觀上的影響很大，雖然可以用旋轉、剪貼的方式來辨別圖形間的異同之處，抑或是用非數學的語言加以說明各種圖形，但兒童還是無法了解這些圖形真正的屬性和定義。 (2) 層次二：分析層次（Analysis）學生進到此層次之前，已透過層次一的大量且豐富的視覺經驗並且具有辨識圖形特徵的能力，更可以根據視覺所觀察到的結果，來進一步分析圖形的基本要素以及圖形之間的關係，因此學生看到鈍角三角形能知道有兩個銳角以及一個鈍角；銳角三角形知道有三個銳角，不過他們還不能運用推理來理解圖形特徵之間的關係，例如：三個銳角可能構成一個銳角三角形，三個鈍角不可能夠成一個鈍角三角形，此層次的學生無法經由推理而知其道理。 (3) 層次三：非型式演繹層次（Informal Deduction）此層次的學生能充分的了解各種圖形的構成元素，並且能夠自己探索各種幾何圖形的內在屬性以及圖形與圖形之間的包含關係。以本研究來舉例三角形中分成鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，學生能夠知道三個銳角可能組成銳角三角形，但超過兩個鈍角或直角就無法構成三角形。學生能夠依據圖形的性質以及操作，進行非正式的推演，不過還是無法進行有系統的證明。 (4) 層次四：型式演繹層次（Formal Deduction）. 23.

(30) 學生可以進行抽象化的推理，以證明各式各樣的幾何問題及性質，並且了解定理的證明方法不只一種。例如學生能利用平行假設或是其它符合邏輯的方式證明出三角形內角和是 180 度。此外，學生能理解在解決幾何問題之前，所具備的必要條件以及充分條件，並使用邏輯推理的方法，來證明幾何性質。 (5) 層次五：嚴密性層次（Rigor）此層次屬於最高層次，達到此層次的學生能夠在不同公設體系中，能熟練該公設體系下的形式推理，並且能操作分析定理與定義的結果，也能比較與分析不同公設系統例如：非歐幾何與歐式幾何。本研究三角形分類奠基活動只探討學生在 Visualization、Analysis、 Informal Deduction 前三個層次。在整個活動設計的流程將會參考幾何思考層次順序進行活動的編排，並且前後測的設計也會檢驗學生的幾何思考層次，期盼在整個三角形分類奠基活動過程中能將學生的幾何思考層次往更高的層次發展。為了促使學生從一個層次到另一個層次的發展， van Hiele 也提出五個關連的學習層面，研究者將作為三角形分類奠基活動設計的元素。 (1) 層面一：詢問(inquiry/information) 教師透過觀察、提問與學生相互溝通，瞭解學生所使用的語詞，讓學生對於該主題的瞭解，並且接著進一步設立學生學習步驟。 (2) 層面二：導向(Directed Orientation) 教師在教學中最好有計畫的安排活動，使學生在活動當中引導認識學習方向。此階段為奠基活動中的遊戲規則，依據遊戲規則的限制引導學生的思考至所預期的方向。 (3) 層面三：詮釋(Explication). 24.

(31) 根據學生過往的經驗，在教師引導討論學習的主要內容。學生透過活動討論表達所觀察到的結構，此時教師應注意學生的慣用語詞，並且幫助學生能正確且適當的使用語詞 (4) 層面四：探索(Free Orientation) 此層面，學生面臨較為複雜的任務，為了要完成任務學生會運用不同方法來達成任務，並且從任務完成中獲取、累積經驗。在學生自我探索過程中，對所學的主題內容作更明確的關聯。 (5) 層面五：整合(Integration) 學生在此層面會討論自己的方法，並且形成大致的概念。教師須適時提供整理的概念知識，以促使學生對於學習內容內化為整體的基模。基於 van Hiele 所提出五個關連的學生學習層面，研究者在設計奠基活動的過程中，均有考慮到各個層面並且應用在整個三角形分類奠基活動當中。除了有學生提問以及探索、同儕互相的討論、教師適時的介入、引導學生的思考、學生整合概念，均在三角形分類奠基活動當中無時無刻的呈現出來。綜合上述所提到的文獻，整個設計法的架構最底層的學習理論應用了 Mr,Miss Mechanism、Duval 幾何學習理論；中介架構的內容為奠基進教室活動設計五原則、Bragg 數學遊戲 7 標準；設計工具的內容則是 Mr,Miss Mechanism 中的隱喻、RBC+C 架構、van Hiele 幾何思考層次 (表二-1)。設計的三角形分類奠基活動將會使用下表所提到的理論、中介架構與設計工具來使用。表二-1 三角形分類奠基活動的設計法設計法. 設計法內容. 學習理論. Mr,Miss Mechanism、Duval 幾何學習理論. 中介架構. 奠基進教室活動設計五原則、Bragg 數學遊戲 7 標準. 設計工具. 隱喻、RBC+C 架構、van Hiele 幾何思考層次. 25.

(32) 第二節三角形概念理解相關的教學活動在討論三角形概念的教學活動前，我們先要瞭解學生對於幾何圖形的認知模式，Duval 的幾何學習理論中提出學生對於幾何圖形有四種理解，分別是知覺性理解、作圖性理解、論述性理解、操弄性理解，為此考量學生對於幾何的理解，教師在設計三角形概念理解的教學活動將會圍繞在這四種理解，幫助學生對三角形圖形概念的理解。舉例來說，運用大量三角形的圖形表徵讓學生觀察以及學生親自手動操作扣條尺，這些方法都會融入在三角形概念的教學活動中。為此，有許多數學教育學者紛紛提出有關三角形概念理解的教學活動或是教學實驗。陳創義(2006)提出強化理路的分類教學，是對於分類對象形成界定以及分類準則並且做出適當的描述，讓學生可以理解其理路以及對各類別做出適當的命名或表徵活動。舉個例子來說，在三角形分類，對於平面三角形的三內角合為 180 度，因此若三角形有兩個銳角，而剩下第三個角度可能是銳角、鈍角或直角，依據此脈絡，三角形的命名將隨第三個角度而去命名。好的分類教學能解決學生對於圖形辨識上所出現的大部分問題，例如，與意問題，在生活語言中的意義混淆在數學語言中沒有清楚，因此透過分類時的命名區隔生活語言的含意與數學名詞之間的異同；透過分類範圍的界定以及分類準則中，強調圖形中所具有元素並分析其屬性以解決互斥思維與視覺的問題。陳創義(2006)由分類教學的教學實驗中發現有三個發現，第一點強化理路的數學分類概念教學，有助於概念的學習，第二點在國中實施強化理路的數學分類概念教學是可行的。第三、強化理路的數學分類概念在數學的後續發展極其重要。由此可知分類教學對學生學習數學概念極其重要，不過陳創義的分類教學實驗是用於國中四邊形分類單元，因此研究者想在國小階段設計三角形分類活動去奠定學生學習三角形概念的基礎，以便幫助學生對於三角形概念的理 26.

(33) 解，期盼學生在未來幾何單元上的學習有更好的基礎。林碧珍(2016)也提出另外一種有關於三角形概念的教學設計，主要以數學論證為教學目標以及四年級「認識各種三角形及其性質」為教學脈絡，設計數學臆測任務，來詮釋從官方到書面課程的轉化，此教學設計主要以發展學童的數學論證為例。利用數學臆測的教學方式以達成九年一貫課鋼索條列出的「認識三角型及其性質」的所有教學目標，此數學臆測教學中，學生在進行臆測的過程中會經歷五階段分別為，階段一造例、彙整及組織例子，階段二發現關係、提出猜想，階段三驗證猜想，階段四猜想一般化，階段五證明一般化。在進行三角形臆測活動第一階段時，學生須知道「以邊和角的關係，認識各種不同三角形」，例如等腰三角形可能是直角、銳角、鈍角三種情形，不等邊三角形有可能是銳角、直角、鈍角三種情形，此時學生就需要運用到有系統的分類與歸納三角形的概念，因此也凸顯了學習三角形分類概念對於三角形概念學習有重大的影響。兩位學者所提出對於三角形概念的教學雖然是不同教學方式切入，但都有點出學生對於三角形分類概念對於學習三角形概念理解有極大的幫助，本研究定位於學生在正式課堂學習三角形單元之前，設計一系列的三角形分類奠基活動，讓學生經歷過三角形分類奠基活動後，在進入正式課堂中能讓學生對於三角形單元內容更加有感，並且幫助學生對於三角形概念的理解。. 27.

(34) 第三章. 研究方法. 本研究分成兩個階段，每階段所使用的研究方法有所不同。第一階段主要使用設計為本的研究法來回答第一個研究問題，意即如何設計三角形分類奠基活動。第二階段則是以教學實驗來回答第二、三、四、五個研究問題，意即探討學生參與了奠基活動後的認知、情意的表現以及幾何思考層次的變化，採質與量兼併的方式來進行學生的認知與幾何思考層次的分析。因此第一節為設計為本的研究法，第二節為教學實驗，第三節為整個研究的流程。. 第一節. 設計為本研究法. 本節分三點進行探討，第一點本研究選定奠基活動進行設計的原因，第二點選定設計研究法的原因，第三點為本研究運用設計研究法的整個設計流程，最後第四點探討相關三角形單元的奠基活動並且分析其優點與缺點，進而加以創新出不同與已開發的奠基活動。. 一、. 選定奠基活動設計之原因. 在選定設計研究法之前，須說明研究者為何要選定設計奠基活動而不是設計一般的教學活動，也就是說，奠基活動在數學教育中有什麼重要的功能而值得研究者去設計。奠基活動在近年來才出現在數學教育界的名詞，其發展尚不長久，而且在國際學術界尚未廣為人知，但以遊戲式學習在教育上的功能，各家學者紛紛提出其觀點，奠基活動也視為另一種形式的數學遊戲，其概念被包含於遊戲式學習中，因此我們在思考奠基活動在教育上的重要的功能時，也可以將遊戲式學習的教育功能當作是奠基活動的功能。. 28.

(35) 我們可以從兩種觀點來探討奠基活動在教育上的功能，第一個觀點是從學生的角度切入，因為玩樂是小孩子的天性，藉由遊戲式的數學讓學生投入遊玩數學的情境中，這是一種很強大的內在動機。在教師設計的任務脈絡中，學生要思考如何完成遊戲中的任務，這時學習數學的主體在於學生自身上並且用活動引動學生的思考，主動的探索數學概念或思考遊戲策略來解決問題，此時學生將會知道所學習到的知識是有意義的，相較於傳統式的教學與大量的精熟練習題目，對學生更能引起興趣，並積極參與。學生能在參與奠基活動後，更能運用數學來解決日常生活問題，就能提升學生的數學素養。另一個角度為教師，教師在教授學生數學知識時要考慮教學順序的安排、概念與概念之間的銜接，除此之外更要思考以學生為主體的教學方式。對於教師來說，設計奠基活動能增進教學知能，也可以把奠基活動當作另外一種新的教學方法，面臨不同數學單元，教師所使用的教學方法有所不同，但其共同目的都是希望建立學生數學的概念。另一方面的教學知能，是教師在參與設計奠基活動時，其思考發生改變，讓教師了解以學生為主體在遊戲中自動自發學習的奠基活動，或許以往傳統講述式能帶給學生除了成績上的提升以外的好處。. 二、. 選定設計研究法之原因. 近年來設計為本的研究法在數學教育研究領域越來越普遍(e.g. Ruthven, Laborde, Leach and Tiberghien, 2009; Ke, 2014)。研究者以下說明各學者 (Collins,1992; Cobb,2001;Brophy,2002)以設計為本研究法所提出的五大特點與選定設計研究法之原因(Design-Based Research Collective,2003)； (一)、. 設計學習環境與發展學習理論的核心目標是相互交織的. 在設計奠基活動時除了有趣的包裝外還需要設定學習環境，例如將講述式的教學模式轉換成分組學習，或是等等其他教學模式。不過奠基活動在設計學 29.

(36) 習環境時，最終必須和奠基活動的精神相呼應。例如利用分組合作完成任務，使學生主動學習。奠基活動的 Mr,Miss 學習理論中的共建和操控操作的要素和設計學習環境相互關聯的，也就是說教師要設計學習環境能讓學生能操控操作與同儕相互共建，達到奠基活動的核心目標。這也說明了奠基活動的學習環境與發展理論的核心目標是彼此交織在一起的。. (二)、. 發展與執行研究的循環過程為：設計、實施、分析、再設計. 在設計奠基活動時一定會做調整與修改。第一版的奠基活動設計完成後，研究者會把第一版的奠基活動先給幾位學生實驗，並且記錄、分析學生的反應是否有達到原本預期的效果與目標，若出現預期之外的狀況，或是學生給的回饋意見，研究者還必須再調整第一版的活動，形成第二版的奠基活動。簡單來說，在設計奠基活動時會一直不斷設計、實施、分析、再設計的循環歷程，直到最後設計出一個好的奠基活動。. (三)、. 衍生的理論是能與其他人共享的。. 現今在臺灣師範大學數學教育中心的網站也許多奠基模組可供下載，可見奠基活動本身是可以分享的，將活動對象、活動內容、活動教具，以及活動時間詳細記錄，甚至將活動實施後所要注意的重點都記錄下來，其他想使用或設計奠基活動的教師都能加以參考，並且更能夠推廣奠基活動的精神。而可分享的奠基活動中所衍生的理論也都是能與其他人共享的。. (四)、. 研究必須說明如何在真實環境中的實行。不僅需記錄成功或失敗也要. 注重於互動間的過程，以便深化我們對於問題的理解與學習。. 奠基活動最主要目的是在課堂中引動學生主動思考，在真實的教學現環境中如何運作是十分重要的，甚至奠基進教室更是要融入在正式課堂中，在一般 30.

(37) 學校課堂中實行。奠基活動在教學環境中不論能否成功達到預期的效果，以學生為主體，注重記錄學生在活動中的學習歷程，因為奠基活動的精神是要學生提升學習數學的興趣，同時激發學生對於數學的好奇心並開始培養主動思考的能力。在說明奠基活動在教學環境中如何實行須扣回奠基的精神，深化我們對於問題的理解與學習。. (五)、. 解釋與發展設計需仰賴於紀錄設計的過程和感興趣的結果做相互連結. 的方法。. 在設計奠基活動時會研究者會針對他有興趣的結果，加以解釋與調整奠基活動的設計架構。例如學生在活動中的反應超乎預期的不好，則要回去調整設計，；若學生反應出乎意料的好，則我們就是感興趣的結果之一，也試著去分析那些原因可能帶出超乎預期的反應，當作未來調整與設計活動的參考。. 設計為本的研究法中的五大特點與設計奠基活動大致上是相符的，因此，為回答本研究問題之一如何設計三角形分類奠基活動，研究者選定以設計為本的研究法來當作設計奠基活動的研究方法。. 三、. 設計研究法的設計流程. 本研究採用設計研究法，翁穎哲與譚克平(2008)參考 Cobb(Cobb, 2001; Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer, & Schauble, 2003)、Bannan-Ritland(2003)、 Collins(Collins, Joseph, & Bielaczyc, 2004)等人的研究，將設計研究法的研究流程歸納成四個階段分別為：準備、執行、評鑑、推廣。以下分別詳述各階段的內容，準備階段指的是依據理論發展活動設計的原型；執行階段是將設計的原型實際適用在選定的教學場域中實施並且蒐集與分析資料；評鑑階段是依據執. 31.

(38) 行階段所蒐集的資料來評估並調整改善設計原型；推廣階段則是將設基出的最終成品推展至適用的教學場域。本研究將聚焦於準備、執行與評鑑此三個階段(圖三-1)。初步在準備階段參考 Ruthven et al.(2009)的設計架構來設計奠基活動，研究者與專家學者以小組討論的方式進行活動設計，設計出的奠基活動原型除了將活動由專家小組進行模擬與討論，還有給少數國小學生實施，此方法又稱乾實驗。在每次乾實驗中中所模擬學生發生的狀況，以及紀錄學生在活動真實的反應，分析資料以及評估活動進而回饋給下一循環準備階段的修改設計的依據，總結上述過程稱為第一次循環。在第二次循環中的準備階段以學習理論、中介架構、設計工具以及第一次評鑑結果作為研究工具來調整活動設計，如此重複這個循環直到設計出一套較完整的奠基活動，以便之後教學實驗使用。. 圖三-1 單次循環中設計奠基活動的流程本研究在設計〈三角形海龜湯〉奠基活動經歷總共經歷了三次修改循環，每次的循環都包含了準備、執行、評鑑三階段，直到第三次修改循環後完成的奠基活動將做一次試驗性研究，評估奠基活動的成效，並且調整活動至完整版，最後才進入到正式的教學實驗(圖三-2)。至於各循環的修改歷程請見第四章研究結果。下圖為整個奠基活動修改循環圖。. 32.

(39) 圖三-2 設計為本之奠基活動修改循環圖. 四、. 三角形相關的奠基活動. 至今已有許多教師與研究者參與設計不同數學內容的奠基活動，在此之中有一些關於國小中年級三角形的奠基活動，例如：數學奠基活動－三角形 72 變（洪雪芬,民 107）、奠基活動－三角形的密碼（師大數學教育中心,民 108）等。以下分別探討各項奠基活動的優勢與可能不足的部分。 (一)、. 數學奠基活動－三角形 72 變（洪雪芬,民 107）. 「三角形 72 變」的活動主軸在於發展「等邊三角形、等腰三角形、三編不等長三角形」以及「直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形」的先備概念，活動直接提供一系列的探索任務，讓學生藉由扣條尺去完成任務，接者讓學生發現各種不同的三角形後，在給學生三角形的定義，最後藉由卡牌遊戲來精熟學生的概念，例如心臟病。以下分述其活動內容。 1.. 先備活動：. 說明扣條尺每種顏色代表固定的長度，且三角形只能用三個扣條尺組成，若三角形的某邊長用兩條扣條尺組合的則不再討論範圍內。 2.. 探索活動： 33.

(40) 任務一：利用一種顏色的扣條尺組成三角形、用兩色來組成三角形，以及三種顏色來組合三角形，請問各有什麼特色？此任務目的在於學生關注於等邊三角形、等腰三角形與不等邊三角形。任務二：請用兩色拼出直角三角形，利用三色拼出直角三角形，且拼完的三角形你會如何分類？目的在於學生關注於等腰直角三角形與直角三角形的區別。任務三：把任務一和任務二所組的三角形進行分類你會如何分類？目的在於學生藉由觀察發現三角形能夠由邊長、角度來做區分，接者教師在給出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的定義。 3.. 桌遊活動. 利用心臟病的遊戲規則，讓學生精熟先前的三角型分類定義。「三角形 72 變」的探索活動，是以實體扣條尺來去組合三角形．藉由實務操作來模擬三角形的外觀，接者學生將組好的三角形依照任務要求進行分類，最後利用遊戲去檢測學生是否對於三角形分類概念的理解。可惜的是，學生在分類的時候並未有強大的需求感，都是學習單上面要求學生進行分類，學生不知道為何要分類，並且在心臟病遊戲階段目的不在發展學生的分類概念，而是在精熟分類的概念，研究者思考的是要如何在遊戲過程中發展學生的三角形分類概念。 (二)、. 三角形的密碼（師大數學教育中心,民 108）. 三角形的密碼奠基活動主軸在任兩邊和要大於第三邊－三角不等式，藉由遊戲規則與操作扣條尺去找出那種扣條尺的組合能成功組成三角形，那種組合不能組成三角形，並且記錄這些組合，能找出不同種組合分數就越高。遊戲結束後，學生依據學習單問題去觀察「拼成三角形」與「不能拼成三角形」的組合有什麼關係，在藉由教師提問讓學生發現任兩邊合要大於第三邊的概念，例. 34.

(41) 如：已知有兩種長度的扣條尺，若要組成三角形哪種扣條尺可以完成？哪種不能。至於任兩邊差小於第三邊此概念不在這活動中討論。在這兩個奠基活動當中可以發現都有運用到扣條尺，在 Mr,Miss Mechanism 中有提到的操作操控，讓學生就由具體物件和鷹架進行操作，就算撤除鷹架後對學生想像中操控有極大的幫助，這也呼應了 Duval 幾何學習理論中的操弄性理解。若我們 Mr,Miss Mechanism 來看「三角形 72 變」活動的核心機制，我們可以知道該活動是利用三角形由三個邊長組合作為來源域，三角形分類當作目標域，以此觀察和發現特點作為整個活動的隱喻基礎。已探索的方式動手操作，使學生在任務情境中有意義的操弄可見的實物表徵。學生自行操作完成任務，藉由遊戲競爭來精熟三角形分類概念。若能在遊戲規則中迫使學生對於三角形進行分類，強化分類的的需求感，也能夠讓學生主動對三角形進行分類，因此研究者設計了海龜湯遊戲規則來達成上述的目的。主要先讓學生利用角度進行分類，因為由每次循環中的小實驗發現四年級學生有能力藉由角度來進行分類，讓學生對於用角度進行分類來加以發展分類概念，以邊長來分類的分類方式則是期盼學生能藉由角度分類來發展的方類方式，對於學生幾何思考的層次有所提升，也是本研究關注的一個重點。. 第二節教學實驗本研究第二部分是觀察學生參與所設計的奠基活動時，在活動過程中三角形分類的認知概念發展與變化的表現，以及檢驗所設計出的奠基活動能否提升學生的幾何思考層次與數學學習情意的提升。本節分三點進行說明，第一點教學實驗的研究對象，第二點教學實驗的研究工具，第三點為教學實驗的流程。 35.