一、資料統整結果與分析 (
( (
(一一一一)))程)程程程度度度度差異差異差異差異說明說明說明：說明：： ：
本研究的樣本學校分組的方式為：採計學生七年級到八年級的各次段 考學科成績，並加權英、數、理三科分數將學生依能力分層，並以三班一 群進行分組，故每群組中 A 組學生皆為全校排序前三分之一強的學生（約 莫全校 250 名以內），B 組學生則為剩餘三分之二的學生平均分配（校排為 250 名以後不等）。
由研究者與教學同仁的經驗，一般而言，A 組學生的數學成就比 B 組 學生好，且數學學習的意願也相對較高，故定調為不同程度的學生。
( ( (
(二二二二))))資料結果資料結果資料結果資料結果：：：：
◇ 有效問卷共計 121 份。
◇ 各組學生於教學前後問卷的答題資料統計結果，詳見附錄（三）。
◇ 不同程度的學生在教學前與教學後的比較數據如下：
1.教學前與教學後各題比例相對較高的推論形式如下：
(1)A 組學生（61 人）：
《表 5-2.1 A 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式對照表》
題號 教學前 教學後
直觀 2、7、13、14、15 直觀推論 6、7、11
視覺邏輯推論 1、3、4、16
數學邏輯推論 5、8、9、10、12、17、18
1、2、3、4、5、6、7、8、9、
10、11、12、13、14、15、16、
17、18
《表 5-2.2 A 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式類別對照表》
題號 教學前 教學後
直觀類別
(直觀+直觀推論)
2、3、5、6、7、11、13、14、
15、17、18
邏輯類別
（視覺邏輯推論＋
數學邏輯推論）
1、4、8、9、10、12、16
1、2、3、4、5、6、7、8、9、
10、11、12、13、14、15、16、
17、18
(2)B 組學生（60 人）：
《表 5-2.3 B 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式對照表》
題號 教學前 教學後
直觀 2、3、4、5、6、7、9、10、11、
12、13、14、15、16、17、18 2、5、16、17、18 直觀推論
視覺邏輯推論 1 1、6
數學邏輯推論 8 3、4、7、8、9、10、11、12、
13、14、15、16
《表 5-2.4 B 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式類別對照表》
題號 教學前 教學後
直觀類別
(直觀+直觀推論)
1、2、3、4、5、6、7、8、
11、12、13、14、15、16、
17、18
2、5、16、18
邏輯類別
（視覺邏輯推論＋
數學邏輯推論）
9、10 1、3、4、6、7、8、9、10、11、
12、13、14、15、17
2. 教學前與教學後不同程度的學生在各題型的表現如下：
◇ 以下針對不同程度學生的推論形式做進一步分析與報導：
1.A 組學生：
※教學前：
據學生於問卷的作答結果推測，A 組學生嚐試以『數學邏輯 推論』的推論形式解題的意願較高，尤其是已學過的圓心角問題
（第 9、10 題）或者條件明確可藉由其他數學概念推論的題目（第 8、12 題），但也往往容易受到視覺的影響而使用『視覺邏輯推 論』（第 1、4、16 題）。
對於尚未學過的圓周角與圓內角問題或圖形較為複雜的問 題，仍以『直觀』或『直觀推論』等直觀的推論類型為主，其中 以第 5 題情況最為特殊，雖然使用「數學邏輯推論」的比例為同 題最高（約 41%），但使用「直觀」＋「直觀推論」的比例（約 49.1%）勝於「數學邏輯推論」。
※教學後：
據學生於問卷的作答結果發現，全數全數全數全數題型題型題型題型皆皆皆能皆能能能改改改以改以以以『『『『數學邏數學邏數學邏數學邏 輯推論
輯推論 輯推論
輯推論』』』為主』為主為主為主。除了題型甲『非邏輯可推論性問題』的第 1、2、
6 題、題型乙『解題條件內隱』需多層次推理的第 5 題、題型庚
『兩圓中的角』中圖形較為複雜的第 17 題以外，其餘百分比皆 有八成以上。
2.B 組學生：
※教學前：
據學生於問卷的作答結果推測，B 組學生由於程度較低、解 題意願不高，多數沒把握或圖形複雜的問題皆以『直觀』為主要
的推論形式來解題。但對於已接觸過的圓心角問題（第 9、10 題）或條件明確可藉由其他方式推論的題目（第 8 題），仍能盡 力以邏輯推論的方式解題，給予肯定，其中以第 9、10 題情況最 為特殊，雖然使用「直觀」的比例為同題最高（約 40%、46%）， 但使用「視覺邏輯推論」＋「數學邏輯推論」的比例（約 55%、
50%）勝於「直觀」。
※教學後：
據學生於問卷的作答結果發現，對於圓內角對於圓內角對於圓內角(對於圓內角(((第第第第22、22、、、555 題5題題)題)))與與與與 圖形
圖形 圖形
圖形較較較較為為為複雜為複雜複雜複雜的問題的問題的問題的問題（（（第（第第第1616、1616、、、181818 題18題題題）））仍）仍仍仍以以以『以『『『直觀直觀直觀』直觀』』為主』為主為主為主，其他
『可邏輯推論性問題』皆能改以「數學邏輯推論」為主，雖然百 分比不高但都能超過五成。另外題型甲『非邏輯可推論性問題』
的第 1、6 題與題型庚『兩圓中的角』中圖形較為複雜的第 17 題，雖然使用「直觀」的比例為同題最高（約 45%、41.7%、36.7%）， 但使用「視覺邏輯推論」＋「數學邏輯推論」的比例（約 53%、
58%、43.3%）勝於「直觀」，顯示 B 組學生在學習後也有嚐試推 論的勇氣。
二、綜合性分析
將上述不同程度學生的結果進一步統整分析可發現：
1. 不同程度的學生在教學前與教學後判別角度大小的推論形式差異：
A 組學生在教學前，對於已學過的圓心角問題或者條件明確可藉由 其他數學概念推論的題目以『數學邏輯推論』為主，其餘題目，則偏向 直觀類型的推論形式為主。而教學後，全數題型皆能改以『數學邏輯推 論』為主。
B 組學生在教學前，除了過去經驗強化認知的第 8 題以『數學邏輯 推論』為主，其餘題目，則多數以『直觀』的推論形式為主。而教學後，
除了題型甲（非邏輯可推論性問題）與題型乙（解題條件內隱且為圓內 角問題）對於 B 組學生難度較高外，其餘類型，皆能改以『數學邏輯推數學邏輯推數學邏輯推數學邏輯推 論論
論論』的推論形式為主。
再依據組內數據更進一步探討可發現：除了「非邏輯可推論性」問 題外，A 組學生對於『圖形複雜需多層次推理』的問題推論形式改以「數 學邏輯推論」的能力相對較弱；B 組學生則對於基本概念較煩雜的『圓 內角』問題、『易受視覺影響』的問題（ex.格子條件的第 10 題）、『圖 形複雜需多層次推理』的問題推論形式改以「數學邏輯推論」的能力相 對較弱。
2.影響不同程度的學生在教學前與教學後推論形式差異的可能原因：
基於希望研究結果與建議，能給予教師更實質的幫助，在進一步的 探究後推測，影響不同程度學生的原因有：
(1)視覺的影響：
由於 B 組學生較依賴直觀，所以受視覺的影響較大因而影響 判別的推論形式。以第 10 題為例：圖形條件以格子來呈現，相 較於 A 組學生因為重推理比較不易出錯，B 組學生就容易因為靠 視覺而忽略細節造成錯誤。
(2)直覺法則的影響：
A 組學生在教學前，由於力求推論反而受直覺法則的影響較 大，教學後則較能戰勝視覺的影響；BBBB 組組組學生在教學前組學生在教學前學生在教學前學生在教學前，，，，由由由於相由於相於相於相 信
信信
信直觀直觀直觀直觀居居居居多多多，多，，，受受受直覺法則的受直覺法則的直覺法則的直覺法則的影響略低影響略低影響略低影響略低於於於於 AAAA 組組組組學生學生學生，學生，，但，但但但教學後教學後教學後反教學後反反反 而因為
而因為而因為
而因為開始注意開始注意開始注意開始注意到到到到”””弧”弧弧弧”””的重要性”的重要性的重要性的重要性，，，，所以相所以相所以相所以相較較較於較於於於 AAAA 組組組組學生學生學生影響學生影響影響影響 較高
較高較高
較高。以第 8 題為例：由於圖形特殊恰好為對頂角，故雖為圓 內角問題但多數學生在教學前皆能以對頂角的性質來判斷，使 用「數學邏輯推論」的比例頗高（A 組學生 91.8%、B 組學生 63.3%），但教學後部份 B 組學生在學了圓內角概念後轉以”弧”
為解題焦點、反而受直覺法則的影響，進而降低使用「數學邏 輯推論」的比例（約 58.3%），這是教師們需要留意的地方。
(3) 情意層面的影響：
A 組學生由於程度較佳，有學習成就感，所以遇到尚未學過 或不會的問題解題意願較高且力求推理，故教學前使用「直觀
推論」、「視覺邏輯推論」、「數學邏輯推論」等推論策略的比例 較高，而教學後更改以『數學邏輯推論』為主；B 組學生由於程 度較差、概念建構不完全、缺乏信心去推理、解題意願較低，
所以反而較相信直覺，故教學前使用「直觀」的策略比例甚高，
而教學後則多數能提升自信嚐試改以『數學邏輯推論』的推論 形式來推論，但『直觀』的推論形式仍有一定的比例。
第陸章 第陸章 第陸章
第陸章 結論與建議 結論與建議 結論與建議 結論與建議
本章將對本研究的結果進行論述，而各論述主要是針對學生於本研究 所設定的數學內容範疇的問卷書寫結果進行探討，並對往後教學及後續研 究提出建議。
第一節 結論
(一) 針對「圓的角」的原生分類
1.
1.
1.
1. 在學生的原生分類中在學生的原生分類中在學生的原生分類中在學生的原生分類中，，，，可可可見可見見見數學定義數學定義數學定義上數學定義上上的分類上的分類的分類的分類
學生在教學前對於「圓的角」的原生分類類型共有『圖形型態類 型』、『角度性質類型』、『一重圓-角關係類型』、『二重圓-角關係類型』
四種，前兩類型的分類主要聚焦在所抓取的『物件聯想』上，後兩類型 的分類主要聚焦在所抓取的『物件關係』上，而在後兩類型的類別中可 見到數學定義上的分類，即在『一重圓-角關係類型』中可見圓心角、
圓外角類別，在『二重圓-角關係類型』中可見圓內角、圓周角、弦切 角類別。
2.
2.
2.
2. 學生的分類結果學生的分類結果學生的分類結果學生的分類結果可能全數可能全數可能全數可能全數同屬同屬同屬同屬一種分類類型一種分類類型一種分類類型一種分類類型，，，也，也也可能分也可能分可能分可能分屬屬屬不屬不不不同同同分類類型同分類類型分類類型分類類型 從學生的原生分類中可獲知，學生根據既有認知透過視覺容易抓 取到的角的物件以：角的邊、角的頂點、角的幅度為主；容易抓取到的 圓-角關係則為：角的物件與圓的位置關係、角的物件與圓心的位置關 係。學生在反覆的預見與回溯的過程中，依據抓取的物件與關係抽象出
2. 學生的分類結果學生的分類結果學生的分類結果學生的分類結果可能全數可能全數可能全數可能全數同屬同屬同屬同屬一種分類類型一種分類類型一種分類類型一種分類類型，，，也，也也可能分也可能分可能分可能分屬屬屬不屬不不不同同同分類類型同分類類型分類類型分類類型 從學生的原生分類中可獲知，學生根據既有認知透過視覺容易抓 取到的角的物件以：角的邊、角的頂點、角的幅度為主；容易抓取到的 圓-角關係則為：角的物件與圓的位置關係、角的物件與圓心的位置關 係。學生在反覆的預見與回溯的過程中，依據抓取的物件與關係抽象出