第二章 電動式振動機動態模式建立
2.2 主導方程式
要分析電動式振動機的主導方程式，首先必需先從彈簧機械系統分析起，可以參考 文獻[12,22]，由圖 2.1 知振動機之電樞線圈所產生之電磁力 f ，及其上下移動所產生與em 振動平台速度成正比之感應電動勢e，可表示為：
o o
em Bli i
f = =ΔΓ (2.1)
v Blv
e= =ΔΓ (2.2)
其中
fem：電樞線圈產生的線性力量 B ：磁通密度
l：電樞線圈作用導體的有效長度 i ：電樞線圈電流 o
Bl
=Δ
Γ ：力量產生常數
e：感應電動勢
v：測試平台振動垂直速度
假設振動位移小，則應用彈簧虎克定律，彈簧之恢復力可以表示為：
kx
fsp =− (2.3)
又通常物體(質量)在空氣中移動之摩擦力與速度成正比，摩擦力可以表示為：
cv dt
dx c
ff =− ( / )=− (2.4)
其中負號代表此摩擦力與速度反向。根據牛頓第二運動定律 f =ma可得：
2 2
dt x md f f
fem − f − sp = (2.5)
將(2.1) (2.3) (2.4)式所述之力量之定義代入(2.5)式可得：
kx
dt cdx dt
x md i
fem =Γo = 22 + + (2.6)
其中
f ：彈簧之恢復力 sp
f ：摩擦力 f
m：測試平台的質量 c：阻尼係數
k：彈簧係數
ff 由(2.6)~(2.8)式可得下列狀態方程式(2.10)：
⎥⎥
)
將(2.2)式做 Laplace-Transform，可得到：
)
論文採用電流源激勵方式的動態模式。
的驅動共振操作頻率 fn,mv。
2.4 以線性功率放大器實測振動機之特性
由前面幾節的討論，尚還缺少一些 Shaker 的特性，才能夠將系統的參數估測出來，
所以本節將實測振動機的特性，並附上其實測結果，來求解系統的等效參數。
實測儀器、器材採用 Agilent 公司製造之 Dynamic Signal Analyzer (DSA) 35670A，
Ling Dynamic System (LDS)公司製造之功率放大器 PA100E 及 Ling Dynamic System (LDS)公司製造之電動式振動機 V406 型(最大隨機振動力為 89N)，並使用加速規來量測 電動式振動機之加速度，實測振動機架構圖如圖 2.3 所示。
a
io
io
(a)
vo
a
vo
(b)
圖 2.3 實測振動機架構圖
首先由 PA100E 產生定電壓大小之弦波電壓供電於電動式振動機，表 2.1 為各電壓 頻率下所量測之加速度峰值。圖 2.4~圖 2.9 為實測所得波形圖，分別為 5Hz~2000Hz。
其中， a的比例為 102.7mV/1g，(g =9.8m/s2)。
表 2.1 特定頻率所量測之加速度峰值
頻率 對應之加速度峰值
5Hz 0.941 m/s2 20 Hz 9.31 m/s2 100 Hz 35.476 m/s2 500 Hz 23.422 m/s2 1000 Hz 22.226 m/s2 2000 Hz 19.826 m/s2
/ 2
96 .
0 m s
200ms
io
vo
a
1V
0.5A 0
0
0
圖 2.4 實測頻率為 5Hz 之波形圖
/ 2
6 . 9 m s a
vo
io
圖 2.5 實測頻率為 20Hz 之波形圖
/ 2
48m s
10ms
a
1V
0.5A
vo
io
0
0
0
圖 2.6 實測頻率為 100Hz 之波形圖
/ 2
2 . 19 m s a
vo
io
圖 2.7 實測頻率為 500Hz 之波形圖
/ 2
2 . 19 m s a
vo
io
圖 2.8 實測頻率為 1000Hz 之波形圖
/ 2
2 . 19 m s a
vo
io
圖 2.9 實測頻率為 2000Hz 之波形圖
接著利用 DSA 進行掃頻得到電動式振動機 V406 轉移函數之波德圖，如圖 2.10 所 示HIA之增益圖與相位圖與圖 2.11 所示HVA之增益圖與相位圖，而本論文採用電流源激 勵，故圖 2.10 極為重要，在下一節利用此圖來估測電動式振動機的機械參數。而圖中的 無載重量會在下一節中做詳細的估測說明，估測出來無載重為 0.221kg，加載一個物體 總重為 0.377kg (無載重 0.221kg 加物體一重 0.156kg)，加載二個物體總重為 0.532kg (無 載重 0.221kg 加物體一重 0.156kg 加物體二重 0.155kg)。由圖形近似技巧(Curve fitting technique)得到該轉移函數之極點與零點，建立表格如表 2.2 和表 2.3 所示。
101 102 103
101 102 103
-50
(m=0.532kg) 無載(m=0.221kg)
加載一個物體 (m=0.377kg)
Frequency (Hz)
Frequency (Hz) 無載(m=0.221kg)
圖 2.11 HVA增益圖與相位圖
本論文採用電流源激勵，而利用 DSA 所畫出來的波德圖如圖 2.10 所示，亦得到其 極、零點如表 2.2，由表 2.2 知很多估測出來的極、零點都可以當作極、零點對消而忽略，
而除了主極點外，很多極點都在主極點的左邊十倍遠，對系統的影響極小，故亦可忽略 之，最後可整理出近似(2.17)式之轉移函數HIA。由表 2.2 知經化簡過後無載的主極點為
214 . 36 229 .
1 ± j
− ，經計算過後可知無載時的共振頻率為(2.21)式，而有載(加二物體)的
主極點為−861.95e−3± j23.346，經計算過後可知無載時的共振頻率為(2.22)式，而主極
點又主導其系統的增益與相位趨勢，系統的主極點為成對的共軛根又屬於小ξ系統，故
在共振頻率處系統會有最大增益，同時相位會下降180 ，而由圖 2.10 中亦可得到相同的° 驗證。故在本節所得到的資料，將在下節作為電流源激勵動態模式參數之估測用。而電 壓源激勵的分析如同上述，因非本論文的研究範圍，故不贅述。
) / ( 214 . 36
*
2 rad s
oN π
ω = (2.21)
) / ( 346 . 23
*
2 rad s
oL π
ω = (2.22)
表 2.3 HVA之極零點表
2.5 電流源激勵動態模式參數之估測
由於振動機操作頻率範圍相當寬廣(通常 5Hz~2kHz)，有些系統的參數會與頻率相 關。因此，利用估測技巧獲得精確之模式參數是必需的。以下簡要介紹一些電流源激勵
根據(2.23)~(2.25)式，機械參數的估測可分為三個步驟[12]，說明如下：
步驟一：
加上負載使得mL =0.311kg，在改變頻率下，可得到HIA的頻率響應圖如圖 2.10，
此時可以由圖 2.10 中找出或由計算得之，如(2.21)式、(2.22)式，無載時的共振頻率為
rad s 參數採用參考資料[12]，如(2.30)、(2.31)式所示，將這二式利用 Matlab 跑圖如 2.12 所示，
由圖 2.12 的結果可以看出 R 隨著頻率上升而增加、L 卻隨著頻率上升而減少。值得注意 的是，電樞線圈電性參數與振動機的機械參數的估測結果不同，其電性參數 R 、 L 為頻 率的函數，兩者的值均會受到操作頻率的影響。
2.5.2 電樞線圈之電性參數
第三章
電動式振動機之數位化控制
3.1 簡介
本章節為本論文的核心，講解全橋電路硬體架構及以 TI 的 TMS320F2812 DSP 模組 電路來設計全數位化控制器。而欲使全橋供電之電動式振動機具有媲美線性功率放大器 供電之振動測試性能，就必需妥善設計其電流控制 PWM 切換控制機構，使電線圈電流 具有低失真弦波且快速響應特性。而此全橋電路架構採用定頻式電流控制且單極性電壓 PWM 切換方式，以獲得更好的電流及加速度追隨特性。而全數位化控制在電流控制方 面，並不需要太多復雜的控制器，而以一簡單的空白時間補償控制器，就足以得到良好 的電流追隨，而設計方法和結果會在本章做詳細的介紹。
3.2 反流器之設計
相較於半橋式反流器，全橋式反流器具有較高的電壓利用率及適合較大容量應用場 合的優點。圖 3.1 中所示的全橋式反流器，具有四象限工作能力，欲使在寬廣頻率範圍 內(5Hz~2kHz)具有良好的電流追隨及負載擾動調控特性，在切換控制上宜採脈寬調變技 巧(PWM)，以使其進而能有良好的弦波訊號追隨控制性能。
同樣全橋反流器電路組態，輸出電壓特性會因為採用之脈寬調變切換方式的不同而 有差異。常見之脈寬調變切換方式可分為單極性電壓切換及雙極性電壓切換。若切換頻 率及輸出電壓相同，則採單極性切換之反流器實值上其諧波頻率為雙極性電壓切換的兩 倍；輸出電壓變化上，單極性電壓切換為Vd而雙極性電壓切換則為 2Vd，前者所引起 之電壓應力、EMI 問題及雜訊相對於後者較小。故本計劃將採取單極性切換技巧，以下 簡要介紹單極性電壓切換 PWM 反流器的特性。
圖 3.1 全橋式反流器
以圖 3.1 所示的弦波反流器為例，單極性電壓切換方式如圖 3.2(a)所示，弦波控制 訊號
v
cont與三角波v
tri之比較結果，控制 A 臂的開關切換；而控制 B 臂的開關切換所用 的控制訊號，則是− v
cont與相同三角波v
tri比較。如此，所得到的四象限輸出特性為：(1)
T
A+，T
B− on：v
AN= V
d，v
BN= 0
；vpwm =Vd(2)
T
A−，T
B+ on：v
AN= 0
，v
BN= V
d ；vpwm =−Vd(3)
T
A+，T
B+ on：v
AN= V
d，v
BN= V
d ；vpwm =0 (4)T
A−，T
B− on：v
AN= 0
，v
BN= 0
；vpwm =0(3.1)
定義振幅調變指數
m
a及頻率調變指數mf 如下：tri cont
a v
m v ˆ Δ ˆ ，
cont s
f f
m Δ f (3.2)
其中，vˆcont為正弦控制波的振幅，vˆ 為三角波的振幅，tri f 為三角波的頻率，s fcont為正 弦控制波的頻率。如圖 3.3 所示，如果m = 偶數，由諧波分析可得f vAN 、vBN 及
BN AN
pwm v v
v = − 的頻譜，其在線性調變(ma <1)下的主要特徵為：
(i)輸出基本波電壓：
而開關利用率可推得為0.125ma。 (ii)輸出電壓：
由圖 3.3(a)~圖 3.3(c)：如mf 為偶數，
v
AN及v
BN的諧波頻譜為：奇數倍m 諧波會f 出現同時帶有偶次邊帶諧波(如mf ±2，mf ±4，……)，偶次倍mf 諧波不會出現，但 帶有奇次邊帶諧波(如2mf ±1，2mf ±3，……)。然而採用單極性電壓切換方式的反流 器，其輸出電壓諧波中奇數倍m 及其邊帶諧波均不復存在，亦即具有較高頻率的諧波f 成分特性。tri cont
B on v v
T ,
tri cont
A on v v
T ,
t
(a)
(b)
) ( BN
B
v T
t
TA
(c)
TB
(d)
(e)
t
) ( AN
A
v T
t
t vtri
vcont vcont
t
4 1 2 3
1 ,
vo
1 ,
iLr
(f) Vd
Vd
vo
圖 3.2 單極性電壓切換
d
3.3 電流控制
3.3.1 磁滯電流控制 PWM
磁滯控制方法可由圖 3.4(a)中一臂的電路說明之，圖中的參考電流訊號可以依照系 統需要的振幅及頻率獨自產生，由圖 3.4(b)得知，參考訊號與實測電流訊號相比較後的 誤差訊號送至磁滯控制器，產生開關控制觸發訊號，當實測電流超過上限範圍時，開關
−
TA 導通，TA+截止，此造成實測電流下降；又當實測電流降至下限範圍時，開關TA+導 通，TA−截止，造成實測電流上昇。如此，可使實測電流限制在磁滯帶中，追隨著參考 電流。理論上磁滯帶越窄，脈寬調變訊號越頻繁，實測電流越近似於參考電流，此控制 方法簡單實用，但是因為切換之頻率不固定且會隨著負載變化，造成設計濾波器時，無 法決定其截止頻率，同時也必需使用頻寬較大之電流感測元件。
(a)
3.3.2 定頻電流控制 PWM
定頻電流控制又稱為次諧波 PWM(Subharmonic PWM)或斜率比較 PWM(Ramp comparison PWM)，如圖 3.5 所示，可用頻寬較低的電流感測元件迴授電流與參考電流 比較的誤差訊號經迴授控制器調控所產生之控制訊號vcont與一定頻定幅之三角波v 比tri 較，所得之結果做為開關的切換控制訊號，此電流控制 PWM 法克服磁滯電流控制 PWM 法非固定切換頻率的缺點。然而迴授控制須妥善設計才可成功地執行定頻電流控 制 PWM 操作。
Switch -mode converter
*
iA
iA
Gib contA
v ,
vtri
iA
Current controller
Comparator
圖 3.5 定頻電流控制 PWM 之控制架構
3.3.3 空白時間(dead time)影響
由參考資料[20,30]說明，以單臂反流器來說明空白時間對 PWM 反流器輸出電壓之 影響。如圖 3.6(a)所示，假設開關為理想，則單臂反流器上之二開關可以同時且瞬間一 由 on 至 off，一由 off 至 on。若 mf 夠大，控制電壓vcont在一切換週期內可以視為定值，
理想開關vcont與三角波v ，PWM 比較結果之開關信號如圖 3.6 (b)所示。 tri
考慮開關之非理想性，即其導通與截止過程均需要時間，因此同一臂上二關關切換 時間必須錯開一小段時間，稱為空白時間，以避免二開關同時在非完全導通或截止狀態 下發生短路之情況。空白時間之作法乃將每一開關由 off 至 on 之瞬間往後延遲一時間 tΔ，如圖 3.6 (c)之開關信號所示。此空白時間tΔ大小必須配合開關之切換速度，例如較
考慮開關之非理想性，即其導通與截止過程均需要時間，因此同一臂上二關關切換 時間必須錯開一小段時間，稱為空白時間，以避免二開關同時在非完全導通或截止狀態 下發生短路之情況。空白時間之作法乃將每一開關由 off 至 on 之瞬間往後延遲一時間 tΔ，如圖 3.6 (c)之開關信號所示。此空白時間tΔ大小必須配合開關之切換速度，例如較