第二章 文獻探討
第一節 乘法的起源與意涵
第一節 乘法的起源與意涵
壹、乘法的起源
相傳九九歌訣為中國伏羲氏所做，在《管子》一書中曾提到「虙戲作，造六，
以迎陰陽。作九九之數，以合天道。」，劉徽在《九章算術注》也寫到庖犧作九 九之術，以合六爻之變，當中所提及的虙戲、庖犧就是伏羲氏，然伏羲氏為神話 人物，僅能表示九九之術的起源相當早，但誕生於什麼時候，已不可考。在春秋 時代，九九表是普及的知識，而精通數學的人常借助九九表加強心算能力；近年，
在湖南出土一片戰國篆文，經考古學家考證為目前大陸最早的乘法口訣表。九九 表就是九九乘法表，當時是從「九九八十一」起頭因而得名。這與元代朱世傑《算 學啟蒙》從「一一如一」 起頭是不同的。（李儼，1991；趙良五，1995；蔡聰 明，2003）
郭書香（1994）所著《中國古代數學》一書中提到，乘法最早詳細記載見於 孫子算經一書中，孫子提及籌算乘法的方式，二數相乘，做三行布算，上、下為 相乘數，中行為積，將下數向左移，使下數末位與上數首位相齊，以上數首位自 左向右乘下行各數，相加後放入中行，去掉上行首位，下數右移一位，以上數次 位自左向右乘下行各數，加入中行，如此類推，便得到乘積。
在1631年，英國數學家奧特雷德（Oughtred,William，1574-1660）在其著作
《數學之鑰》（Clavis mathematicae）中首用”×”表示兩數相乘，因其認為乘法是
加法概念所延伸而出，也用於表示增加，因此，將”＋”斜用便為現在所使用的乘 號，沿用至今。後來德國數學家萊布尼茲（Leibniz, Gottfried Wilhelm，1646-1716）， 因認為”×”易與字母”X”混淆誤用，便提倡以”‧”來表示乘號，也為大眾接受。（趙 文敏，1994）
貳、乘法的意義
Hiebert and Behr（1988）對整數乘法的解釋提出三類模式加以說明，表示乘 法即來自於累加、直積與指示量的變換合成，其中，較能被兒童接受的理解方式 為累加模式。另外，Fischbein（1985）等人的研究顯示，也認為乘法的累加概念，
最符合學習之初最自然的心理發展模式。也就是說，兒童大多會將成法視為等數 累加的概念，只是此法並不能夠完全說明乘法的意義，因為等數累加不能適用在 乘數是分數或小數這類的情形。
Davydov（1991）則提出乘法即是單位量轉換的問題，單位量係指集聚單位 轉化為以一為單位的活動。舉例來說明此概念，「一朵花有五片花瓣，四朵花共 有幾片花瓣？」此題 5×4＝20 的算式中，5 是集聚單位的數量，4 是集聚單位的 倍數，20 則是以一為單位的個數，把「朵」為單位轉換成以「片」為單位，就是 單位量的轉換。因此，以單位量轉換的觀點，被乘數是異於 1 的單位量，乘數是 單位量的倍數，積則是以 1 為單位量的倍數，用此來思考乘法意義，除了能與原 本等數累加的意義相符合，也能合理解釋乘數為分數或小數時的乘法問題。
叁、乘法運思表現
依據甯自強（1992）在「兒童的『整數詞』意義」一文中，將學童的運思方 式分為下面四個階段，依序整理條列如下。
一、合成運思（integration operations）
兒童在此階段，使用合成運思來建構集聚單位成為數的概念，如此可使兒童 的數概念與「基數」概念相容，便能利用序列性合成運思進行加減法的活動。此 時，兒童尚無法處理單位量轉換的問題，因為，兒童所建構出的集聚單位彼此獨 立無關聯，如果要協助兒童，必須以操作來具體表徵，透過操作來進行數的運算 獲得解答。
二、累進式合成運思（progressive integration operations）
兒童在此階段利用累進式合成運思，將一個數內嵌在另一個數中，使兩數的 關係成為集合間的包含關係。此時，兒童可以理解 4 個 3 的意義，並利用累進式 合成運思求出值為 12，但在進行重複 3 的時候，對於 3 有時會被當作集合 1 的這 個思考點容易混淆且不自覺。所以在解決 6×2＋3×2 的問題時，兒童會先求出 6×2 的結果再逐步累加 2 個 3，且面對 2×6＋2×3 時，依然如此解題策略，而非以 9 個 2 來解答。另外，在比較 3×4 與 4×3 的結果時，此階段兒童會認為結果相等純 屬巧合。
三、部份全體運思（part-whole operations）
將構成一數（全體）中的單位一（部份）脫嵌出，再將單位一置回原本的數 中，即是部份全體運思（甯自強，1994）。此階段兒童在思考過程中，能夠達到 不混淆脫嵌出的單位與整體的關係。比方，七十二對兒童來說，可以是七十二個
「一」，也可以是「七個十和二個一」，並且清楚知道十與一是不同單位各自獨 立，需分別計數而已。在解乘法問題上，已能把「1」視為「3」的一個內嵌元素，
也能將「1」從「3」中脫嵌出來互為獨立；所以，兒童能在重複 3 的時候，不至 於失去 3 的數值，錯將 3 當作 1。
在部份全體運思階段，思考 6×2＋3×2 的問題時，兒童會先求出 6×2 的結果，
再求出 3×2 的結果後相加；而在 2×6＋2×3 的問題中，已可進展到以 9 個 2 來解 題。但在面對 2×6＋2×□＝18 的問題，兒童又無法以 2 為單位來求解，其原因在
雖然兒童可以累積 2 又不失去它的數值，但 2 仍無法被看成是組織 18 的單位，
兒童僅分別掌握一階層「1」跟「2」和一階層「2」跟「18」的部份全體關係，
無法同時掌握「1」跟「2」以及「2」跟「18」間兩階層的部份全體關係。另外，
在比較 3×4 與 4×3 的結果時，此階段兒童認為它們的相等是必然，因為兩算式皆 可延伸出集聚單位「12」，因此，並非是由理解乘法的交換律來得知，能掌握兩 階層的部份全體關係概念才可理解乘法的交換律。
四、測量運思（measurement operations）
將構成一數（全體）中的異於一的單位（部份）脫嵌出，再將這些單位置 回原本的數中即是測量運思（甯自強，1994）。此階段兒童在思考過程中，除了 能夠掌握部份全體的關係，更能進一步再看到部份中的其它子部份，從而掌握兩 個階層的部份全體關係。舉例來說，在 4 個 3 的理解上，可以掌握 12 是 3 的集 聚（3、3、3、3），而 3 又是 1 的集聚（1、1、1）。
在測量運思階段，思考 6×2＋3×2 的問題時，兒童能夠先求出 6＋3 的結果，
再求出 9×2 的結果；解決 2×6＋2×□＝18 的問題時，兒童可以「2」為單位來求 得。因已掌握兩階層部份全體關係，所以對於乘法的分配性質更熟悉，也能以此 理解乘法的交換律。