結論與討論

一、 三角形分類的奠基活動設計流程

在設計〈三角形海龜湯〉的過程中，設計奠基活動的策略隨著每一次的循 環而產生出來的。從最初版的奠基活動至最終版的奠基活動可以分成四個循 環，在此四循環中，產生出設計一連串三角形分類奠基活動的步驟(圖五-1)。

(一)、 找到合適三角形的隱喻對應的基本概念

選擇定數學主題將會訂定設計奠基活動的方向，設計者藉由數學主題進行 切入，相較比從基本概念來得具體。選定數學主題後就開始找該主題基本概 念，並且回到數學的本質進行分析。例如本研究選定三角形主題，在探討三角 形的數學本質，從三角形的邊長與角度來確定三角形分類概念為何。為此在設 計三角形奠基活動剛開始需要找出一個隱喻，使學生藉由隱喻連結到三角形的 概念。但一個好的隱喻是要能夠連結到學生的舊經驗或生活背景，以Mr*Miss 機制來說，也就是目標域和來源域的對應上要能夠相互契合。

(二)、 三角形分類概念的隱喻遊戲化

奠基活動最主要的精神為激發學生主動思考，讓學生能夠積極主動參與學 習，並且著重在於透過思維來進行發展概念。藉由遊戲當作學生主動學習的推 手，讓學生能夠在活動中更積極的參與學習。遊戲化是設計奠基活動最重要的 一個環節，除了要能夠讓學生覺得遊戲好玩，最重要的是遊戲化並非是概念的 精熟，而是藉由遊戲的機制來發展出學生的數學概念，也就是說學生不用知道 特定的數學概念就可以遊玩，在遊玩的過程中慢慢發展出遊戲背後的數學概 念。本研究就以海龜湯規則的桌遊進行三角形分類的隱喻遊戲化，前兩個步驟

對應了Mr*Miss 學習機制架構中的 Mr－Metaphor (隱喻)和 representation (表 徵)，尋找出潛在的三角形分類隱喻基底，並且用三角形卡牌當作圖形的表徵，

來設計發展學生三角形分類的活動。學生藉由此活動中的有意義的表徵與活動 之間的相互作用，並且思考其結構性的連結，表且找出隱含在活動中的概念性 隱喻。

(三)、 探索與應用三角形分類概念的基

在設計三角形活動過程中，必須不斷地確認學生在進行活動過程中是否發 展出預期目標的概念。若有達到預期的目標概念，接下來應用遊戲的機制來強 化預期發展出的概念；若未達到則必須修改遊戲機制，以確保有達到預期目標 後續才能夠進行延伸。延續已發展的概念進行概念的深化，亦即鞏固概念。此 步驟對應Miss：Mathematical sense (數學感)、insufficiency(缺乏感)、structure (結構)與 system(系統)，藉由同儕討論探索並且運用三角形分類的基來當作活動 中的策略，不過在此活動學生能感覺出三角形的基尚未有實際的操作教具感受 到基，也是為此後續須設計操作活動來使學生進行動手操作。

(四)、 操作與找出三角形分類概念的基

利用學生能靈活運用藉由三角形分類奠基活動發展出的概念並加以鞏固，

並且藉由任務或操作活動讓學生找出三角形分類與命名的基，進而延伸至其他 相似的三角形的概念，加以整合該三角形完整的概念。此步驟呼應了

Mr*Miss：Mathematical sense (數學感)、insufficiency(缺乏感)、structure (結構) 與 system(系統)，以及核心的 intrinsic (內在)與 regulation (調整)的機制，藉由操 作活動來找出三角形分類的基，並且使學生調整前幾個活動所發展的三角形分 類概念的基，並且學生將進行中的活動與之前所結構的概念作進一步的連結並 帶來反思抽象來調整概念的結構。

圖 五-1 三角形分類奠基活動設計流程與 Mr*Miss 步驟圖

二、 奠基活動修改與調整的機制

在四次循環中都經歷過準備、執行、評鑑三階段，在準備的階段研究者利 用前一個循環的評鑑結果與活動設計架構中的學習理論、中介架構與設計工具 來當作奠基活動修改與調整的機制。

（一） 為何要設計工具？

在每次循環中，最容易從工具的設計或使用上看出是否達到預期的目標，以及 在教學現場中最直接能使用與觀察的部分。若沒達到預期的目標則我們需要調 整設計工具，以確保達成我們的目標。而且在設計工具能使設計者能夠有明確 目標的方向，就算是其他領域的人可以透過工具而知道設計工具大致的方向，

因此現成的設計工具也可以在其他領域中使用或是廣為流傳。

（二） 調整與修改工具的原因?

在設計奠基活動過程中，原本預期工具能達到的功能，在實驗後發現與所預期 的目標不相契合，此時就應該調整或修改工具以達到我們所預期的目標。很多 不同工具都是由不同領域而來的，其背後支撐的理論依據都不一致，因此若工 具與活動的核心目標有所偏離時就需要調整工具，而且調整工具可從工具可以 透過中介架構與底層的學習理論進行調整。

（三） 透過中介架構要如何調整設計工具呢?

奠基活動中設計工具是最前端的部分，也就是在教學中跟學生最直接接觸的一 塊，就如同人體的四肢，中介架構就如同骨架，是可以檢查設計工具與活動的 目標是否一致。若設計工具與活動目標不一致的時候，我們可以回頭找中介架 構裡的元素來代換設計工具的元素，而且中介架構裡的元素都有理論依據的支 持。例如本研究要發展學生的三角形分類概念，若有現成的工具能使用，但此 工具是精熟三角形分類概念並非發展分類概念時，我們回到中介架構也就是奠 基活動五原則或桌遊設計的機制，將原本的工具調整成適合發展分類的設計工

具。

（四） 透過學習理論要如何調整設計工具呢?

設計工具是四肢、中介架構如同骨架，學習理論就如同大腦，設計工具與中介 架構皆是由學習理論來支撐的，針對特定的目標來制定內容的。例如本研究以 幾何主題進行奠基活動的設計，以幾何主題就會聯想到學生學習幾何的理解，

也就是Duval 所提出的幾何理解，由這些學習理論中選定我們所需要的元素進 而奠基活動進修改與調整，就好比本研究的活動一與活動二都是透過觀察來進 行知覺性的理解，延伸出活動三時研究者選定操作性理解來進行奠基活動的調 整。

（五） 要如何知道設計工具是否有達到實驗成效

每當在設計完活動後進行實驗，透過實驗的紀錄並反思所設計的活動，此時需 要檢查中介架構中的每個原則，是否與預期的目標不相匹配。並且利用學習理 論來檢視至目前為止所設計出的奠基活動是否有不足之處，以及評斷是否能有 改進的地方。

三、 〈三角形海龜湯〉能強化三角形概念的理解

奠基活動〈三角形海龜湯〉的活動目標在於發展學生的三角形分類概念，藉由 三角形的分類概念加強學生三角形概念的理解，三角形概念前後測卷其測驗內 容有1.比較角度的大小 2.直角、鈍角與銳角的概念 3.銳角三角形、鈍角三角形 與直角三角形4.等腰三角形的性質，上述測驗內容皆為小四課綱所列舉的學習 內容，藉由前後測學生所的分數得知，後測總分是顯著高於前測總分的，顯示 大部分學生參與〈三角形海龜湯〉後有進步的。由前後測卷第5、6 題主要是檢 測學生三角形分類概念以及觀察分類依據的概念，兩題皆為後測分數高於前測 分數且達顯著差異，表示學生確實有掌握到奠基活動〈三角形海龜湯〉以數學 特徵進行數學物件的分類。學生能掌握此概念能強化三角形概念的理解，並幫 助學生對往後學習幾何單元。

四、 〈三角形海龜湯〉能提升學生對於三角形的幾何思考層次

根據前後測第三、第四、第五、第六題學生填寫題目的答案，並且質性編碼做 量化的的統計，結果顯示大部分的學生都從視覺層次提升至分析層次，表示學 生在認識幾何圖形不單只看圖形的外觀，而是會聚焦於圖案的屬性上進行認 識。不過從結果顯示有一位學生從分析層次降到視覺化層次，導致下降結果的 原因，目前並未蒐集到該學生的訪談，因此這將是為往後改進的地方。

五、 學生在經歷過〈三角形海龜湯〉後數學情意表現高

從實驗錄影中能發現學生在參與活動過程中，是非常積極地且想在活動過 程中獲得勝利。發現分類策略的學生就會去教導還不會的同學，因為活動是互 相合作達到勝利，截長補短教學相長，直到活動時間結束還要求教師延長活動 時間。

從情意問卷中能發現學生對於此奠基活動與數學學習的情意表現都是偏 高。此結果說明了奠基活動〈三角形海龜湯〉深受學生們的喜歡，以至於對學 習數學的態度有改變。

在活動結束後，學生有主動提出還有沒有類似的數學奠基活動，可以在課 堂中完，對學生來說數學奠基活動不是艱澀的數學，而是能快樂遊完且在遊玩 過程中又能學習到數學概念，相比傳統數學課來的有趣。