九年級學生對於『圓的角』之原生分類與角度判別之推論形式

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 九年級學生對於『圓的角』之原生分類與角度判別之推論形式. 研究生：辛慈宜. 中華民國一０一年一月.

(2) 謝誌研究所的生涯終於走到這一刻，如此的不真實卻又有滿滿的感動，難以言喻!！回想起這三年多來為了上課南北奔走的日子，感謝能擁有老師的教導與關懷、同門學長姐、學弟妹的協助與相伴、研究所同學們的切磋與共享、同事與好友們的支持與鼓勵，讓我能在繁忙的工作中以溫暖、充實、不悔的心情渡過這一千多個精彩日子。謝謝我的指導教授：謝豐瑞博士，在我猶疑、膽怯的時候給我方向與鼓勵，在上課與論文指導的期間給我肯定與引導，讓我能勇於表達自己的想法、更深入的思考問題，並且在老師的教導與薰陶下獲得許多的學術知識、開啟更寬廣的視野，也時而給予親切的關心，讓我收穫良多又充滿溫暖，無限感激。謝謝口試委員羅昭強教授、邱守榕教授、施皓耀教授，感謝您在百忙之中抽空前來給予指導與提供寶貴的意見，讓我能看見盲點，使這本論文能更加豐富且完整。謝謝書志學長、佳叡學長、婷瑩學姐、國亨學長、志瑋學長，在課間或課後給予深入的見解與建議。謝謝佳叡學長，若不是你當年的鼓勵與引領，我也沒有勇氣踏入這麼棒的師門；謝謝婷瑩學姐總是不厭其煩的為我解惑、給我信心，一同歡笑、互相鼓勵，還常常在大半夜無法休息和我一同討論、提供多元的想法，感謝有你一路相伴，讓我感到踏實與安心；謝謝志瑋學長，這些日子來一同切磋、奮鬥，研究所的生活因為有你，讓我想的更多、收穫更多，精彩萬分。謝謝昭慧學長、春男學長、姿玟學姐、嘉聲學長、俊麟學長、政業、丞瑋、晞安、宜蓁、玉惇、世偉、嵐婷、雅霙、幸娟、筱芸、桂銘、旻怡、幾位新進的學弟妹這些日子以來的協助與幫忙，每個週六一同相聚討論的時光，總是匆匆流逝，令人難忘。謝謝我的同事耿立、陽明協助施測，若不是有你們，這本論文無法順利產出，也謝謝其他很多一路上鼓勵、協助我的同事，讓我夾在課業與工作之間仍能不斷奮鬥、克服難關，也謝謝我的室友與好友們，你們的關心是我努力的動力。最後，感謝我的家人與男友，這些日子來的鼓勵與支持、體諒與包容，讓我無後顧之憂到台師大攻讀碩士學位，我的榮耀因你們而存在。. 101.2.1.

(3) 摘要本研究基於學生在「圓的角」單元解題時，常受到眼前圖形的影響，顯現早在解題前、甚至是老師教學前腦袋裡已經有既有的直覺想法在運作。因此，研究者依此想法，於本研究中探討九年級學生在教學前對於「圓的角」的原生分類，以及學生在教學前與教學後判別「圓的角」角度大小的推論形式。本研究的研究對象為台南市一所公立國中，A、B 組學生各兩班，共計學生 135 人，利用所發展出的開放性問卷收集質的資料，有效問卷共計 121 份。利用全體樣本學生所真實呈現的資料，進行歸類、統整、分析。本研究的研究結果如下： 1. 學生在教學前對於「圓的角」的原生分類類型共有『圖形型態類型』、『角度性質類型』、『一重圓-角關係類型』、『二重圓-角關係類型』四種，前兩類型的分類主要聚焦在所抓取的「物件及其相關聯想」上，後兩類型的分類主要聚焦在所抓取的「物件關係」上。而影響分類結果的原因可能有：『訊息刺激的差異』、『認知差異』、『定義差異』、『抓取物件與關係的差異』，而後兩者主要影響的是四種原生分類類型中，『一重圓-角關係類型』、『二重圓-角關係類型』的分類類型。 2. 學生在教學前對於尚未學過的「圓周角」、「圓內角」題型或者「圖形複雜」、「條件內隱需推論」的題型，其推論形式主要以『直觀』或『直觀推論』為主。而教學後除了「非邏輯可推論性」問題本來就不容易以數學邏輯推論外，其餘題型皆能改以『數學邏輯推論』的推論形式為主。而影響推論形式差異的原因可能有：『題型結構的差異』、『角的類型差異』、『學生程度的差異』的影響，其中影響不同程度的學生在教學前與教學後推論形式差異的可能原因有：『視覺』、『直覺法則』、『情意層面』的影響。關鍵字：直覺、原生分類、推論形式 I.

(4) 目錄第壹章緒論 ………………………………………………………1 ………………………………………………………1 第一節研究動機 ………………………………………………………………………1 第二節研究目的暨研究問題 …………………………………………………………3 第三節名詞解釋 ………………………………………………………………………4. 第貳章文獻探討 …………………………………………………6 …………………………………………………6 第一節分類 ……………………………………………………………………………6 第二節直覺 vs.邏輯 …………………………………………………………………9 第三節直覺法則 ………………………………………………………………………12. 第參章研究方法 …………………………………………………17 …………………………………………………17 第一節研究架構 ………………………………………………………………………17 第二節研究方法與研究設計 …………………………………………………………20 第三節第四節第五節第六節. 研究樣本 ………………………………………………………………………22 研究工具 ………………………………………………………………………24 研究步驟 ………………………………………………………………………26 研究限制 ………………………………………………………………………28. 第肆章『圓的角圓的角』的原生分類圓的角的原生分類 …………………………………29 …………………………………29 第一節「圓的角」的原生分類結果 …………………………………………………31. 第伍章角度大小的推論形式 ……………………………………50 ……………………………………50 第一節教學前後推論形式之差異 ……………………………………………………57 第二節不同程度學生推論形式之差異 ………………………………………………81. 第陸章結論與建議 ………………………………………………89 ………………………………………………89 第一節結論 ……………………………………………………………………………89 第二節建議 ……………………………………………………………………………92. 參考文獻 …………………………………………………………94 …………………………………………………………94 第一節中文部份 ………………………………………………………………………94 第二節英文部份 ………………………………………………………………………95. II.

(5) 附錄附錄(一) 「圓的角」的原生分類問卷 ………………………………………………96 附錄(二) 「圓的角」角度大小的推論形式教學前問卷 ……………………………97 附錄(三) 「圓的角」角度大小的推論形式教學後問卷 ……………………………104 附錄(四) 「圓的角」角度大小的推論形式統計結果 ………………………………105. 表次目錄表 3-3.1 表 3-4.1 表 3-4.2 表 4-1.1. 研究樣本資料概況 …………………………………………………………22 圓的角的原生分類問卷圖形結構表 ………………………………………24 圓的角角度大小的推論形式問卷編製架構分析表 ………………………25 物件關係型分類表 …………………………………………………………49. 表 5-0.1 表 5-1.1 表 5-1.2. 推論形式報導題型 …………………………………………………………56 全體學生教學前與教學後各題最高比例推論形式對照表 ………………58 全體學生教學前與教學後各題最高比例推論形式類別對照表 …………58. 表 5-1.3 表 5-1.4 表 5-1.5 表 5-1.6. 全體學生教學前與教學後各題推論形式數據對照表 ……………………59 題型甲問卷題目＆題目分析 ………………………………………………60 題型甲各題統計 ……………………………………………………………60 題型乙問卷題目＆題目分析 ………………………………………………64. 表 5-1.7 表 5-1.8 表 5-1.9 表 5-1.10 表 5-1.11 表 5-1.12. 題型乙各題統計 ……………………………………………………………64 題型丙問卷題目＆題目分析 ………………………………………………66 題型丙各題統計 ……………………………………………………………67 題型丁問卷題目＆題目分析 ………………………………………………68 題型丁各題統計 ……………………………………………………………69 題型戊問卷題目＆題目分析 ………………………………………………73. 表 5-1.13. 題型戊各題統計 ……………………………………………………………73. 表 5-1.14 表 5-1.15 表 5-1.16 表 5-1.17 表 5-2.1 表 5-2.2 表 5-2.3. 題型己問卷題目＆題目分析 ………………………………………………74 題型己各題統計 ……………………………………………………………75. 表 5-2.4 表 5-2.5. B 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式類別對照表 …………82 不同程度的學生教學前與教學後各題推論形式數據對照表 ……………83. 題型庚問卷題目＆題目分析 ………………………………………………75 題型庚各題統計 ……………………………………………………………76 A 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式對照表 ………………81 A 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式類別對照表 …………82 B 組學生教學前與教學後各題最高比例推論形式對照表 ………………82. III.

(6) 圖次目錄圖 3-1.1 圖 3-1.2 圖 3-5.1. 原生分類研究架構圖 ………………………………………………………17 推論形式研究架構圖 ………………………………………………………18 研究過程流程圖 ……………………………………………………………27. 圖 5-0.1 圖 5-0.2 圖 5-0.3 圖 5-0.4. 『直觀』推論形式 1 ………………………………………………………51 『直觀』推論形式 2 ………………………………………………………51 『直觀推論』推論形式 1 …………………………………………………51 『直觀推論』推論形式 2 …………………………………………………52. 圖 5-0.5 圖 5-0.6 圖 5-0.7 圖 5-0.8. 『視覺邏輯推論』推論形式 1 『視覺邏輯推論』推論形式 2 『數學邏輯推論』推論形式 1 『數學邏輯推論』推論形式 2. ……………………………………………52 ……………………………………………52 ……………………………………………53 ……………………………………………53. 圖 5-0.9 『數學邏輯推論』推論形式特例 1 圖 5-0.10 『數學邏輯推論』推論形式特例 2 圖 5-1.1 題型甲『視覺邏輯推論』類型 1. ………………………………………54 ………………………………………54 ………………………………………61. 圖 5-1.2 圖 5-1.3 圖 5-1.4 圖 5-1.5. 題型甲『視覺邏輯推論』類型 2 ………………………………………61 題型甲『視覺邏輯推論』類型 3 ………………………………………62 題型甲『直觀推論』類型 1 ……………………………………………62 題型乙『數學邏輯推論』類型 1 ………………………………………65. 圖 5-1.6 圖 5-1.7 圖 5-1.8 圖 5-1.9 圖 5-1.10 圖 5-1.11. 題型乙『數學邏輯推論』類型 2 題型乙『數學邏輯推論』類型 3 題型丁『視覺邏輯推論』類型 1 題型丁『視覺邏輯推論』類型 2 題型丁『數學邏輯推論』類型 1 題型庚『視覺邏輯推論』類型 1. ………………………………………65 ………………………………………65 ………………………………………70 ………………………………………70 ………………………………………71 ………………………………………76. 圖 5-1.12. 題型庚『視覺邏輯推論』類型 2. ………………………………………77. IV.

(7) 第壹章緒論第一節. 研究動機. 從事數學教學的這幾個年頭，每當學生遇到幾何單元的時候，常常看到他們抓著頭、咬著筆絞盡腦汁的在和眼前的圖形搏鬥，解開謎題的時候眉笑眼開、困入胡同的時候愁眉苦臉。尤其學生在升到國三之後，以為自己已經身懷絕技，卻往往會在『圓』的單元被殺個片甲不留，在教學期間常常可以聽到學生嘀咕：『怎麼可能會是這種答案，看起來又不像…』，可以想見在他們的腦裡因為受到眼前圖形的影響，早在他們開始解題之前已經就有一些什麼在運作著。仔細想想，每每九年級課程在遇到圓的單元的時候，一般課本的內容大都是針對『圓心角』、『圓周角』、『圓內角』、『弦切角』、『圓外角』等角的名詞直接下定義、接著馬上推公式、最後就是無窮廣大的題海不停的練習運算，這些老師透過教學想要傳遞的數學概念，對學生來說會不會只是一堆文字、符號和數字的堆砌？面對那些五花八門的圖形，搞不好在學生的腦袋裡早就有一套直覺的想法影響著他們只是老師們不知道。所以，基於此好奇心與為人師者想要多瞭解學生的心態，到底學生在看到圖形後根據自我感知直覺所產生的類有哪些？學生在判別角度問題時直覺產生的推論方法為何？當老師透過教學傳遞數學概念後，學生是否會改變自己的推論方法往老師所期望的方法去？這些都是本研究所感興趣的。故本研究選擇以「圓的角的原生分類類型」、「判別圓的角角度大小的推論形式」為探討主題。其中「分類」在心理學上是一種很重要的認知能力，Rosch 等學者（1976）指出人們在環境中將物體加以分類，藉著類別系統（category system），才能組織大量訊息在長期記憶（long-term 1.

(8) memory）中，並藉此來引導他們推理的過程(引自陳柏棻，1994)，但現今的教材中往往忽略了這一點，所以本研究想要探知學生的直觀感知情形，當從最早的直觀分類去著手，期望透過本研究能知道學生在老師教學前對於「圓的角的原生分類類型」為何。而關於「解題」，自從 G.Polya 在 1945 年出版《How To Solve It》以來，引起不少學者對於數學解題方面的興趣，在教育研究上關於數學解題的研究議題與方法有很多，可研究的層面也很廣，但研究者仍想聚焦在瞭解學生腦袋瓜裡想的是什麼，所以本研究主要在探討學生面對判別角度大小問題時直覺使用的推論形式，期望透過本研究能看到一些現象，藉以瞭解學生對於「判別圓的角角度大小的推論形式」在老師教學前與教學後與不同程度學生間的差異為何。. 2.

(9) 第二節研究目的暨研究問題本研究之研究目的，在於：一、探討九年級學生在教學前對於「圓的角」的原生分類。二、探討九年級學生在教學前與教學後判別「圓的角」角度大小的推論形式。. 研究者根據上述研究目的，擬定下列研究問題： 1：九年級學生在教學前對於『九年級學生在教學前對於『圓的角』圓的角』的原生分類為何？的原生分類為何？ 1.1 學生的原生分類類型為何？ 1.2 影響學生分類結果的可能原因為何？ 2：九年級學生在教學前與教學後判別九年級學生在教學前與教學後判別『在教學前與教學後判別『圓的角』圓的角』角度大小的推論形式為角度大小的推論形式為何？ 2.0 學生在教學前與教學後判別角度大小的主要推論形式分別為何？ 2.1 學生在教學前與教學後判別角度大小的推論形式差異為何？影響差異的可能原因為何？ 2.2 不同程度的學生在教學前與教學後判別角度大小的推論形式差異為何？影響差異的可能原因為何？. 3.

(10) 第三節. 名詞解釋. 1.圓的角：本研究中所提到的「圓的角」，意指現今九年級課程『圓』的章節中的「圓心角」、「圓周角」、「圓內角」、「圓外角」、「弦切角」的合稱，但第二個研究問題主要聚焦在「圓心角」、「圓周角」、與「圓內角」上，「圓外角」與「弦切角」不在本研究範圍內。 2.學生：本研究以全體樣本學生為分析單位，以全體樣本學生的有效資料進行數據統計並分析報導，用以瞭解整體學生所呈現的現象，而非單獨的個案。 3.教學前：在學校教師進行九年級課程『圓』的章節，所有單元教學之前。註：為避免學生於校外補習影響施測，本研究的教學前施測時間點在九年級課程『圓』的前一章節教學期間施測。教學後：在學校教師進行九年級課程『圓』的章節，所有單元教學之後。 4.原生分類：在教師教學前，學生自行對『圓的角』所產生的原始分類。學生在進行此分類時，多數是以自己過去的經驗與既有的認知為基礎，依據圖形整體或最為突顯的特徵直覺產生的原始分類。 5.推論形式：學生在處理判別圓的角度大小問題時，使用各種不同的推論方法，本研究將各種推論方法依據其特性歸類為四種推論形式： ◎直觀:直接透過視覺來判定角度大小進行推論。 4.

(11) ◎直觀推論:透過視覺從題目的圖形中抓取明顯可得的條件後，受到直覺直覺法則（主要是 sameA-sameB 與 moreA-moreB 這兩種法則）的法則影響來進行推論。 ◎視覺邏輯推論:透過視覺從題目的圖形中自行增加自行增加非圖自行增加非圖形可得非圖形可得的條件形可得後，依據數學邏輯進行推論。 ◎數學邏輯推論：透過視覺從題目的圖形中抓取明顯可得或可推論得的條件後，依據數學邏輯進行推論。以上四種推論形式將於第五章舉例與詳細說明。 6.不同程度的學生：本研究所抽取的樣本學校依據學科成績並加權英、數、理三科分數將學生依能力分層，並依班群將學生分為 A、B 兩組進行適性教學。而由研究者與教學同仁的經驗，一般而言，A 組學生的數學成就比 B 組學生好，且數學學習的意願也相對較高，故定調為不同程度的學生。. 5.

(12) 第貳章文獻探討第一節. 分類. (一)分類結構的發展：皮亞傑(Piaget,1896-1980)是近代著名的兒童心理學家，他根據長期對於兒童的觀察和研究提出認知發展理論，將兒童的認知發展分為：感覺-動作期、前運思期、具體運思期、形式運思期，當兒童在 7~12 歲邁入具體運思期的同時，開始能藉由具體經驗做邏輯推理，開始具有可逆性的運算能力、守恆的保留概念、進行分類與序列等運算，也正是因為有了這兩種運算，兒童才從前運思期的動作邏輯和表象邏輯的水平過渡到運算水平(杜聲鋒，1997)。Piaget 從他與 Inhelder 對 2159 名兒童所做的實驗研究中發現：兒童要到七、八歲以後才開始發展分類和排序的認知結構（莊志彥，1999）。他認為「類別」的這種定義能用於高於一定年齡階段兒童所做的分類，而分類類別可以用它們的「內涵」也可以用它們的「外延」來界說，並設立兩點作為觀察兒童類別運算存在的標準：(1)兒童能按照一個比較普通的類別以及一個或數個比較具體的差別來界說一個類別的內涵；(2)能夠按照包含的結構來處理他們的外延，掌握「所有的」、「有些」、「一個」和「沒有」等量詞(Piaget & Inhelder，陸有銓、華意蓉譯，1989)。根據 Piaget 和 Inhelder 的研究顯示，兒童分類能力可分為三個階段： (1)圖形的集合(collections figurale)，2~5 歲：兒童把認為有關係的客體放在一起，將物體連成一條連續或不連續的線、用相似的成分構成小集合對象、或由相異成分組成一個複雜對 6.

(13) 象，這些集合呈現出聚合性的特徵，此時兒童還不能將一個集合與一個對象區分開來，內涵不能界定外延，以致於內涵和外延無法協調，而知覺主導分類的操作。 (2)非圖形集合，5~7 歲：兒童根據相似性為基礎來分類、並以循序的發展方式將所有客體歸類、不再受空間具體形狀束縛而利用客體的相似性或相異性來歸類、內涵及外延有相當程度的分化與協調，但由於仍是透過嘗試錯誤的動作來逐步調整分類，仍不算真正的類的邏輯運算(李其維，1995)。 (3)類包涵及等級分類，7~11 歲：兒童在這階段的的分類形式，展現了內涵和外延的完全分化和協調、瞭解整體與部份的類包涵關係，顯示兒童形成類的邏輯運算。另外， Piaget 認為在這階段的分類與第一階段最大的差別是，兒童越成熟處理客體成分的方式越機動(Piaget & Inhelder，陸有銓、華意蓉譯，1989)，也就是說在第三階段，兒童事後認識(回溯)與事前預見（預見）來回遷移的機動性是最強的，也為實現分類運算的可逆性和分類邏輯結構的完整性提供了強大的心理機制(李其維，1995)。本研究以九年級學生為研究樣本，已達到 Piaget 的分類結構發展的完備階段，學生的分類結果應是依循其自我的分類邏輯產生，並符合類別的定義。 (二)分類的重要性： Piaget（1969）曾說：「在日常生活中，能夠合理的將事物分門別類者，即表示能以精確明辨的方式替代含糊籠統的反應。」，他假定邏輯分類概念具有以下三種功能：(一)聯繫事物間之共同點(二)辨別事物 7.

(14) 之相異點(三)量化，並肯定邏輯思考為知識與感官間的橋樑，而知識之建立端賴邏輯分類與關係系統的奠定，所以 Piaget 強調能夠靈活運用『邏輯分類』系統，建立穩固的『量化包涵類別』概念，是日後青少年期推理演繹思考能力的基礎(引自俞筱均，1982，P146~147)。從學習的觀點來看，在心理學上不少學者認為「分類」是一種很重要的認知能力：Skemp(1987)在《The Psychology of Learning Mathematics》一書中提到，個體在認知一件事物時，就會把它拿來和以前經驗過的事物做比較、分類，過去的經驗影響著現在的行為，不停的在進行這種連續且自發、類似分類(classifying)與歸檔(fitting)的活動，並且從中經過反覆的抽象(abstracting)讓個體瞭解各種經驗與事物之間的相似性與共通性，最終形成概念（Richar R.Skemp，陳澤民譯，1995），也就是說在概念形成的過程中「分類」是必要的歷程。Rosch 等學者(1976) 指出人們在環境中將物體加以分類，藉著類別系統組織大量訊息在長期記憶中，並藉此引導他們的推理過程，透過類別概念減輕認知負荷、節省記憶力、區別事物，擴充人類「大腦的空間」，也更加豐富人們認知的極限（莊志彥，1999）。從教育的觀點來看，學校教育應重視學生分類技能的培養，以幫助學生日後的學習。張雪君(1995)認為，將事、物分類是人類組織其經驗的重要方法之一，探討兒童分類能力的發展歷程有助於我們瞭解兒童如何組織其經驗，而且分類能力與概念的形成有密切的關連（引自王佳欣， 2010），所以教師也應當對學生的分類能力有所瞭解，以協助學生日後概念的形成。綜合以上觀點，顯現「分類」的重要性並且對於個體日後概念學習的影響力，增進研究者對於本研究研究意義的掌握，並提供研究的想法。 8.

(15) 第二節. 直覺 vs.邏輯. 直覺與邏輯之間錯綜複雜的關係，長久以來都是世人法無釐清的兩端。在 1981 年，史培利(Roger Sperry)在他的研究中發現，人類的左腦是掌管語言、邏輯分析、算術、具抽象思維功能等理性思考的所在，而右腦則掌管視覺、直覺、綜合、情緒、具形象思維功能等概略性思考的所在，左右腦在功能上不對稱，但處理複雜問題需要兩半球協調活動（羅增儒、鐘湘湖，2000），這種相異卻又共存的關係就如同直覺與邏輯的關係一般，難以切割。以下針對不同的面向做進一步的探討：（一）從數學學習的觀點：在現行的國民中小學課程綱要的基本理念中，有提到：『數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演進，概遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。』（97 年國民中小學九年一貫課程綱要），顯示現今中學的數學教材乃是以邏輯順序來組織架構的，而老師以教材的邏輯結構來教，學生就依教師所教的邏輯結構來學，透過邏輯的推導獲得數學的概念與知識。但是在一個學生學習數學的起點，往往蘊含著大量的非邏輯、直覺的活動，尤以幾何概念學習為多，例如：國小學生在學習三角形內角和的時候，利用剪紙與拼合將三角形的三個內角拼成平角，觀察出內角和等於 180 度，也就是說老師通常教學生的是直覺幾何 (intuitive geometry)，透過實驗探索、操作觀察的方式來學習幾何知識(鄭勝鴻，2004)，又例如：兩點間的最短距離為直線距離，如此不驗自明的想法，來自於直覺的認識。對於一些數學結論的發現或是數學方法的策略創造，不僅有顯露的、可證實的邏輯推理，亦有大量的非邏輯的、潛意識的思維活動含在其中（羅 9.

(16) 增儒、鐘湘湖，2000），所以從數學學習的觀點來看，除了數學知識之外，教師不僅要培養學生邏輯推理、運算等數學能力，培養學生非邏輯的直覺思維、抽象層次上的想像力與觀察力也是同等重要的。（二）從思維的觀點：著名科學家錢學森教授提出，一般人類的思維活動有三種基本形式：形象思維（直覺）、抽象思維（邏輯）、靈感思維（頓悟），而雖然形式上劃分為三種，但實際上每一個思維活動的過程都不會是只是單純一種思維形式在作用，而是兩種甚至是三種先後起作用（邵強進，2009）。而改以二分的觀點，人類的思維活動可分為邏輯思維與非邏輯思維，邏輯思維主要有：形式邏輯、數理邏輯、辯證邏輯，非邏輯思維主要有：想像、直覺、頓悟，這兩種思維形式各自的特點不同，但是他們彼此間互相依存與互補的關係不容忽視，就如：直覺思維是憑藉大量知識與經驗所產生的結果，其思維的過程雖然不含詳盡的推理，卻是依據事物整體與最凸顯的特徵來做出判斷，帶有理性思維的味道，又如：邏輯思維的開啟往往是在某種直覺信念的促使下才開始的，而邏輯方法的具體運用也常必須借重直覺的連結(王仲春、李元中、顧莉蕾、孫名符，1995)。將思維的二分法類比於數學思維來看，數學思維分為邏輯思維與直覺思維，羅增儒、鐘湘湖（2000）在其「直覺探索方法」一書中提到：「數學邏輯思維是一種以概念、判斷、推理的形式來進行思維…」，「數學直覺思維是具有意識的人腦對數學對象、結構及其規律關係的敏銳洞察、直接猜斷和總體把握。」，也就是說數學邏輯思維是以抽象的概念為基礎，依循邏輯的規則、以漸進且連續的方式展開，思維過程完整具條理性，是一種以概念、判斷、推理、證明為基本形式的思維。而數學直覺思維則是以形象、初步概括的觀念型態為基礎，不依循邏輯的規則、以迅捷且直接的 10.

(17) 方式展開，思維過程容易跳躍轉移且具創造性，是一種以觀察、試驗、枚舉歸納、類比、猜測為基本形式的思維(胡炳生，1995)。綜觀來看，這兩種數學思維的形式、特性、功能迥異，卻是人類認識數學、發展數學相當重要的兩翼。胡炳生(1995)也從解題的角度來看這兩種數學思維，他認為在解題的過程中，不僅要靠正確的邏輯思維去推理，還要靠合理的直覺思維去探索思路、發現新結論，才能讓邏輯思維發揮作用。透過觀察、直接試驗、枚舉歸納、類比、猜想等數學直覺思維的方式開啟思路，依據數學邏輯思維去獲得嚴密且符合數學邏輯的結果。綜合以上觀點，提供研究者本研究的研究方向：從學生直覺的原生分從學生直覺的原生分類中找尋邏輯的形式，類中找尋邏輯的形式，從學生邏輯的推論方法中找尋直覺的蹤跡。從學生邏輯的推論方法中找尋直覺的蹤跡. 11.

(18) 第三節. 直覺法則. 直覺思維是人腦對客觀世界及其關係的一種非常直接的識別或猜想的心理狀態（王仲春等，1995)，只要有思維活動的地方就存在著直覺，所以直覺常貫穿在我們的日常生活之中，例如：聽電話的時候，如果接聽的是長途電話往往就會不自覺的放大音量、看到比較高壯的人就會認為比較健康，而學生在學習數學的過程中也會有直覺的例子，舉例來說：一杯飲料 2 杯飲料 30 元，學生可以很輕鬆的回答 4 杯飲料多少 60 元，但對於 7 杯飲料可能就需要另外進行運算；在兩條直線相交所形成的一組對頂角中，當一角的夾邊比另一角的夾邊長，透過圖片給予學生觀察後詢問：哪個角比較大？低年級學生甚至是一些較為年長的高年級學生往往認為夾邊較長的角角度會比較大（引自 Stavy & Tirosh，2000）。根據 Stavy & Tirosh 的詮釋，這是一個角的夾邊越長，角就會比較大的直覺的例子。而直覺的反應有些是對的，有些往往是錯誤的，且對於直覺常常無法提供一個清楚且完整的證明，所以有些學者認為直覺是迷思概念的主要來源，應該從正式的科學知識裡消除（Hahn，1956，引自謝展文，2000）。直覺具有不驗自明的(self-evident)、顯然的(obvious)的特性，它不需要先備知識的證明即能被接受，也因此具有整體性(globality)和外推性(extrapolativeness)的特質，直覺思考是以熟悉的相關知識領域及其結構為根據的，使得人們能獲得截徑、跳躍的思考，對於直覺所獲不驗自明的結果未必能瞭解其過程與其中的詳細資訊，往往常超過已知的事實，所以直覺蘊含著直接可觸及的資訊以外的外推。另外，直覺的知識也具有頑固(perseverance)、強制性(coerciveness)，直覺一旦被建立就很難改變，對於不合直覺的其他想法也很容易被排除在外，所以學生在學習的過程中經常是錯誤的直覺與正確的概念並存，兩者間的矛盾與衝突影響 12.

(19) 著學習，也令老師頭痛。Fischbein 建議讓學生知道這種衝突，協助他們發展科學概念的基模來控制他們的直覺（引自謝展文，2000），所以教師本身需要要對直覺有所瞭解，才能在適當的時機凸顯問題，並幫助學生克服錯誤的直覺，也將正確的直覺融入於課堂教學之中。近年來對於學生的直覺研究，最有名的就屬以色列學者 Ruth Stavy 和 Dina Tirosh 所提出的直覺法則理論。Stavy,Tirosh,Tsamir & Ronen(1996)； Stavy & Tirosh(1999)根據先前研究的研究報告，針對不同國家、不同年級的學生在科學及數學不同主題上的相關測驗所顯示的學生錯誤反應現象做更深入的研究。他們發現學生在內容多樣且領域不同、概念不同、推理能力不同的測驗上，以相似的方式來做反應、且擁有共同的外在特徵，因此特殊現象，提出直覺法則的理論(the theory of the intuitive rules) 藉以解釋並預測學生對於數學與科學問題的反應。根據相關研究證實了四個直覺法則。這四個直覺法則分別為兩種和比較型問題有關的 More A-More B (Stavy & Tirosh，1996；Stavy,Tirosh,Tsamir & Ronen，1996；Stavy & Tirosh,1999) 和 Same A-Same B (Stavy,Tirosh,Tsamir & Ronen,1996；Stavy & Tirosh,1999)，另外兩種和連續細分型問題有關的 Everything comes to an end（有限細 end 分法則）和 Everything can be divided(無限細分法則)(Stavy,Tirosh,Tsamir divided & Ronen,1996；Stavy & Tirosh,1996；Stavy & Tirosh,1999)，這些直覺法則在很多情況下會引導我們的反應（謝展文，2000）。四個直覺法則說明如下：（一）More A-More B：每天的日常生活中，常有很多機會以一個感知的數量(A)為規準來比較另一個數量(B)。學生在比較型的問題中，感知到兩物體或系統在 A 量 13.

(20) 上有明顯的不同(A1＞A2)，當被要求去比較這兩個物體或系統在另一個 B 量的大小時(B1＝B2 或 B1＜B2)，依據此法則做出不正確的判斷(B1＞B2)，以下舉例說明：例 1：請根據下圖，比較圖中角α和角β的大小為何？. α M 1 β. 正確的答案是因為互為對頂角，所以角α和角β相等。在 Tirosh 的研究(Tsamir,Tirosh, & Stavy,1997；引自 Stavy & Tirosh，2000)中顯示，多數年幼的學生(幼稚園、2 年級和 4 年級)認為角β比較大，甚至是部份較年長的學生(9 年級)也認為角β，而這些學生的解釋是”angle β is larger because its lines are longer.”(角β比較大是因為它的的兩邊比較長)(Stavy & Tirosh，2000)。Tirosh 和 Stavy(2000)認為，根據直覺法則的理論，這類學生的答案是直覺法則 More A-More B 的應用。（二）Same A-Same B：在另一種比較型的問題中，學生感知到兩物體或系統在某個 A 量上相同(A1＝A2)，當被要求去比較這兩個物體或系統在另一個 B 量的大小時(B1 ≠B2)，依據此法則做出不正確的判斷(B1＝B2)，而這個 A 量有時是直接給定，有些是學生直接邏輯推理而來的，以下舉例說明：. 14.

(21) 例 1：兩張全等的長方形（非正方形）紙張（紙 1 和紙 2）：＊將紙 2 旋轉(rotate)90°後，請問： (1)紙 1 的面積會相等/大於/小於紙 2 的面積嗎？＊將兩張紙捲(fold)起來(如圖)，你會得到圓柱 1 和圓柱 2，請問： (2)圓柱 1 的體機會相等/大於/小於圓柱 2 的體積嗎？. (引自 Stavy & Tirosh，2000). 第一個問題，源自於典型的 Piagetian 任務，正確的答案是相等，第二個研究透過數學公式運算可知圓柱 2 的體積比較大。從 Stavy 等的研究所示，從 2 到 5 年級的學生中，至少有 83%的學生錯誤的認定兩個圓柱的體積相等，而這些學生的解釋是”the volumes of the two cylinders are the same because they are made from the same sheets of papers.”(這兩個圓柱的體積相等是因為他們是用同樣一張紙)(Stavy & Tirosh，2000)。 Tirosh 和 Stavy(2000)認為，根據直覺法則的理論，這類學生的答案是直覺法則 Same A-Same B 的應用。 15.

(22) （三）Everything can be divided(無限細分法則)與 Everything can be divided(無限細分法則)：連續細分型的問題(successive division tasks)在過去已被用來探究學生數學和科學概念的問題。在數學中，連續細分型的問題主要用來研究學生的”無限(infinity)”概念(Fischbein,Tirosh & Hess,1979； Nunez,1991；Tall,1981；引自 Stavy & Tirosh，2000)。而不管在數學還是物理科學中，連續細分型的問題都是：先描述一個連續細分的過程，然後詢問學生這個過程是否會結束，而正確的反應是依賴物體的本質定的，當物體是數學上的，則連續細分的過程會是無窮盡的無限細分，而當物體是物理上的，則連續細分的過程會是達到原子或分子即停止的有限細分（Stavy & Tirosh,1996；Stavy,Tirosh,Tsamir & Ronen,1996；Stavy & Tirosh,1999，引自謝展文，2000）。從 Stavy 等的研究所示，學生的「無限細分直覺法則」來自於認知系統外推的一種自然趨勢的直接結果，受直覺頑強的本質影響，而「有限細分直覺法則」則由技術層面的觀點來看，因技術的限制侷限了外推的自然趨勢(蔡秉恆，黃天佑，2005)。另外，不管是在數學還是科學領域，較為年幼的學生傾向於「有限細分」的回答，較為年長的學生則傾向於「無限細分」的回答，這些都是由於直覺法則在各年齡層造成的影響，也顯現出直覺頑強的本質。透過以上文獻探討，提供研究者在設計研究問卷與分析時的一些觀點，而基於本研究所研究的單元為中學幾何的課程，主要以圖形呈現概念，並且以比較型問題為問卷主要題型，故只採用直覺法則中的”More A-More B”與”Same A-Same B”兩個直覺法則，來進行問卷圖形設計。. 16.

(23) 第參章研究方法第一節. 研究架構. 本研究的研究架構是根據兩個研究目的：『學生在教學前對於圓的角的原生分類』與『學生在教學前與教學後判別圓的角角度大小的推論形式』，並配合各研究問題，所發展出的研究架構。兩個研究架構圖如下： (一) 「圓的角」的原生分類：. 學生的原生分類 2 腦中既有的認知 ○. 1 ○ 類A. 與邏輯. 類B. b c. a. 4. 2. 5. 3. 6. 1. O. O. O. O. O. O. 10 7. 12. 9. 11. 8 O. O. O. O. O O. 14 17. 15. 16. 18. O. O. O. O. O. O. 13. 原始圖形圖 3-1.1 原生分類研究架構圖. ◎圖 3-1.1 原生分類研究架構圖說明如下：原始圖形帶給學生的訊息刺激從眼睛輸入(a)，透過視覺神經傳遞到腦中引動既有的認知，再根據既有的認知重新去看圖形(b)，並且在不停反覆的過程中，引入越多既有的認知和概念、越聚焦於所欲抓取的 17.

(24) 物件與關係上，並從中看見「類」。學生依據腦中的分類邏輯，在透過視覺不停反覆的預見與回溯的過程中，抽象出圖形間的共同特徵進而將圖形分類產生類(c)。本研究欲探討的兩個問題，即：從學生的原生分類中，去抽象出學生的分類類別，並歸納出分類類型有哪些，：從學生的原生分類結果可知學生間的差異，回頭推測學生所看見的「類」勢必不同，而影響學生的可能原因有哪些？是本研究所欲探知的。 (二) 判別「圓的角」角度大小的推論形式： 1 ○ 題. 研究面向. 型. 教. 2 學生程度 ○. 教推. 學論. 師. 教. 學. 前形. 教式. 推. 邏. 直. 論. 後形. 式. 邏. 直. a 觀. 學. b 輯. 觀. 推論. 輯. 推論. c 判別「圓的角」的角度大小圖 3-1.2 推論形式研究架構圖. 18.

(25) ◎圖 3-1.2 推論形式研究架構圖說明如下：學生判別『圓的角』角度大小的推論形式初分有兩種類別：直觀類別與邏輯類別。對於不同題型的題目，學生在教學前(a)與教學後(b) 這兩大類推論形式所使用的比例大小為 3 條虛線中的其中一條，即直觀類別與邏輯類別哪一種使用比例較高在研究之前是未定的，有待研究後獲知。另外，(c)部份的虛線四邊形則表示，在教學後，學生能推論角度大小的題數可能會逐漸增多。本研究欲探討的兩個問題，從兩個研究面向去探討，即：在不同的題型下探討，學生在教學前與教學後判別角度大小的推論形式差異為何，：不同程度的學生在教學前與教學後判別角度大小的推論形式差異為何？是本研究所欲探知的。. 19.

(26) 第二節. 研究方法與研究設計. 本研究的研究目的是：探討九年級學生「在教學前對於圓的角的原生分類」與「在教學前與教學後判別圓的角角度大小的推論形式」。期望透過第一個研究瞭解學生在相關概念形成前的原生分類，並且透過第二個研究對於學生在教師教學前後的推論形式能有實徵性的呈現，藉由這兩個研究得以瞭解學生對於「圓的角」的直覺感知分類情形與教學前後的推論形式差異。為此，本研究屬於基礎性研究基礎性研究( 基礎性研究 basic research ) ，目的在發現事實並產生論述。根據研究目的，由於各個學生的分類結果與判別角度的推論形式因人而異，故為了能夠抽取出學生的分類類型並更深入探討學生於教學前後推論形式的差異，本研究之研究方法為描述性研究 (descriptive research)，利用各階段的開放性問卷收集質的資料，並根據所蒐集來的資料進行歸納分析(inductive analysis)。而為了能促進資料的比較和統計方便，本研究將各資料歸類後輔以量的統計分析以協助觀察學生的整體表現與教學前後的變化。本研究的基本理念如下： 1.遵守「發現導向（discover-oriented）」方法，且任何發現皆來自於學生：為了將研究者對研究情境的操控降到最低，在研究過程中不影響教師教學內容、教材的安排，並請教師以教學名義進行施測，施測問卷內容亦未透露該測驗為研究用測驗，試圖將學生的心理影響降到最低，且先前對研究結果不做任何預先的限制，對於學生於問卷所顯現的現象及其直覺呈現的想法保持開放的心 20.

(27) 態。 2.以歸納分析的方式進行質性的統整：從全體樣本學生所真實呈現的分類中加以探索、細究、抽象，逐漸歸納出學生的分類類型，也從全體樣本學生所呈現的不同推論形式加以統整、比較、歸納，以探討教學前與教學後的差異。本研究針對不同題型、不同程度學生的推論形式進行歸納、比較，以探討題型與不同程度學生在推論形式的差異及其可能影響的原因。 3.本研究以質性分析為主，量化資料為輔：本研究採用問卷調查法，問卷中包含開放性問題，以之蒐集資料後進行質性的統整分析，並將質性內容歸類後採用統計方法獲得量化的數據，整體以質性分析為主、量化資料為輔，力求較為客觀的分析與報導。. 21.

(28) 第三節. 研究樣本. 本研究以正在學習九年級課程『圓』章節的國三學生為研究對象，在學生學習該章節前進行第一階段施測：共計兩份(圓的角原生分類問卷、圓的角角度大小的推論形式教學前問卷)，並在教師結束該章節教學後再進行第二階段施測：共計一份(圓的角角度大小的推論形式教學後問卷)。另外，為了避免學生因校外補習而影響施測結果，本研究的第一階段施測時間點，選在九年級課程『圓』的前一章節教學期間即施測，第二階段施測時間點則定於教師結束該章節所有單元教學之後。由於本研究需根據學校的教學進度安排施測時間，並與協助施測教師溝通各類問卷施測方式及施測現況處理模式以求收得資料的公正性，因此無法將樣本擴大及考慮區域差異，只選取台南市一所公立學校中方便協助的教師班級進行施測。另外根據第二個研究目的所產生的研究問題中需考量學生的程度差異，故本研究的樣本，採用該校兩班 A 組學生與兩班 B 組學生進行施測。樣本資料概況如下表 3-1.1：《表 3-3.1 研究樣本資料概況》研究樣本班級資料代碼. 301 班. 303 班. 302 班. 319 班. 學生程度. A組. A組. B組. B組. 班級人數. 29 人. 38 人. 34 人. 34 人. 26 人. 35 人. 30 人. 30 人. 有效樣本. 共計 121 份. ※資料有效採決方式為：任一學前或學後問卷有缺漏未受測者，因無法比較學習前與學習後的推論形式，故同列為無效問卷。 ※301 與 319 班為同一位教師教學與施測，303 與 302 為另一位教師教學與施測，兩位教師所使用的教材與教學進度一致，故不考量相關變異。 22.

(29) 兩位施測教師教學時所使用的教材皆以課本（國中數學課本康軒版）為主。根據康軒版課本內容，教師透過課本於八年級下學期第二章第一節（生活中的平面圖形）介紹學生弧、弦、圓心角、扇形等與圓相關的名詞，並藉由扇形的面積與周長進行圓心角運算，此時學生對於圓心角已有初步的認識。而教師透過課本於九年級上學期第二章第二節(圓心角、圓周角及弦切角)教授學生圓心角、圓周角、弦切角、圓內角、圓外角的相關概念與延伸性質，讓學生理解這五種「圓的角」的意義、瞭解各角與弧度的關係，透過實際解題讓學生反覆區辨這五種角、培養學生運用相關概念與延伸性質解題的能力，並透過課本內容的性質介紹與老師畫圖舉例，試圖破除學生一些直覺的想法，讓學生瞭解視覺與實際的差異、不能依賴視覺而需要透過邏輯判斷。課本內容舉例如下： ◎康軒課本相關內容(圓周角)：在右圖中，∠ABE＝∠ACE＝∠ADE＝. 1︵ AE ，所以我們也可以得知: 2. 在同圓中，同弧所對的圓周角都相等。. (引自康軒版第五冊課本，洪有情等，2010). 23.

(30) 第四節. 研究工具. 本研究的研究工具為問卷三份，教學前：『圓的角的原生分類問卷』、『圓的角角度大小的推論形式教學前問卷』，教學後：『圓的角角度大小的推論形式教學後問卷』。其中，『圓的角角度大小的推論形式』的教學前與教學後問卷內容一致並未做任何修改，以利比較學生在教學前與教學後推論形式的差異，各問卷內容詳見附錄(一)、（二）、（三）。本研究藉由三份問卷取得質的資料，這些質的資料皆是由學生在問卷上根據題目要求自述其分類或推論理由而得。在九年級『圓』的章節中，主要學習的概念有「圓心角」、「圓周角」、「圓內角」、「圓外角」、「弦切角」等五種圓的角及其相關運算性質，而該章節中判斷角度大小的題型多樣，以下就研究工具的編製架構說明： 1.圓的角原生分類問卷：根據課本章節所欲教授的五種「圓的角」的數學概念為基礎，並加入常見的變化元素（例如：虛線、角的一邊過圓心..等），繪製出 18 個圖形給學生分類，並於問卷中給予書寫範例以引導學生詳述其分類理由。施測期間給予每位學生一份和問卷圖形相同且大小一致的圖卡，讓學生透過實際操作輔助腦中分類活動、減輕認知負擔。本問卷施測時間點預定於教師進行九年級課程『圓』的前一章節的教學期間施測，避免學生於校外補習影響結果，用以探知學生的原生分類。本研究問卷圖形結構如下表：《表 3-4.1 圓的角的原生分類問卷圖形結構表》. 數學概念圓心角圓周角圓內角圓外角弦切角. 圖號 6、9、18 1、2、3、4、5、10 7、8、11 12、13、14、17 15、16 24.

(31) 2.圓的角角度大小的推論形式問卷現行課本與坊間相關教材中對於判別「圓的角」角度大小的題型多樣，而影響學生解題的相關因素也很多，但基於本研究目的是為了瞭解學生的直覺想法，而非題型檢測或影響學生解題的因素分析，本研究只以研究者所欲瞭解的直覺與邏輯範疇並配合課本章節所欲教學「圓的角」的相關概念為基礎來編製問卷，全數共 18 題。第一階段施測時間點預定於教師進行九年級課程『圓』的前一章節的教學期間施測，以避免學生於校外補習影響結果，第二階段施測時間點則定於教師結束該章節所有單元教學之後，兩階段問卷內容一致，用以探知學生於教學前與教學後推論形式的差異。本研究問卷的編製架構分析如下表：《表 3-4.2 圓的角角度大小的推論形式問卷編製架構分析表》直覺法則 sameA-sameB moreA-moreB 題1. 邏輯性無. 有. . 題2. . 題3. . . 題4. . . 題5. . . 題6. 角的種類. 無. 圓心角. . . 圓周角. 圓內角. ∠1＜∠2. . . ∠1＝∠2. . ∠1＝∠2 ∠1＝∠2. . . 圖中角度關係. ∠1＞∠2. . ∠1＝∠2. . ∠1＞∠2. 題7. . . 題8. . . 題9. . . . ∠1＞∠2＝∠3. 題 10. . . . ∠1＜∠2. 題 11. . . . ∠1＝∠2. . ∠1＞∠2. 題 12. . . . . ∠2＝30 度. 題 13. . . . . ∠2＝25 度. 題 14. . . . . ∠2＝45 度. 題 15. . . . . ∠2＝30 度. . ∠1＝∠2. . 題 16 題 17 題 18. . . . ∠1＜∠2. . . 25. ∠1＝∠2.

(32) 第五節. 研究步驟. 本研究的實施步驟共有三個階段：準備階段、施測階段、資料分析與論文撰寫階段。 (一) 準備階段： 1. 瀏覽國中課本教材內容與相關文獻，搜尋感興趣的研究主題。 2. 在研究主題確立後，與專家共同擬定研究方向，並聚焦產出研究目的。 3. 依據研究目的設計研究工具，而過程中常與專家、教師、和研究伙伴進行討論，以利修正研究工具的內容與確認，並著手製作施測輔具。 4. 尋找合適的研究對象與施測時間，並與合作教師討論施測方式、施測時程與注意事項的相關事宜。 (二) 施測階段：為求不影響教師教學、學生心理並兼顧符合研究目的的施測時機，事先已與合作教師商量施測時程、協調施測時間點和說明施測方式，因此，在此階段由合作教師自行進行相關流程，研究者並不參與課堂活動或問卷施測事宜。 (三) 資料分析與論文撰寫階段將蒐集而得的有效問卷進行質性分析，並把學生所真實呈現的資料進行歸類統整，以抽象出學生的原生分類類別並歸納出分類類型、分析出學生在教學前與教學後各題的推論形式並比較差異，而在整理資料的過程中，將各統整結果進行量化的統計，以利進行 26.

(33) 更具結構性的分析與實徵性的報導。以下為研究過程的流程圖：. 閱讀文獻與相關資料. 確立研究主題、與專家討論擬定研究方向. 編製研究工具. 選擇研究對象與合作教師，並協商施測方式與施測時程. 於協商的施測時間點，進行問卷施測. 將有效資料進行歸類統整，將歸類結果進行量化統計. 資料分析與論文撰寫. 圖 3-5.1 研究過程流程圖. 27.

(34) 第六節. 研究限制. 1.本研究必須根據蒐集資料進行深層的質性分析，也必需根據學校的教學進度安排施測時間，並隨時與合作教師溝通、協調各類問卷施測細節以及傳遞資料，因此無法將樣本擴大及或考慮區域差異等因素。 2.由於本研究所欲探討的是學生於「教學前的原生分類」與「教學前與教學後的推論形式差異」，往往補習是影響研究結果的關鍵因素，雖然研究者以控制施測時間點的方式試圖避免學生受到補習的干擾，但不一定能確實做到全面性的防範。 3.本研究屬於基礎性研究，期望透過本研究能看到一些現象並產生論述，而基於保持學生反應的真實與自然，所以並未以設計實驗或控制的方式進行研究資料的收集，故相關論述對於未來教學的應用性仍有待考驗。 4.本研究礙於研究難度，且以探得多數學生的原生分類類型為主要目的，故在進行施測時要求學生以自我的最佳分類分式來分（每一個角只能歸在一類，不能重複分類），且資料分析時只採取佔總人數 5%以上的類別進行報導與統整，故學生分類結果與生物學上的分類有所不同，所分析出的相關論述也未能全面性的包含所有分類結果。 5.本研究採用問卷蒐集資料後，根據學生所書寫的內容來歸類學生的推論形式並未對學生進行面對面的訪談，故較難以探知學生在解題時的真正想法，對於某些特殊的推論形式判別，難免流於主觀。. 28.

(35) 第肆章『圓的角』圓的角』的原生分類本章欲探討九年級學生在教學前對於『圓的角』的原生分類。在本研究中，研究者根據學生於第一份問卷透過觀察圖形、操作輔具進行分類的結果進行統整與討論。各分類結果在統計後，只採取佔總人數採取佔總人數 5%以上 5%以上（以上（各比例數據採四捨五入法到整數位）比例數據採四捨五入法到整數位）的類別報導，並將各採用的類別做進一的類別報導步的整理，歸納出四大類型，以求能提出更具深度的分析。在整理資料的過程中，研究者先根據學生的分類結果將同『類』(選取圖形相同)的資料分在同一群組，再從不同學生對於該『類』的描述中抽象出學生對於該類的分類焦點為何，進而產生『類別』（即類 A-1~D-5），再由各『類別』的特性歸納出四大類型，此四大類型分別為：聚焦在圖中物件及其相關聯想的『圖形型態類型』、『角度性質類型』，聚焦在物件關係的『一重關係類型』、『二重關係類型』。各類型的概述如下： 1.『圖形型態類型』：學生透過視覺抓取圖中的物件後，根據自我認知對物件的圖形型態與相關延伸聯想產生連結並歸類，所產生的類別。 ex.學生抓取角的第三邊以圖中有”虛線”這個圖形型態為分類因素將角 4、5 歸為同類產生類別，該分類類型為『圖形型態類型』。 2.『角度性質類型』：學生透過視覺自我判定圖中角的度數大小後，根據已經學過的角度相關概念產生連結並歸類，所產生的類別。 ex.學生依據國小已學過的角度性質”小於 90°為銳角”為分類因素將角 1.2.3.4.8.9.10.11.12.13.14.16.17 歸為同類產生類別，該分類類型為『角度性質類型』。 29.

(36) 3.『一重關係類型』：學生透過視覺抓取圖中，角的一個物件與圓的一個物件間的關係，而分類依據只憑藉在一重關係上所產生的類別。 4.『二重關係類型』：學生透過視覺抓取圖中，角的一個物件與圓的一個物件間的關係，而分類依據憑藉在兩重關係上所產生的類別。本研究的「一重關係類型」與「二重關係類型」主要聚焦在『圓-角的位置關係』上，即從圖中取一個「圓的物件」（例如：圓心、圓周、圓內、圓外）與一個「角的物件」（例如：頂點、邊、幅度、角整體）產生相對的位置位置關係。另外，關於角的夾邊雖然有兩邊，但是由於角的夾邊有強烈位置的對稱性，在視覺上勢必會一次看兩邊，所以將角的兩個夾邊視為一個物件，並於後續報導以「角的邊」統稱。 ex.學生依據”角的頂點在圓心上”的「一重圓-角」位置關係為分類因素，將角 6.9.18 歸為同類產生類別，該分類類型為『一重關係類型』。 ex.學生依據”角的頂點在圓外且角的邊和圓連接”的「二重圓-角」位置關係為分類因素，將角 12.13.17 歸為同類產生類別，該分類類型為『二重關係類型』。. 本章節將依據上述四大類型的順序，逐一將各類別進行統整與更深入的報導。. 30.

(37) 第一節. 「圓的角」的原生分類結果一、資料統整結果與分析. (一)施測問卷：施測問卷：詳見附錄(一)。 (二)結果分析：結果分析： ◇ 有效問卷共計 121 份。 ◇ 學生在教學前對於『圓的角』的原生分類類別可抽象出四大類型： 1、類型 A：類 A-1：依據「兩線交叉兩線交叉」的圖形特徵。兩線交叉類 A-2：依據「虛線虛線」的圖形特徵。虛線學生分類聚焦在『各角的圖形型態與延伸各角的圖形型態與延伸聯想聯想』上。各角的圖形型態與延伸聯想 2、類型 B：類 B-1~4：依據「角度角度」大小的圖形特徵，以平角、直角、銳角、鈍角度角等四種角的類型進行邏輯性區分。類 B-5：依據「角度角度」大小的圖形特徵，以看似等角為由分為同類。角度學生分類聚焦在『各角的角度各角的角度所延伸的所延伸的性質性質』上。各角的角度所延伸的性質 3、類型 C：類 C-1：依據「角的頂點在圓心角的頂點在圓心上角的頂點在圓心上」的圖形特徵。類 C-2：依據「角的頂點在圓外角的頂點在圓外」的圖形特徵。角的頂點在圓外類 C-3：依據「角的幅度超出圓外超出圓外」的圖形特徵角的幅度超出圓外類 C-4：依據「角的邊角的邊不通過圓心不通過圓心」的圖形特徵。角的邊不通過圓心類 C-5：依據「角的邊通過圓心角的邊通過圓心」的圖形特徵。角的邊通過圓心類 C-6：依據「角的邊有碰到圓心但不通過角的邊有碰到圓心但不通過」的圖形特徵。角的邊有碰到圓心但不通過類 C-7：依據「圓心在角圓心在角的幅度圓心在角的幅度內的幅度內」的圖形特徵。類 C-8：依據「圓心在角外圓心在角外」的圖形特徵。圓心在角外學生分類聚焦在『一重圓一重圓一重圓-角關係』上。角關係 4、類型 D：類 D-1：依據「角的頂點在圓內且角的頂點角的頂點在圓內且角的頂點不角的頂點在圓內且角的頂點不在圓心上圓心上」的圖形特徵。類 D-2：依據「角的角的頂點在圓周且角的角的頂點在圓周且角的幅度在圓內頂點在圓周且角的幅度在圓內」的圖形特徵。幅度在圓內類 D-3：依據「角的頂點在圓外且角的邊與圓不相交角的頂點在圓外且角的邊與圓不相交」的圖形特徵。角的頂點在圓外且角的邊與圓不相交類 D-4：依據「角的頂點在圓外且角的邊和圓連接角的頂點在圓外且角的邊和圓連接」的圖形特徵。角的頂點在圓外且角的邊和圓連接類 D-5：依據「角的一邊在圓外且角的頂點在圓周角的一邊在圓外且角的頂點在圓周」的圖形特徵角的一邊在圓外且角的頂點在圓周或「角的角的部分幅度部分幅度在圓外且角的頂點在圓周在圓外且角的頂點在圓周」的圖形特徵。角的部分幅度在圓外且角的頂點在圓周學生分類聚焦在『二重圓二重圓關係』上。二重圓 -角關係. 31.

(38) ◇ 以下針對各分類類別做進一步分析與報導： 1、[類 A-1] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 6.7.8. 1.有交叉(or 兩弦所形成 or 兩條直徑相互交叉)。. 共 31 人 (26%). 2.兩線交叉(兩條直線有相交)。. 6. 7 8. O. O. O. 3.兩直線相交所形成的角度。 4.圓周任意交出的兩條直線所夾出的角。 5.圓內皆有兩條線交錯並取一個角。 6.長的像. 7.因為 8 字形。 8.看起來像。 9.有兩組對頂角。 10.圓周上四個點形成的兩條線所形成四個角在圓內。《分類現象分析》分類現象分析》 (1)學生依據視覺上「兩兩線交叉」的圖形特徵或其相關延伸聯想(ex.兩線線交叉交叉產生兩組對頂角)為分類因素產生此類。 (2)由於此類型的圖形視覺特徵明顯與其他類型不同，故約有 26%的學生在不停反覆的分類過程中仍將”角 6.7.8”歸於同類；其餘學生可能原先就不採用此視覺因素或受更具關係性的因素影響而取消此因素分類。. 32.

(39) [類 A-2] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 4.5. 1.有虛線(第三邊是虛線)(有畫輔助線才形成的角)。. 共 18 人 (15%). 2.角兩邊與圓周的交點連線會通過圓心。. 4. O. 5 O. 3.角的兩邊連起來的線可通過圓心。 4.第三邊通過圓心。 5.線都有在半個圓上。 6.補虛線形成三角形。 7.兩個底邊在直徑上的三角形頂角。. 《分類現象分析》分類現象分析》 (1)學生依據視覺上「虛線虛線」的圖形特徵或該虛線所產生的相關延伸聯想虛線 (ex.第三邊通過圓心、形成三角形)為分類因素產生此類。 (2)從部份學生的描述中可見類似「連線通過圓心」的敘述，但進一步比較可發現角 3 和角 4 之間，剛好呈現有一邊有無通過圓心的差異，顯示圓心並非學生分類所關注的焦點，主要還是因直觀看到「虛線」的特徵將其歸於同類，其餘只是為了試圖以數學方式描述而寫的綴述。. 以上兩以上兩種類別主要以上兩種類別主要聚焦在種類別主要聚焦在『聚焦在『各角的圖形型態與延伸聯想各角的圖形型態與延伸聯想』聯想』上，分類類型為『圖形型態類型』。圖形型態類型』. 33.

(40) 2、[類 B-1] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 18. 1.平角(180 度) 。. 18. O. 共 28 人 (24%). 2.一條直徑構成的平角、一半圓。. [類 B-2] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 5.15. 5. 1.看起來像直角。. 15. O. O. 共 15 人 (12%). 2.度數大於或等於 90 度。. [類 B-3] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 1.2.3.4.8.9.10.11.12.13.14.16.17. 1.銳角。. 共 13 人 (11%). 2.度數小於 90 度。 4. 3. 2. 1. 9 8. O. O. O. O. O. O. 14. 17 12. 10. 16. 11 O. O. O O. O. O. O. 13. [類 B-4] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 5.6.7.11.15.18. 1.鈍角。. 共 9 人 (7%) 5. 6. 7. 15. 18. 11 O. O. O. O. O. O. 《分類現象分析》分類現象分析》 (1)學生依據視覺上「角度角度」大小的圖形特徵，憑藉自己的視覺來判定各角度角的角度大小範圍，並以學生國小早已習得且熟知的銳角、直角、鈍角、平角等角的類型進行邏輯性區分。 (2)各角的角度範圍大部分都明顯可區辨，唯有角 5、角 15(所夾弧為半圓＝90°)在沒有工具輔助又尚未學習圓周角、弦切角的相關概念前難以 34.

(41) 準確判斷，故有部分學生將角 5、角 15 歸納於鈍角類別中。 (3)角 18 因為呈現一直線是學生從國小就常接觸的平角概念，故有 28%的學生直覺就將角 18 獨立歸類，少數幾名學生將其歸類於鈍角。 [類 B-5] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 組合類型眾多. 1.目測角度相同。. 共 41 人 (34%). 2.長的不同但角度相同。 3.看起來相似(長的像,AA 相似)。 4.直覺。. ※常見的組合： 14 17. 1 8. O. O. O. O. 角 1.8.14.17: 12. 10. 3. 2. O. O. O. O. O. 角 2.3.10.12.13:. 13. 4. 9. 11 O. O. O. 角 4.9.11： ※ 該類型統計以分類中有出現此類的人數統計，非各類計次統計。《分類現象分析》分類現象分析》 (1)學生依據視覺上「角度角度」大小的圖形特徵，依據自己的視覺直覺來判角度別分類。34%的學生中，大部分學生依據看似等角而分為同類，少部分以視覺自行判定角度等大且邊長等比例邏輯，認定兩圖形相似(SAS 相似)，抓取錯誤的條件進行邏輯性分類。以上五種類別以上五種類別，以上五種類別，主要聚焦在主要聚焦在『聚焦在『各角的角度所延伸的性質』各角的角度所延伸的性質』上，分類類型為『角度性質類型』。角度性質類型』 35.

(42) 3、[類 C-1] 學生分類結果 (1) 角 6.9.18. 學生真實自述例舉共 22 人. 1.角度的頂點在圓心上。 2.圓心在角的頂點。. (19%) 6. 9. 18. O. O. O. 3.以圓心為中心點畫出來的。 4.兩線的夾角在圓心。 5.圓內兩條線在圓心上有個交點。 6.角度在圓內且頂點和圓心連接。 7.角在圓內且兩線交於圓心。 8.兩邊都有通過圓點。 9.由兩條半徑構成。 10.圓心角。. 學生分類結果 (2) 角 9.18. 學生真實自述例舉共8人. 1.兩邊是半徑。 2.頂點在圓心上兩邊連接到圓周。. (7%) 9. 18. O. O. 3.兩線皆通過圓心。. 《分類現象分析》分類現象分析》 (1)大部分的學生依據圖形視覺上「角的頂點在圓心上」的圖形特徵為判斷依據，認定「角的頂點與圓心角的頂點與圓心」的相對位置關係後來分類，視覺抓角的頂點與圓心取物件以「角的頂點」與「圓心」為焦點。 (2)少數學生依據圖形視覺上「角的兩邊為半徑或兩邊通過圓心」的圖形特徵為判斷依據，認定「角的邊與圓心」的相對位置關係後來分類；另約有 7%的學生因更強烈的因素(兩線交叉)將角 6 拆解到其他類別，顯示對這些學生來說「兩線交叉」的訊息刺激較為強烈，該分類因素在上位，故將角 6 歸到類 A-1。. 36.

(43) [類 C-2] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 12.13.14.17. 1.兩線的交點在圓外。. 共 24 人 (20%). 2.兩線夾角在圓外。 14. 17 12. 3.角完全在圓外(角度在圓外)。. O O. O. O. 4.角在圓外(圓外的一個角度)。. 13. 5.角不在圈內。 6.凸出去。《分類現象分析》分類現象分析》 (1)學生依據圖形視覺上「角的頂點在圓外」的圖形特徵為判斷依據，認定「角的頂點與圓角的頂點與圓」角的頂點與圓」的相對位置關係後來分類，視覺抓取物件以「角的頂點」與「圓」為焦點，另一部份學生的分類理由自述為「角度在圓外」，但推測學生仍因有「角的頂點在圓外」的心像才會排除角 15.16 只選取角 12.13.14.17 歸於同類。 (2)此類與數學定義中的「圓外角」相符。 [類 C-3] 學生分類結果. 學生真實自述例舉. 角 12.13.14.15.16.17. 1.有部分或全部的角在圓外。. 共 10 人 (8%). 2.角在圓外。 3.有角度在圓外。. 14. 17 12. 15. 16. O O. O. O. O. O. 4.角超出圓的範圍。. 13. 《分類現象分析》分類現象分析》 (1)學生依據圖形視覺上「角超出圓外或完全在圓外」的圖形特徵為判斷依據，認定「角的幅度與圓角的幅度與圓」的相對位置關係後來分類，視覺抓取物角的幅度與圓件以「角的幅度」與「圓」為焦點。. 37.