第五章 結論與建議
第二節 建議
壹、乘法教學方面
一、圖示教學
從許多研究、學童的作答反應及教師的訪談中，可以發現，圖象表徵是一項 可以與學童溝通抽象概念的教學工具。圖示教學的解說比一般文字的解說更容易 讓學童理解，教師可以透過圖示的數量表徵，讓學童較容易掌握住文字題中「單 位量」與「單位數」間的關係。
而培養學生自己依題意畫出圖示表徵，也可減少學童一看到數字就直接相乘 的解題模式，讓學童有多一些時間思考。而教師也可以藉由學童的圖示表徵，來 了解學童對題目的思考，診斷學童的思考程序是否有不合理處，也可以藉此引導 學童去檢驗並修正。
二、「倍」的語言溝通
在乘法教材中，「一隻青蛙有4條腿，3隻青蛙共有幾條腿？」的題目裡，由解 題記錄「4＋4＋4＝12」可以看出「4」加了3次，有「3個4」，可以說成「4的3倍」，
而「4的3倍」就是一種「倍」的語言，是經由「3個4」的語言轉換而來。而會選 擇使用「幾的幾倍」的語言來引入乘法算式，主要的理由是學童通常習慣於按照 數字出現的次序來進行記錄活動(蔣治邦、謝堅、陳竹村、吳淑娟、林昭珍，2000)。
而在學習乘法單元之前，大部分學童的日常生活經驗中還沒有使用過「倍」
這個字，學童也不了解「倍」的意義，而如果教師在數學課程中，只告訴學童「5 個4也可以說是4的5倍」，這種定義式的說明，對學童來說是不容易了解的。但 透過加法算式解題及畫出圖象表徵的過程中，學童可以透過這樣的方式來做「倍」
的語言學習，及與乘法算式的銜接，進而獲得「倍」的概念與意義，所以讓學童 體驗透過「幾個幾」轉換至「幾的幾倍」的語言，是不可缺少的練習，也應該經 常使用，協助學童熟悉此溝通方式。因此在乘法單元教學時，得時時說明「倍」
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的意義，否則原本不存在的、抽象的語文知識，是不容易在孩童的腦中生根。
三、九九乘法與乘法情境結合
教師在介紹九九乘法表的課程中，要讓學童將乘法表與乘法情境結合，而不 是先要求學童熟背乘法表，應該是要讓學童先了解乘法的意義之後再來進行乘法 表的背誦，如此將乘法算則和情境互相搭配，可以幫助學童了解乘法的意義。
四、題意的理解
學童在解乘法文字題最大的關鍵在問題轉譯上的困難，因此教師在數學乘法 解題教學時，應重視學童對題意的了解，先充分與學童討論題意，讓學童發覺解 題目標，再繼續進行解題的教學。
學習就是要重視知識的形成過程，需要讓學生達到真正的理解，才是有意義 的學習，若是教學時只重視學生的數學知識，而沒有要求他們理解這些數學知 識，雖然在教學後的考詴能拿到高分，但是沒有理解的記憶通常只能停留短暫的 時間。建立新概念頇慢慢來，教師的教學步驟要放慢，唯有讓學童理解、內化，
學童才能真正的學到知識。
貳、教材設計方面
一、教材中不要出現「幾有幾個」與「幾個幾」的混用
在某些教材的課程安排中，因為學習乘法概念時，「幾個幾」與「乘法算式」
的位置關係正好是顛倒，例如，「2個4」是「4×2」，而為了不讓學童混淆，所以 在課程中會以「幾有幾個」來陳述，此種陳述方式與「乘法算式」的位置關係剛 好是一樣，例如，「4有2個」是「4×2」，如此雖然學童可以很快的將其轉換成乘 法算式而不出錯，但卻發現學童只是記憶著方式，卻不理解其表徵意義，且在後 來學習「乘法算式」與「幾個幾」的語言轉換時，反而會受到之前「幾有幾個」
的陳述方式影響，造成解題時的錯誤。
學童在學習「倍」的語言時通常不能領會該語言的意涵，而太多的方式可能
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會造成學習的負擔與混淆，所以教材中可以直接以「幾個幾」及圖像說明來帶領 學童學習，教學者並經常與學童溝通「倍」的語言，使學童能及早熟悉與應用，
而不要讓學童淪為方便記憶卻不解其意，甚而影響後來文字題時的解題。
二、將乘法交換律的學習放置在中年級課程
受訪的一位教師曾提出，學生在解乘法文字應用題時，常常不去考慮「單位 量」與「單位數」的位置，其原因可能是在乘法的交換律教學上，有的學童認為 乘法算式記錄成「6×5＝30」和「5×6＝30」都可以，因為都可以得到「30」的答 案，所以學童並不在乎「單位量」與「單位數」擺放的位置，而大部分的低年級 學童尚未能掌握乘法交換律，也不能輕易接受乘法交換律的性質。
雖然從G-DINA模式認知屬性後驗分配機率值中，學童在「乘法的交換律」
上表現最好，但其實很多學童卻還未能完全瞭解乘法交換律的性質。因為在部份 -全體運思期中，在比較「5×3」和「3×5」時，兒童認為它們的相等是屬必然，
可是這種必然性是根基在它們可以做出同樣的集聚單位「15」，並不是真正的乘 法交換律，真正的乘法交換律蘊涵著兩階層的部份-全體的交換關係，是部份-全 體時期所無法掌握的(甯自強，1993)。而部份-全體運思期，兒童約在三年級下學 期開始才擁有此一運思(甯自強，1995)。
因此，為了不讓低年級的學童對於「6×5＝30」和「5×6＝30」，兩個數字位 置顛倒乘積卻一樣的結果感到困惑，乘法交換律不需要在低年級的課程中特別和 學童討論，尤其課程中對乘法交換律的問題處理，有時會只有以「6×5＝（ ）×6」
的題目型式出現，更容易引起學童的困惑，因為此種題型沒有搭配乘法情境的出 現，反而容易讓學童產生混淆，也會造成學童對於理解「6×5＝30」和「5×6＝30」
的差別感到不在意。
三、中、低年級之「倍」的語言教材予以銜接
在低年級時，學童在學習「連加法」、「幾個幾」、「幾的幾倍」及「乘法 算式」這些倍的語言轉換上，其實有其語文理解上的困難，而「倍」的語言課程
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到了中年級以後卻不再強調，使得部分語文理解能力較弱的學童無法有再次加強 與學習的機會，造成學童的錯誤概念一直無法獲得釐清，因此在中年級教材的設 計上應該要有其「倍」的語言之課程銜接。
參、相關研究建議
一、傳統分析理論與認知診斷模式的相關性
傳統的測驗編製常以詴題的分析理論作為選題的標準，但卻不知以傳統分析 理論所編製的一份品質優良的詴卷，其作答情形應用在認知診斷模式分析中的適 切性，因此建議以後的研究可以探討其兩者的相關性。
二、探討教師的專業背景因素是否影響其數學教學方式
教師的培育體系多元且各有其專業背景，但國小的教師卻常無法以教師的專 業背景來派任其教學的科目，因此不同專業背景的教師在其數學的教學上是否會 有差異，又是否會對學童的學習產生影響，是往後可以研究的方向。
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