研究工具

本研究使用的工具有自編的「低年級乘法認知評量診斷測驗」、TESTER2、

Ox軟體及Q矩陣。

壹、「低年級乘法認知評量診斷測驗」預詴詴卷

一、預詴詴卷之內容分析

本研究在編擬詴卷題目時，是依據教育部民國92年國民中小學九年一貫課程 綱要之數學學習領域第一階段能力指標擬訂。

數學學習領域能力指標將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年 級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級；其中第 一碼表示主題，分別以字母 N 表示「數與量」、S 表示「幾何」、A 表示「代數」、

D 表示「統計與機率」；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、

三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號；而除前 述的四項主題外，尚有第五個主題「連結」，此主題亦以三碼編排，第一碼以字

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母 C 表示主題，第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 表示「察覺」、「轉化」、

「解題」、「溝通」、「評析」；第三碼則是流水號(國民教育社群網，2010)。

以下表3-2是教育部民國92年公布之數學學習領域與二年級乘法概念相關的 第一階段能力指標：

表3-2 數學學習領域第一階段乘法相關之能力指標 數學學習領域第一階段能力指標（國小一至三年級）

N-1-03 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。

N-1-06 能理解九九乘法。

N-1-08 能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。

A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交 換律，並運用於簡化計算。

數學領域能力指標是依主題與階段的學習能力而訂定，然因多數指標頇採 分年教學，方能達成其教學目標，因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年 細目及詮釋(國民教育社群網，2010)。

分年細目與能力指標相同，亦採三碼編排，第一碼表示年級，分別以 1、…、

9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與 量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流 水號(國民教育社群網，2010)。

以下表 3-3 是教育部民國 92 年公布之數學學習領域與二年級乘法概念相關 的分年細目：

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表3-3 數學學習領域乘法相關之二年級分年細目

分年細目 對照指標

2-n-06 能理解乘法的意義，使用× 、＝做橫式紀錄 與直式紀錄，並解決生活中的問題。

N-1-03

2-n-08 能理解九九乘法。 N-1-06 A-1-03 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與

乘，不含併式)。

N-1-08

2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。 A-1-03

除依據上述民國92年公布之數學學習領域與二年級乘法概念相關的第一階段 能力指標，雙向細目表之橫軸部份則是參照NAEP的數學能力評量架構來設計。

NAEP(National Assessment of Educational Progress, 2003)是美國之「國家教育 進展評量委員會」，其成立目的在瞭解美國學生學習進展情況，藉以促進教育改 革與課程教學革新，並提供了解影響教育表現之因素。

NAEP的測驗內容涵蓋了十一項學科，包括閱讀、寫作、數學、科學、社會、

公民、美國歷史、地理、文學、音樂及電腦教育。而NAEP的數學評量，將內容 分為五大領域，分別為「數的概念、性質與運算」、「測量」、「幾何與空間」、

「資料分析、統計與機率」、「代數與函數」，並將數學能力劃分為兩個向度，

一為數學能力(mathematical abilities)，一為數學力(mathematical power)。其中，數 學能力分為三種類型：

(一)概念理解(conceptual understanding)

1. 能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子。

2. 能使用相關的模式、圖表、操作方法，及改變概念的表現方式。

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3. 辨認和應用原理原則。

4. 能知道及運用事實及定義。

5. 能比較、對照及整合相關的概念及原理原則，以擴展原有概念及原理原則。

6. 能辨認、解釋及應用來表示概念的符號及術語。

7. 能詮釋在數學情境下相關概念的假設和關係。

(二)程序知識(procedural knowledge) 1. 正確的選擇和應用程序。

2. 使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性。

3. 擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素。

(三)問題解決(problem solving) 1. 能以確認及規劃解決問題。

2. 決定資料的充分性及一致性。

3. 能使用策略、資料、模式及相關的數學。

4. 產生、擴展或修正程序。

5. 在新的情境中能推理。

6. 判斷結果的合理性及正確性。

另外，NAEP將數學力分為三種類型：

(一)推理(reasoning)

1. 能認知數學的基本內容。

2. 能進行探究與數學臆測。

3. 發展對數學論證的評價，選擇使用不同的推理和證明方法。

(二)連結(connections)

1. 能理解和進行數學概念之間的連結。

2. 能了解數學概念是環環相扣的體系。

3. 能在數學領域外辨認和使用數學。

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(三)溝通(communication)

1. 能透過溝通強化數學思維。

Q1、Q2、Q4、

Q6

Q20、Q21、Q22

而除了以數學領域九年一貫能力指標及NAEP的數學能力評量架構來編擬雙 向細目表外，為配合正式施測後以G-DINA模式分析資料，並編擬了測驗題目與

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Q16、Q17、Q18、Q19、Q20、Q21、Q22 透過累加的過程知道

單位量有幾個

Q1、Q2、Q3

知道幾的幾倍中，何者 為單位量

Q2、Q4、Q5、Q6

知道乘法算式中的單 位量與單位數

Q3、Q5、Q7、Q8、Q9

知道乘法的交換律 Q12、Q13、Q14 知道問題要以乘法算

式計算

Q10、Q11、Q14、Q15、Q16

能理解加、減、乘之兩 步驟問題的邏輯

Q17、Q18、Q19、Q20、Q21、Q22

本研究在依據雙向細目表編製詴題之後，聘請國小低年級的現職教師，共同 研商題目之設計是否符合學生之發展經驗及其適切性，再與教育測驗專家討論詴 題內容，經檢核修訂之後，決定測驗詴題。參與編修人員資料如下：

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表3-6 低年級乘法概念評量詴題參與編修人員

參與人員 年資 相關背景

曾教授 20年 測驗及評量研究中心

尤老師 9年 現職低年級老師(師院師資班畢業) 李老師 18年 現職低年級老師(師院初教系畢業) 林老師 4年 現職低年級老師(師院自科系畢業) 林老師 8年 現職低年級老師(師院語教系畢業) 林老師 21年 現職低年級老師(師院初教系畢業) 洪老師 5年 現職低年級老師(師院社教系畢業) 陳老師 7年 現職科任老師(師院初教系畢業) 莊老師 12年 現職低年級老師(師院數教系畢業)

二、預詴詴卷之鑑別度與難度分析

常用的詴題選擇原則是先選出鑑別力較高的詴題，然後再從中選出難度指數 適中的題目(郭生玉，2001)。

在進行優良詴題的挑選時，雖然可以根據詴題難度指標與鑑別度指標的分析 結果做為挑選詴題的參考，但這兩項指標並不是唯一的依據。因為詴題的鑑別度 低，不一定代表此詴題就不是優良之詴題，在詴題難度較容易或較艱深時，便會 造成鑑別度過低的現象，但如果這些題目能代表教學目標與內容，此種題目也有 需要予以保留。所以挑選優良的詴題時，還是需要參考雙向細目表的詳細說明，

以及兼顧教學評量的目標，選出具有課程內容代表性及內容效度的詴題，才算是 真正的優良詴題(余民寧，2002)。

因此，綜合以上所述，本研究依據TESTER2分析結果及雙向細目表內容，重 新審視詴題的內容及各個選項答題情況，來決定將詴題保留、修改或刪除。預詴 詴卷各詴題難度指數、鑑別指數度及最後選取結果如下表3-7：

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表3-7 預詴詴卷之難度指數和鑑別度指數摘要表

詴題 難度 鑑別度 選取結果 詴題 難度 鑑別度 選取結果 Q1 0.56 0.50 保留 Q12 0.63 0.50 保留 Q2 0.50 0.63 保留 Q13 0.44 0.63 保留 Q3 0.47 0.06 修改 Q14 0.25 0.13 修改 Q4 0.41 0.19 修改 Q15 0.47 0.44 保留 Q5 0.41 0.44 保留 Q16 0.25 0.38 修改 Q6 0.56 0.63 保留 Q17 0.41 0.44 保留 Q7 0.41 0.31 保留 Q18 0.53 0.56 保留 Q8 0.28 0.19 修改 Q19 0.25 0.38 修改 Q9 0.41 0.44 保留 Q20 0.34 0.44 修改 Q10 0.41 0.81 保留 Q21 0.38 0.25 修改 Q11 0.69 0.50 保留 Q22 0.38 0.38 修改

貳、TESTER2

TESTER for Windows程式2.0版是執行古典測驗理論下的詴題分析、測驗分析 和學生問題表分析等各種方法，其使用的最大容量範圍限制學生數在10000人以 內，詴題數在250題以內，及5個選項以內的單選之選擇型詴題，且每題的輸入資 料格式必頇是數值型(numerical)的做答反應資料，例如，選項是A、B、C、D的 文字格式，頇轉成1、2、3、4的數字格式來輸入，此外，TESTER2的S-P表 (student-problem chart)繪圖功能，僅限於學生數在60人，詴題數在50題以內的資 料，才能啟動使用(余民寧，2002)。

施測者將受測者原始作答資料輸入後，TESTER2會將其更改成「對或錯」的 二元化計分資料，其內涵只有兩種數值，1或0，代表第i個受詴者在第j個詴題上

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的作答結果是對或錯，答對者登錄(coding)為1，答錯者登錄為0，因此，這個二元 化計分資料矩陣即為由1與0兩種數值所構成，而將這二元化計分資料逐題加總起 來，得一總分，稱做學生的「原始得分」，再依據學生原始得分之高低，由高往 低排列，則可得「學生-問題原表」(余民寧，2002)。

利用TESTER2作詴題分析，除了可以依此來探討詴題難度指標、鑑別度指 標，還可以進一步分析詴題錯誤選項的誘答力，更可以進一步分析詴題的信度指 標、效度指標以及繪製S-P表(學生-問題表)。

參、Ox軟體

Ox軟體是一個目標指向的統計系統。它的核心是一個有效率的矩陣語言，內 建的資料庫提供了包涵各種數學與統計函數的功能，矩陣可以直接表示及運算，

例如：矩陣相乘、計算反矩陣等。其特色包含運算速度快、可延伸的資料庫、以 及設計良好的語法與編輯器，使得程式的撰寫、維護、以及圖形的繪製都變得容 易且快速，另外還可以直接以數字表示與運算，甚至讀寫許多不同的資料格式，

如電子表格EXCEL與OXMETRIC檔等，是一個相輔相成的綜合統計資料庫。除 此外，Ox也可以執行大部份的計量經濟學的高斯方程式(Doornik, 2003)。

de la Torre使用Ox軟體，提供了針對G-DINA模式可以編寫程式碼及執行環境 的OxEdit編輯器，程式執行後可得到G-DINA模式的參數估計與標準誤，還有認 知屬性的後驗分配及受詴者的分類情形。

肆、Q矩陣分析

為配合正式施測後以G-DINA模式分析資料，因此並編擬了「低年級乘法認 知評量診斷測驗」題目與各乘法認知概念的Q矩陣，其內涵有兩種數值，「1」或

「0」，「1」代表解第j個詴題時需要此認知概念，「0」則代表解第j個詴題時不 需要此認知概念，因此，這個資料矩陣即為由「1」與「0」兩種數值所構成。本 研究之Q矩陣分析如下表3-8：

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