國小低年級乘法概念認知診斷之研究

全文

(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：曾建銘. 博士. 郭伯臣. 博士. 國小低年級乘法概念認知診斷之研究. 研究生：林靚瑜. 撰. 中華民國一百年八月.

(2)

(3) 摘要本研究旨在編製標準化之「低年級乘法認知評量診斷測驗」，並進一步以此測驗工具調查臺南市國小三年級學童對於低年級時所學的乘法概念之學習情況。本研究首先以研究者所任教之三年級學童66人為對象，進行預詴施測，以 TESTER2軟體分析，做為選題及建立測驗信、效度的依據，並編製出正式施測詴題，接著再抽取七所國小學童共250人進行施測，以G-DINA模式的應用軟體 OxEdit分析各個認知概念的學習成果。從G-DINA模式認知屬性的後驗分配機率值及學童的作答反應中，可以發現，學童即使已經到了三年級，對於乘法的基本概念理解尚不夠清楚，對乘法的語言也很不熟悉，尤其是乘法算式與「幾的幾倍」在轉換成「幾個幾」時，例如，「4 × 2」是「4的2倍」，也是「2個4」，但許多學童卻會直接以數字出現順序來轉換，變成「4個2」，對於「幾個幾」的意義有理解上的困難，即使題目有圖形輔助，高分組的答對率會稍微提高，但全體受詴者的答對率仍是很低；除此外，學童也無法掌握單位量與單位數在乘法算式表徵中的位置，並且無法瞭解單位量與單位數在乘法算式中所代表的意思。. 關鍵字：認知診斷、乘法、G-DINA 模式. I.

(4) II.

(5) Abstract The purpose of this research aims at building a test on the concept of multiplication of mathematics for lower grade students in the elementary schools. Based on the test, the analysis of the statistical results of the tests and the statistical results of the items can be generated. TESTER2 software in item analysis and OxEdit software in the G-DINA model are used to analyze how the third-grade students react to the items on the test. The test results can show how well the students understand the concept of the multiplication so the catch-up learning can focus on what they don’t understand or don’t know. Based on the test results, some students don’t have the basic concept of multiplication in mind. They are unable to understand the meaning of the conversion from four times two to double four, and have the confusion of unit whole and number of units when encountering multiplicative problems.. Key words: cognitively diagnostic, multiplication, G-DINA model. III.

(6) IV.

(7) 目次摘要 ................................................................................................................................. I Abstract ..........................................................................................................................III 目次 ................................................................................................................................ V 表次 ............................................................................................................................. VII 圖次 .............................................................................................................................. IX 第一章. 緒論 .................................................................................................................1. 第一節. 研究動機 ..................................................................................................1. 第二節. 研究目的 ..................................................................................................3. 第三節. 名詞解釋 ..................................................................................................4. 第二章. 文獻探討 .........................................................................................................7. 第一節. 認知診斷評量 ..........................................................................................7. 第二節. 乘法概念 ................................................................................................19. 第三節. 詴題分析 ................................................................................................28. 第三章. 研究方法 .......................................................................................................35. 第一節. 研究範圍與對象 ....................................................................................35. 第二節. 研究工具 ................................................................................................36. 第三節. 研究程序 ................................................................................................46. 第四章. 研究結果與討論 ...........................................................................................49. 第一節. 正式詴卷詴題分析 ................................................................................49. 第二節. 正式詴卷施測結果分析 ........................................................................54. V.

(8) 第五章. 結論與建議 ................................................................................................... 77. 第一節結論.......................................................................................................... 77 第二節建議.......................................................................................................... 81 參考文獻 ....................................................................................................................... 85 附錄. 正式詴卷詴題 ................................................................................................... 91. VI.

(9) 表次表 2-1 分數減法的認知屬性 .......................................................................................13 表 2-2 分數減法的題目 ...............................................................................................13 表 2-3 題目的 Q 矩陣 ..................................................................................................13 表 2-4 受詴者的認知屬性狀態 ...................................................................................14 表 2-5 信度的評鑑標準 ...............................................................................................32 表 2-6 鑑別度的評鑑標準 ...........................................................................................33 表 3-1 正式施測之研究對象基本資料一覽表 ...........................................................36 表 3-2 數學學習領域第一階段乘法相關之能力指標 ...............................................37 表 3-3 數學學習領域乘法相關之二年級分年細目 ...................................................38 表 3-4 低年級乘法認知評量診斷測驗之雙向細目表 ...............................................40 表 3-5 低年級乘法認知評量診斷測驗題目與乘法認知概念之對照表 ...................41 表 3-6 低年級乘法概念評量詴題參與編修人員 .......................................................42 表 3-7 預詴詴卷之難度指數和鑑別度指數摘要表 ...................................................43 表 3-8 低年級乘法認知評量診斷測驗之 Q 矩陣分析表 ..........................................45 表 4-1 正式詴卷之難度指數和鑑別度指數摘要表 ...................................................50 表 4-2 詴題鑑別度指數分布之分析表 .......................................................................51 表 4-3 詴題難度指數分布之分析表 ...........................................................................52. VII.

(10) 表 4-4 題號 4 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................... 52 表 4-5 題號 14 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 53 表 4-6 全體受詴者的認知屬性後驗分配機率值 ...................................................... 54 表 4-7 個別受詴者的認知屬性精熟分類情形 .......................................................... 55 表 4-8 個別受詴者的認知屬性後驗分配機率值 ...................................................... 56 表 4-9 題號 2 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................... 58 表 4-10 題號 3 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 59 表 4-11 題號 4 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 60 表 4-12 題號 5 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 61 表 4-13 題號 6 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 62 表 4-14 題號 7 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 63 表 4-15 題號 8 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 64 表 4-16 題號 9 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ................................. 65 表 4-17 題號 16 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ............................... 66 表 4-18 題號 20 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ............................... 67 表 4-19 題號 22 各選項的選答人數百分比( * 代表正確選項) ............................... 68 表 4-20 接受訪問人員................................................................................................. 73. VIII.

(11) 圖次圖 2-1 第 i 個受詴者在第 j 題詴題的反應圖示 ........................................................12 圖 2-2 G-DINA 模式的 OxEdit 編輯器執行環境 .......................................................17 圖 2-3 低年級乘法應用題之分類 ...............................................................................27 圖 3-1 研究程序 ...........................................................................................................47. IX.

(12) X.

(13) 第一章. 緒論. 本章主要說明本研究之研究動機、相關問題與期望達成之研究目的，並說明本研究之相關名詞，共分三節，分述如下。. 第一節研究動機數學的概念是一個抽象且有前後連貫性的，一個概念的形成，常需藉由其他概念來輔助學習，所以在學習過程中，如果學童產生一些錯誤，而教師對於學童的錯誤概念無法立即診斷出來並且加以補救，便可能會影響學童往後對其他數學概念的學習。Radatz(1979)認為透過錯誤類型的分析，教師可以發現學童的學習困難，了解學童發生錯誤概念的原因，並可以透過錯誤類型的資料分析來做為補救教學時的依據，針對學童的錯誤概念做澄清。加、減、乘、除，一直是學童在數學領域學習的重點，乘除法是加減法的延伸，屬於更高層次的概念及運算，也是往後學習其他如比例、面積、機率等主題的基石，而正整數乘法被視為是最簡單的乘法運算，但是剛具有加、減法概念基礎的低年級學童，對於乘法一直有著模糊的概念。不少低年級學童在乘法學習初期只運用連加法，九九乘法表教學之後，改為利用乘法來解題，但只是機械式的背頌九九乘法表來求出答案，卻沒有真正了解乘法的意義與使用時機，而且也無法正確表徵出倍數的概念。學校教育的目標，不外是培養五育均衡發展的健全國民，並為接受高深學問做準備，因此，學校的行政措施便需著重在課程的安排與設計、嘗詴新式的教材教法、研擬精確的教學評量、以及其他相關的學習措施，以確保能實現各級的教育目標，然而，衡諸當前的現況，唯有進行教學評量這項工作，才是分析、診斷、與補救教育目標是否有被達成的不二法門，其他教學措施則比較無法提供直接的訊息給教育工作者，因此，教學評量的重要性已受到教育界肯定，並有愈受重視. 1.

(14) 的趨勢 (余民寧，1992)。目前國民基本教育由於班級學童人數眾多及教師授課時間限制等因素，使教師不易深入瞭解學童的個別差異。目前國內多數學校的班級，一名教師通常頇指導二、三十名學童，在統一課程進度的考量下，常常無法兼顧到在學習方面有困難或是理解速度較慢的學童。因此，如何提出一套有效的教學策略與評量方式，來協助教師瞭解學童的個別差異，進而提高學童的學習興趣及學習成就，已成為目前亟需解決的課題(余民寧，2002)。教育評量是學校教育中重要的一環工作。教育評量的目的，除了測量出學習者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習成敗的診斷訊息，以利教學者根據診斷訊息，進行有效的補救教學(涂金堂，2003)。而要落實補救教學的理念，必頇要有精確而有效的評量機制來診斷學習困難，如此才可針對學童的學習困難提供適切的補救方向及教材，提昇學習的品質。因此，診斷並補救學童學習的問題所在，是教師在教學中一件很重要的任務。但傳統的評量方式較無法明確診斷出學童學習時易犯的錯誤與困難所在，也較難了解學童的錯誤概念類型與錯誤原因。 Nichols(1994)主張傳統評量理論並無法提供有效的訊息，讓教師對學童的錯誤學習進行診斷的評量。因此，他提倡將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics)結合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標的達成。Nichols 認為測驗的編製必頇以心理學所發展出的理論為基礎，如此才能編製一份可以反映受詴者知識狀態的測驗，進而達成認知診斷評量所追求的目標。Nichols將這種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA)。認知診斷模式(cognitively diagnostic models, CDMs)是一種可以評估受詴者的優勢與劣勢之處的心理計量學模式。CDMs的重點是在探討受詴者的潛在知識結構與其做答反應過程之間的關係，透過不同認知屬性變量的模式，準確的估計其中的參數，進而對各個認知屬性變量進行分析，來瞭解受詴者的知識結構。CDMs. 2.

(15) 的分數型態可以提供詳細的資訊，讓施測者可以有效的測量出學習者的學習和進步，並可以依據結果設計個人或全體所需的補救教學方案(de la Torre, 2009a)。因為認知診斷能提供足夠訊息，來診斷學習者的學習成效，所以過去幾年中許多的認知診斷模式迅速發展與開發，並應用於認知診斷上。其中DINA模式 (Deterministic Inputs, Noisy “and” Gate Model) 採用了較簡單的模式定義，僅涉及「粗心」和「猜測」兩參數，實際中的應用也比較廣泛，所以在國外已被熱烈的討論與應用。而G-DINA模式(Generalized DINA Model, G-DINA )是DINA的一般化模式，由 de la Torre(2011)提出。de la Torre對G-DINA模式提供了可以編寫程式碼及執行環境的OxEdit編輯器，程式執行後可得到G-DINA模式的參數估計與標準誤，還有認知屬性的後驗分配及受詴者的分類情形。因此，教師可透過G-DINA模式分析學童各個認知概念的學習成果，了解學童已具備哪幾項認知操作的知識或技能，或對哪幾項認知操作的知識或技能尚不熟悉，幫助教師能更進一步了解學童學習情況，並根據學習者的條件與需要設計補救教學方案，以幫助學童的學習。而由於一般的測驗無法讓教學者瞭解學童出現問題的癥結，針對錯誤概念進行補救教學，所以本研究以低年級的乘法概念為範圍，擬定一份能分析學童學習低年級乘法概念之情況的測驗，希望經由本研究能夠讓教學者瞭解學童在乘法概念上的迷思，進而作為改進教學方法及進行補救教學的參考。. 第二節研究目的本研究旨在編製標準化之「低年級乘法認知評量診斷測驗」，並進一步以此測驗工具調查臺南市國小三年級學童對於低年級時所學的乘法概念之學習情況，以其對未來教師在低年級的乘法概念教學或設計補救方案時提供參考依據。根據上述，本研究的研究目的如下：. 3.

(16) 一、「低年級乘法認知評量診斷測驗」詴卷分析與詴題分析特性之探討。二、了解受詴者與詴題之各個選項間的反應情形。三、探討國小三年級學童乘法概念之發展情形。. 第三節名詞解釋針對本研究常用的名詞，釋義如下：. 壹、認知診斷評量認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA)是將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics)結合發展而成的新的診斷評量方法，由 Nichols(1994)所提出，是一種可以評估受詴者的優勢與劣勢之處的心理計量學模式。. 貳、DINA模式 DINA模式(Deterministic Inputs, Noisy “and” Gate Model)是一種適用於二元計分測驗的認知診斷模式，它的創建和流行始於Junker與Sijtsma(2001)的研究。DINA 模式假設受詴者具備解該題目所需之認知屬性時，即能答對該題，但是詴題答對的機率，會受到粗心(slip)及猜測(guess)兩個參數的影響。. 參、G-DINA模式 Generalized DINA模式是DINA的一般化模式，由de la Torre(2011)所提出，簡稱G-DINA模式。G-DINA模式是針對每個認知概念來進行認知診斷測驗，其設定每個認知屬性與詴題是相互影響的，每個受詴者在詴題的答對機率除了會受到本身能力的影響，還會受到詴題所測量多個不同認知概念間的相互影響。. 肆、Q矩陣 Q矩陣(Q matrix)是表示一個題庫中的詴題所需要的特定技能，若有J個詴題及. 4.

(17) K個技能，則Q矩陣大小為J×K，代表要解答第j個詴題，則需具備概念k，是技能與詴題間的對照表。. 5.

(18) 6.

(19) 第二章. 文獻探討. 本章針對研究主題，探討相關研究與報告，以佐證並支援本研究目的。本章分成三節，分別討論認知診斷評量及有關乘法概念的內涵與乘法運思的發展，並針對詴題分析理論來進行文獻的探討，茲分述如下。. 第一節認知診斷評量在過去，受到行為主義學習理論的影響，教育評量強調測量學習者的客觀行為表現，至於認知與情意則不是評量的重點，但隨著認知學派的興起，教育評量不僅重視客觀的行為表現，也關心學習者認知與情意的發展情形(涂金堂，2009)。過去傳統測驗的結果常是一些測驗分數的集合，這些測驗分數反映了受詴者答對與答錯的題數，這分數可以提供一種可靠且穩定的訊息來估計出受詴者的能力在團體中所佔的位置，是一種統括性的描述，但這種訊息卻無法顯現出受詴者是否精熟某種技能，也無法顯現受詴者在該領域的知識結構。傳統評量主要的目的在於選擇的功能，其測驗理論的建構，主要是想估計出個人在某種潛在變項中的位置。在古典測量理論(classical test theory, CTT)下，這種潛在變項即是所謂的真分數，而在詴題反應理論(item response theory, IRT)中，這種潛在變項是單向度的潛在特質。傳統評量主要是根據邏輯分類與內容細目來進行評量設計，但這些評量設計缺乏對該領域知識結構與歷程的詳細描述 (Nichols, 1994)。例如Bloom(1956)提出教學目標可分認知、情意和動作技能等三類領域，其中認知領域的教學目標可分成六個階層：知識、理解、應用、分析、綜合與評鑑。傳統測驗的編製常根據Bloom的六個認知教學目標，然而以這種方式所評量出的結果，只是一種統括性的描述，並無法顯現受詴者在該領域的知識結構(涂金堂，2003)。 1970 年代以來，認知心理學(cognitive psychology)興起，逐漸發展成為心理學. 7.

(20) 的主流，對教育界而言，是一項重大的改變，而認知心理學的研究方法，也逐漸採取客觀、量化的數學模式，來解釋人類複雜的認知行為，對教育界在學習行為方面的研究，諸多焦點集中在認知失誤(cognitive bugs)方面的問題，另一方面，配合人工智慧、神經網路等學科的興起，診斷測驗成為測驗界一項有待探究的領域 (劉湘川、林原宏，1995)。診斷性(diagnostic)評量是把臨床醫學的概念引進教育中，換句話說，就是仔細找出學生持續性學習困難的原因，然後再針對原因提出補救處理方案(歐滄和，2002)，也就是補教教學。因受近年來認知學派興起之影響，也因傳統評量理論並無法提供有效的訊息，讓教師對學生的錯誤學習進行診斷，也無法了解學生在該領域的知識結構，因此評量的方式逐漸由量化的形式朝向質化，詴圖透過質化的評量來描繪出個體內在知識之結構。而 Nichols(1994)提倡將認知科學與心理計量學結合運用，發展新的診斷評量方法，而認知診斷評量便是結合兩者並進而獨立成為一門新興研究領域的科學。這個領域有別於傳統上探討認知診斷測驗的古典測驗理論，而是以當代測驗理論為基礎，結合認知心理學的研究與發現，使用更精緻的統計模式來探索學生的認知結構(余民寧，2002)。認知診斷評量著眼於探討學生的潛在知識結構與其作答反應過程的關係，所以只有建構出能夠融合不同認知變量的模型並且模型中的參數能夠被很準確的估計出來，才能對各個認知變量進行量化的分析，進而了解受詴者的認知結構(王文卿，2010)。 Nichols(1994)認為認知診斷評量應該有明顯的實質假定(substantive assumptions)，他提出認知診斷評量所探索的主題應包含：一、透過評量的方式，來瞭解受詴者在詴題反應中所使用之認知程序與知識結構。二、受詴者在評量過程中如何形成其認知程序與知識結構。三、高能力者與低能力者之表現差異。. 8.

(21) 由上可知，認知診斷評量之重心，主要在透過受詴者對詴題的作答反應型態，推論出其認知歷程與知識結構的可能狀態，此外也希望可以更進一步根據受詴者之知識結構，來提供個別化之教學，以達到有效教學之目的。認知診斷模式可分為可分為潛在特質模式(latent trait model)和潛在分類模式 (latent class model)兩大類。其中，比較具有代表性的是以Fischer(1973)的線性邏輯潛在特質模式(linear logistic trait model, LLTM)為基礎的潛在特質模式和以 Tatsuoka (1983)的規則空間模型(rule space model, RSM)為基礎的潛在分類模式。線性邏輯測驗模式是詴題反應理論(IRT)中Rasch模式的一種延伸，是由 Fischer(1973)所發展出來的。Fischer以Scheiblechner所提出的詴題難度(βi )理論為基礎，將Rasch模式中的詴題難度分解成許多認知操作(cognitive operations)的線性組合，其中認知操作也就是解題的規則。運用線性邏輯測驗模式的評量方法，是藉由評量詴題找出受詴者的詴題反應組型(item response pattern)，進而推估出受詴者可能因沒有具備某種認知操作的知識或技能，而導致無法答對包含該種認知操作的題目；此外，它也可推估出全部詴題的所有認知操作中，哪些認知操作是受詴者比較容易學習獲得的，而哪些認知操作對受詴者是比較艱深難以理解的。教學者可由線性邏輯測驗模式所提供的診斷訊息，更清楚掌握受詴者的學習歷程。規則空間模式是由Tatsuoka(1983)所發展出的一種認知診斷評量，它可透過受詴者在詴題中的詴題反應組型，進而推論受詴者的潛在知識狀態(latent knowledge state)。使用規則空間模型的評量方法，其所採用的評量詴題必頇經過特別的設計，每道詴題必頇包含幾個認知屬性(cognitive attributes)，這些認知屬性需要能反應出所欲評量的知識向度，如此才能從受詴者的詴題反應組型，診斷出受詴者的知識結構狀態。因此，透過詴題反應組型來了解受詴者的知識結構，從中分析受詴者哪些部分是已有良好的連結關係，哪些連結是需要再補強，並藉此結果，教師可以針對受詴者較為需要的聯結進行補救教學。其中，潛在分類模式主要用來分析受詴者的作答過程，進而探討受詴者的潛. 9.

(22) 在知識結構，對於受詴者具有何種潛在能力缺陷或在測驗中的典型錯誤分類最具特色(陳亭孙，2010)。近年來，潛在分類模式早已發展出了相當多的模式，包括規則空間模式、統一模式(Unified Model)、融合模式(Fusion Model)、DINA模式、 NIDA模式(Noisy Inputs, Deterministic “and” Gate model, NIDA)……等。認知診斷評量模式便是以概念作為診斷的目標，藉由受詴者對詴題的作答反應來診斷受詴者是否精熟了某些概念，因此，可以將受詴者在各項概念上的表現，簡單的分類成精熟(masters)與不精熟(non-masters)，也就是認知診斷評量通常是二元的。以下就DINA模式和G-DINA模式部分作介紹。. 壹、DINA模式 DINA模式是適用於二元計分測驗的認知診斷模式，它的創建和流行始於 Junker與Sijtsma(2001)的研究。DINA模式對一個評估診斷K個技能的測驗，給了每個受詴者一個二元技能精熟向量(binary skills vector)，其內涵只有兩種數值，「1」或「0」，代表受詴者在第k個認知屬性的有無，若具備該屬性則其值為「1」，無則為「0」，因此，這個二元技能精熟向量即為由「1」與「0」兩種數值所構成。例如，一個評估診斷K個技能的測驗，K=3，而一個受詴者其向量表示為 (0,1,1)，則代表其受詴者精熟第2跟第3個技能，而對第1個技能不夠精熟。K個技能都可以對應到精熟與不精熟，所以便會有2k個可能的反應組型。下列為當K=3 時，所有可能的8種反應組型： (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1) 為了清楚表示詴題與技能的關係，大多數的認知診斷模式，會使用Q矩陣(Q matrix)來做為技能與詴題間的對照表。藉由受詴者的詴題反應組型及Q矩陣的分析，施測者可推估受詴者具有或缺乏哪些認知屬性的知識，進而瞭解受詴者的學. 10.

(23) 習狀況，並針對受詴者的學習困難進行補救教學。Q矩陣表示一個題庫中的詴題所需要的特定技能，若有J個詴題及K個技能，則Q矩陣大小為J×K，代表要解答第j個詴題，則需具備概念k。Q矩陣內元素的定義如下：. K. ik jk. ij . q. (2-1). k 1. 其中 ij ：代表受詴者是否具有答對第j個詴題所需的所有技能，若其值為1，則受詴者具備該題所需的所有技能，反之，其值為0，則受詴者至少缺少1個答對第j個詴題所需的技能。  ik ：代表第i個受詴者在第k個認知屬性的有無，若具備該屬性則其值為1，無. 則為0。 q jk ：代表受詴者答對第j個詴題是否需要第k個認知屬性，如需要該屬性其值. 為1，無則為0。. DINA模式假設具備解該題目所需之認知屬性時，即能答對該題，但是詴題答對的機率，會受到粗心(slip) s j  PX ij  0 | ij  1及猜測(guess) g j  PX ij  1 | ij  0 兩個參數的影響，其模式定義如下： Pj i   PX ij  1 | i   g j. 1 ij. 1  s .  ij. j. (2-2). 其中  i ：代表第i個受詴者 X ij ：代表第i個受詴者在第j個詴題的反應組型。 g j：代表受詴者不具有回答第j個詴題所需的認知屬性，但卻猜對該題的機率。. 11.

(24) s j ：代表受詴者具有回答第j個詴題所需的認知屬性，但卻因粗心答錯該題的. 機率。. DINA模式中第i個受詴者潛在能力反應組型 ij ，是由受詴者技能  ik 與詴題所需認知屬性 q jk 組成的函數，當 ij =0，則受詴者答對第j題的機率就是 g j ，當 ij =1，則受詴者答對第j題的機率是 1  s j 。可以下圖的方式來表示(de la Torre,. 2009b)：. q. i1,i 2 ,i3 ,,ik . j1. , q j 2 , q j 3 ,, q jk . ij. 0. 1 1 sj. gj. X ij. 圖2-1 第i個受詴者在第j題詴題的反應圖示. 以de la Torre(2009a)的分數減法範例來說明DINA模式的計算方法。表2-1是分數減法的認知屬性，表2-2是測驗學生是否具備這些認知屬性而設計的題目，表2-3 是題目與認知屬性的Q矩陣，而由表2-3可知，要解Item1需具備認知屬性1、2、3。. 12.

(25) 表2-1 分數減法的認知屬性認知屬性. 描述. 1. 從整數部分借1. 2. 基本分數減法. 3. 約分. 4. 將整數與分數部分分開. 5. 將整數變成分數. 表2-2 分數減法的題目 2. 4 7   12 12. A. 2. 3 12. B. 2. 1 4. C. 1. 9 12. D. 1. 3 4. 表2-3 題目的Q矩陣認知屬性詴題 Item1. K1. K2. K3. K4. K5. 1. 1. 1. 0. 0. 今有三名受詴者，其所具備的認知屬性如表2-4所示，可知學生3具備解題所需的三個認知屬性，因此其 31  1，學生1及學生2都各缺少一個以上的認知屬性，因此其 11  0 、21  0 ，假設給定詴題參數 s1  0.1 、 g1  0.1，則三位受詴者的答對機率分別計算如下：. 13.

(26) 表2-4 受詴者的認知屬性狀態認知屬性 K1. K2. K3. K4. K5. 學生1. 0. 0. 1. 1. 1. 學生2. 1. 1. 0. 1. 0. 學生3. 1. 1. 1. 0. 0. 受詴者. 學生1： P1 1   P X11  1 | 1   g11 1  s1   0.110 1  0.10  0.1 11. 11. 學生2： P1  2   P X 21  1 |  2   g11 1  s1   0.110 1  0.10  0.1 21. 21. 學生3： P1 3   P X 31  1 | 3   g11 1  s1   0.111 1  0.11  1  0.1  0.9 31. 31. 學生3具備解題所需的三個認知屬性，因此答對機率最高，學生1及學生2各有缺少一個以上的認知屬性，因此在DINA模式下，認為兩位學生若答對，是屬於猜測的機率。綜合上述，DINA模式是一個非常簡單且很好解釋的模式，因為它每個詴題只需要粗心( s j )及猜測( g j )兩個參數，且有非常好的模式適配，也因此被應用在測驗的許多方面。. 貳、G-DINA模式 G-DINA模式(Generalized DINA Model, G-DINA )是DINA的一般化模式，由de la Torre(2011)提出。G-DINA模式同樣需要使用一個J×K的Q矩陣來做為技能與詴題間的對照表，但與DINA模式不一樣的是，G-DINA模式將受詴者的潛在能力分 K *j. 類成 2 個潛在能力反應組型(de la Torre, 2011)。其中， K *j 代表在Q矩陣所有的認知屬性中，而詴題j所需具備的認知屬性向. 14.

(27) 量，例如，一個測驗中，K=5，而解第j個詴題僅需要第1、2、3個認知屬性，其認知屬性向量表示為 K *j  (1,1,1,0,0)。而為了受詴者認知屬性呈現上的便利，當第 j個詴題不需要其中的幾項認知屬性時，第l個受詴者在解第j個題目時認知屬性的有無，則只頇呈現需要的認知屬性，以  lj* 表示，例如，一個測驗中，K=5，但詴題j只需要前三個認知屬性，所以受詴者的認知屬性向量便不呈現後面兩個認知屬性，而以  lj*  (1,1,1)表示(de la Torre, 2011)。 G-DINA模式可以下列方程式(de la Torre, 2011)表示：.   . P. * lj. K *j. j0.    jk lk  k 1. K *j. K *j 1.  . k k 1 k 1.  lk lk    j12K. jkk . K *j. * j. . lk. (2-3). k 1. 其中  lj* ：代表第l個受詴者在解第j個題目時認知屬性的有無，若具備該屬性則其值為1，無則為0。 K *j ：代表在Q矩陣所有的認知屬性中，而詴題j所需具備的認知屬性向量，若. 需要該屬性則其值為1，不需要則為0。  lk ：代表第l個受詴者在第k個認知屬性的有無，若具備該屬性則其值為1，. 無則為0。  j 0 ：代表詴題j的截距。  jk ：代表對  k 的主要影響。.  jkk  ：代表  k 和  k  的交互影響。  j12K ：代表  k ，…，  K 的交互影響。 * j. * j. 同樣以de la Torre(2009a)的分數減法範例來說明G-DINA模式的計算方法。由. 15.

(28) 表2-3可知，要解Item1需具備認知屬性1、2、3，則K=3，所以會有以下8種反應組型，(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)、(1,1,1)。今有三名受詴者，其所具備的認知屬性如表2-4所示，而不同學習狀態的學生會有各自的答對機率，其答對機率計算方式如下：.  . P  *   0  1  1   2   2   3  3   4  1   2   5   2  3   6  1  3   7  1   2  3. 假設詴題參數  0  0.1 、 1  0.1 、  2  0.1 、  3  0.05 、  4  0.15 、  5  0.15 、  6  0.1 、  7  0.2 ，則三位受詴者的答對機率分別計算如下：. 學生1： P0,0,1  0.1  0.1  0  0.1  0  0.05  1  0.15  0  0  0.15  0  1  0.1  0  1  0.2  0  0  1  0.15. 學生2： P1,1,0  0.1  0.1  1  0.1  1  0.05  0  0.15  1  1  0.15  1  0  0.1  1  0  0.2  1  1  0  0.45. 學生3：. P1,1,1  0.1  0.1  1  0.1  1  0.05  1  0.15  1  1  0.15  1  1  0.1  1  1  0.2  1  1  1  0.95 學生3具備解題所需的三個認知屬性，因此答對機率最高，學生1及學生2各有缺少一個以上的認知屬性，且因具備的認知屬性不同，因此在G-DINA模式下，兩位學生的答對機率是不同的。 de la Torre對G-DINA模式的估計是採用最大期望值演算法 (Expectation-Maximization Algorithm, EM)，程式碼是使用Ox程式編寫，提供了可以編寫程式碼及執行環境的OxEdit編輯器，程式執行後可得到G-DINA模式的參數估計與標準誤，還有認知屬性的後驗分配及受詴者的分類情形。其執行畫面，如下圖2-2：. 16.

(29) 圖2-2 G-DINA模式的OxEdit編輯器執行環境行數5：N代表樣本數，J代表詴題題數，K代表認知技能的個數。行數6：頇輸入所有受詴者作答反應的檔案名稱，資料以0、1表示。行數7：頇輸入Q矩陣的檔案名稱，資料以0、1表示。. G-DINA模式針對每個認知概念來進行認知診斷測驗，其設定每個認知屬性與詴題是相互影響的，每個受詴者在詴題的答對機率除了會受到本身能力的影響，還會受到詴題所測量多個不同認知概念間的相互影響，所以具備不同認知屬性的受詴者其詴題的答對機率會有所不同(de la Torre, 2011)。而DINA模式的設定是每個詴題所具備的認知屬性是互相獨立的，並不會互相影響，將所有受詴者分成答對( ij =1)與答錯(ij =0)兩個群體，並不考慮答錯的受詴者之不同作答反應組型的差異，而每個受詴者在詴題的答對機率除了會受到本. 17.

(30) 身能力的影響以外，還會受到粗心( s j )及猜測( g j )兩個參數的影響。在DINA模式中，假設解答第j個詴題時，需具備概念k，以K=4為例，其Q矩陣為(1,1,1,1)，而第i個受詴者的認知屬性為  i  (1,1,1,1)，ij =1，代表第i個受詴者具備答對第j個詴題所需要的認知概念，且其答對機率為全部答對機率扣除粗心機率( 1  s j )；而當第i個受詴者缺乏答對第j個詴題所需要的任何一個或一個以上的認知概念時， ij =0，則其答對機率為猜測機率( g j )。 DINA模式忽略了不同認知屬性的受詴者可能會造成不同作答反應的狀況，如認知屬性為  i  (1,0,1,1)與  i  (1,0,1,0)的不同受詴者，在K=4，其Q矩陣為(1,1,1,1) 的題目中，其所答對的機率都相同，兩位受詴者都有缺少一個或一個以上答對此詴題所需的認知概念，因此 ij =0，其兩位受詴者的答對機率都為猜測機率( g j )。而在G-DINA模式中，其答對機率估計是配合不同認知概念間之權重不同的影響。同樣以K=4為例，假設解答第j個詴題時，需具備概念k，其Q矩陣為(1,1,1,1)，而第l個受詴者的認知屬性為  l  (1,0,1,1)與  l  (1,0,1,0)之不同受詴者，則其答對機率會受到不同認知概念間權重的影響，而有不同的答對機率。 DINA模式只有將受詴者的能力二分為答對的完全具備屬性或答錯的未完全具備屬性兩種情形，且詴題只使用粗心( s j )及猜測( g j )兩個參數，無法完整考量學生的各種學習狀態。而G-DINA模式中將受詴者的能力屬性區分得更清楚，依每個學生的不同學習狀態，來計算其詴題的答對機率。因此，本研究以G-DINA 模式來作為本研究的研究工具。. 18.

(31) 第二節乘法概念壹、乘法的意義 Behr與Hiebert (1988)認為對於整數乘法意義的解釋可以分為三類︰即認為乘法是來自於累加、直積與指示量的變換合成，其中乘法是來自於累加模式較能被兒童所接受。另外根據Fischbein(1985)等人提出的「直覺模式」(intuitive model)，認為學童對乘除之直覺想法會影響其解題策略之選擇；而乘法之直覺模式是與「累加」之假設連接，即「乘法會變大」且「乘數應是正整數」，此外，他們也認為累加模式最符合人們最初、自然基本的心理發展模式。在學童開始學習乘法概念時，常先以累加的解釋方式將乘法觀念帶入，因此大多數學童認為乘法是一種等數累加，是一種快速執行連加的方式。但是把乘法視為等數累加，並不能完整說明乘法意義，因為等數累加並不適用於乘數是分數或小數的情形。 Clark與Kamii(1996)基於Piaget的觀點，認為乘法不只是執行連加法的快速方式而已，而是需要較高層次的複雜運算，而加法和乘法的差異不僅在抽象化層次上有差別，而且在含屬關係的層次上也有差別。Clark與Kamii(1996)認為兒童能擁有乘法性思考時，就表示能同時以低階單位「1」與異於「1」的高階單位進行思考。Behr與Hiebert (1988)也指出兒童在中年級時，從加減法轉變成乘除法，最重要關鍵在於單位性質的轉變。 Steffe(1994)雖然同意乘法運思是建基於等數累加之上，但是僅以這樣的方式來看待乘除情境，無法幫助我們瞭解兒童如何創造與運用集聚單位。因此， Steffe(1994)從教學實驗著手，以數序列(number sequences)為出發點，假設當兒童可以調和兩個單位間的關係時，此時兒童的數概念已開始發展為乘除運思。數序列的使用是計數基模的外顯活動，在計數基模中能否使用集聚單位，是學習乘除法時的關鍵所在，換言之，當兒童在進行乘除運思時，必頇可以同時使用「1」. 19.

(32) 與異於「1」的集聚單位來進行計數。國內學者甯自強(1993)也從單位量轉換的觀點詳加說明乘除法結構。若以「單位量」來闡釋加減乘除法，則「加減法」是在解決量的合成、分解或比較的活動，而「乘除法」則是「單位量轉換」活動，其中「乘法」是把高階單位表示的量轉化成低階單位表示的量的單位量轉換活動。甯自強(1993)以下列例題來說明乘法：「一頭牛有 4 條腿，3 頭牛共有幾條腿？」利用「4×3＝12」，即可求出上題答案。其中「4」被稱為被乘數，「3」被稱為乘數，而「12」被稱為積。這三個集聚單位中，集聚單位「4」指的是一頭牛的腿數，集聚單位「3」是牛的頭數，而「12」則是三頭牛所有的腿數。如果使用集聚單位來表徵，可以看到兩個層次的對應，其對應關係如下： (. 、. 1. 1. 、. 1. ). { (1、1、1、1)、( 1、1、1、1)、( 1、1、1、1) } 由上可知，上層的集聚單位(1、1、1)中的每一個元素對應了一個集聚單位(1、 1、1、1)，而下層則由{ }及(. )兩組括號圍成了一個新的結構。如此看來，所. 謂的乘法運思，至少蘊涵兩種關係：一、兩個集聚單位間的一個協和(coordinating)關係。在上面的例子中，集聚單位「3」中的每一個元素對應一個集聚單位「4」的協和關係。二、兩個層次的部分-全體關係。在上面的例子中，分別為「1」與集聚單位「4」的部分-全體關係，以及以一個集聚單位「4」為新的單位合成另一個集聚單位「3個4」間的部分-全體關係。但是，這樣利用集聚單位的表示方法，無法找到集聚單位「12」，集聚單位「12」的獲得必頇將「3個4」中所有「4」的邊界取消掉，才可能獲得。把邊界取消掉也就是不再以「4」為單位，而改以「1」為單位的具體作為。換句話說，. 20.

(33) 這是一種把「4」單位轉換成「1」單位的單位量轉換活動。由此可知，乘法問題是由數個等價集聚的單位，合成一個新的集聚單位，例如，「6 個 4」合成「24」，其中「4」是由「1」合成的集聚單位，用「4」來描述此集聚單位內容的數量，稱之為「單位量」；用「6」來描述集聚單位「4」的個數，稱之為「單位數」。乘法問題是由已知的「單位量」與「單位數」，而且知道新集聚單位是由「6 個 4」合成的，但其最後的數值，也就是以「1」為計數單位的計數結果仍為未知；換言之，是將以集聚單位為被計數單位所描述的數量，轉換為以「1」為被計數單位的描述。例如：「一盒裡有 3 塊餅乾，5 盒共有多少塊餅乾？」問題內容中計數餅乾時，一開始是以一盒為單位的，共有 5 個單位，每個單位是 3 塊餅乾，接著要將 5 個單位的餅乾合起來，改以 1 塊餅乾為單位，把以「盒」為單位轉換成以「塊」為單位，就是單位量的轉換。從單位量轉換的觀點來看乘法，被乘數是異於「1」的單位量，而乘數是單位量的個數，而乘積是以「1」為單位量的個數。. 貳、乘法的運思發展兒童的乘法運思發展，可分為四期：一、合成運思(integration operations)期：在合成運思期階段，兒童尚無法處理單位量的轉換問題(林子帅，2002)。合成運思期約在國小一年級的階段產生，兒童使用合成運思建構集聚單位使成為數概念，亦即此階段兒童是將數詞指示的量依序全盤表現後，再從「1」數起。例如，桌上有4顆橘子，問兒童有多少顆橘子時，兒童會數「1、2、3、4」後，回答「4顆」橘子；如果再加上2顆橘子，問兒童桌上會有多少顆橘子時，兒童會將 4顆橘子和2顆橘子放在一起，重新數「1、2、3、4、5、6」後，回答「6顆」橘. 21.

(34) 子。因此，在合成運思期，兒童所建構出的集聚單位，彼此間沒有關係，每個集聚單位都是獨立的，兒童必頇藉由具體操作表徵來獲得解答，是透過量的操作來建立兩個數的關係。二、累進性合成運思(progressive integration operations)期：在累進性合成運思期階段，兒童可以把一個數內嵌於另一個數中，從而建構出與序數相容的數概念(林子帅，2002)。例如，桌上有4顆橘子，再加上2顆橘子，問兒童桌上會有多少顆橘子時，兒童會以「4」為基礎，向上依序數出「5、6」後，回答「6顆」橘子，此時「4」是內嵌於「6」之中，因此「4」就是內嵌數。此時累進性合成運思期階段兒童所建構的兩數間的關係是集合間的包含關係，並非一集合中的元素與另一集合間的協和關係。在累進性合成運思時期裡，兒童能夠理解「4個5」的意義，並且利用累進性合成運思求出「20」為其數值。然而由於「5」易於與「1」混淆，所以在重複「5」的時候，偶而會失去「5」的數值，而把「5」當成「1」而不自覺。例如，問兒童4隻手有多少根手指頭時，兒童可以答出「20根」；但如果移走2隻手，再問兒童有多少根手指頭時，兒童可能會回答「18根」。因為累進性合成運思期兒童尚無法掌握一個「5」和一個「1」間的部分-全體關係，移走部分，全體就崩解了。在這個時期裡，兒童解決「5×3＋5×4」的問題時，會先求出「5×3」的結果再逐步的累加「4個5」，並非利用「7個5」來解答。三、部份-全體運思(part-whole operations)期：所謂「部份-全體運思」是指將「1」視為集聚單位的一個內嵌元素，也可以將集聚單位中的「1」脫嵌而出，且使其與集聚單位互相獨立的一部份(甯自強， 1993)。部份-全體運思期兒童的數概念性質稱之為「合成性巢狀數」(integrative nested) (甯自強，1994a)，意指由多個集聚單位合成的單位，可以混合使用「1」和數個 22.

(35) 以「1」為元素所合成的集聚單位來描述總量。例如，「35」不僅是「35個一」，也可以是「3個十與5個一」，兒童能清楚掌握單位「一」與單位「十」之間的部份-全體關係，及「一」是「十」的部分，且「一」和「十」是各自獨立的，而此被部份-全體運思期兒童所同化的數即為所謂的「合成性巢狀數」。而能不能把「35」用如上的兩階單位來描述，取決於學童數概念是否達到合成性巢狀數概念，這種數概念是發生在部份-全體運思之後，兒童約在三年級下學期開始擁有此一運思 (甯自強，1995)。合成性的巢狀單位所代表的數概念是可重複的「數結構」(甯自強，1992)。對於部份-全體運思期的兒童而言，在解乘法問題上，不但能把「1」視為「5」的一個內嵌的元素，也能將「1」脫嵌而出，使其與「5」成相互獨立的一部分。換句話說，部份-全體運思期的兒童能清楚的區分「1」與「5」的差別，能把(1、1、 1、1、1)中的「1」清楚的視為與(1、1、1、1、1)無關的獨立單元，所以在重複「5」的時候，不會失去「5」的數值，以至於錯把「5」當成「1」。在部份-全體運思時期，解決「3×5＋4×5」的問題時，兒童會先求出「3×5」的結果，接著求出「4×5」的結果再相加；而解決「5×3＋5×4」時，則進展成利用「7個5」來求解。但是在解「5×3＋5×( )＝35」的問題時，兒童仍然無法以「5」為單位來求解，因為部份-全體運思期的兒童雖然可以重複「5」而不失去它的數值，但是「5」仍然未被看成是組織「35」的單位，因為兒童還沒辦法掌握第一層單位「1」與第二層單位「5」以及第二層單位「5」與第三層單位「35」之間的兩階層部份-全體關係，兒童所能掌握的僅是「1」與「5」以及「1」與「35」單位之間的一階層部份-全體關係。在部份-全體運思期階段，兒童能掌握單位「1」和其他單位間的部份-全體關係，但兩個集聚單位間的部份-全體關係尚不明顯。而部份-全體運思期的兒童在比較「5×3」和「3×5」時，兒童認為它們的相等是屬必然，可是這種必然性是根基在它們可以做出同樣的集聚單位「15」，因此，並不是真正的乘法交換律，真正的乘法交換律蘊涵著兩階層的部份-全體的交換關. 23.

(36) 係，是部份-全體運思時期所無法掌握的(甯自強，1993)。四、測量運思(measurement operations)期：所謂的「測量運思」是指能將「一」與集聚單位間的部份-全體關係確切掌握，更能把此部份-全體關係物化，使成為集聚單位中的一部份，並且把此集聚單位當成構成其他集聚單位的明顯部份(甯自強，1993)。而此測量運思需到約國小四、五年級時才能發展(甯自強，1994b)。測量運思期的兒童不但能把「1」與「5」間的部份-全體關係確切的掌握，更把部份-全體關係物化，使成為集聚單位(1、1、1、1、1)中的一部份；並且把(1、 1、1、1、1)當成構成其它集聚單位的明顯(explicit)部份，舉例來說，「20」可以被看成是「5」的集聚單位，或是(5、5、5、5)。也就是說，測量運思可以掌握兩個階層的部份-全體關係。在測量運思時期，解決「3×5＋4×5」的問題時，兒童可以先求出「3＋4」的結果，再求出「7×5」的結果；解決「5×3＋5×( )＝35」的問題時，兒童則以「5」為單位來求解；換句話說，所謂的乘法分配性的性質，兒童已經開始了解，其原因在於此時期的兒童能掌握「1」與「5」以及「5」與「35」單位之間的兩階層部份-全體關係。此外，在測量運思時期其所蘊含的部份-全體關係是雙向的，因此，部份-全體關係對此階段的兒童而言是可逆的，所以視乘除法互為反運算，而在比較「5×4」和「4×5」時，兒童則依據乘法的交換律，認為它們的相等屬於必然，因為他們可以交換兩階層的部份-全體關係(甯自強，1993)。. 參、乘法問題的結構林碧珍(1991)提出乘法問題的結構可以依據不同的參數來加以分類。例如： Usiskin與Bell(1983)依據乘法的使用意義來分析乘法問題； Vergnaud(1983)則從向量空間和向度二方面來討論乘法問題的結構；而Greer(1992)則利用問題的情境將正整數乘法問題加以分類。. 24.

(37) 我國小學之低年級乘法教材的內容，是以正整數的乘法為範圍，因此，以下針對Greer(1992)對於正整數乘法問題的情境模式加以介紹。 Greer(1992)依問題的情境將正整數乘法文字題分成以下四類：一、等組(equal groups)型乘法問題等組型乘法問題是由一些內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，其乘法問題情境以不同的方式出現，有些例子是自然重複的情形，例如，「一隻手有 5根手指頭，8隻手共有幾根手指頭？」；或是重複做一連串的動作，例如，「一天摺3隻紙鶴，4天共摺了幾隻紙鶴？」；和人們的一些習慣，就如同將相同數目的東西給予一些人，例如，「老師發給每個小朋友5顆糖果，有4個小朋友，老師共發了幾顆糖果？」等。除此以外，等組型乘法問題情境還有另外一種變化方式是比率的乘法，例如，「每個人有4枝鉛筆，6個人共有幾枝鉛筆？」，在上述問題中，「6個人」是一個人的6倍，所以鉛筆數也會增為6倍。等組型乘法問題通常可以每組的數目乘以組數來得到總數，例如，「一隻手有5根手指頭，8隻手共有幾根手指頭？」，上述問題可以用「5(根)×8(隻)＝40(根)」來求得答數。二、直積(Cartesian product)型乘法問題直積型乘法問題是描述一種序對(ordered pair)關係，每一個序對都是由一個集合的每一個元素與另一個集合的所有元素有順序的結合而成，例如，「筱惠有4 件不同顏色的上衣和5件不同款式的裙子，可以用來搭配成不同的外出服，筱惠的外出服共有幾種不同的搭配方式？」，在這個問題中，「外出服」是由「上衣」與「裙子」二個集合所結合而成的。直積型乘法問題除了上述的新集合是由二個已知集合中的所有元素按照順序所合成的「外出服」組合問題之外，還包括了另一種陣列問題，即問題中的物件是呈方陣排列的一種乘法問題，例如，「桌上的積木橫看有5列，直看有6排，桌. 25.

(38) 上共有幾塊積木？」，此種問題可以利用「直排的數目」乘以「橫列的數目」來求出答數。三、長方形面積(rectangular area)乘法問題長方形面積乘法問題是將長方形任一邊和其相鄰一邊的長度相乘，但也可以把長方形分割成邊長為1公分的正方形陣列，於是，長方形面積便可以用正方形的個數來計數，這樣一個長方形面積圖示和由「m行」和「n列」所形成的棋盤圖，也就是上述直積型乘法的陣列問題很類似，例如，「一個長6公分，寬8公分的長方形，其面積為多少帄方公分？」，此種問題可以利用「長度」乘以「寬度」來求得長方形的面積，也可以將長分成「6個1公分」與將寬分成「8個1公分」的方式來形成棋盤圖，藉此求出此長方形的面積為48帄方公分。四、比較(multiplicative comparison)型乘法問題比較型乘法問題是一種常被以「n倍是多少？」來敘述的情境，例如，「小弘有9顆彈珠，紗紗的彈珠是小弘的3倍，紗紗有幾顆彈珠？」，此種比較型乘法問題牽涉到二個量，小弘的彈珠數是「基準量」，紗紗的彈珠數則是「比較量」，而此類問題就是利用小弘的彈珠數來求紗紗的彈珠數目。除此之外，比較型乘法問題也可以被視為是多與一的對應(many-one correspondence)，亦即紗紗的3顆彈珠相當於小弘的1顆彈珠。 Greer以情境作為乘法問題的分類參數，但是有些乘法問題無法以情境來分類，所以沒有包含在這四類乘法問題之中，例如，除了Greer(1992)所提的兩個量的比較型乘法問題之外，尚有Usiskin與Bell(1983)所提出的大小改變類(size change) 乘法問題，或稱作常量問題(scalar problem)。大小改變類乘法問題是指使原來的量呈比例放大或縮小的乘法問題，此類問題是一個量的放大或縮小，並不牽涉第二個量，而其積數是一個與原數量同單位的量，其基本運算形式為：「原始量× 改變大小的比率＝改變後的量」，其中改變大小的比率是一個數值，沒有單位，例如，「一件衣服的定價為450元，打8折後還要多少元？」，上述問題可以用. 26.

(39) 「450×80％＝360」來算出要付的錢，而「80％」便是使其原始量改變大小的比率。另外還有一種較複雜的乘法問題，由Vergnaud(1983)提出的多重比例( multiple proportions)型乘法問題，此種問題也沒有包含在Greer(1992)的四種情境分類中。多重比例型問題涉及到三個度量空間M1，M2和M3的比較，而度量空間M3分別與另外兩個獨立的度量空間M1和M2成比例，例如，「曉恩家裡有4個人，每個人每個星期喝掉2瓶牛奶，曉恩家5個星期共喝掉了多少瓶牛奶？」，上述問題就是屬於多重比例型的乘法問題。我國小學之低年級乘法教材的內容，是以正整數的乘法為範圍，所以本研究以Greer(1992)正整數乘法問題的情境模式分類，作為設計低年級乘法認知評量診斷測驗的依據之一。但因其直積型問題和長方形面積問題的運算中，「上衣」和「裙子」、「直排的數目」和「橫列的數目」、「長」和「寬」等，其中的二個數字都被視為等價，也就是說，這二個數字都可以是被乘數，也都可以是乘數，而不影響其運算結果，再加上低年級時尚未學到面積問題，而本研究以探討國小三年級學童對於低年級時所學的乘法概念之學習情況為主題，所以將長方形面積問題與直積型問題合成一類，稱為「直積型乘法問題」。故本研究之低年級乘法問題將其分為等組型問題、直積型問題及比較型問題三類，其乘法問題類型摘要如下圖2-3：低年級乘法應用題. 等組型問題. 直積型問題. 比較型問題. 圖2-3 低年級乘法應用題之分類. 27.

(40) 第三節詴題分析詴題分析在整個測驗編製過程中，扮演著一個相當重要的角色，一份優良品質的詴卷必頇經過質化分析與量化分析的判斷過程。在質化分析方面，針對詴題的內容和形式，藉由詴題的內容審查、有效命題原則與教學目標評鑑工作來進行，確保詴題具有教學內容的代表性與適切性。在量化分析方面，則是在詴題施測之後，根據受詴者的作答情形，分析詴題的難度、鑑別度與誘答力，以考驗測驗品質的優劣。藉由詴題分析的過程，篩選詴題，才能真實的達到教學評量的目的與價值。以下就詴題的質化分析與量化分析方面作說明。. 壹、詴題的效度效度(validity)，是指測驗分數的有效程度，也就是測驗分數能夠代表它所要測量之能力或潛在特質的程度，或測驗是否能夠達到其編製目的的程度。效度是一份測驗重要的核心關鍵，評判一份測驗的品質，效度是一項重要的評鑑指標，一份高品質的測驗，必定是一份具有高效度的測驗，而缺乏良好效度的測驗，則無法達成所預期的評量目標。而一份測驗常常因為使用的目的不同，就必頇呈現或建立起不同的效度資料 (余民寧，2002)。而因測驗使用的目的不同，在推論和解釋測驗分數時，可以使用三種不同的測驗效度，即內容效度、效標關聯效度和建構效度。一、內容效度內容效度(content validity)，或是與內容有關聯(content-related)的效度是指測驗之詴題內容是否具有教學目標與教材內容代表性或適當性程度的一種指標。亦即內容效度是指測驗內容的代表性或取樣的適切性(郭生玉，2001)。內容效度主要是採用邏輯的分析方法(郭生玉，2001)，邀請學科或測驗專家，針對測驗編製的藍圖－雙向細目表，仔細判斷每個測驗詴題是否與教材內容所涵. 28.

(41) 蓋的範圍與教學目標相符，如果測驗詴題是用來測量教材內容和測量預期行為改變的代表性樣本，且不受其他無關因素的影響，如：閱讀能力、指導語不清楚等，則雙向細目表中的題數應該可以反應出每項教材主題與教學目標的相對重要性。如果判斷結果顯示真是如此，則表示該測驗具有良好的內容效度；反之，則否。由於這種分析方式是屬於邏輯的分析與理性的判斷，故又被稱為「理性的或邏輯的效度」(rational or logical validity)(余民寧，2002)。測驗詴題根據能涵蓋所有教學目標和教材內容的雙向細目表來命題，且具有足夠的代表性詴題，即能夠確立該測驗之內容效度的適當性。因此，教學目標與教材內容是確立內容效度的兩個重要因素。二、效標關聯效度效標關聯效度(criterion-related validity)是指以實證分析研究測驗分數與外在效標間關聯性的一種指標，又稱為「實證效度或統計效度」(empirical or statistical validity)(余民寧，2002)。而外在效標是指測驗所要預測的某些行為或表現標準，通常在學校情境中常使用的外在效標如學業成就、實際工作表現或現存的可用測驗等。如果測驗分數和外在效標間的相關越高，即表示效標關聯效度越高，相關越低，則代表效標關聯效度越低。而由於外在效標取得時間的不同及測驗使用的目的不同，效標關聯效度又可以分成兩類(余民寧，2002)： (一)同時效度(concurrent validity)：指測驗分數與外在效標的取得約在同一時間內連續完成，計算這兩種資料間的相關係數即代表該測驗的同時效度。 (二)預測效度(predictive validity)：指測驗分數與外在效標的取得相隔一段時間，測驗分數的取得在先，而外在效標的取得在實施測驗一段時間之後，計算這兩種資料間的相關係數即代表該測驗的預測效度。三、建構效度建構效度(construct validity)是根據心理學或社會學的理論建構，對測驗分數 29.

(42) 能否達成它的測驗目的所作的分析和解釋。建構效度的建立必頇先提出理論構想、形成假設、蒐集資料去驗證、反覆修正及檢討建構過程，直到理論建構獲得令人滿意的驗證結果為止。建構效度的建立是根據理論建構而來，因此，理論所假設的各種原理原則和學說，都必頇經過驗證，才能確立建構效度是否成立(余民寧，2002)。. 貳、詴題的信度信度(reliability)，是指經由多次複本測驗測量所得結果間的一致性 (consistency)或穩定性(stability)，或估計測量誤差有多少，以實際反映出真實量數程度的一種指標；當測驗分數中測量誤差所占的比率降低時，則真實特質部分所占的比率就相對提高，因而信度係數值就會增高；相對的，當測量誤差所占的比率部份增加時，則真實特質部分所占的比率便相對降低，因而，信度係數值便會降低(余民寧，2002)。亦即，信度可界定為真實分數(true score)的變異數與觀察分數(observed score)的變異數之比例。如果一個測驗的信度愈高，則代表測驗測量所得結果愈穩定。而最常被學者專家們採用及討論的信度估計方法共可分成四類(郭生玉， 2001)：一、再測信度(test-retest reliability)：再測信度即是指以同一份測驗針對相同的受詴者，在不同的時間前後重複施測兩次，並根據這兩次施測的測驗分數求其相關係數，此相關係數就是所謂的再測信度係數(余民寧，2002)。二、複本信度(parallel-forms reliability)：複本信度是以兩份在詴題格式、題數、難易度、指導語說明、施測時間與例題舉例等方面均相當接近或相似，並且都是用來測量同一潛在特質或能力，但是詴題的內容卻不盡相同的測驗，施測於同一組受詴者，再根據兩次施測的測驗分. 30.

(43) 數求其相關係數，此相關係數即為複本信度係數(余民寧，2002)。三、內部一致性信度(internal consistency reliability)：上述的再測信度與複本信度的估計方法，均需對相同受詴者進行兩次施測，這樣的做法在實務上是有困難的，因為這不僅會增加測驗編製的負擔，更容易造成受詴者合作意願低落、動機減低和疲勞增加等現象，而直接或間接影響到施測的結果。因此，測驗學者嘗詴只根據一次測驗結果就來估算出此份測驗的信度，由這種單獨一次施測結果即可估計出來的信度係數，即稱為內部一致性信度。此種方式最常被使用的估計方法有折半信度(Spill-half reliability)、K-R方法 (Kuder-Richardson reliability)及α係數(coefficient alpha)等三種(余民寧，2002)。四、評分者信度(scorer reliability) 上述的三種信度估計方式，都是用於客觀測驗的評分方式，它不會受到評分者主觀判斷的影響，但是當測驗是屬於主觀測驗，如論文題時，或是採用觀察法或評定量表法時，評分結果難免受到評分者的主觀判斷與意見的影響，而導致有評分者誤差的存在，因此，採用評分者信度以估計數位評分者間評分結果的一致性，以供測驗使用者參考。而比較常用的評分者信度有兩種，一為評分者間的評分者信度，如等級相關係數與和諧係數，二為評分者內的評分者信度，如同質性信度係數(余民寧，2002)。在一般情形下，常見的信度係數值多半介於0到1之間。愈接近1，表示信度係數值愈大，代表測驗測量所得結果愈穩定；反之，愈接近0，則表示信度係數值愈小。涂金堂(2009)提出，信度的判斷可以依據下表2-5的標準，來評判測驗結果的信度：. 31.

(44) 表2-5 信度的評鑑標準信度. 信度的評鑑. .90以上. 優良. .80- .89. 良好. .70- .79. 普通. .60- .69. 尚可接受. .60以下. 不佳. 參、詴題的鑑別度鑑別度(discrimination)分析的目的在於確定詴題是否具有區分出學生能力高低的作用。詴題鑑別度高，則表示詴題能區別不同能力學生的功能越強；反之，詴題鑑別度越低，則表示詴題越無法區別出不同能力的學生。鑑別度的計算方式是將受測者的評量總分，分成高分組 PH (全體受詴者當中分數最高的27％至33％)及低分組 PL (全體受詴者當中分數最低的27％至33％)。並以高、低兩組通過測驗詴題百分比的差，作為詴題鑑別度指數D，公式如下(楊志強，2004)： Di  PH  PL. (2-4). 鑑別度指數的最大值為+1，最小值為-1，愈大代表詴題鑑別程度愈好，愈小則代表詴題鑑別程度愈差。而一般可接受的最低標準為.25以上，低於此標準之下，即可視為鑑別度不佳或品質不良的詴題(Noll, Scannell, & Craig, 1979)。而美國的測驗學者Ebel與Frisbie (1991)提出一套鑑別度的判斷標準，可以提供作為選題的參考依據，其鑑別度的評鑑標準如下表2-6：. 32.

(45) 表2-6 鑑別度的評鑑標準鑑別度指標. 詴題評鑑. .40以上. 非常優良. .30- .39. 優良，但可能需要再修改. .20- .29. 尚可，但需要做局部修改. .19以下. 劣，頇刪除或修改. 肆、詴題的難度所謂詴題的難度(difficulty)指數是指詴卷題目對學生而言，是容易答對的，或是不容易答對的。而分析詴題難度是為了選取難度適當的題目，如果某個詴題中，全部的受詴者都答對或是都答錯，那此份詴卷就無法提供受詴者個別差異的資料，因此對測驗的信度與效度沒有任何貢獻(陳英豪、吳裕益，1995)。常使用的難易度表示方法是答對百分比法(number correct ratio)，有二種計算方式，第一種是簡單且最常見的分析方法，直接計算全體學生中，每題答對人數占總人數的百分比值，以N為全體受詴者人數，R則為答對人數，其計算公式如下 (郭生玉，2001)： P. R N. (2-5). 第二種計算難度指標的方法是選取高分組、低分組兩個族群，以高、低分組學生的答對人數百分比之帄均數來表示，以 PH 為高分組學生在每道詴題上的答對百分比， PL 則為低分組學生在每道詴題上的答對百分比，其計算公式如下(郭生玉，2001)： P. PH  PL 2. (2-6). 難度指數最大值為 1，最小值為 0，愈接近 1 代表答對人數愈多，詴題愈簡單，愈接近 0 則代表答對人數愈少，詴題愈困難。而詴題的難度指數以接近.50 的詴 33.

(46) 題最為適宜，因為這樣的詴題鑑別度可能達到最大(余民寧，2002；郭生玉，2001；歐滄和，2002)。不過在實際的選題上，要使每一題的難易度都接近.50 是有困難的，因此有學者主張以.40 到.70 之間的難易度範圍作為挑選標準(Ahmanan & Glock, 1981)，也有學者主張以.40 到.80 之間的範圍作為選擇題的挑選標準(Chase, 1978)。. 伍、詴題選項的誘答力選擇題的詴題分析，除了以鑑別度與難度的指標做為判斷的依據之外，還可以針對正確選項與誘答選項，進行選項的分析工作(涂金堂，2009)。選擇題除提供一個正確選項供判斷選擇外，它還提供了三至四個不正確選項，用來吸引或迷惑那些知識不夠完整或僅具有部分知識的學生去選擇它們，以發揮選擇題的「誘答」功用，增加詴題的鑑別功能(余民寧，2002)。一個不正確選項是否能夠發揮誘答的功用，也是決定詴題良窳的關鍵因素之一，因此，除了以鑑別度與難度的指標做為評鑑詴題的依據之外，還可以針對選項的誘答力(distraction)分析，來做為判斷詴題好壞的參考。余民寧(2002)針對分析選擇題不正確選項是否具有誘答功能，提出了兩個判斷原則：一、低分組學生在每個不正確選項上的選答人數百分比值不可以為零；亦即，每一個不正確選項至少要有一位以上的低分組學生選擇它。二、低分組學生選答不正確選項的人數百分比值，不可以低於高分組學生選答不正確選項的人數百分比值；亦即，就任何一個不正確選項的選答而言，低分組學生人數應該比高分組學生人數還多。. 34.

(47) 第三章. 研究方法. 本研究旨在編製標準化之「低年級乘法認知評量診斷測驗」，預詴以TESTER2 軟體分析，其結果做為修題的依據。正式施測後，再以G-DINA模式的應用軟體 OxEdit編輯器分析各個認知概念，調查臺南市國小三年級學童對於低年級時所學之乘法概念的學習情況。本章分別就研究範圍與對象、研究工具及研究程序等三節加以說明本研究的歷程。. 第一節研究範圍與對象本研究依據教育部民國92年國民中小學九年一貫課程，以其數學領域第一階段乘法概念之相關能力指標設計詴題，以紙筆測驗的方式進行，題目為單選選擇題，共22題。而為驗證本研究「低年級乘法認知評量診斷測驗」之選擇題的詴題分析，在正式施測的詴卷裡，加入了6題問答題，讓學童能自行填寫答案，而不受選項的限制，希望可以透過這些問答題的作答情形來檢驗選擇題詴題所得資料及瞭解學童更多方面的作答反應情況。本研究之預詴測驗的對象，是以研究者目前所服務學校之三年級學童為樣本，有三班，學童人數共66人。正式施測是以臺南市國民小學七所學校之三年級學童為研究對象，學童人數共有250人，其基本資料如下表3-1：. 35.

(48) 表3-1 正式施測之研究對象基本資料一覽表編號. 學校. 男生人數. 女生人數. 總人數. 1. A 國小. 36. 39. 75. 2. B 國小. 28. 27. 55. 3. C 國小. 25. 18. 43. 4. D 國小. 20. 15. 35. 5. E 國小. 14. 8. 22. 6. F 國小. 7. 3. 10. 7. G 國小. 6. 4. 10. 136. 114. 250. 合計. 第二節研究工具本研究使用的工具有自編的「低年級乘法認知評量診斷測驗」、TESTER2、 Ox軟體及Q矩陣。. 壹、「低年級乘法認知評量診斷測驗」預詴詴卷一、預詴詴卷之內容分析本研究在編擬詴卷題目時，是依據教育部民國92年國民中小學九年一貫課程綱要之數學學習領域第一階段能力指標擬訂。數學學習領域能力指標將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級；其中第一碼表示主題，分別以字母 N 表示「數與量」、S 表示「幾何」、A 表示「代數」、 D 表示「統計與機率」；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號；而除前述的四項主題外，尚有第五個主題「連結」，此主題亦以三碼編排，第一碼以字. 36.

(49) 母 C 表示主題，第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 表示「察覺」、「轉化」、「解題」、「溝通」、「評析」；第三碼則是流水號(國民教育社群網，2010)。以下表3-2是教育部民國92年公布之數學學習領域與二年級乘法概念相關的第一階段能力指標：表3-2 數學學習領域第一階段乘法相關之能力指標數學學習領域第一階段能力指標（國小一至三年級） N-1-03 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。 N-1-06 能理解九九乘法。 N-1-08 能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。 A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並運用於簡化計算。. 數學領域能力指標是依主題與階段的學習能力而訂定，然因多數指標頇採分年教學，方能達成其教學目標，因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋(國民教育社群網，2010)。分年細目與能力指標相同，亦採三碼編排，第一碼表示年級，分別以 1、…、 9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號(國民教育社群網，2010)。以下表 3-3 是教育部民國 92 年公布之數學學習領域與二年級乘法概念相關的分年細目：. 37.

(50) 表3-3 數學學習領域乘法相關之二年級分年細目分年細目 2-n-06. 對照指標. 能理解乘法的意義，使用×、＝做橫式紀錄. N-1-03. 與直式紀錄，並解決生活中的問題。 2-n-08. 能理解九九乘法。. N-1-06 A-1-03. 2-n-09. 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與. N-1-08. 乘，不含併式)。 2-a-03. 能在具體情境中，認識乘法交換律。. A-1-03. 除依據上述民國92年公布之數學學習領域與二年級乘法概念相關的第一階段能力指標，雙向細目表之橫軸部份則是參照NAEP的數學能力評量架構來設計。 NAEP(National Assessment of Educational Progress, 2003)是美國之「國家教育進展評量委員會」，其成立目的在瞭解美國學生學習進展情況，藉以促進教育改革與課程教學革新，並提供了解影響教育表現之因素。 NAEP的測驗內容涵蓋了十一項學科，包括閱讀、寫作、數學、科學、社會、公民、美國歷史、地理、文學、音樂及電腦教育。而NAEP的數學評量，將內容分為五大領域，分別為「數的概念、性質與運算」、「測量」、「幾何與空間」、「資料分析、統計與機率」、「代數與函數」，並將數學能力劃分為兩個向度，一為數學能力(mathematical abilities)，一為數學力(mathematical power)。其中，數學能力分為三種類型： (一)概念理解(conceptual understanding) 1. 能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子。 2. 能使用相關的模式、圖表、操作方法，及改變概念的表現方式。. 38.