乘除概念

壹、概念的學習

在瞬息萬變的知識經濟時代中，概念學習是我們掌握龐大知識庫的最佳途徑。所 謂的「概念」是指個人知識體系中的基本單位(徐綺穗，1995)，在教育學與心理學的 文獻中，「概念」一詞通常被定義為同一類及使用同一名詞命名之物件(objects)或事件 (events)的共同屬性(common attributes)(Tennyson & Park , 1980)。余民寧(1997)認為，當 學生從事一項新學習任務時，其所帶入學習中的最重要事項就是概念，透過概念的學 習與傳達，學生才能獲得新知識，並且以此概念產生新的概念，進而傳承文化。

所謂的概念學習(concept learning)是一種抽象化的歷程，更是學習歷程中的先決條 件。換言之，概念學習在教育上的含意即是，藉由將概念具體意義化，幫助學生能在 概念的學習上有所了解，以促進學生能以抽象的方式使用具體概念。在概念化的過程 中，可能發生不正確的概念內涵，相對的，當學習者對概念內涵特質不清時，則類化 應用到其他各事例上時，就常會發生錯誤。因此，概念學習可視為是思考與解決問題 的歷程(余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001；林曉芳、余民寧，2001)。

貳、乘除應用問題

Vergnaud(1983)指出單一的概念並不能只用一種情境說明，而且單一的情境也不能 只用一種概念分析，必須以概念體(Conceptual fields)來研究，而所謂的概念體就是分 析某一概念所需的一組情境。劉湘川、許天維、林原宏(1993)認為應用問題是指沒有

明確答案，也沒有既有的運算程序、解決策略之一組情境。因此本研究以概念體為基

(一)單步驟問題(one-step word problems) (二)二步驟問題(two-step word problems) (三)多步驟問題(multi-step word problems) 以運算時使用的運算符號 (一)單一符號(加、減、乘、除)

(二)多種符號(加減、乘除、四則運算)

以語意結構(semantic structure)

(一)加減法

分為改變型(change)、比較型(compare)、合併型 (combine)

(二)乘除法

分為比較型(compare)、叉積型(product of measures)、

量數同構型(isomorphisms of measures)及多重比例型 (multiple proportion)

以情境 中因分類觀點不同而有不同之模式，茲就 Schwartz (1981)模式、Vergnaud (1983)模式、

Usiskin & Bell (1983)模式、Greer (1987)模式及 Nesher (1987)模式五種模式加以說明(林 碧珍，1991；許淑萍，2002；丁春蘭，2003；黃月平，2003)。

一、Schwartz 模式

Schwartz (1981)的乘法結構是從問題中內涵量(intensive measures)和外延量 (extensive measures)考慮。將乘除法分為(I, E, E´)、(E, E´, E´´)、(I, I´, I´´)及(S, E, E´)的 結構。E 代表外延量，可區分為離散量與連續量，外延量只包含一個向度(requirement)，

可以直接相加且是整體測量的，用以計算、測量、數值，如：5 公分、15 人。I 代表

內涵量，內涵量包含二個向度，源於外延量，是由二個外延量組成的，不可以直接相 加，而且是局部可測量的。S 為一常量(scalar)是沒有向度的量，S 值通常是倍數、折 扣、加成等。

Schwartz (1981)將乘除問題類型分為四種，如表2-1-2：

表 2-1-2 Schwartz 模式之乘除問題類型 分為量數同構型(isomorphisms of measures)、叉積型(product of measures)和多重比例型 (multiple proportion) ，如表 2-1-3：

表 2-1-3 Vergnaud 模式之乘除問題類型

三、Usiskin & Bell 模式

Usiskin & Bell (1983)以乘法應用的觀點，將乘法的意義分成(一)比例因子類(rate fector)或相同等集合問題(common equivalent set problem)；(二)交叉運作(cross product) 或叉積;(三)大小改變類(size change)或常量問題(scalar problem)三種類型，如表 2-1-4：

表2-1-4 Usiskin & Bell 模式之乘除問題類型

Greer (1987)是以符號 STS、SSS、SRS 之乘的結構將乘除法問題加以來分類，

其中 STS 是屬於不對稱性，SSS 是屬於對稱型，如表2-1-5：

表 2-1-5 Greer 模式之乘除問題類型 Schwartz (1981)的(E, E´, E´´)結構，可 應 用 於 長 方 形 的 陣 列 (rectangular 中，相當於 Schwartz (1981)的(S, E, E´) 結構。

玲鈴有 4 本故事書，真真的故事書數量是玲 鈴的 5 倍，則真真有幾本故事書？

五、Nesher 模式

Nesher (1987)參考 Vergnaud (1983)和 Schwartz (1981)乘法結構模式，將乘法問題 分類為函數規則(mapping rule)問題、比較型(compare)問題、乘法叉積(cartesian)問題三 種，每一種類型命題結構可分為三部分，如表2-1-6：

表 2-1-6 Nesher 模式之乘除問題類型

綜合上述，本研究以 Vergnaud (1983)模式為依據，再加上 Nesher (1987)的比較 表 2-1-7 各模式之乘除類型比較

型問題，分為比較型、叉積型、量數同構型及多重比例型四種，每一種類型因未知數

表 2-1-9 國內外研究者對乘除概念之相關研究分析表(二)

綜合來說，關於乘除概念研究文獻已相當多，但較少以知識結構觀點來分析，因 此，本研究以傳統試卷施測，藉由徑路搜尋法來分析學童乘除概念知識結構。