第四章 研究結果
第二節 IRS 分析布農族二年級學童乘法概念
本研究目的在藉由試題關聯結構分析法，了解布農族二年級學童的知識概 念結構階層，先依試題的答對率做比較，再針對由各試題之間關聯性係數所繪製 之試題關聯結構圖進行探討。
壹、全體樣本分析
依據試題關聯結構分析的特性，對本研究全體樣本在測驗中各試題答對率的 高低做區分，共分為三個表現類別，分別為高答對率（答對率≧0.75）、中答對 率（0.75＞答對率≧0.5）及低答對率（答對率＜0.5），以此進行答對率分析；再 依試題關聯結構圖作各試題概念間的縱向關聯性探討，結果說明如下：
一、答對率分析
布農族二年級學童在乘法概念測驗中，各試題的答對率如表 4-3 所示：
表 4-3 全體布農族二年級乘法概念之試題答對率
題號 概念組成 答對率％
1 從加法算式轉換為乘法算式 82.91
2 圖解乘法的意義 76.92
3 從乘法算式轉換為加法算式 88.89
4 理解 0 的乘法意義 78.63
5 倍的意義 82.05
6 向上加或向下減一個被乘數 63.25
7 可操作的交換律 76.07
8 乘法數學名詞 61.54
9 乘法直式紀錄 87.18
10 具體情境下平分 74.36
11 倍的延伸 75.21
12 不可操作的交換律 76.92
從表 4-3 中所呈現之結果，可說明下面各點：
（一） 全體布農族學童在概念 6、概念 8 與概念 10 的表現上，屬於中答對率，
顯示對其而言，乘法概念裡「向上加或向下減一個被乘數」、「乘法數 學名詞」與「具體情境下平分」大多屬於中度精熟。
（二） 全體布農族學童在其它的乘法概念上皆屬於高答對率，顯示對其而言，
乘法概念多有不錯的理解。
（三） 答對率最高為概念 3，即表此概念布農族學童乘法概念表現的最下位；
然在現今乘法教材中，教師則是最先進行概念 1 的教學，以連加法來引 導乘法的定義，屬教材中最基礎。學生對於「從乘法算式轉換為加法算 式」的表現優於「從加法算式轉換為乘法算式」，可能與教師教學乘法 時，操作「乘法轉換加法」次數較多有關。
二、試題指向分析
根據全體布農族二年級學童的測驗結果，使用 IRSP 來求出各試題間關聯順 序性係數值，整理如表 4-4 所示：
表 4-4 全體布農族二年級乘法概念試題關聯順序性係數一覽表
題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 － +0.480 +0.100 +0.237 +0.269 +0.368 +0.146 +0.350 +0.140 -0.009 -0.064 +0.025 2 +0.330 － +0.042 +0.199 +0.142 +0.239 +0.026 +0.278 -0.062 +0.253 +0.015 -0.011 3 +0.165 +0.100 － +0.022 -0.031 +0.027 +0.191 +0.250 +0.382 -0.034 +0.386 +0.400 4 +0.180 +0.220 +0.010 － +0.074 +0.304 +0.159 +0.155 +0.128 +0.193 +0.255 +0.272 5 +0.253 +0.195 -0.018 +0.092 － +0.097 +0.061 +0.381 +0.126 +0.167 +0.240 +0.133 6 +0.130 +0.123 +0.006 +0.142 +0.036 － +0.175 +0.244 +0.013 +0.249 +0.041 +0.123 7 +0.095 +0.025 +0.076 +0.137 +0.042 +0.322 － +0.478 +0.140 +0.183 +0.193 +0.582 8 +0.115 +0.133 +0.050 +0.067 +0.133 +0.227 +0.240 － +0.133 +0.223 +0.143 +0.220 9 +0.196 -0.127 +0.325 +0.237 +0.188 +0.051 +0.299 +0.567 － +0.103 +0.468 +0.567 10 -0.005 +0.220 -0.013 +0.152 +0.106 +0.420 +0.167 +0.404 +0.044 － +0.247 +0.307 11 -0.040 +0.014 +0.147 +0.211 +0.159 +0.073 +0.184 +0.272 +0.209 +0.258 － +0.238
12 －
接下來，為了能夠較清楚理解各試題間關聯性，將閾值定為 0.4 來操作，使 各試題之間的連結數較適合進行分析，亦即將表 4-4 中，係數值大於等於 0.4 者 改寫為 1，表示具有關聯，係數值小於 0.4 者改寫為 0，表示不具關聯，此 0-1 矩 陣表較為簡便易懂，如表 4-5 所示：
表 4-5 全體布農族二年級乘法概念試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表 題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
－ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 － 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30 0 － 0 0 0 0 0 0 0 0 1
40 0 0 － 0 0 0 0 0 0 0 0
50 0 0 0 － 0 0 0 0 0 0 0
60 0 0 0 0 － 0 0 0 0 0 0
70 0 0 0 0 0 － 1 0 0 0 1
80 0 0 0 0 0 0 － 0 0 0 0
90 0 0 0 0 0 0 1 － 0 1 1
100 0 0 0 0 1 0 1 0 － 0 0
110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 － 0
120 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 －
藉由順序性係數之 0-1 矩陣表，經 IRSP 軟體繪出試題關聯結構圖，即圖 4-1 所示。此圖之縱座標表示試題的答對率，由下而上表示答對率的高至低，並依照 表 4-5 來畫出各試題之間箭頭的指向，完成後，即為布農族二年級學童在乘法初 始概念的試題關聯結構情形。
圖4-1 全體布農族二年級乘法概念之試題關聯結構圖 從圖 4-1 中所呈現之結果，可說明下面各點：
（一） 概念 7 與概念 12 為等價關係，表示對全體布農族學童而言，乘法交換律 概念的表現，不論給予「可操作」或是「不可操作」的情境，結果是相 同對等的。
（二） 概念 9概念 8、11、12，顯示「乘法直式紀錄」的教學活動，能作為布 農族學童學習「乘法數學名詞」、「倍的延伸」與「不可操作的交換律」
的前置概念。
（三） 概念 7、9、10、12 皆概念 8，顯示教學者要進行「乘法數學名詞」的 教學活動，如能先回顧複習「可操作的交換律」、「乘法直式紀錄」、
「具體情境下平分」、「不可操作的交換律」，可協助布農族學童記憶 何為「乘數」、「被乘數」與「積」的數學名詞。
12 11
10
9 8
7 6
5 4
3 2
1
（四） 概念 1概念 2，顯示要學生能從圖例中理解圖乘法意義時，應先使學童 具備「從加法算式轉換為乘法算式」的能力。
（五） 概念 4「理解 0 的乘法意義」與概念 5「倍的意義」對於全體布農族學童 學習表現而言，與其他 10 項概念並無次序關聯性。
貳、常態組樣本分析
依據試題關聯結構分析的特性，並參考 S-P 表中圖 2-1 學生類型診斷分析圖 後，對本研究中學習常態樣本，即學生學習類型為 A、B 與 C 者，在測驗中各試 題答對率的高低做區分，共分為三個表現類別，分別為高答對率（答對率≧0.75）、
中答對率（0.75＞答對率≧0.5）及低答對率（答對率＜0.5），以此進行橫向分析；
再依試題關聯結構圖作各試題概念間的縱向關聯性探討，結果說明如下：
一、答對率分析
布農族二年級學童中，學習常態的學童在乘法概念測驗中，各試題的答對率 如表 4-6 所示：
表 4-6 布農族二年級常態組學童乘法概念之試題答對率
題號 概念組成 答對率％
1 從加法算式轉換為乘法算式 90.77
2 圖解乘法的意義 84.62
3 從乘法算式轉換為加法算式 98.46
4 理解 0 的乘法意義 87.69
5 倍的意義 93.85
6 向上加或向下減一個被乘數 52.31
7 可操作的交換律 78.46
8 乘法數學名詞 56.92
9 乘法直式紀錄 96.92
10 具體情境下平分 72.31
11 倍的延伸 89.23
12 不可操作的交換律 83.08
從表 4-6 中所呈現之結果，可說明下面各點：
（一） 布農族二年級常態組學童在概念 6、概念 8 與概念 10 的表現上，屬於中 答對率，顯示對其而言，乘法概念裡「向上加或向下減一個被乘數」、
「乘法數學名詞」與「具體情境下平分」大多屬於中度精熟。
（二） 布農族二年級常態組學童在其它的乘法概念上皆屬於高答對率，顯示對 其而言，乘法概念多有不錯的理解。
（三） 答對率最低的為概念 6，顯示對布農族二年級常態組學童而言，「向上 加或向下減一個被乘數」的學習較為困難；可能與此概念在教材中，是 須具備多項乘法基礎概念後才能進行的概念理解有關。
二、試題指向分析
根據布農族二年級學童中，常態組受試者的作答情形，使用 IRSP 來求出各 試題間關聯順序性係數值，整理如表 4-7 所示：
表 4-7 布農族二年級常態組學童乘法概念試題關聯順序性係數一覽表 題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
－
+0.606 -0.016 +0.430 +0.645 +1.000 +0.575 +1.000 -0.032 +0.078 +0.066 -0.003 2 +0.339－
-0.016 +0.202 +0.148 +0.809 +0.490 +0.824 -0.032 +0.585 +0.103 +0.278 3 -0.102 -0.182－
-0.140 -0.066 +1.000 +1.000 +1.000 -0.032 -0.383 +1.000 +1.000 4 +0.311 +0.261 -0.016－
+0.201 +0.761 +0.363 +1.000 -0.032 +0.654 +0.300 +0.398 5 +1.000 +0.409 -0.016 +0.430－
+1.000 +0.681 +1.000 -0.032 -0.037 -0.121 +0.097 6 +0.112 +0.161 +0.017 +0.117 +0.072－
+0.219 +0.433 +0.035 +0.286 +0.060 +0.146 7 +0.213 +0.325 +0.057 +0.185 +0.163 +0.727－
+0.749 +0.042 +0.407 +0.039 +0.570 8 +0.134 +0.198 +0.021 +0.185 +0.087 +0.522 +0.272－
+0.042 +0.259 +0.119 +0.183 9 -0.102 -0.182 -0.016 -0.140 -0.066 +1.000 +0.363 +1.000－
+0.309 -0.121 +0.398 10 +0.021 +0.278 -0.016 +0.240 -0.006 +0.681 +0.292 +0.512 +0.026－
+0.191 +0.398 11 +0.056 +0.156 +0.129 +0.348 -0.066 +0.454 +0.090 +0.749 -0.032 +0.605－
+0.140 12 -0.002 +0.248 +0.077 +0.274 +0.031 +0.652 +0.768 +0.681 +0.062 +0.749 +0.083－
接下來，為了能夠較清楚理解各試題間關聯性，將閾值定為 0.6 來操作，亦 即將表 4-7 中，係數值大於等於 0.6 者改寫為 1，表示具有關聯，係數值小於 0.6 者改寫為 0，表示不具關聯，此 0-1 矩陣表較為簡便易懂，如表 4-8 所示：
表 4-8 布農族二年級常態組學童乘法概念試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表 題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
－
10 0
1 10
10 0 0 0
20 － 0 0 0
10
10 0 0 0
30 0 － 0 0
1 1 10 0
1 1 40 0 0 － 0
10
10
10 0
51 0 0 0 －
1 1 10 0 0 0
60 0 0 0 0 － 0
00 0 0 0
70 0 0 0 0
1－
10 0 0 0
80 0 0 0 0 0 0 － 0 0 0 0
90 0 0 0 0
10
1－ 0 0 0
100 0 0 0 0
10
00 － 0 0
110 0 0 0 0 0 0
10 1 － 0
120 0 0 0 0
1 1 10 1 0 －
藉由順序性係數之 0-1 矩陣表，經 IRSP 軟體繪出試題關聯結構圖，即圖 4-2 所示。此圖之縱座標表示試題的答對率，由下而上表示答對率的高至低，並依照 表 4-8 來畫出各試題之間箭頭的指向，完成後，即為布農族二年級常態組學童在 乘法初始概念的試題關聯結構情形。
圖4-2 布農族二年級常態組學童乘法概念之試題關聯結構圖
從圖 4-2 中所呈現之結果，可說明下面各點：
（一）概念 1、2、3、4、5、7 與 9 皆同時為概念 6 的下位概念，對布農族二年 級常態組學童而言，「向上加或向下減一個被乘數」的理解偏難，可藉由 這七個下位概念的複習，來達到概念 6 的學習成效。
（二）概念 1、2、3、4、5、7、9 與 11 皆同時為概念 8 的下位概念，對布農族 二年級常態組學童而言，「乘法數學名詞」的學習偏難，但可將此概念教 材設計融入這八個下位概念的學習當中，達到概念 8 的學習成效。
（三）概念 3 對布農族二年級常態組學童而言為最下位概念，且為 6、7、8、11 與 12 等概念的下位概念，顯示「從乘法算式轉換為加法算式」的學習成 果為乘法概念表現的基礎，易會影響其他乘法概念的學習表現。
12
11
10
9 8
7 6
5 4
3 2
1
（四）較需注意的地方為概念 12概念 7，顯示乘法的交換律學習上，對於布農 族二年級常態組學童而言，「不可操作」情境的理解有助於「可操作」情 境的理解。
叁、異質組樣本分析
依據試題關聯結構分析的特性，並參考 S-P 表中圖 2-1 學生類型診斷分析圖 後，對本研究中學習異質樣本，即學生學習類型為 A’、B’與 C’者，在測驗中各 試題答對率的高低做區分，共分為三個表現類別，分別為高答對率（答對率≧
0.75）、中答對率（0.75＞答對率≧0.5）及低答對率（答對率＜0.5），以此進行 橫向分析；再依試題關聯結構圖作各試題概念間的縱向關聯性探討，結果說明如 下：
一、答對率分析
布農族二年級學童學習異質的學生在乘法概念測驗中，各試題的答對率如表 4-9 所示：
表 4-9 布農族二年級異質組學童乘法概念之試題答對率
題號 概念組成 答對率％
1 從加法算式轉換為乘法算式 73.08
2 圖解乘法的意義 67.31
3 從乘法算式轉換為加法算式 76.92
4 理解 0 的乘法意義 67.31
5 倍的意義 67.31
6 向上加或向下減一個被乘數 76.92
7 可操作的交換律 73.08
8 乘法數學名詞 67.31
9 乘法直式紀錄 75.00
10 具體情境下平分 76.92
11 倍的延伸 57.69
12 不可操作的交換律 69.23
從表 4-9 中所呈現之結果，可說明下面各點：
（一）布農族二年級異質組學童在概念 3、概念 6、概念 9 與概念 10 的表現上，
屬於高答對率，顯示對其而言，乘法概念裡「從乘法算式轉換為加法算 式」、「向上加或向下減一個被乘數」、「乘法直式紀錄」與「具體情境 下平分」中，與其他乘法概念相比精熟較佳。
（二）布農族二年級異質組學童在其他九個概念的表現上，皆屬於中答對率，顯 示對其而言，乘法概念的學習表現大多有待加強。
（三）答對率最低的為概念 11，顯示布農族二年級異質組學童在「倍的延伸」的 學習較為困難。
二、試題指向分析
根據布農族二年級學童中，學習異質類型之受試者的作答情形，使用 IRSP 來求出各試題間關聯順序性係數值，整理如表 4-10 所示：
表 4-10 布農族二年級異質組學童乘法概念試題關聯順序性係數一覽表 題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
－
+0.363 +0.071 +0.045 -0.061 +0.257 -0.075 +0.151 +0.143 -0.021 -0.362 -0.032 2 +0.276－
+0.006 +0.126 +0.039 +0.082 -0.288 +0.039 -0.176 +0.082 -0.224 -0.275 3 +0.088 +0.010－
-0.114 -0.238 +0.133 +0.088 +0.257 +0.333 +0.025 +0.133 +0.278 4 +0.034 +0.126 -0.071－
-0.136 +0.235 +0.034 -0.136 +0.137 +0.006 +0.082 +0.150 5 -0.046 +0.039 -0.147 -0.136－
+0.082 -0.127 +0.301 +0.059 +0.235 +0.184 +0.065 6 +0.316 +0.133 +0.133 +0.381 +0.133－
+0.088 -0.238 +0.111 +0.133 +0.278 +0.157 7 -0.075 -0.380 +0.071 +0.045 -0.167 +0.071－
+0.257 +0.238 -0.021 +0.381 +0.587 8 +0.115 +0.039 +0.159 -0.136 +0.301 -0.147 +0.195－
+0.373 +0.159 +0.286 +0.320 9 +0.158 -0.257 +0.300 +0.200 +0.086 +0.100 +0.263 +0.543－
+0.100 +0.467 +0.556 10 -0.026 +0.133 +0.025 +0.010 +0.381 +0.133 -0.026 +0.257 +0.111－
+0.422 +0.157 11 -0.182 -0.148 +0.055 +0.055 +0.122 +0.114 +0.191 +0.190 +0.212 +0.173－
+0.212 12 -0.026 -0.300 +0.188 +0.164 +0.071 +0.106 +0.487 +0.350 +0.417 +0.106 +0.350－
接下來，為了能夠較清楚理解各試題間關聯性，將閾值定為 0.4 來操作，亦 即將表 4-10 中，係數值大於等於 0.4 者改寫為 1，表示具有關聯，係數值小於 0.4 者改寫為 0，表示不具關聯，此 0-1 矩陣表較為簡便易懂，如表 4-11 所示：
接下來，為了能夠較清楚理解各試題間關聯性，將閾值定為 0.4 來操作，亦 即將表 4-10 中，係數值大於等於 0.4 者改寫為 1，表示具有關聯，係數值小於 0.4 者改寫為 0，表示不具關聯，此 0-1 矩陣表較為簡便易懂，如表 4-11 所示：