第二章 文獻探討
第二節 乘法概念的教學理論基礎
第一節 國小乘法概念發展與教材分析
第一部分探討九九乘法歷史的起源；第二部分為乘法課程之轉變；第 三部分為低年級乘法課程的內容分析；第四部分探討前人研究之學生乘法 解題策略與發展。
一、九九乘法歷史起源
林炎全（1997）指出九九乘法在我國很早就廣為流傳，從挖掘出的 漢朝「竹木簡」與東晉或南北朝的《敦煌算書》中都是從「九九八十一」
開始的，因此取名為「九九歌」。當時的九九乘法是從「九九八十一」開 始，到「二二如四」止。約到宋朝時期，九九歌的順序才變成和現在所 用的相同，也就是「一一如一」起到「九九八十一」止（林炎全，1997）。
在漢朝韓嬰所撰的《韓詩外傳》中，述說春秋時代，齊桓公設立招 賢館招募各方面人才，過了一年只來了一位老漢，他獻上九九歌給齊桓 公。齊桓公嘲笑的說：「九九歌算是特別才能嗎？」這時，老韓不慌不忙 回答：「會背九九歌，的確算不上是特別的才能，但您若能對我這個只懂 得九九歌的老漢都能以禮相待，那麼還怕不能招募更多有才學的人來 嗎？」 後來，齊桓公以禮相待，果然不到一個月四方賢能之士都接踵而 來（林炎全，1997）。可見得在春秋時代，九九乘法表已經是比較普遍的
知識，因而身處在文明社會的我們更須精熟九九乘法表。
現在使用的九九乘法有兩種形式：
（一） 小九九：每一句都是被乘數小於或等於乘數，且當被乘數等於 乘數時，則該數即結束，共45句，如下圖2-1-1。
一一得一
一二得二 二二得四 一三得三 二三得六 三三得九
一四得四 二四得八 三四十二 四四十六
一五得五 二五得十 三五十五 四五二十 五五二十五
一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
一七得七 二七十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八得八 二八十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九得九 二九十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一
圖2-1-1 小九九乘法表
資料來源：朱樂平（2012）。整數乘法口訣教學研究。教學月刊小學版，10，16-19。
（二）大九九：從「一一」到「一九」，從「二一」到「二九」，從「三 一」到「三九」，……，從「九一」到「九九」，共八十一句（朱樂平，
2012）。
二、乘法課程之轉變
九九乘法是小學數概念教學的重點，更是除法、因數、分數、……的 基礎，如不能熟練九九乘法，其計算能力就不紮實，那麼解題能力的培養 就更加困難了。因此，數學教科書的編定對於學生數學學習，以及老師教 學內容與教學方法就顯得相當重要了。閻依萍（2006）回顧教育部64年版 國民小學數學課程標準、82年版國民小學數學課程標準、89年國民中小學 數學學習領域暫行綱要及92年國民中小學九年一貫課程綱要正式版，試將 有關九九乘法教材內容做一個整理，如表2-1-1。
表2-1-1 九九乘法教材內容演進
各年段 課程標準
64 年版 2 到 9 的乘法表的構造。
82 年版 2 到 9 的乘法表的構造。
89 暫綱 第一階段能力指標：
N-1-4 能透過累加活動連接倍的語言，理解乘法的意義並解決生活 中簡單(積≦100)的整數倍問題(例如：單位數≦12，單位量
≦15)。
92 正綱 2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。
2-n-08 能理解九九乘法。
2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與乘，不含併式）。 2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。
陳秉筠（2008）指出，民國 64 年版的教材綱要所規定二到九的乘法 表的構造，其主張學生要能背誦九九乘法表，且能夠快速地算出答案，因 此重視計算能力的精熟度。而民國82 年版新課程標準所要求二到九的乘 法表的構造，主要強調學生要理解乘法的意義，重視孩子主動從自己的經 驗中建構知識，不要求孩子將九九乘法表背得滾瓜爛熟，只要能理解、算 得對題目就好，不勉強學生要算得快。民國89年的能力指標強調「孩子帶 著走的能力」，對於乘法的學習是要學生能夠理解且應用於日常生活中解 決實際的數學問題。然而，89暫綱培養出來的學生計算能力非常低落，造 成家長們的質疑與批評。於是，由表2-1-1之九二正綱中發現，教育部所頒 定相關九九乘法能力指標指出，學生在二年級開始學習乘法，首要的學習 目標是理解乘法的意義，而非盲目的背誦九九乘法表，最後學生熟練九九 乘法的運算，養成心算的能力（教育部，2003）。由此可見，民國 92 年 能力指標又再度要求孩子的計算能力，使乘法計算能夠更加快速且正確。
三、低年級乘法課程的內容分析
乘法在國小階段扮演了重要的角色，其中九九乘法的熟練更是奠定日 後計算的基礎。在現今的數學教育中，強調九九乘法不該是用強記的，而 是應該在了解乘法意義下，經由熟練而記起來。雖然說強記九九乘法並沒 有什麼壞處，只是透過理解與熟練後的記誦，對學生來說較不易產生學習 的困難，而且經由理解，較不易產生錯誤，即使部分忘記、不確定或遲疑 時，也能因理解而求得答案（翰林，2012a）。提到有關乘法的意義建構如 下（翰林，2012a）：
(一) 乘法情境與乘法算式的介紹
學生初學九九乘法大多透過乘法情境以連加法的方式求得答案，
再說明可以用乘法算式來表示，藉此認識乘法的算式以及基本概念。
如：1隻兔子有2個耳朵，3隻兔子共有幾個耳朵？引導學生2有3個，
先用2+2+2＝6來計算，當學生能順利以連加法解題後，再說明「2有3 個為6」可以用2x3＝6來記。因此，在介紹乘法算式之時，以「幾有 幾個共是幾個」的用語來說明乘法算式的意義。
(二) 熟悉將乘法情境分別以加法與乘法算式求解
先排除文字的干擾與問題難度，以圖像式的具體情境，利用「幾 有幾個」的概念，將所有情境問題以加法求解後，再列出乘法算式，
此時的乘法算式沒有計算的意涵，其目的在強化學生對乘法算式的理 解。
(三) 建立乘法算式是幾的幾倍的符號代表
延續上述的教學活動，在乘法情境下，先用連加法求解，再以乘 法算式表示，接著再擴充幾的幾倍是多少的概念。如：一輛腳踏車有 2個輪子，5輛腳踏車共有幾個輪子？表示2有5個，先用2+2+2+2+2＝
10連加求解，再與乘法算式做連結，即2x5=10，最後說明2的5倍是10。
雖然連加法並不適用於乘數為分數或小數的條件，但就正整數而言，
乘法應為連加法之便捷解題方法（胡永崇，2011），因此，教師在教學過 程中，可先舉出可應用連加法之生活實例，且先使用連加法，再帶入乘法。
教師亦可讓學生體會，當乘數的數字較大時，使用連加法計算不但繁複且 容易計算錯誤，造成一個環節錯，全盤皆錯的情況下，了解連加法是較耗 時耗力的解題方式，讓學生體會熟練九九乘法的好處與重要性（胡永崇，
2011；閻依萍，2006）。
九九乘法的熟練是學生們掌握和運用乘法的基礎。依據九年一貫二年 級的相關乘法能力指標中所記載，課程編排是先以連加、幾個一數為乘法 的先備知識。讓學生認識乘法的意義，例如：6有8個，記成6×8＝48，6×8 表示6的8倍，並從乘法算式中認識「被乘數」、「乘數」及「積」的位置
（教育部，2008）。根據國民中小學九年一貫課程綱要的二年級細目詮釋 指出乘法教學應從乘數較小的乘法開始練習，慢慢養成心算的習慣，然後 開始練習九九乘法（教育部，2008）。
而本研究中，學生使用的是翰林版教科書（2012a,2012b），該版本 在九九乘法教學順序的呈現，首先以較熟悉的 2 個一數、5 個一數或 10 個一數著手，也就是先從被乘數為 2、5、10 的乘法為優先的教學內容，
比較利於連加概念的應用以及快速完成計算結果，接著進行累加數字小 的 3、4 乘法。當學生對乘法的概念與應用較為熟悉後，引入與 3 的乘法 較為相關的 6、9 乘法，最後是 7、8 的乘法，以上內容的展現運用多樣 的表徵，深化學生學習乘法的意義。另外，透過陣列式的乘法問題情境，
認識乘法可以交換的性質，例如：2×5＝5×2，進而可以利用交換律來學 習新的九九乘法（教育部，2008）。
四、學生乘法解題策略的分類與發展
從皮亞傑的認知發展理論來看，學習新的乘法概念需具備基礎的先備 知識，且其發展的先後次序是固定不變的。而在丁佩芬（2005）的研究中 也提及國小學生乘法解題策略的發展是從具體到抽象、從點數、加法到使 用乘法、從計算步驟多到計算步驟少。在這個部分，將從近年來提出學生 整數乘法解題策略的分類與發展之相關研究，分述如下：
(一) Kouba(1989) 從研究中發現 128 位學生的乘法解題策略依據抽 象程度可分成以下 4 種：
1. 直接表徵法﹙direct representation﹚
使用具體物（如：花片、積木、畫圈圈）表徵數量，一一點 數得到答案。其中，有些學生從「1」開始一個一個數，有些學生 則從第一個集合的數字往上數。例如：5×4的解題策略為「1、2、
3、4、5」、「6、7、8、9、10」、「11、12、13、14、15」、「16、
17、18、19、20」或「5」、「6、7、8、9、10」、「11、12、13、
14、15」、「16、17、18、19、20」。
2. 過渡計數法﹙transitional counting﹚
使用幾個一數的計數方法，同時直接表徵法也出現。例如：5×4 的解題策略為「5、10、15」、「16、17、18、19、20」。
3. 加法﹙additive﹚
使用累加的方法算出答案。例如：5×4的解題策略為「5+5=10，
10+5=15，15+5=20」。
4. 回憶乘法事實（recalled number fact﹚
能回憶相關的乘法事實，經由推論得到答案。例如：5×4的 解題策略為「5×3=15，15＋5＝20」或 「5＋5＝10，10＋10＝20」。
Kouba(1989)從統計結果中發現越低年級的學生使用的乘法解題 策略越具體，其發展順序是從直接表徵法、過渡計數法、加法，發展 到回憶乘法事實。
(二) Anghileri(1989) 提出乘法的計數程序，以觀察和訪談分別蒐集4 到12歲學生的乘法解題策略，可分成四類，同時這四種類型由簡單到 複雜形成了發展順序。
1. 單一計數﹙unitary counting﹚
指集合中的元素一一被點數，直到集合中的每一個元素數完 為止。例如：2×3，通常以具體物表徵出問題，再一一點數，其 解題策略是1、2、3、4、5、6； 或是以畫圖的方式﹙如：圓圈﹚
代替集合中的元素，然後再一一點數。
代替集合中的元素，然後再一一點數。