國立台中師範學院數學教育系碩士班理學碩士學位論文
指導教授：易正明 教授
林原宏 教授
國小學童整數 乘除 概念知識結構 與
認知型式相關之探討-以六年級為例
研 究 生：鐘世帆 撰
中 華 民 國 九 十 四 年 七 月
國 小 學 童 整 數 乘 除 概 念 知 識 結 構 與 認 知 型 式
相 關 之 探 討 -以 六 年 級 為 例
中文摘要
本研究旨在應用徑路搜尋法，探究國小學生解乘除應用問題時，其知識結構與認知型式 之相關，並深入分析不同乘除能力組別、不同認知型式及乘除測驗分數相同之學生其知 識結構圖形之差異情形，以供教學診斷和教學設計之參考。 本研究以台中地區三所國民小學六年級學生，共 379 位學生為研究對象，採用「團體藏 圖測驗」及「數學乘除概念測驗」為研究工具進行資料蒐集。本研究主要研究發現與結 論為： 一、學生在乘除應用問題的解題表現 （一）學生對乘除應用問題的解題表現，以叉積型及比較型最佳，其次為量數同構型， 而以多重比例型最差。 （二）學生在各乘除類型之不同未知數位置的解題表現有差異 （三）場地獨立型學生在乘除問題的解題能力優於場地依賴型學生。 二、知識結構量化指數能有效預估不同乘除能力組學生之能力值，在高乘除能力組中， 以 PFC 指數最佳；在中乘除能力組中，以 PRX 指數最佳；在低乘除能力組中，以 GTD 指數最佳；在全體學生中，以 PRX 指數最佳。 三、知識結構量化指數能有效預估不同認知型式學生之藏圖測驗分數，不論是全體學生、 場地獨立型學生或場地依賴型學生，皆以 GTD 指數最具預測力。 四、知識結構量化指數能有效區別不同乘除能力組學生之能力值。（一）分析不同乘除能力組別學生之知識結構圖形，發現低乘除能力組學生較易受試題 類型影響，高、中乘除能力組學生則否。 （二）分析不同認知型式學生其知識結構圖形之差異，發現場地依賴型學生較易受試題 類型影響，場地獨立型學生則否。 （三）乘除測驗分數相同學生，其知識結構圖形並不相同，仍有些許差異。 本研究結果與發現，可提供有關國小學生乘除概念教學之參考，以及未來進一步研究之 建議。 關鍵字：徑路搜尋、知識結構、認知型式、乘除概念
A Study of The Relationship between Integer
Multiplication-Division Knowledge Structure and Cognitive Style
for Sixth Graders Elementary School Students
Abstract
The purpose of this study was to apply Pathfinder Method to investigate the relationship between knowledge structure and cognitive style when the elementary school students sloved multiplication-division problems. In the meantime, this study also analyzed both the patterns difference of knowledge structure graph representation, with which it aimd to provide the consultation for teaching diagnosis and teaching design.
The subjects came from 379 sixth-grade students of three elementary school in Taichung district. The tools of this study included the “Group Embedded-Figures Tests” and “Math Tests of multiplication-division concept” designed by the author..
The main findings and conclusions were as follows:
1. Students had different ability of the problem-solving when dealing with multiplication-division problems.
(1) In the performance of multiplication-division problems, the students performed best on the type of the product of measures and the type of comparison. The next was the isomorphism of measures and the multiple proportion was the worst .
(2) There were differences in the places of the unknown quantity in the problems of different multiplication-division types of students.
(3) The field-independent pupils were superior to the field-dependent pupils in the ability of solving multiplication-division word problems.
group is PFC index; secondly, the most prediction of middle multiplication-division group is PRX index. Furthermore, the most prediction of low multiplication-division group is GTD index. And the PRX index was the most prediction for all students.
3. The knowledge structure indices could effectively predict the Group Embedded-Figures Tests score of the patterns difference of multiplication-division pupils. The most prediction of all pupils, field-independent pupils and field-dependent pupils was the same and it was GTD index.
4. The knowledge structure indices could effectively discriminate subjects with different patterns of multiplication-division.
5. From the analysis the knowledge structure graph of students, the result were as follows: (1) With the knowledge structure graph of different multiplication-division ability, the low
group is affected mainly by the types of the assessment questions,but the high group and mid group are not.
(2) With the knowledge structure graph of different cognitive styles, the field-dependent pupils were affected mainly by the types of the assessment questions, but the field-independent pupils were not.
(3) The pupils of the same test score didn’t have the same the knowledge structure graph. The results and findings can offer the consultation for teaching diagnosis and teaching design. Some recommendations for further research were provided by the researcher.
Key words: Pathfinder Method, Knowledge Structure, Cognitive Style, Concepts of Multiplication and Division
目 錄
第一章 緒論………... 1
第一節 研究動機……….. 1 第二節 研究目的……….. 3 第三節 名詞釋義……….. 4 第四節 研究範圍……….. 7第二章 文獻探討………... 8
第一節 乘除概念……….. 8 第二節 知識結構……….. 17 第三節 認知型式……….. 27第三章 研究方法………...……… 37
第一節 研究架構……….. 37 第二節 研究對象……….. 40 第三節 研究工具……….. 41 第四節 研究流程……….. 43 第五節 資料處理……….. 44 第六節 試題性質分析……….. 45第四章 研究結果與討論………... 52
第一節 學生在乘除概念測驗的解題表現..……… 52 第二節 知識結構量化指數與學生乘除概念能力值之相關分析……….. 55 第三節 知識結構量化指數與學生藏圖測驗分數之相關分析……….. 57 第四節 知識結構量化指數之區辨力……….. 59 第五節 學生乘除概念結構圖形分析……….. 61第五章 結論與建議………... 74
第一節 結論……….. 74 第二節 研究限制……….. 76 第三節 建議……….. 76參考文獻
………. 78
中文部分………..……….. 78 英文部分………..………….. 82 日文部分……… 85附錄
………. 86
附錄一 數學乘除概念測驗(A)….………..….. 86 附錄二 數學乘除概念測驗(B)……….… 87 附錄三 同意授權書……….. 88 附錄四 試題反應理論三種參數模式適合度檢定表... 89表 目 錄
表 2-1-1 數學應用問題分類表……….… 9
表 2-1-2 Schwartz 模式之乘除問題類型……….………… 10
表 2-1-3 Vergnaud 模式之乘除問題類型……….…… 11
表 2-1-4 Usiskin & Bell 模式之乘除問題類型……… 12
表 2-1-5 Greer 模式之乘除問題類型……..……….……… 13 表 2-1-6 Nesher 模式之乘除問題類型……….……… 14 表 2-1-7 各模式之乘除類型比較……….……… 14 表 2-1-8 國內外研究者對乘除概念之相關研究分析表(一).….……… 15 表 2-1-9 國內外研究者對乘除概念之相關研究分析表(二).……….…… 16 表 2-2-1 認知結構評量方法分析法……….…… 19 表 2-2-2 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制………. 20 表 2-2-3 網路一與網路二之 PFC 指數算法……….… 24 表 2-2-4 網路一與網路二之 GTD 指數算法………..……….… 25 表 2-3-1 國外研究者對認知型式的定義……….……… 28 表 2-3-2 國內外研究者對認知型式的定義……….…… 29 表 2-3-3 場地獨立與場地依賴其特性之差異………. 32 表 2-3-4 年齡差異在場地獨立性上之相關研究………. 33 表 2-3-5 性別差異在場地獨立性上之相關研究……….…… 33 表 2-3-6 場地獨立性之測量工具分析表……….… 35 表 2-3-7 國內外研究者對認知型式之相關研究分析表……….… 36 表 3-2-1 研究樣本人數分配表……….… 40 表 3-3-1 數學乘除概念測驗各題之雙向細目表………...…………..… 42 表 3-6-1 乘除類型之難易度分析表………...………….…. 46 表 3-6-2 乘除類型之鑑別度分析表………...…….. 48
表 3-6-3 乘除概念測驗之效標關聯效度……….……… 49 表 3-6-4 KMO 統計量的判斷原理………... 49 表 3-6-5 KMO 與 Bartlett 檢定……… 50 表 3-6-6 最大變異法轉軸後之因素矩陣(一)... 50 表 3-6-7 最大變異法轉軸後之因素矩陣(二)………. 51 表 4-1-1 學生在不同乘除類型之解題能力結果與差異……….……… 52 表 4-1-2 學生在不同未知數位置之解題能力結果與差異……….… 53 表 4-1-3 不同認知型式的學生在乘除概念測驗的解題能力之 t 檢定分析表... 54 表 4-2-1 知識結構量化指數與不同乘除能力組別學生能力值之相關分析…. 55 表 4-2-2 知識結構量化指數與學生能力值之迴歸模式變異數分析摘要表.… 56 表 4-3-1 不同認知型式學生知識結構量化指數與藏圖測驗分數之相關分析. 57 表 4-3-2 知識結構量化指數與藏圖測驗分數之迴歸模式變異數分析摘要表. 58 表 4-4-1 知識結構指數對不同乘除能力組別學生乘除概念能力值之平均數與標 準差……….. 59 表 4-4-5 知識結構量化指數對不同乘除能力組別學生能力值之變異數分析摘要 表………...……….….… 60 表 4-4-6 知識結構量化指數對不同乘除能力組別學生能力值之事後比較摘要 表……….… 60 表 4-5-1 各群組乘除概念之平均數標準差……….… 61
圖 目 錄
圖 2-2-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路….………..……….. 22 圖 2-2-2 徑路搜尋網路之 PFC 值及 GTD 值………..……… 23 圖 3-1-1 研究架構圖………..………... 37 圖 3-1-2 演算流程圖………...………..……… 38 圖 3-4-1 研究流程圖……….…..……….. 43 圖 4-5-1 參照結構知識結構圖(θ =1.42217)..………..……...……… 62 圖 4-5-2 高乘除能力組編號 18 學生知識結構圖(θ =0.94578)………..……… 64 圖 4-5-3 中乘除能力組編號 41 學生知識結構圖(θ =0.41959)...………..……. 65 圖 4-5-4 低乘除能力組編號 17 學生知識結構圖(θ =-1.26057).……..………. 65 圖 4-5-5 場地獨立型編號 23 學生知識結構圖(θ =-0.24601)..……...…..……. 67 圖 4-5-6 場地依賴型編號 2 學生知識結構圖(θ =-0.93262)..…..………..…… 67 圖 4-5-7 高乘除能力組編號 7 學生知識結構圖(θ =0.54745)..………..……… 69 圖 4-5-8 高乘除能力組編號 8 學生知識結構圖(θ =0.55142)…..….………… 69 圖 4-5-9 中乘除能力組編號 21 學生知識結構圖(θ =0.33733)..……… 70 圖 4-5-10 中乘除能力組編號 34 學生知識結構圖(θ =0.24871)..……… 71 圖 4-5-11 低乘除能力組編號 31 學生知識結構圖(θ =-2.12696)…….………… 72 圖 4-5-12 低乘除能力組編號 296 學生知識結構圖(θ =-2.2775)………. 72第一章 緒論
第一節 研究動機
數學是科學、技術及思想發展的碁石，是文明演進的指標與推手(九年一貫數學領 域綱要)，數學教育的成敗關係著國家科學的整體發展。在瞬息萬變的二十一世紀，學 習數學是一種思維、歸納與演譯等思考方式的訓練，亦是一種創造與發現的過程。因 此，各國政府十分重視國小數學教育的紮根工作，近年來我國數學課程為了符合時代 潮流及社會期望，已歷經多次的修正，期望藉由數學課程的修訂，來引導學生發揮更 多數學潛力。 1980 年之後，數學教育界人士都同意「將數學視為解題」(黃敏晃，1994)，在英 國，數學教學探究委員會在其出版的「數學總評」(Mathematics Counts)中，指出「解 題是數學的核心」(Cockcroft，1982)。1989 年「美國全國教師協會」(The National Council of Teachers of Mathematics，NCTM)中的「學校數學標準委員會工作小組」(The working groups of the commission on standards of school mathematics)，在對數學教育的建議中提 到，解題活動應被視為學校教育的主要課題，並希望教師應積極創造適合於培養學生 解題能力的學校情境。此際正值九年一貫課程上路，在教育部頒布的課程綱要之數學 學習領域的基本理念中，指出「數學課程顧及技術層面外…更強調解決問題」(教育部， 1999)，教學能力指標均要求可以帶著走的能力，解題能力更應受到重視。因此，培養 學生問題解決的能力，是不容忽視的課題。 目前，國小數學課程中，大多以應用問題(word problem)來培養學生數學解題的能 力，其主要目的是希望學生運用課堂上所學到的數學知識和應用能力，以解決在日常 生活中實際所遭遇到的問題。在實徵研究上，我國學生在應用問題的解題表現上，隨 著年齡的增加而有逐漸低落的現象，而一般學生對應用問題的解題表現，有「長於計 算與記憶，拙於推理和理解的現象，甚至因而影響數學的學習興趣」，(張再明，1994； 方吉正，1995；許淑萍，2002)。 Dickson, Brown & Gibson (1984)發現，乘除運算的意義比加減運算更加困難，兒童甚至成人皆喜好以加減運算來解決問題，而逃避使用乘 除的運算(楊瑞智，1998)。 林碧珍(1991)研究國內學童對乘除應用問題的認知結構，發現學生對於乘除法應 用問題的瞭解，由易而難是量數同構型、叉積型、比較型、多重比例型，顯示學童在 不同乘除類型，其解題表現亦有所差異。許淑萍(2002)研究小學生將算式表徵轉換為 文字表徵的能力，發現學生擬題結果之乘除類型多寡，依次為量數同構型、多重比例 型、比較型、叉積型。黃月平(2003)探討學生將分數乘除算式符號表徵轉為數學文字 題之表徵轉換能力，發現在乘除類型方面，不管是乘、除法或數字形式為何，幾乎皆 集中在量數同構型之「2 的規則」，其分配比率依次為「2 的規則」、「比較型」、「叉積 型」、「3 的規則」。丁春蘭(2003)研究國內學童對乘除應用問題的解題表現，發現未知 數的位置是影響解題表現的因素之一。因此，本研究從不同乘除類型及不同未知數位 置兩方面，來探討學生在數學乘除應用問題的解題表現，以期有助於教學乃至於補救 教學，以增進學生之乘除問題解題能力。 以真實分數模式為理論架構的古典測驗理論，認為觀察分數等於真分數加誤差 分數，且假定每位受試者的測量標準誤都相等，並沒有考慮每位受試者能力的個別差 異，為改進此缺失，試題反應理論遂取而代之。試題反應理論(Item Response Theory)強
調受試者特質或能力與測驗試題間之關係，並以機率的概念進行資料分析，因此，本 研究結合試題反應理論，來獲得受試者的能力值及在每一試題之答對機率。 近代認知理論普遍認為個體知識與思考技能的獲得，歸因於特定領域之知識結構 的發展，當個體在特定領域知識愈具結構化，則愈可促進相關知識的建構或精練新的 知識，因此如何正確評量與了解不同學習者所具有的知識結構，以協助學習者發展及 運用具組織化特性的知識結構，是科學教育的重要目標之一(黃湃翔，2004)。傳統的 評量方式大都著重在紙筆式的總結性評量，而忽略了學生在知識建構過程中的形成性 評量，往往只以單一分數，來評定學生學習成就之優劣，並無法進一步獲取學生在學 習過程中如何組織所了解的概念等相關訊息。近年來，為符合個別化與適性化之目標， 新式教學評量遂有逐步走向認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment)的趨勢，亦
評量間的意義(余民寧，1995；Nichols, 1994; Nichols, Chipman, & Brennan, 1995)。 測量知識結構的方法相當多，各有其特色與限制。Jonassen, Beissner, & Yacci (1993) 指出，徑路搜尋法除了可以提供客觀的知識結構指數作為評量依據外，亦可以概念聯 結的網路結構方式來表徵知識結構，藉此提供個體概念組織的重要訊息。Acton, Johnson & Goldsmith (1994)也認為徑路搜尋法不僅相當精確量化，也符合現代的知識 表徵理論。目前，徑路搜尋相關研究，大多以相似性評定法來獲得接近性矩陣，但因 受試者對於概念相似性評定可能無法確實掌握概念間之關係強度(黃湃翔，2004)，因 此，本研究以每位學生在每一題的答對機率，以及表示試題i 試題 j間的同質性程度 之類似係數sij，做為進行徑路搜尋分析之資料基礎。 影響學生數學學習成敗的因素頗多，其中個別差異對學生學習的影響，一直都是 教育及心理學者所關切的問題，而學生思考推理能力的差異或數學成就的高低，不但 受教師教學方法及學習情境所影響，更與其自身的各種條件息息相關(陳李綢，1992)， 近年來，心理學家不斷的企圖從學生認知歷程的差異中了解其認知表現，因而使得認 知型式日益受到重視，希望藉由認知型式的探討，能更進一步了解影響學生學習差異 的可能原因。陳啟明(2000)以五年級學生為對象，研究不同題目表徵型式及相關因素 對學生解題表現之影響，發現題目表徵型式對解題表現的影響會因認知型式的不同而 有所差異。丁春蘭(2003)以六年級兒童為對象，研究認知型式與解題方面的關係，結 果發現場地獨立者在乘除應用問題的解題能力優於場地依賴者。由此可知，學生之認 知型式與其數學解題表現有密切相關。因此，本研究探討不同認知型式學生，在數學 應用問題的解題表現，希望能藉此瞭解學生學習差異的可能原因。 綜合上述，本研究結合試題反應理論與類似係數，透過徑路搜尋的方法，探討國 小六年級學生在解決乘除應用問題時，其知識結構與認知型式之相關。
第二節 研究目的
本研究採用試題反應理論，並改進山下、勝又、津田(1994)所提之試題類似係數， 透過徑路搜尋的方法，探討國小六年級學生在解決乘除應用問題時所呈現之知識結構 圖，以結構量化指數比較分析其差異性，並進一步探討場地獨立型與場地依賴型學生 在乘除概念上學習情形的差異。根據上述，本研究的主要目的包括： 一、分析學生在乘除概念測驗的解題表現。 二、探討知識結構量化指數與學生乘除概念能力值之相關。 三、探討知識結構量化指數與學生藏圖測驗分數之相關。 四、探討知識結構量化指數對不同乘除能力組學生之區辨力。 五、學生乘除概念結構圖形分析。第三節 名詞釋義
針對本研究所涉及之相關名詞的界定與說明如下：一、乘除概念
「概念」是指可被某些名稱或符號所代表的具有共同標準屬性(criterial attributes) 的對象、事件、情境或性質(張春興，1994)，根據 Vergnaud(1983)的研究，指出單一的 概念並不能只用一種情境說明，因此本研究之乘除概念是以學生在解決乘除應用問題 的各種類型中，所呈現出來之認知結構。二、認知型式
認知型式(cognitive styles)為個體在面對各種問題情境時，其外顯行為所呈現之獨 特風格，具有不變性與穩定性。本研究以學生在「團體藏圖測驗」上的得分來區分， 得分高於全體學生平均數者為場地獨立者，而得分低於全體學生平均數者為場地依賴 者。三、徑路搜尋
徑路搜尋為測量個體知識結構之方法，於 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研 究實驗室的領導人 R. W. Schvaneveldt 及其研究小組所發展，藉由受試者之概念接近性 矩陣資料，求得受試者之知識結構網路圖，並以集合理論及圖形理論比較專家與生手 知識結構的相似程度。四、試題反應理論
試題反應理論(item response theory，簡稱 IRT)，又稱潛在特質論(Latent trait theory)，乃假設受試者在相對單一特質或特性的存在下，透過受試者在試題上的實際 反應，來分析試題的難易度、鑑別度和猜測度等試題的內在特性與受試者的個人能力 特質的一種理論。常用的試題反應模式有單參數對數模式(one-parameter logisticm odel)、雙參數對數模式(two-parameter logistic model)及三參數對數模式(three-parameter logistic model)三種，本研究採用三參數對數模式。
五、能力值
本研究所指的能力值是以乘除概念測驗施測所獲得資料，經由試題反應理論之 三參數試題反應模式所得的能力值。六、知識結構
知識結構為在個體認知中，以節點代表基本概念，相互聯結所形成之組職型態， 本研究知識結構為以乘除概念測驗結果，進行徑路搜尋分析，所求得之乘除概念知識 結構網路圖。七、類似係數
類似係數(similarity coefficient)由山下、勝又、津田(1994)所提出，類似係數sij表示兩個試題i、 j之間的同質性程度，其值愈大，表示試題i 、 j之間的同質性愈高， 在多元計分的情形，其定義為sij=1-
∑
= − n k kj ki x x n 1 1 。 本研究為配合試題反應理論，將類似係數改為，令第k位學生答對第i個概念的機 率為Pi( )
θk ，Pi( )
θk ∈[ ]
0,1 ，答對第 j個概念的機率為Pj( )
θk ，Pj( )
θk ∈[ ]
0,1 ，則概念i與 概念 j之間的類似係數定義為sij( )k 1 Pi( )k Pj( )k M m θ θ θ = − − − ，其中M =max1≤k≤n [Pi( ) ( )
θ ,k Pj θk ] ，代 表所有學生在概念i及概念 j中答對率之最高值， n k m ≤ ≤ = 1 min[Pi( ) ( )
θ ,k Pj θk ]，代表所有學生 在概念i及概念 j中答對率之最低值。八、乘除能力組別
本研究依學生能力值之不同，區分為高成就組(能力值在平均數之上 0.5 個標準 差)、中成就組(能力值在平均數 0.5 個標準差上下之間)、低成就組(能力值在平均數之 下 0.5 個標準差)等三組。九、參照結構
徑路搜尋法對於知識結構的評價主要是將受試者的知識結構與參照結構相比較， 本研究以乘除概念測驗中全對者為參照結構。第四節 研究範圍
本研究以國民小學六年級學生為對象，透過徑路搜尋的方法，探討學生在解決乘 除應用問題時其知識結構與認知型式之相關，並分析學生之知識結構圖。一、在研究對象上
囿於時間、人力及經費等因素，樣本取樣來自於台中縣之國民小學，樣本維持原 來班級進行研究。二、研究內容上
本研究旨在探討國小六年級學生之乘除概念知識結構與認知型式之相關，然而， 在數學教育中，影響學生乘除概念建立的因素頗多，如：學生個人因素、學校因素、 教師因素與題目因素等。在學生個人因素上，本研究討論學生的認知型式對數學應用 問題解題表現的影響；在題目因素上，本研究就乘除類型(比較型、叉積型、量數同構 型及多重比例型)及未知數位置加以探討，其他因素則不包括在本研究的範圍內。三、研究方法上
測量知識結構的方法相當多，各有其特色與限制。本研究透過徑路搜尋的方法， 探討國小六年級學生在解決乘除應用問題時，其知識結構與認知型式之相關，其餘測 量知識結構方法，則不包括在本研究的範圍內。第二章 文獻探討
本研究主要以徑路搜尋網路分析為評量工具，探討國小六年級學生在乘除應用問 題其解題能力與認知型式之相關性。本章共分為三大部分：第一節探討乘除概念；第 二節為知識結構之分析；第三節則在探討認知型式理論。第一節 乘除概念
壹、概念的學習
在瞬息萬變的知識經濟時代中，概念學習是我們掌握龐大知識庫的最佳途徑。所 謂的「概念」是指個人知識體系中的基本單位(徐綺穗，1995)，在教育學與心理學的 文獻中，「概念」一詞通常被定義為同一類及使用同一名詞命名之物件(objects)或事件 (events)的共同屬性(common attributes)(Tennyson & Park , 1980)。余民寧(1997)認為，當 學生從事一項新學習任務時，其所帶入學習中的最重要事項就是概念，透過概念的學 習與傳達，學生才能獲得新知識，並且以此概念產生新的概念，進而傳承文化。 所謂的概念學習(concept learning)是一種抽象化的歷程，更是學習歷程中的先決條 件。換言之，概念學習在教育上的含意即是，藉由將概念具體意義化，幫助學生能在 概念的學習上有所了解，以促進學生能以抽象的方式使用具體概念。在概念化的過程 中，可能發生不正確的概念內涵，相對的，當學習者對概念內涵特質不清時，則類化 應用到其他各事例上時，就常會發生錯誤。因此，概念學習可視為是思考與解決問題 的歷程(余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001；林曉芳、余民寧，2001)。貳、乘除應用問題
Vergnaud(1983)指出單一的概念並不能只用一種情境說明，而且單一的情境也不能 只用一種概念分析，必須以概念體(Conceptual fields)來研究，而所謂的概念體就是分 析某一概念所需的一組情境。劉湘川、許天維、林原宏(1993)認為應用問題是指沒有明確答案，也沒有既有的運算程序、解決策略之一組情境。因此本研究以概念體為基 礎，藉由乘除應用問題所設計的各種情境，來探討學童的乘除概念。由於各研究者所 持的觀點不同，在數學應用問題的分類上亦有所差異，茲以表 2-1-1 加以說明： 表 2-1-1 數學應用問題分類表 分類依據 問題類型 以解題步驟的多寡
(一)單步驟問題(one-step word problems) (二)二步驟問題(two-step word problems) (三)多步驟問題(multi-step word problems) 以運算時使用的運算符號 (一)單一符號(加、減、乘、除) (二)多種符號(加減、乘除、四則運算) 以語意結構(semantic structure) (一)加減法 分為改變型(change)、比較型(compare)、合併型 (combine) (二)乘除法 分為比較型(compare)、叉積型(product of measures)、 量數同構型(isomorphisms of measures)及多重比例型 (multiple proportion) 以情境 (一)倍數 (二)比例尺 (三)陣列 (四)組合 (五)面積 在乘除應用問題的研究上，大多學者著重以語意結構對乘除法問題進行分析，其 中因分類觀點不同而有不同之模式，茲就 Schwartz (1981)模式、Vergnaud (1983)模式、 Usiskin & Bell (1983)模式、Greer (1987)模式及 Nesher (1987)模式五種模式加以說明(林 碧珍，1991；許淑萍，2002；丁春蘭，2003；黃月平，2003)。
一、Schwartz 模式
Schwartz (1981)的乘法結構是從問題中內涵量(intensive measures)和外延量 (extensive measures)考慮。將乘除法分為(I, E, E´)、(E, E´, E´´)、(I, I´, I´´)及(S, E, E´)的 結構。E 代表外延量，可區分為離散量與連續量，外延量只包含一個向度(requirement)， 可以直接相加且是整體測量的，用以計算、測量、數值，如：5 公分、15 人。I 代表
內涵量，內涵量包含二個向度，源於外延量，是由二個外延量組成的，不可以直接相 加，而且是局部可測量的。S 為一常量(scalar)是沒有向度的量，S 值通常是倍數、折 扣、加成等。 Schwartz (1981)將乘除問題類型分為四種，如表2-1-2： 表 2-1-2 Schwartz 模式之乘除問題類型 類型 關係 範例 (一) I ×E＝E´ 每人有 3 本書，5 人共有幾本書？ (二) E´/E＝I 有 15 本書，分給 3 人，每人可得幾本書？ (I, E, E´)結構 依三個量是已知或未知的關 係，分為 (一)I ×E＝E´、 (二)E´/E＝I、 (三)E´/I＝E 三種類型。 (三)E´/I＝E 有 15 本書，每人 3 本，可以分給幾個人？ (E, E´, E´´)結構
由一個外延量 E 和另一個外 延量 E´相乘而產生第三個外 延量 E´´ 小志有 7 件襯衫和 5 件褲子，由襯衫和褲子搭 配成外出服，請問小志可搭配出幾種不同的外 出服？
(I, I´, I´´)結構
是由一個內涵量 I 乘上另一 個內涵量 I´而產生第三個內 涵量 I” 機車一小時可行駛 70 公里，一天共可跑幾公 里？ (S, E, E´)結構 S 為 一 常 量 是 沒 有 向 度 的 量，S 值通常是倍數、折扣、 加成等 美美有 16 張卡片，小茱的卡片是美美的 3 倍， 請問小茱有多少張卡片？ 二、 Vergnaud 模式 Vergnaud (1983)模式是從向量空間和向度(dimension)分析的觀點，將乘法的結構 分為量數同構型(isomorphisms of measures)、叉積型(product of measures)和多重比例型 (multiple proportion) ，如表 2-1-3：
表 2-1-3 Vergnaud 模式之乘除問題類型 類型 關係 範例 量 數 同 構 型 探討二個度量空間 M1 與 M2 的直接比例關係，每個度量空間均包 含二個相異的數，M1 包含 x1 與 x2， M2 包含 f(x1)與 f(x2)，故其結構是 探討四個值的關係。 M1 M2 x1 f(x1) x2 f(x2) 依未知數所在的位置不同，分為 「x1：基本量未知」、「x2：變換量未 知」、「f(x1)：最初量未知」及「f(x2)： 最終量未知」。 (一)「基本量未知」問題 學校合作社 9 張卡片賣 72 元，小明花了 24 元買卡片，可買多少張？ (二)「變換量未知」問題 將 40 顆糖果平分給小朋友，每人得到 5 顆，可分給幾人？ (三)「最初量未知」問題 將 40 顆糖果，平分給 8 人，每人得到幾 顆糖果？ (四)「最終量未知」問題 每人有 5 顆糖果，8 人共有幾顆糖果？ 叉 積 型 由二個度量空間 M1 與 M2 的叉 積合成，而產生第三個度量空間 M3。 (M2) x2 (M1) x1 f(x1, x2) (M3) 依未知數的性質分為兩類： 「x1、x2：最初量未知」、「f(x1, x2)： 複合量未知」。 (一)「最初量未知」問題 李奶奶有一塊長方形的玉米田，面積是 80 平方公尺，只知道玉米田的寬為 4 公尺， 請問李奶奶這塊長方形玉米田的長是多少公 尺？ (二)「複合量未知」問題 李奶奶有一塊長方形的玉米田，長為 20 公尺、寬為 4 公尺，請問李奶奶這塊長方形 的玉米田面積是多少？ 多 重 比 例 型 探討三個度量空間 M1、M2 與 M3，而 M3 度量空間與另外兩個獨 立的度量空間 M1 和 M2 成比例關 係。 (M2) x2 x2´ x1 f(x1, x2) (M1) x1´ f(x1´, x2´) (M3) 依所含的幾個量是否為 1，而分 成兩類：(一)當六個值中的兩個值為 1 時，是探討四個值的關係，屬於「4 的規則」問題。依未知數所在的位置 不同，可以區分為「乘法」問題、「等 分除」問題、「包含除」問題；(二) 已知六個值中的五個值，求第六個 值，則為「5 的規則」問題。 (一)「乘法」問題 李奶奶家有 4 人，每人每天喝了 2 公升的 水，請問李奶奶家 6 天一共喝了多少公升的 水？ (二)「等分除」問題 李奶奶家有 4 人，6 天共喝了 48 公升的 水，請問李奶奶家每人每天喝了多少公升的 水？ (三)「包含除」問題 李奶奶家有 4 人，每人每天喝了 2 公升 的水，請問 48 公升的水足夠供應李奶奶家 幾天的飲用水？ (四) 「5 的規則」問題。 李奶奶家有 3 人，兩人每週喝了 28 公升 的水，請問李奶奶家 21 天一共喝了多少公升 的水？
三、Usiskin & Bell 模式
Usiskin & Bell (1983)以乘法應用的觀點，將乘法的意義分成(一)比例因子類(rate fector)或相同等集合問題(common equivalent set problem)；(二)交叉運作(cross product) 或叉積;(三)大小改變類(size change)或常量問題(scalar problem)三種類型，如表 2-1-4：
表2-1-4 Usiskin & Bell 模式之乘除問題類型
類型 關係 範例說明 比例因子類 或相同等集 合問題 此類型之基本運算為「比例因子× 數量＝另一個量」。 一枝鉛筆賣 5 元，3 枝鉛筆可賣幾元？ 比例因子(一枝鉛筆賣 5 元)×數量(3 枝) ＝另一個量(賣 15 元)。 交叉運作或 叉積 由兩個量交互運作之後，會得到 一個具有複合單位的量。 小銘有 6 件襯衫和 7 件褲子，由襯衫和 褲子搭配成外出服，請問小銘可搭配出 幾種不同的外出服？ 第一個量(6 件襯衫)×第二個量(7 件褲 子)＝另一個具有複合單位的量(42 種不 同的外出服)。 大小改變類 或常量問題 基本的運算型式為：原始量×改變 大小的比率＝改變後的量。 小英有 16 張郵票，小玲的郵票是小英的 6 倍，請問小玲有多少張郵票？ 原始量(16 張郵票)×改變大小的比率(6 倍)＝改變後的量(96 張郵票) 四、Greer 模式 Greer (1987)是以符號 STS、SSS、SRS 之乘的結構將乘除法問題加以來分類， 其中 STS 是屬於不對稱性，SSS 是屬於對稱型，如表2-1-5：
表 2-1-5 Greer 模式之乘除問題類型 類型 關係 範例 STS (不對稱性) 最初量 S 受到一種變換 T (transformation)造成另一個量 S。而依 未知數所在的位置不同，又可以分為 乘法問題(ST S )∣ ∣ 、等分除問題 (∣ ∣S TS)、包含除問題(S T S)∣ ∣ 三種 類型。 (一) 乘法問題(ST∣ ∣ S ) 一根木棍長 2 公尺，5 根木棍長幾公 尺？ (二) 等分除問題(∣ ∣S TS) 一根木棍長 6 公尺，分成 3 段，每段 長幾公尺？ (三) 包含除問題(S∣ ∣ T S) 一根木棍長 6 公尺，每 1 公尺分成 1 段，共可分成幾段？ SSS (對稱性) 由二個量結合而成為第三個量。相當 於 Vergnaud (1983) 叉 積 型 與 和 Schwartz (1981)的(E, E´, E´´)結構，可 應 用 於 長 方 形 的 陣 列 (rectangular array) 、 組 合 (combinations) 、 面 積 (area)。 (一) 長方形的陣列問題 有一張 長方形 的桌子，桌 上擺 滿 蘋 果，直看有 6 行，橫看有 5 列，請問這張長 方形桌子共有幾顆蘋果？ (二) 組合問題 4 件上衣和 3 件褲子，可搭配出幾種不 同的服裝？ (三) 面積問題 有一張長方形照片，長是 4 公分，寬 是 6 公分，請問這張長方形照片的面積是多 少？ SRS 有一種關係 R(relation)存在於二個量 中，相當於 Schwartz (1981)的(S, E, E´) 結構。 玲鈴有 4 本故事書，真真的故事書數量是玲 鈴的 5 倍，則真真有幾本故事書？ 五、Nesher 模式
Nesher (1987)參考 Vergnaud (1983)和 Schwartz (1981)乘法結構模式，將乘法問題 分類為函數規則(mapping rule)問題、比較型(compare)問題、乘法叉積(cartesian)問題三 種，每一種類型命題結構可分為三部分，如表2-1-6：
表 2-1-6 Nesher 模式之乘除問題類型 類型 範例 說明 函數規則 問題 小靈有 4 盒巧克力 糖，一盒有 10 顆巧 克力糖，請問小靈 共有幾顆巧克力 糖？ 1.第一部份：說明一般的術語，有 n 個 x，每一個 x 有 y， 即存在有一個敘述是描述兩個值 p(x,y)。(4 盒巧克力糖、10 顆) 2.第二部份：呈現一個映射規則是每一個 x 對應到 y 的 關係，說明 p(x,y)中 x 與 y 的關係。(一盒 有 10 顆巧克力糖) 3.第三部分：求共有多少個 y？(小靈共有幾顆巧克力糖) 比較型 問題 小梅 有 5 本漫畫 書，小欣的漫畫書 數 量 是 小 梅 的 6 倍，請問小欣有多 少本漫畫書？ 1.第一部份：有一參考集合(基準量)y 有 n 個元素(小梅 有 5 本漫畫書)。 2.第二部份：有一特殊的函數關係，將每一個參考集合 (基準量)y 中的元素對應到比較集合(比較 量)x 的關係(小欣的漫畫書數量是小梅的 6 倍)。 3.第三部分：求出比較集合(比較量)的元素共有多少 個？(請問小欣有多少本漫畫書) 乘法叉積 問題 玉美有 7 件上衣和 6 件褲子，由上衣 和褲子搭配成外出 服，請問玉美可搭 配出幾種不同的外 出服？ 1.第一部份和第二部份是描述兩個獨立的集合(7 件上衣 和 6 件褲子)。 2.第三部分：求出有多少個 z，z 是一個 x 與一個 y 的交 乘積(玉美可搭配出幾種不同的外出服)。 以上五種乘法模式的意義是相同的，其差異在於分類的觀點有所不同。茲將其 分析比較如表2-1-7： 綜合上述，本研究以 Vergnaud (1983)模式為依據，再加上 Nesher (1987)的比較 表 2-1-7 各模式之乘除類型比較 模式 時間 分類觀點 乘除類型
Schwartz 1981 內涵量和外延量 (E,E´,E´´) (I,E,E´) (I,I´,I´´) (S,E,E´) Vergnaud 1983 向量空間和向度 叉積型 量數同構型 多重比例型 Usiskin＆ Bell 1983 應用 交叉運作 比例因子型 相同集合 大小改變 Greer 1987 對稱型和不對稱型 SSS STS SRS Nesher 1987 組成結構 叉積型 函數規則 比較型
型問題，分為比較型、叉積型、量數同構型及多重比例型四種，每一種類型因未知數 位置的不同又分成二〜四個小題，以此作為設計題目的依據。
參、乘除概念相關研究
乘除法的相關研究方法大致可歸納為：(一)給問題，立算式：要求學生針對文字 問題，選擇適當算式。(二)給算式，編故事題：要求學生編一個合理的故事題滿足此 算式，即將算式的符號轉譯成文字情境的表徵(林碧珍，1991；林原宏，1994)。本研 究採給問題立算式的方式。茲將相關研究整理如表 2-1-8： 表 2-1-8 國內外研究者對乘除概念之相關研究分析表(一) 研究者 年代 研究主題 研究結果 Bell, Fischbein & Greer 1984 探究數字大小、問題結 構及情境對選擇乘、除 問題解決策略的影響 發現學生普遍存在數字的迷思概念，且熟悉的應用 問題情境亦影響學生之表現，在說故事題的表現 中，說出來的故事內容，乘法大多為連加，除法則 為等分除型式，顯示數字大小、問題結構及情境皆 為影響學生表現的因素。 Fischbein, Deri, Nello & Marino 1985 影響乘除解題因素的 相關研究 提出乘除「直覺模式」(intuitive model)的假設，認為 學生對乘除的直覺想法影響他們解題策略的選擇， 其中乘法的直覺模式是與累加的假設連結，而除法 包括等分及包含兩種直覺模式。 林碧珍 1991 研究兒童對乘除法應 用問題之認知結構 發現：(1)學生對於乘除法應用問題的瞭解由易而難 為量數同構型、叉積型、比較型、多重比例型。 (2)在比較型及叉積型問題結構中，不因未知數位置 的不同而影響解題。(3)量數同構型「2 的規則」問 題中以「最初量未知」為最容易，依次是「變換量 未知」和「最終量未知」，「3 的規則」問題以「基本 量未知」為最困難(4)多重比例型「4 的規則」問題 以「變換量未知」為最困難，「5 的規則」問題以「基 本量未知」為最困難。 劉湘川、 許天維、 林原宏 1995 國小高年級學生乘除 問題解題策略及理解 層次之分析研究 發現學生使用下列四種策略及概念來列算式：(一) 以預期結果量作為選擇運算符號的依據：此種策略 是指學生認為「欲使結果量變大，就用乘法；欲使 結果量變小，就用除法」；(二)以較大的數除以較小 的數；(三)乘法以整數為乘數或除數；(四)利用關鍵 字 (key word)。表 2-1-9 國內外研究者對乘除概念之相關研究分析表(二) 研究者 年代 研究主題 研究結果 邱裕淵 2000 國小六年級學生在各 種情境模式(部份/全 體、倍數比較、倍數改 變、比率、)及數系(小 數、分數)的乘法應用 問題之解題表現 就小數而言，學生在部份/全體的解題表現顯著低於 其它三種類型的題目，就分數而言，學生在倍數改 變題目的解題表現顯著低於比率和倍數比較類型的 題目。 陳啟明 2000 不同題目表徵型式對 學生解題表現之影響 發現學生在不同題目表徵型式之應用問題的解題表 現上，彼此存在著顯著差異，其中，學生在「畫圖 題」上的解題表現優於「短語題」和「應用問題」， 在「短語題」上的表現也優於「應用問題」。 陳淑琳 2002 探討國小二年級學童 乘法應用問題的解題 歷程 發現解題表現最容易的是等組型問題，最難的是組 合型問題。 陳秀雯 2002 研究師院生佈乘除法 應用問題的表現 發現師院生的佈題率從高到低依序為量數同構型、 比較型、叉積型、多重比例型。 許淑萍 2002 研究國小學生乘除法 表徵能力 研究結果顯示學童擬題結果之乘除類型多寡，在單 步驟中依次為量數同構型、比較型及叉積型；多步 驟題型中依次為量數同構型、多重比例型、比較型、 叉積型。 林淑菁 2002 探討圖示教學策略對 國小資源班學生學習 正整數乘除應用問題 之影響 發現圖示教學策略能提高學生解乘除應用問題的成 效。 丁春蘭 2003 研究國小學童乘除問 題的解題表現、後設認 知與認知型式之相關 發現學生對乘除應用問題的解題表現，以量數同構 型與比較型為最容易，其次為叉積型，而以多重比 例型為最難。且在各乘除類型之不同未知數位置的 解題表現有差異。 黃月平 2003 探討學生將分數乘除 算式符號表徵轉為數 學應用問題之表徵轉 換能力 發現：(1)乘法與除法其擬題能力並無顯著差異。(2) 在乘除類型方面不管是乘除法或數字形式為何，幾 乎集中在量數同構型之 2 的規則，其分配比率依次 為 2 的規則、比較型、叉積型、3 的規則。(3)不同 乘除類型之擬題在擬題能力上並無差異。 尤彥喬 2004 瞭解國小三年級學童 在學習除法過程中對 除法應用問題的解題 表現及策略轉變 研究結果顯示：影響學童理解除法應用問題的主要 原因是學童未將題目的字句轉譯成自己的資訊，且 不同學習能力的學童解題策略的轉變路徑與策略迴 轉的次數均不同。
綜合來說，關於乘除概念研究文獻已相當多，但較少以知識結構觀點來分析，因 此，本研究以傳統試卷施測，藉由徑路搜尋法來分析學童乘除概念知識結構。
第二節 知識結構
壹、知識結構、表徵
長久以來對於知識結構的定義，由於不同學者的研究重點、研究動機和理論觀點 的不同而有不同的看法，Shavelson(1972)指出知識結構是存在長期記憶中的認知結 構，並能掌握知識的組織特質和關係，個人可透過建構、修正和重組知識結構方式， 來改變學習和認知上的表現。張新仁(1993)認為個人在大腦神經系統中，已經學習與 保留的學科知識，包括事實、概念和原則。學習者會將所學到的知識，在腦中形成一 個有組織的層級架構，即為知識結構。江淑卿、郭生玉(1997)認為知識結構存在於長 期記憶中概念間的關係與組織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息的處理歷程。 由上述可知，知識結構之優劣，將直接影響個體學習成就，然而我們無法直接看到知 識結構的內涵，我們在探索知識結構時，通常都是經由知識表徵而得知。 Bruner(1966)認為知識表徵是人類對其環境周遭事物，經知覺而將外在物體或事 件轉換為內在心理事件的過程，亦即人類乃經由知識表徵的過程獲得知識(張春興， 1994)。認知心理學家 Solso(1995)提出五種有關人類語意組織方式的知識結構表徵(余 民寧，1997)： 一、群集模式(clustering model) 在此模式中，概念被組織成「群集」(clusters)。而評量的方式，係給予受試者一 些不相關的字來做自由回憶，然後研究者將可發現，某一些字會被歸類在一起，而這 些被受試者所歸類的「群集」，即為受試者在這些字或概念上的知識表徵。 二、集合理論模式(set-theoretical model) 在此模式中，概念在記憶中是以「集合」或訊息彙整的方式來表徵的，該集合可 以以類別或類別之屬性或特質來加以歸類。三、語意屬性比較模式(semantic feature-comparison model) 在此模式中，知識是由一個多向度空間所組成，概念在記憶中則是以一組「語意 屬性」來表徵的。每個概念均由界定類別的定義性屬性及該概念所特有的特徵性屬性 所組成。 四、網路模式(network model) 在此模式中，知識是以各個獨立單位所聯結形成的網路方式貯存在記憶中，我們 之所以能記憶每一個字的原因，乃是因為它與一個複雜的「關係網路」(network of relationships)聯結在一起的緣故。 五、神經認知模式 在此模式中，知識是分散儲存於許多的神經單元，每個神經單元並不是代表一個 概念，知識是存在於神經單元間的聯結，並且是以神經網路的組織方式來表徵的。 余民寧(1997)認為，在 Solso(1995)所提出的五種關於人類語意組織方式的知識 結構表徵模式中，以網路模式最具有應用價值，因其理論模式隱含相當重大的教育涵 義。葉倩亨(2001)亦指出網路模式的知識結構論，著重知識結構的結構特性和建構歷 程之探討，許多知識結構的測量和教學之研究發展都深受該模式的影響。 基於上述，本研究採用 Solso(1995)所提出的網路模式為理論基礎來探討知識結 構。
貮、知識結構的測量方法
知識結構的測量方法很多，如：唔談法、分類法、圖解法和量尺法，皆各有其特 色和限制(Koubek & Mountjou，1991)，今將認知結構評量方法整理如表 2-2-1 所示：表 2-2-1 認知結構評量方法分析表 測量方法 唔談法 分類法 圖解法 量尺法 方式 透過晤談、放聲 思考、原案分 析、觀察或文件 分析等過程取向 的方法，分析個 體的認知結構。 透過卡片分類、 樹狀結構分析等 方法，分析個體 的認知結構。其 分析步驟大致分 為概念引發、概 念分類和表徵分 析。 透過訓練幫助個 體熟悉概念構圖 技巧，將個體的 概念構圖，根據 評分系統計分， 評量理解能力。 透過不同量尺化 程序測量知識結 構。 特色 能深入了解個體 知識結構的內容 組織和變化。 快速簡單、可了 解結構特質和改 變。 將知識結構的內 容分析，進一步 量化。 以客觀和統計方 式產生圖解和知 識結構相關量 數，突破過去以 理論和經驗的方 式，進行知識結 構測量。 限制 所獲取的資料需 透過主試者主觀 的解釋，且較難 統計分析 無法處理團體和 平均的知識結 構，其結構性和 系統性介於晤談 法和量尺法間， 仍需透過主試者 主觀解釋評分。 評分時需透過主 試者的解釋，無 法避免主觀經驗 影響。 無法確實了解概 念接近性所代表 的意義。 本研究為獲得客觀的數據，以及進一步統計分析，故選擇量尺法較適合。經常運 用的量尺法包括：重視整體知識結構關係的多向度量尺、重視知識結構概念類別的集 群分析、以及重視知識結構內關係的徑路搜尋網路(pathfinder networks)(Jonassen et al.,1993)。今將多向度量尺、群聚分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制(江淑卿，1997) 整理如表 2-2-2 所示：
表 2-2-2 多向度量尺、集群分析與徑路搜尋之內涵、特色與限制 多向度量尺 集群分析 徑路搜尋 內涵 從接近性矩陣，抽離出 潛在構面，轉換呈現概 念間的距離，即將概念 安排在幾個最小數量的 向度空間。 透過量尺化程序產生階 層樹狀表徵，鏈結沒有 命名，而以次序性量數 呈現鏈結的強度。 透過徑路搜尋量尺化算 則，將接近性矩陣轉換 成徑路搜尋網路、圖解 理論距離。 特色 能掌握知識結構的整體 關係 能掌握知識結構的類別 能掌握知識結構中概念 間的關係，並能瞭解哪 些關係較重要。 限制 須主觀解釋向度的意義 群聚階層的分割點亦須 主觀決定。 鏈結沒有命名，較難直 接瞭解結構型式，研究 時可視需要才為鏈結命 名。 由表 2-2-2 可知：徑路搜尋以結構網路模式表徵知識結構，且可看出概念之間的 相關性，因此本研究選用徑路搜尋來分析國小學童之乘除概念知識結構，以瞭解學童 乘除概念之知識結構圖。
參、徑路搜尋
徑路搜尋法於 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室領導人 Schvaneveldt 與其研究小組根據網路模式和圖形理論，研究發展出徑路搜尋量尺化算 則(pathfinder scaling algorithm)，用來建構和分析知識結構，並設計知識網路組織工具 (Knowledge Network Organizing Tool，簡稱 KNOT)，來輔助、分析和評量知識結構， 希望藉此提供評量個體知識結構之另一選擇。 徑路搜尋網路是以節點和鏈結相互連接之網路結構，一個節點代表一個概念，如 果有 n 個節點，每對節點之間都有鏈結，則有 (n²-n)/2 條鏈結。而節點與節點之間的 鏈結關係以距離權值表示其鏈結強度，但沒有命名。鏈結的特色是能掌握知識結構中 概念與概念間的關係，並藉此了解哪些鏈結間的關係比較重要，但也因鏈結沒有命名， 在解讀圖解時較難直接了解其結構形式 (Schvaneveldt, 1990)。 徑路搜尋法評量知識結構的過程大致可分為三個步驟：引出知識(knowledgeelicitation)、表徵知識結構(knowledge representation)與評價知識結構(evaluation of knowledge representation)，茲以這個三個程序來分析徑路搜尋法的評量歷程。 一、徑路搜尋之引出知識 量尺法中知識的引出一般有字詞聯想、分類法、相似性評定、構圖等，徑路搜尋 法通常採用相似性評定法，來評量個體對於概念與概念間相互關係的瞭解情形。首先 挑選欲進行研究的一群概念，兩兩配對，由受試者進行判斷各配對概念間的相似性、 關聯性或心理距離，獲得受試者之接近性矩陣，接近性矩陣中數值愈小，表示兩概念 關係愈緊密。 然而相似性評定法雖具備客觀和施測簡易的優點，且研究者在編製量表的同時可 以掌握研究所需涵蓋的概念，較具完整性，但發現受試者無法精確掌握其評定的標準， 當概念數目較多時，此問題可能更嚴重(黃湃翔，2004)。為改正上述缺失，本研究以 傳統試卷施測，搭配試題反應理論與類似係數，求得受試者在乘除概念之接近性矩陣 二、徑路搜尋之表徵知識結構 徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之接近性矩陣資料以 徑路搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)轉換成距離矩陣和徑路搜尋網路 (PFNET)。在徑路搜尋網路中的每個鏈結均有一徑路權值，包括直接鏈和非直接鏈， 在徑路搜尋量尺化算則在轉換過程中，需先決定r和q兩個參數，來計算徑路權值，最 後僅會保留權重總和最小的聯結鏈，也就是保留「最短長度的徑路」。 今以圖 2-2-1 說明參數r和參數q： (一)參數r 參數r用來決定兩節點間徑路長度的計算方式，若包含 k 個聯結鏈之路徑 P 的權 值為 W(P)，則 W(P)的公式如下： W(P)= r k i r i w / 1 1
∑
= ，其中 1≤r<∞ 當r=1 時，則徑路的權值等於此徑路中聯結鏈權值的總和，聯結鏈 B-C-D 的權值為 1+5=6。當r=2 時，則徑路的權值就是運用歐基里德距離的運算方法，聯結鏈 B-C-D 的權值為 12+52 = 26。當r→∞時，由極限公式lim
(
xr yr)
1/r max(x,y) r→∞ + = 可得，徑路 的權值等於此徑路中任一聯結鏈的最大權值，即聯結鏈 B-C-D 的權值為 5。 (二)參數q 參數q用來限制 PFNET 網路中，徑路的最大數量聯結鏈，其範圍從 1 到 n-1 之間， n 表示節點數量。例如當q=2 時，概念 A 與概念 C 間之鏈結方式，其聯結鏈的數目可 能為 1 或 2，即可能為聯結鏈 A-C、聯結鏈 A-B-C、聯結鏈 A-D-C、聯結鏈 A-E-C 等， 而聯結鏈 A-B-D-C 因聯結鏈數目等於 3，所以並不包含在內。 由上述可知，參數r和q不同，其形成的徑路搜尋網路亦不同，當r→∞,q=n-1 時， 則表示探測所有不同的節點聯結路徑，並產生最少徑路的徑路搜尋網路圖，如圖 2-2-1，當r→∞,q=4 時，接近性矩陣經徑路搜尋量尺化算則轉換後，得到距離矩陣與 最少徑路的徑路搜尋網路(涂金堂，2000；林曉芳、余民寧，2001；許淑貞，2003；黃 湃翔，2004)。 本研究以徑路搜尋法探討 12 個乘除概念，為求能探測所有不同的節點聯結路徑， 並產生最少徑路的徑路搜尋網路圖，參數r接近∞，參數q設為 11。 接近性矩陣 距離矩陣 A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 最短距離 ∞ → r ,q=4 A B C D E A 0 1 1 2 3 B 1 0 1 2 3 C 1 1 0 2 3 D 2 2 2 0 3 E 3 3 3 3 0 徑路搜尋網路圖 2-2-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路(改寫自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991) A
B
C D
三、徑路搜尋之評價知識結構
徑路搜尋網路之評價，主要是將受試者的徑路搜尋網路和參照結構進行比較， Goldsmith & Davenport (1990)認為比較兩個徑路搜尋網路的相似程度，可以區分為兩 種方式，第一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間距離的相關程度，如圖形理論距 離指數(graphical theoretical distance，簡稱 GTD 指數)及接近性指數(proximity index， 簡稱 PRX 指數)；第二種則以集合理論為基礎，計算兩個網路中相鄰節點交集與聯集 的商數平均值，稱為相似性指數(closeness index，簡稱 PFC 指數或 C 指數)，現以圖 2-2-2 之網路一及網路二為例(引自 Goldsmith et al., 1991)，解釋三個知識結構量化指 數及其計算過程：
圖 2-2-2 徑路搜尋網路之 PFC 值及 GTD 值(改寫自 Goldsmith & Davenport, 1990) A B C D E F G A B C D E F G A B C D E F G PFC = .43 GTD = .79 PFC = .74 GTD = .42 網路一 網路二 網路三
(一)PFC 指數或 C 指數(closeness index) PFC 指數之計算公式為 PFC(A,B)=
∑
∈ ∪ ∩ I i i i i i B A B A n 1 ，其中 A、B 表示徑路搜尋 網路，n 為兩個網路共有的節點數，I 為網路所有節點之集合，i為網路節點，PFC 指 數的範圍在 0 至 1 之間，指數愈大表示兩個網路愈相似，表 2-2-3 即以網路一與網路 二為例之 PFC 指數算法。 表 2-2-3 網路一與網路二之 PFC 指數算法 鄰近節點 交 集 聯 集 節點 網路一 網路二 集合 大小 集合 大小 比率 A {B,C} {B,D,E} {B} 1 {B,C,D,E} 4 1/4 B {A,D,E} {A,C} {A} 1 {A,C,D,E} 4 1/4 C {A,F,G} {B,F,G} {F,G} 2 {A,B,F,G} 4 2/4 D {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 E {B} {A} U 0 {A,B} 2 0/2 F {C} {C} {C} 1 {C} 1 1/1 G {C} {C} {C} 1 {C} 1 1/1 ＊ U 表示空集合，比率總和 = 3 ＊PFC = 3/7 = .43(二)GTD 指數(graphical theoretical distance)
圖解理論距離是以徑路聯結鏈的數目量來當作計算單位。例如圖 2-2-1 之網路 一，A 至 D 的連結方式為 A－B－D 有二個聯結鏈，因此 A 至 D 的圖解理論距離為 2。 將兩個徑路搜尋網路中各節點的圖解理論距離進行相關係數計算，即可得到 GTD 指 數。GTD 指數的範圍由-1 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相似。表 2-2-4 即網路一與 網路二圖解理論距離矩陣，其相關係數，即 GTD 指數為.79。
表 2-2-4 網路一及網路二之 GTD 指數算法 節點 A B C D E F G A － 1 1 2 2 2 2 B － 2 1 1 3 3 C － 3 3 1 1 D － 2 4 4 E － 4 4 F － 2 網 路 一 G － A － 1 2 1 1 3 3 B － 1 2 2 2 2 C － 3 3 1 1 D － 2 4 4 E － 4 4 F － 2 網 路 二 G － ＊GTD 指數為 .79 (三)PRX 指數(proximity index) PRX 指數是直接計算兩個徑路搜尋網路其接近性矩陣中各相對應元素的相關係 數。PRX 指數的範圍由-1 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相似。 四、徑路搜尋之相關研究 近年來徑路搜尋的研究愈來愈受重視，一般來說大可分為知識結構引出之方式 及認知表現二個向度來討論。
Goldsmith, Johnson, & Acton (1991)，以七點量表施測心理學上各方法間之相關 程度，針對 40 位大二學生之知識結構與學習成效間關係來研究，另以一位教學者之概 念相似性資料為參照結構，發現高學業成就組學生的知識結構與參照結構較相似，且 結構量化指數中，以 PFC 指數最能預測學習表現。
Acton, Johnson, & Goldsmith (1994)採用評定 24 個電腦程式概念間相關程度， 來研究 61 位修習電腦課程學生知識結構與學業表現的關係，並建立九種參照結構，研 究結果發現，採用不同參照結構，所計算出來不同的 PFC 指數對學業表現都有不錯的 預測力。
Gonzalvo, Canas, & Bajo (1994)的研究採用九點量表評定 32 個心理學史重要概 念，搭配徑路搜尋法以四位心理學專家共同知識結構為參照結構，探討修習心理學史 之大學生在教學前後其學習成效與改變，發現受試者在教學後之知識結構有顯著改變 且知識結構量化指數皆能有效預測學習成績。 江淑卿(1997)以徑路搜尋法探討國小學童自然科知識結構與科學文章理解能力 的關係，採用 5 點評定量表測量出概念矩陣，其中以 266 位國小六年級學生為研究對 象，12 位國小自然科教師為參照結構，發現量化指數與科學文章理解能力有顯著相 關，其中以 GTD 指數最具預測力，而在知識結構中以高成就組學生與參照結構最相 似，其次為中成就，低成就組差異最大。 林曉芳(1999)的研究採用多向度量尺法，藉由數學試題，取得各概念之相似性 矩陣，參照結構則以所有試題皆答對所轉換而來，研究對象為 15 位國一數學低成就學 生和 15 位國一數學普通班學生，主要探討兩群學生在數學上的知識結構分析，並比較 分析專家及兩組學生數學知識結構的差異情況，研究結果發現，普通班學生知識結構 圖比低成就學生更接近參照結構圖，且以在校實際評量成績為依變項，結構量化指數 為自變項，進行迴歸分析，發現 PFC 指數最具預測力。 蔡佳燕(2000)研究不同學習成就組別知識結構的表現情形，以及傳統總分測驗 與知識結構評量二者對預測學習成就的差異情形，其知識結構引出方法與林曉芳(1999) 相似，將 74 位國小六年級學生分成高、普通、低等三組，以月考考卷藉由多向度量尺 法，取得每位學生各概念之相似性矩陣，研究結果發現，傳統總分評量對學習成就之 預測力略勝於知識結構量化指數，且在高分組學生中，以 PFC 指數最具預測力；在普 通組學生中，以 PRX 指數最具預測力，在低分組學生中，以傳統總分評量最具預測力。 涂金堂(2001)以 216 名國小六年級學生為對象，針對數學應用問題問題結構與 數學解題表現的關係作研究，以應用問題相似評定量表，求得學生之概念相似性矩陣， 結果發現知識結構量化指數中以 PRX 指數與數學解題表現有較密切的關係。 塗振洋(2001)以九個天文名詞概念，採用相似性評定量表，針對 4 位老師與 45 位國小六年級學童，比較學生的知識結構與教師參照結構之異同，發現高成就學生的
預測學生在自然科學業成績上的表現，以 PRX 指數的預測力最好。 許淑貞(2003)以 327 位國小五年級學生為研究對象，針對數學幾何三角形概念， 將圖形概念測驗所得之結果運用試題反應理論與模糊認知結構，求出學生之概念矩 陣，探討學生之幾何概念，結果顯示量化結構指數與能力值之間均呈現高度正相關， 且量化結構指數能有效預測能力值，其中以 PFC 指數具有最佳的預測力。 黃湃翔(2004)探討高一學生力學知識結構與其學習成就之相關，以 148 位高中 一年級學生為研究對象，6 位博士班學生的知識結構為參照結構，並以概念配對相似 性法求得受試者之概念矩陣，研究結果發現知識結構量化指數中以 PFC 指數對於高成 就組與全體學生之力學學習成就預估效力最高。 綜合以上所述，在徑路搜尋研究方法上，大多採用相似性評定法作為知識結構 的引出，以獲得接近性矩陣，在研究結果方面，發現知識結構與學習表現大致有顯著 的相關，且知識結構量化指數能有效預測學習表現。
第三節 認知型式
隨著「認知型式」的提出，教育研究者在研究學習差異時，已逐漸轉變為從認知 歷程來探討個人認知功能的表現，希望藉由認知型式的評量，進一步了解學生學習差 異的原因。本部分就認知型式的意義、特質、理論內涵及相關研究四部份加以探討。壹、認知型式的意義
Messick(1976)認為所謂認知(cognition)是一種心智作用，而認知型式(cognitive style)則是人格特質的一種，基本上意指個人在知覺、記憶、思考和解決問題時之偏好 和典型作法。因此，有些研究者將認知型式(cognitive style)稱為認知風格或認知型態。 由於研究者所持的觀點或所分析之層面(dimensions)差異而有不同的內涵，茲將中外研 究者對認知型式的定義整理如表 2-3-1 及表 2-3-2：表 2-3-1 國外研究者對認知型式的定義
(整理自楊銀興，1987；丁春蘭，2003；蔡美芳，2003；張韶瑩，2003) 研究者 年代 認知型式的定義
Kuhlen 1968 認知型式是指個人用來應付認知工作或學習情境所採取的種
種方法，通常是某種人格特質的反應。 Witkin, Oltman, Raskin
& Karp 1971
認知型式是個體在知覺及智慧活動(perceptual and intellectual activities)中所表現出來的一致性模式(modes)。 Kogan 1973 認知型式是個人以特定方式或使用自己能力的傾向。 Messick 1976 認知型式是組織和處理訊息的一致性行為組型，意指個人對訊 息處理(information processing)的習慣，也就是學習者在知覺思 考、問題解決和記憶等方面典型的表現。 Witkin, Moore,
Goodenough & Cox 1977
認知型式是指個人蒐集和組織訊息的方式。 Goldstein & Blackman 1978 認知型式是個人對環境刺激組織的特有風格。
Entwistle 1981 認知型式是個人對環境、情緒、社會、生理各方面的刺激產生 反應的方式。
Keefe 1987 認知型式是學習者所偏好的知覺、組織及記憶方式，而這些方
式具有特殊性及一致性等特質。
Riding & cheema 1991 認知型式是個人在問題解決、思考、知覺、記憶時，所使用的 典型模式或習慣的方法。
Sternberg &
Grigorenko 1997
認知風格是個體在處理訊息時的偏好或習慣，是個人思考學習 慣用的方法。
表 2-3-2 國內研究者對認知型式的定義 研究者 年代 認知型式的定義 吳幼妃 1984 認知型式是個人收集和組織訊息的方式。 楊銀興 1987 認知型式係指個體在處理訊息時，是靠外在的線索為參考或是 以內在的自我為參照之依據而定。 郭重吉 1987 認知風格是學習者的偏好或作風。 劉信雄 1992 認知型式指個體在學習訊息的處理過程中，由於學習經驗的累 積，所導致在認知技能上習慣性的偏向。 林生傳、傅粹馨 1993 認知型式概指個人從事認知作用時特有的風格方式，具有恆久 的特質。 張春興 1994 認知型式是指個人在面對問題情境時，經由其知覺、記憶、思 維等內在心理歷程，在外顯行為上所表現的習慣性特徵。 吳致潔 1994 認知型態是一個人處理事情和解決問題的行為偏好模式。 李白芬 1995 認知型式是指個人在處理訊息、進行認知作用時，特有的風格 方式，具有恆常與穩定性。 梁仲容 1995 認知型式是一種特質，具有持久性與一致性，顯現於不同的行 為和情境。 陳福慶 1997 認知型式是指個人在知覺、記憶、思考狀態下的差異，或是理 解、儲存、轉換、運用資訊時，有其不同的處理方式。這些差 異可能以直接、間接的方式，影響個人的學習活動。 林麗惠 2000 認知型式是個體在處理認知活動時，都有其慣用的特定模式與 方法，對個人而言具有穩定且一致的特性，是個體面對情境、 吸收資訊時所採用的典型作風。 陳耀豐 2002 認知型式是指個體在學習時表現出的一種穩定且持久不易改 變的特質，這種特質是一種偏好，在不同的學習環境下，仍然 表現出其一致性和獨特性。 丁春蘭 2003 認知型式是個人在不同情境下，處理訊息所呈現出的一種特 質，具有其獨特性與習慣性。 蔡美芳 2003 認知型式是個體在面對問題時，處理訊息的慣用模式或風格。 綜合來說，所謂的認知型式乃為個體在面對各種問題情境時，其外顯行為所呈現 之獨特風格，具有不變性與穩定性，是影響學生學業成就之重要非智力因素之一。
貳、認知型式的特質
由於認知型式是個人在認知歷程中所採取的特有風格，因此具有個別性，不同的 個體有不同的認知型式，就整個認知歷程來說，是人人不同的。再者，具有某一認知型式的個人，在不同的認知情境或工作下，也會傾向呈現出該認知型式的特質，不會 因為時間、空間或認知對象的不同而有太大的改變，顯示認知型式具有一致穩定性(蔡 美芳，2003)。 Messick (1976)比較認知型式與能力(ability)之差異，認為能力是單一方向的特質， 是以表現的水準來衡量，具有價值的高低；而認知型式則為雙向的特質，是以表現的 方法(manner)來衡量，並無好壞之差別。丁振豐(1987)、劉信雄(1992)亦將認知型式與 認知能力做一區分，認為認知型式代表個體對於周圍世界各種訊息的處理方式，讓個 體「如何」去知覺、思考、解決問題、學習及與人交往的歷程，而認知能力指的是一 種「結果」，在於個人認知了「什麼」。 整體而言，個人所具有的認知型式具有雙極的(bipolar)、價值中立(value differentiated)的特質，是由這一類型至相對的另一類型，故無所謂的好與壞，更無高 低之別;而認知能力是一種個體特殊的內在心理能力，具有單極的(unipolar)、價值導向 (value directional)的特質，故由低而高的分佈，且有高低好壞之別。
參、認知型式的理論內涵
由於研究者對於認知型式的觀點不同，因此關於認知型式的理論相當多種。 Messick (1976)曾經加以整理，其中理論較為完整約有：平鈍－尖銳的認知型式(leveling versus sharpening)、複雜－簡單的認知型式(complexity versus sim-plicity) 、分析－籠 統的認知型式(analytical versus global)、集中－掃描的認知型式(focusing versusscanning) 、場地獨立－場地依賴的認知型式(field-independent versus field dependent)。 其中被研究最多的是 Witkin (1954)的場地獨立－場地依賴的理論。本研究之認知型式 理論採用 Witkin (1954)場地獨立－場地依賴的理論(簡稱 FDI 理論，又稱為場地獨立 性)，以下針對場地獨立性的理論加以探討。
一、場地獨立性的涵義
在「知覺風格」 (perception)上有很大的個別差異存在，他從個人的特性及情境因素兩 方面去了解知覺現象，發現這種個體知覺具有一致性及穩定性，不因情境或時間的不 同而改變，且個體在調整知覺的正確性方面，有的是以自己的身體感覺為參考點，有 的則是以外界的視野為參考點(林清山，1985；楊銀興，1987)。
H. A. Witkin 以「藏圖測驗」(簡稱 EFT)進行一連串相關研究，發現個體這種知 覺型式(perceptual sty1e)可分為兩種，一種為場地依賴(field -dependence)；一種為場地 獨立(field-independence)。他認為若個體需要花較長的時間將嵌在複雜圖形中的簡單圖 形尋找出來，表示個體之知覺，強烈地受到組織場(organization field)的支配，換言之， 個體是以外在知覺場地為主要參考點，易受場地組織的支配，比較不能將知覺場地中 的物體與背景加以區分，稱之為「場地依賴型」。反之，若個體很容易將嵌在複雜圖形 中的簡單圖形尋找出來，表示個體較能打破已組織過的知覺場地，即是個體以自己的 身體為參考點，傾向依靠內在的參考架構，具有破解組織化場地的能力，能將知覺場 地的物體與背景加以區分，稱之為「場地獨立型」(林清山，1985；丁振豐，1987；楊 銀興，1987；連秀玉，1995；丁春蘭，2003)。 二、場地獨立性的特性 場地獨立性具有雙極的性質，雖可分為場地依賴與場地獨立，但並無所謂的好 壞之分，有人認為場地獨立性的認知型式是測得個體的空間能力(林麗惠，2000)。場 地依賴與場地獨立各適合於不同的情境中，茲將場地獨立性之特性，整理如表 2-3-3:
