第二章 文獻探討
第一節 活動設計架構
教學設計此概念由Ruthven et al 所提出來的，將教學設計架構分成三個層 次，最底層為主要的學習理論(grand theories)，最上層為教學設計工具(design tools)，而中層為中介架構(intermediate theoretical framework)。由此教學設計整 個架構的設計過程是由下而上發展，最先由底層的理論基礎出發，學習理論為 整個教學設計的核心，然而在不同教學過程或是教學脈絡下，學習理論需要符 合務實面的需求進行轉化，所以要直接運用理論進行工具設計是極其困難的。
為了要設計整個教學活動並且達到我們預期的目的，我們必須設計出教學工具 來輔助以達成我們的目標，這時中層的中介架構則就扮演非常重要的角色，中 介架構是由下層的學習理論衍生而來的，當作學習理論與設計工具之間的橋 樑。在三個層次相互連結，在設計教學活動過程時彼此相互影響，最後才能設 計一套完整的活動。Lin, Yang, Lee, Tabach, and Stylianides (2011)利用此設計架 構落實在教師專業成長工作坊，希望能夠提升數學老師對於設計數學臆測活動
的能力，依Ruthven et al.(2009)所提教學設計法，我們接續找尋適當研發三角形 分類概念之奠基活動的學習理論、中介架構以及設計工具為何。
圖 二-1 Ruthven 教學活動設計架構圖
一、 學習理論：Mr,Miss Mechanism、Dvaul 幾何學習理論 (一)、 Mr,Miss Mechanism
Lin、Yang 和 Tso (in submission)由奠基活動的理念出發，發展出一套學習理 論－Mr,Miss Mechanism。Mr,Miss 的命名是由理論中機制運作的要素之字首拼 組而成的，機制中的要素分別為：Metaphor（隱喻）、representation（表徵）、
Mathematical sense（數學感）、insufficiency（缺乏感）、structure（結構）、
system（系統）。不過要能清楚說明機制的運作，仍需要介紹以下六個基本元 素
1. Target domain（目標域）
目標域指的是我們希望學習者學習的抽象數學概念，例如方程式之概 念。
2. Source domain（來源域）
來源域為目標域之來源，與目標域具備互相對應的關係。來源域作為 活動的情境，此時須考慮學習者有關的歷史背景與社會脈絡，例如將 天平當作方程式概念的來源。
3. Metaphorical ground（隱喻基礎）
設計工具
中介架構
學習理論
隱喻基礎被當作目標數學物件。創造目標域與對應的來源域並將其視 為隱喻 處來發展概念性的隱喻。概念性隱喻是以具體物體來理解抽 象概念的認知歷程，譬如方程式當作天平。
4. Connection（連結）
將學習者的舊經驗連結至來源域，這樣才更有可能產生認知與工具的 內在連結，譬如在方程式中，相等概念與天平之間的內在連結。
5. Co-construction（共建）
共建就是共同建構。共建又有分成兩部分，第一部分為學習者與進行 中的活動共建，另一部分則是學習者與同儕討論時共建。學習者在與 進行中的活動之間結構性連結可以在一個系統性歷程透過共建來進行 調整。
6. Operative manipulation（操控操作）
指的是學習者在實務操作與想像操控之間的協調，簡寫成操控操作。
在操控操作的基礎下，使用表徵作為工具以及調整表徵作為工具。
介紹完基本元素，以下將使用基礎元素來描述各項要素彼此的運作機制
1. Mr：Metaphor (隱喻)和 representation (表徵)
把數學概念轉化成隱喻基礎並且當作數學隱喻的根基，數學會共 同出現於學習者的來源域、目標域、以及與任務性和社會性情境互動 的關係，這三個面向的反思抽象與隱喻推理。
在學習者的歷史性、任務性和社會性情境中找出並發展隱含的概 念性隱喻，有意義的表徵（例如圖案與數字）代表學習者和正在進行 中的活動之間相互作用的思考或結構性連結。奠基活動旨在提供必要 的和充分的根基，其根基出現在任務情境中，而此任務情境包含了學
2. Miss：Mathematical sense (數學感)、insufficiency(缺乏感)、structure (結構)與 system(系統)
奠基活動旨在促進學習者對抽象化的需求，其方式是藉由學習者 在行物理性操作與想像操控、與同儕相互討論並且使用工具（例如文 字、圖像、數字、表格）的過程中對任務情境內的結構感到缺乏，接 者在系統性的歷程中共建潛在的結構。
在具象物理性操作的鷹架並且進行調整操作的動作(例如用教具製 作矩形)、想像操控（例如想像矩形及其相應的數字）以及圖像、動作 以及符號表徵紀錄之間的協調，三方有幫助於學習者關於目標域的數 學感並維持正在進行的結構性連結。
3. intrinsic (內在)與 regulation (調整)
綜合上述的機制，Mr,Miss Mechanism 的中間核心是學習者主動學 習的機制，亦是奠基活動的核心，作為發展概念隱喻的驅動力。
把奠基活動的任務情境遊戲化，以增加學習者的內在動機連結身 心與工具，促進系統性歷程，其中學習者與進行中的活動之前的結構 性連結更有可能來自反思抽象來調整結構。結構性連結的調整反應了 學習者的自我歷史性、社會之間和任務之間情境。為此，將內在連結 與自我間調整作為兩種動機的機制。
上述所提到的是奠基活動的Mr,Miss Mechanism 學習理論，本研究在設計 三角形分類奠基活動，是有關幾何方面的數學概念，因此研究者探討學生幾何 學習的理論。
圖 二-2Mr,Miss Mechanism 架構關係圖
(二)、 Duval 幾何學習理論
上述所提到的是奠基活動的Mr,Miss Mechanism 學習理論，本研究在設計 三角形分類奠基活動，是有關幾何方面的數學概念，因此研究者探討Duval 幾 理解(perceptual apprehension)、作圖性理解(Sequential apprehension)、論述性理 解(Discursive apprehension)、操弄性理解(Operative apprehension)以下分述之。
1. 知覺性理解(perceptual apprehension)
知覺性理解指的是學生透過視覺、觸覺等其他感官對一個幾何圖形直 接體驗與辨識，並且認知到圖形的組織原則與繪圖線索，並且將這些 資訊組織後隨之產生心像的一種認知理解。被查覺到的圖形與視覺上
Mathematical sense
insufficiency
structure system
representation
Metaphor
M
理解對完形的辨識，也可以辨識出幾何圖形上子圖形，例如長方形被 對角線分割成兩個直角三角形。
2. 構圖性理解(Sequential apprehension)
構圖性理解是學生構造出一種圖形或是描述其圖形的結構來認知圖 形，個體對於圖形的基本結構不再是倚靠視覺上的認知理解，而是利 用數學性質與構圖工具的限制來認知圖形，若學生不瞭解數學性質與 構圖工具的限制，便無法完成目標圖形，使得圖形無法被瞭解。
3. 操弄性理解(Operative apprehension)
操作性理解是指學生轉換心像或實體圖像的一種認知理解，其中包含 三種轉化形體的方法：分解組合(The mereologic way)、平移旋轉 (The place way)、光學變換(The optic way)，以下分別說明之。
(1) 分解組合(The mereologic way)：指的是將一個圖形分割成好幾個 部分子圖形或是將好幾個部分圖形組合成另一個圖形。
(2) 平移旋轉 (The place way)：改變圖形的方向或位置
(3) 光學變換(The optic way)：指將圖形放大、縮小、鏡射或是從不同 視角觀察圖形
4. 論述性理解(Discursive apprehension)
論述性理解是學生利用語言或文字來陳述一個幾何圖形所具備的的性 質以及推理活動的認知理解。同一種圖形可能對不同學生會有不同的 見解，因為每個人所見的脈絡或是了解的數學性質都不進相同，對於 圖形只能說明學生對於該圖形的了解程度，因此對沒有任何說明的圖 形是一種模糊的的表徵。
論述性理解包含了學生對於圖形的命名、定義以及推論的活動。例如學生 會如何說明鈍角三角形、銳角三角形與直角三角形…等不同的三角形，以及學 生對於圖形的歸類與分類、學生應用不同圖形的數學性質進行推論活動，都是
顯現出學生對於圖形的論述性理解。
以上四種關於圖形的認知理解，Duval 認為圖形要發揮功能，必須觸發學 生的知覺性理解，並且搭配其他三種認知理解中至少一種的認知理解。而在學 習幾何圖形幾何知識來說，Duval(1998)則認為有三種認知過程，視覺化、構 圖、推理，分述如下：
1. 視覺化(visualization)
對於平面或是立體圖形表徵的認知，可能只是單純表象圖形（線條與 形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面 積）的洞察，也可以是根據文字敘述所進行圖形的再製。(吳邦 德,2003)
2. 構圖(construct)
使用作圖工具(尺、扣條尺、圓規、電腦軟體等)進行圖形再製的過 程。此過程有助於學生發現圖形中的幾何意義。
3. 推理(reasoning)
進行論說的過程，例如：說明、證明等。
以上三種認知過程，Duval(1998)主張應獨立發展；在教學上應區分不同視 覺過程以及推理過程；三種認知過程的整合只有在各自獨立活動趨於成熟才有 可能發生。本研究以Duval 對於幾何圖形的四種認知理解以及三種認知過程，
探究學生在三角形分類對於圖形是基於那些認知理解，以及學生的幾何認知過 程在奠基活動中是如何進行的，並且把這些要素融入進三角形分類奠基活動設 計中。
二、 中介架構：數學遊戲以及奠基活動設計原則 (一)、 數學遊戲與數學桌遊特性
近期來有大量的相關研究有關於學生經由玩遊戲來學習並且觀察學習的影 響為何，這些遊戲包含了影像遊戲、電腦遊戲或是以遊戲為基礎的快問快答 (Afari, Aldridge & Fraser, 2012)，但這些研究都是電子產品的遊戲，不過在台灣 國小階段上課時段還是主要以課本的活動來進行教學，像是卡牌、骰子諸如此 類的教學工具比較多國小老師來使用，並且應用這教具來設計一些遊戲讓學生 透過競爭、合作來發展學童的數學概念(Bragg, 2003)。Lim-Teo(1991)將遊戲的 類型分成六類：1.用來操作練習 2.用來加強概念 3.形成概念架構 4.引起數學研 究5.應用數學知識 6.純粹好玩。本研究的遊戲為發展學童三角形分類概念的奠 基遊戲。
對於數學遊戲的定義各個學者都有不同的定義與詮釋的方法，其中在過去 三十年數學教育研究中 Harvey & Bright 對於遊戲的定應有三個特性：1.遊戲 應該包含富有討戰性競爭對手或是任務2.遊戲有訂定特定的規則 3.遊戲應很輕
對於數學遊戲的定義各個學者都有不同的定義與詮釋的方法，其中在過去 三十年數學教育研究中 Harvey & Bright 對於遊戲的定應有三個特性：1.遊戲 應該包含富有討戰性競爭對手或是任務2.遊戲有訂定特定的規則 3.遊戲應很輕