第二章 文獻探討
第二節 乘法概念
壹、乘法的意義
Behr與Hiebert (1988)認為對於整數乘法意義的解釋可以分為三類︰即認為乘 法是來自於累加、直積與指示量的變換合成，其中乘法是來自於累加模式較能被 兒童所接受。另外根據Fischbein(1985)等人提出的「直覺模式」(intuitive model)，
認為學童對乘除之直覺想法會影響其解題策略之選擇；而乘法之直覺模式是與
「累加」之假設連接，即「乘法會變大」且「乘數應是正整數」，此外，他們也 認為累加模式最符合人們最初、自然基本的心理發展模式。
在學童開始學習乘法概念時，常先以累加的解釋方式將乘法觀念帶入，因此 大多數學童認為乘法是一種等數累加，是一種快速執行連加的方式。但是把乘法 視為等數累加，並不能完整說明乘法意義，因為等數累加並不適用於乘數是分數 或小數的情形。
Clark與Kamii(1996)基於Piaget的觀點，認為乘法不只是執行連加法的快速方 式而已，而是需要較高層次的複雜運算，而加法和乘法的差異不僅在抽象化層次 上有差別，而且在含屬關係的層次上也有差別。Clark與Kamii(1996)認為兒童能擁 有乘法性思考時，就表示能同時以低階單位「1」與異於「1」的高階單位進行思 考。Behr與Hiebert (1988)也指出兒童在中年級時，從加減法轉變成乘除法，最重 要關鍵在於單位性質的轉變。
Steffe(1994)雖然同意乘法運思是建基於等數累加之上，但是僅以這樣的方式 來看待乘除情境，無法幫助我們瞭解兒童如何創造與運用集聚單位。因此，
Steffe(1994)從教學實驗著手，以數序列(number sequences)為出發點，假設當兒童 可以調和兩個單位間的關係時，此時兒童的數概念已開始發展為乘除運思。數序 列的使用是計數基模的外顯活動，在計數基模中能否使用集聚單位，是學習乘除 法時的關鍵所在，換言之，當兒童在進行乘除運思時，必頇可以同時使用「1」
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與異於「1」的集聚單位來進行計數。
國內學者甯自強(1993)也從單位量轉換的觀點詳加說明乘除法結構。若以「單 位量」來闡釋加減乘除法，則「加減法」是在解決量的合成、分解或比較的活動，
而「乘除法」則是「單位量轉換」活動，其中「乘法」是把高階單位表示的量轉 化成低階單位表示的量的單位量轉換活動。
甯自強(1993)以下列例題來說明乘法：
「一頭牛有 4 條腿，3 頭牛共有幾條腿？」
利用「4×3＝12」，即可求出上題答案。其中「4」被稱為被乘數，「3」被 稱為乘數，而「12」被稱為積。這三個集聚單位中，集聚單位「4」指的是一頭 牛的腿數，集聚單位「3」是牛的頭數，而「12」則是三頭牛所有的腿數。如果 使用集聚單位來表徵，可以看到兩個層次的對應，其對應關係如下：
( 1 、 1 、 1 )
{ (1、1、1、1)、( 1、1、1、1)、( 1、1、1、1) }
由上可知，上層的集聚單位(1、1、1)中的每一個元素對應了一個集聚單位(1、
1、1、1)，而下層則由{ }及( )兩組括號圍成了一個新的結構。如此看來，所 謂的乘法運思，至少蘊涵兩種關係：
一、兩個集聚單位間的一個協和(coordinating)關係。在上面的例子中，集聚 單位「3」中的每一個元素對應一個集聚單位「4」的協和關係。
二、兩個層次的部分-全體關係。在上面的例子中，分別為「1」與集聚單位
「4」的部分-全體關係，以及以一個集聚單位「4」為新的單位合成另一個集聚單 位「3個4」間的部分-全體關係。
但是，這樣利用集聚單位的表示方法，無法找到集聚單位「12」，集聚單位
「12」的獲得必頇將「3個4」中所有「4」的邊界取消掉，才可能獲得。把邊界 取消掉也就是不再以「4」為單位，而改以「1」為單位的具體作為。換句話說，
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這是一種把「4」單位轉換成「1」單位的單位量轉換活動。
由此可知，乘法問題是由數個等價集聚的單位，合成一個新的集聚單位，例 如，「6 個 4」合成「24」，其中「4」是由「1」合成的集聚單位，用「4」來描述 此集聚單位內容的數量，稱之為「單位量」；用「6」來描述集聚單位「4」的個 數，稱之為「單位數」。
乘法問題是由已知的「單位量」與「單位數」，而且知道新集聚單位是由「6 個 4」合成的，但其最後的數值，也就是以「1」為計數單位的計數結果仍為未知；
換言之，是將以集聚單位為被計數單位所描述的數量，轉換為以「1」為被計數 單位的描述。
例如：「一盒裡有 3 塊餅乾，5 盒共有多少塊餅乾？」
問題內容中計數餅乾時，一開始是以一盒為單位的，共有 5 個單位，每個單 位是 3 塊餅乾，接著要將 5 個單位的餅乾合起來，改以 1 塊餅乾為單位，把以「盒」
為單位轉換成以「塊」為單位，就是單位量的轉換。
從單位量轉換的觀點來看乘法，被乘數是異於「1」的單位量，而乘數是單位 量的個數，而乘積是以「1」為單位量的個數。
貳、乘法的運思發展
兒童的乘法運思發展，可分為四期：
一、合成運思(integration operations)期：
在合成運思期階段，兒童尚無法處理單位量的轉換問題(林子帅，2002)。合 成運思期約在國小一年級的階段產生，兒童使用合成運思建構集聚單位使成為數 概念，亦即此階段兒童是將數詞指示的量依序全盤表現後，再從「1」數起。例 如，桌上有4顆橘子，問兒童有多少顆橘子時，兒童會數「1、2、3、4」後，回 答「4顆」橘子；如果再加上2顆橘子，問兒童桌上會有多少顆橘子時，兒童會將 4顆橘子和2顆橘子放在一起，重新數「1、2、3、4、5、6」後，回答「6顆」橘
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子。
因此，在合成運思期，兒童所建構出的集聚單位，彼此間沒有關係，每個集 聚單位都是獨立的，兒童必頇藉由具體操作表徵來獲得解答，是透過量的操作來 建立兩個數的關係。
二、累進性合成運思(progressive integration operations)期：
在累進性合成運思期階段，兒童可以把一個數內嵌於另一個數中，從而建構 出與序數相容的數概念(林子帅，2002)。例如，桌上有4顆橘子，再加上2顆橘子，
問兒童桌上會有多少顆橘子時，兒童會以「4」為基礎，向上依序數出「5、6」
後，回答「6顆」橘子，此時「4」是內嵌於「6」之中，因此「4」就是內嵌數。
此時累進性合成運思期階段兒童所建構的兩數間的關係是集合間的包含關係，並 非一集合中的元素與另一集合間的協和關係。
在累進性合成運思時期裡，兒童能夠理解「4個5」的意義，並且利用累進性 合成運思求出「20」為其數值。然而由於「5」易於與「1」混淆，所以在重複「5」
的時候，偶而會失去「5」的數值，而把「5」當成「1」而不自覺。例如，問兒 童4隻手有多少根手指頭時，兒童可以答出「20根」；但如果移走2隻手，再問兒 童有多少根手指頭時，兒童可能會回答「18根」。因為累進性合成運思期兒童尚 無法掌握一個「5」和一個「1」間的部分-全體關係，移走部分，全體就崩解了。
在這個時期裡，兒童解決「5×3＋5×4」的問題時，會先求出「5×3」的結果 再逐步的累加「4個5」，並非利用「7個5」來解答。
三、部份-全體運思(part-whole operations)期：
所謂「部份-全體運思」是指將「1」視為集聚單位的一個內嵌元素，也可以 將集聚單位中的「1」脫嵌而出，且使其與集聚單位互相獨立的一部份(甯自強，
1993)。
部份-全體運思期兒童的數概念性質稱之為「合成性巢狀數」(integrative nested) (甯自強，1994a)，意指由多個集聚單位合成的單位，可以混合使用「1」和數個
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以「1」為元素所合成的集聚單位來描述總量。例如，「35」不僅是「35個一」，
也可以是「3個十與5個一」，兒童能清楚掌握單位「一」與單位「十」之間的部 份-全體關係，及「一」是「十」的部分，且「一」和「十」是各自獨立的，而此 被部份-全體運思期兒童所同化的數即為所謂的「合成性巢狀數」。而能不能把「35」
用如上的兩階單位來描述，取決於學童數概念是否達到合成性巢狀數概念，這種 數概念是發生在部份-全體運思之後，兒童約在三年級下學期開始擁有此一運思 (甯自強，1995)。
合成性的巢狀單位所代表的數概念是可重複的「數結構」(甯自強，1992)。
對於部份-全體運思期的兒童而言，在解乘法問題上，不但能把「1」視為「5」的 一個內嵌的元素，也能將「1」脫嵌而出，使其與「5」成相互獨立的一部分。換 句話說，部份-全體運思期的兒童能清楚的區分「1」與「5」的差別，能把(1、1、
1、1、1)中的「1」清楚的視為與(1、1、1、1、1)無關的獨立單元，所以在重複
「5」的時候，不會失去「5」的數值，以至於錯把「5」當成「1」。
在部份-全體運思時期，解決「3×5＋4×5」的問題時，兒童會先求出「3×5」
的結果，接著求出「4×5」的結果再相加；而解決「5×3＋5×4」時，則進展成利 用「7個5」來求解。但是在解「5×3＋5×( )＝35」的問題時，兒童仍然無法以「5」
為單位來求解，因為部份-全體運思期的兒童雖然可以重複「5」而不失去它的數 值，但是「5」仍然未被看成是組織「35」的單位，因為兒童還沒辦法掌握第一 層單位「1」與第二層單位「5」以及第二層單位「5」與第三層單位「35」之間 的兩階層部份-全體關係，兒童所能掌握的僅是「1」與「5」以及「1」與「35」
單位之間的一階層部份-全體關係。在部份-全體運思期階段，兒童能掌握單位「1」
和其他單位間的部份-全體關係，但兩個集聚單位間的部份-全體關係尚不明顯。
而部份-全體運思期的兒童在比較「5×3」和「3×5」時，兒童認為它們的相等 是屬必然，可是這種必然性是根基在它們可以做出同樣的集聚單位「15」，因此，
並不是真正的乘法交換律，真正的乘法交換律蘊涵著兩階層的部份-全體的交換關
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係，是部份-全體運思時期所無法掌握的(甯自強，1993)。
四、測量運思(measurement operations)期：
所謂的「測量運思」是指能將「一」與集聚單位間的部份-全體關係確切掌握，
更能把此部份-全體關係物化，使成為集聚單位中的一部份，並且把此集聚單位當 成構成其他集聚單位的明顯部份(甯自強，1993)。而此測量運思需到約國小四、
五年級時才能發展(甯自強，1994b)。
測量運思期的兒童不但能把「1」與「5」間的部份-全體關係確切的掌握，更 把部份-全體關係物化，使成為集聚單位(1、1、1、1、1)中的一部份；並且把(1、
1、1、1、1)當成構成其它集聚單位的明顯(explicit)部份，舉例來說，「20」可以 被看成是「5」的集聚單位，或是(5、5、5、5)。也就是說，測量運思可以掌握兩 個階層的部份-全體關係。
在測量運思時期，解決「3×5＋4×5」的問題時，兒童可以先求出「3＋4」的 結果，再求出「7×5」的結果；解決「5×3＋5×( )＝35」的問題時，兒童則以「5」
在測量運思時期，解決「3×5＋4×5」的問題時，兒童可以先求出「3＋4」的 結果，再求出「7×5」的結果；解決「5×3＋5×( )＝35」的問題時，兒童則以「5」