1.圓的角：本研究中所提到的「圓的角」，意指現今九年級課程『圓』的 章節中的「圓心角」、「圓周角」、「圓內角」、「圓外角」、「弦切 角」的合稱，但第二個研究問題主要聚焦在「圓心角」、「圓周 角」、與「圓內角」上，「圓外角」與「弦切角」不在本研究範 圍內。
2.學生：本研究以全體樣本學生為分析單位，以全體樣本學生的有效資料 進行數據統計並分析報導，用以瞭解整體學生所呈現的現象，而 非單獨的個案。
3.教學前：在學校教師進行九年級課程『圓』的章節，所有單元教學之前。
註：為避免學生於校外補習影響施測，本研究的教學前施測時間點 在九年級課程『圓』的前一章節教學期間施測。
教學後：在學校教師進行九年級課程『圓』的章節，所有單元教學之後。
4.原生分類：在教師教學前，學生自行對『圓的角』所產生的原始分類。
學生在進行此分類時，多數是以自己過去的經驗與既有的認 知為基礎，依據圖形整體或最為突顯的特徵直覺產生的原始 分類。
5.推論形式：學生在處理判別圓的角度大小問題時，使用各種不同的推論 方法，本研究將各種推論方法依據其特性歸類為四種推論形 式：
◎直觀:直接透過視覺來判定角度大小進行推論。
◎直觀推論:透過視覺從題目的圖形中抓取明顯可得的條件後，受到直覺直覺直覺直覺 法則法則法則
法則（主要是 sameA-sameB 與 moreA-moreB 這兩種法則）的 影響來進行推論。
◎視覺邏輯推論:透過視覺從題目的圖形中自行增加自行增加自行增加非圖自行增加非圖非圖非圖形可得形可得形可得的條件形可得 後，依據數學邏輯進行推論。
◎數學邏輯推論：透過視覺從題目的圖形中抓取明顯可得或可推論得的 條件後，依據數學邏輯進行推論。
以上四種推論形式將於第五章舉例與詳細說明。
6.不同程度的學生：本研究所抽取的樣本學校依據學科成績並加權英、
數、理三科分數將學生依能力分層，並依班群將學生 分為A、B 兩組進行適性教學。而由研究者與教學同 仁的經驗，一般而言，A 組學生的數學成就比 B 組學 生好，且數學學習的意願也相對較高，故定調為不同 程度的學生。
第貳章 第貳章 第貳章
第貳章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討
第一節 分類
(一)分類結構的發展：
皮亞傑(Piaget,1896-1980)是近代著名的兒童心理學家，他根據長 期對於兒童的觀察和研究提出認知發展理論，將兒童的認知發展分為：
感覺-動作期、前運思期、具體運思期、形式運思期，當兒童在 7~12 歲 邁入具體運思期的同時，開始能藉由具體經驗做邏輯推理，開始具有可 逆性的運算能力、守恆的保留概念、進行分類與序列等運算，也正是因 為有了這兩種運算，兒童才從前運思期的動作邏輯和表象邏輯的水平過 渡到運算水平(杜聲鋒，1997)。Piaget 從他與 Inhelder 對 2159 名兒童 所做的實驗研究中發現：兒童要到七、八歲以後才開始發展分類和排序 的認知結構（莊志彥，1999）。他認為「類別」的這種定義能用於高於一 定年齡階段兒童所做的分類，而分類類別可以用它們的「內涵」也可以 用它們的「外延」來界說，並設立兩點作為觀察兒童類別運算存在的標 準：(1)兒童能按照一個比較普通的類別以及一個或數個比較具體的差別 來界說一個類別的內涵；(2)能夠按照包含的結構來處理他們的外延，掌 握「所有的」、「有些」、「一個」和「沒有」等量詞(Piaget & Inhelder，
陸有銓、華意蓉 譯，1989)。
根據 Piaget 和 Inhelder 的研究顯示，兒童分類能力可分為三個階 段：
(1)圖形的集合(collections figurale)，2~5 歲：
兒童把認為有關係的客體放在一起，將物體連成一條連續或不連 續的線、用相似的成分構成小集合對象、或由相異成分組成一個複雜對
象，這些集合呈現出聚合性的特徵，此時兒童還不能將一個集合與一個 對象區分開來，內涵不能界定外延，以致於內涵和外延無法協調，而知 覺主導分類的操作。
(2)非圖形集合，5~7 歲：
兒童根據相似性為基礎來分類、並以循序的發展方式將所有客體 歸類、不再受空間具體形狀束縛而利用客體的相似性或相異性來歸類、
內涵及外延有相當程度的分化與協調，但由於仍是透過嘗試錯誤的動作 來逐步調整分類，仍不算真正的類的邏輯運算(李其維，1995)。
(3)類包涵及等級分類，7~11 歲：
兒童在這階段的的分類形式，展現了內涵和外延的完全分化和協 調、瞭解整體與部份的類包涵關係，顯示兒童形成類的邏輯運算。另外，
Piaget 認為在這階段的分類與第一階段最大的差別是，兒童越成熟處理 客體成分的方式越機動(Piaget & Inhelder，陸有銓、華意蓉 譯，1989)，
也就是說在第三階段，兒童事後認識(回溯)與事前預見（預見）來回遷 移的機動性是最強的，也為實現分類運算的可逆性和分類邏輯結構的完 整性提供了強大的心理機制(李其維，1995)。
本研究以九年級學生為研究樣本，已達到 Piaget 的分類結構發 展的完備階段，學生的分類結果應是依循其自我的分類邏輯產生，並符 合類別的定義。
(二)分類的重要性：
Piaget（1969）曾說：「在日常生活中，能夠合理的將事物分門別 類者， 即表示能以精確明辨的方式替代含糊籠統的反應。」，他假定邏 輯分類概念具有以下三種功能：(一)聯繫事物間之共同點(二)辨別事物
之相異點(三)量化，並肯定邏輯思考為知識與感官間的橋樑，而知識之 建立端賴邏輯分類與關係系統的奠定，所以 Piaget 強調能夠靈活運用
『邏輯分類』系統，建立穩固的『量化包涵類別』概念，是日後青少年 期推理演繹思考能力的基礎(引自俞筱均，1982，P146~147)。
從學習的觀點來看，在心理學上不少學者認為「分類」是一種很重 要的認知能力：Skemp(1987)在《The Psychology of Learning Mathematics》
一書中提到，個體在認知一件事物時，就會把它拿來和以前經驗過的事 物做比較、分類，過去的經驗影響著現在的行為，不停的在進行這種連 續且自發、類似分類(classifying)與歸檔(fitting)的活動，並且從中 經過反覆的抽象(abstracting)讓個體瞭解各種經驗與事物之間的相似 性與共通性，最終形成概念（Richar R.Skemp，陳澤民 譯，1995），也 就是說在概念形成的過程中「分類」是必要的歷程。Rosch 等學者(1976) 指出人們在環境中將物體加以分類，藉著類別系統組織大量訊息在長期 記憶中，並藉此引導他們的推理過程，透過類別概念減輕認知負荷、節 省記憶力、區別事物，擴充人類「大腦的空間」，也更加豐富人們認知 的極限（莊志彥，1999）。
從教育的觀點來看，學校教育應重視學生分類技能的培養，以幫助 學生日後的學習。張雪君(1995)認為，將事、物分類是人類組織其經驗 的重要方法之一，探討兒童分類能力的發展歷程有助於我們瞭解兒童如 何組織其經驗，而且分類能力與概念的形成有密切的關連（引自王佳欣，
2010），所以教師也應當對學生的分類能力有所瞭解，以協助學生日後概 念的形成。
綜合以上觀點，顯現「分類」的重要性並且對於個體日後概念學習 的影響力，增進研究者對於本研究研究意義的掌握，並提供研究的想法。